DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2016.02.018
一种快速的MIMO系统联合收发端天线选择算法
施荣华，谢羽嘉，董健，胡炳浩
(中南大学 信息科学与工程学院，湖南 长沙，410083)
摘要：基于MIMO系统发射端和接收端的多天线配置使信道容量和传输可靠性成倍提高，天线选择算法能保持系统优点的同时降低实现复杂度和硬件成本，为在信道环境实时变化条件下快速选择出最优的天线子集，提出一种新的MIMO系统联合收发端天线选择算法。基于二进制粒子群算法思想，通过对MIMO系统信道容量公式的分析，导出采用二进制编码字符串表示的信道容量，以此作为粒子群算法的适应度函数简化计算量；同时采用循环移位种群初始化以提高搜索效率，提高信道容量。仿真结果表明：新算法在降低计算复杂度的同时，获得的信道容量比其他几种次优算法的更高。
关键词：MIMO系统；天线选择；二进制粒子群算法；种群初始化；信道容量
中图分类号：TN919.3 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2016)02-0482-06
A fast joint transmitting and receiving antenna selection algorithm for MIMO systems
SHI Ronghua, XIE Yujia, DONG Jian, HU binghao
(School of Information Science and Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)
Abstract: Considering that the multiple antenna configurations in transmitter and receiver of MIMO (multi-input multi-output) system can improve the transmission reliability and channel capacity exponentially, and antenna selection algorithm can retain the advantages of MIMO system and reduce the implementation complexity and hardware cost, in order to quickly select the antenna subset from the changeable channel environment, a new fast joint transmitting and receiving antenna selection algorithm was presented. Based on binary particle swarm algorithm (BPSO), channel capacity expressed by binary coded string was used to reduce the computational complexity. By employing cyclic shift population initialization, the improvement of search efficiency and higher channel capacity was obtained. The results show that the new algorithm can reduce the computational complexity and obtain higher channel capacity than other sub-optimal algorithms.
Key words: MIMO system; antenna selection; particle swarm optimization; population initialization; channel capacity
MIMO(multi-input multi-output)系统通过在发射端和接收端配置多个天线以获得分集增益和复用增益，使系统在不增加带宽的情况下成倍提高信道容量和传输可靠性[1-3]。然而，MIMO系统要使用与天线数目相匹配的射频链路，从而使实现成本上升。如何使快速天线在MIMO系统应用时减少复杂度和硬件成本的同时保持其优点已成为研究热点[4-9]。天线选择的最优算法是穷举法(简称ESA)[4]，该算法需要从所有可能组成的选择集合中选取1个子集使系统容量最大，但该方法计算复杂度较高，不适用于信道条件多变的实时环境下。MOLISCH等[5-6]提出了基于信道相关性的(简称CBM)快速选择算法，大幅度降低了计算复杂度，同时信道容量损失也较大；徐立勤等[7-8]以提高容量性能为目标分别提出基于相异度和盖尔圆算法的天线选择新算法。当联合接收端和发送端进行天线选择时，GOROKHOV等[9]进一步提出了信道容量接近最优但计算复杂度稍大的算法。为简化计算量，在收发端天线数目相同的情况下，CHEN等[10-13]提出通过矩阵求逆和矩阵划分对信道容量公式进行分析简化的算法。由于智能算法在解决凸优化问题时的性能优越，遗传算法以大幅度减少计算复杂度的优势应用于天线选择[14-15]，为解决遗传算法选择过程中天线数目与要求不匹配的问题，LU等[16]提出了一种基于优先级的快速选择算法(简称GA)，但是遗传算法的多参数和交叉变异操作使得该算法在复杂度和性能的均衡方面有待改善。本文作者通过分析推导得到二进制字符串表示的信道容量公式，提出基于二进制粒子群算法(简称BPSO)的低复杂度天线选择算法，同时通过改进粒子群的初始化，以减少迭代盲目性，提高算法收敛性能，获得更高的信道容量。
1 信道模型
设MIMO系统有NT个发射天线和NR个接收天线，输入和输出信号之间的关系可以表示为[9]
(1)
式中：y(t)为接收信号强度；x(t)为发送信号强度；w(t)为零均值单位方差的加性高斯白噪声信号强度；ρ为接收端的平均信噪比；H为NR×NT维的信道矩阵，
(2)
hi,j为信道衰落系数，为独立同分布零均值单位方差的复高斯随机变量。接收机已知信道状态信息(CSI)而发射端未知，假设1个无差错低速率的反馈信道将被选发射天线的指标反馈到发射端[17]。当发射机每个天线等功率发射信号且互不相关，则平稳衰落瑞利分布信道下的信道容量为[9]
(3)
2 基于BPSO的天线选择算法
2.1 信道容量二进制编码表示
考虑系统的发射端和接收端配备有Nt和Nr条 (Nt≥Nr)射频链路，且NT≥Nr，NR≥Nr，为选择Nt和Nr条天线与射频电路相匹配，当使用天线选择算法时，从信道矩阵中选择出的子矩阵
应使
最大，而获得最优子矩阵要进行
次矩阵运算[4]，当天线数目增加时，此方法计算复杂度较高。本文引入二进制字符串，重新推导变换联合收发端天线选择后的信道容量公式，将其作为算法关键即适应度函数，使天线选择问题转化为组合优化问题。用二进制编码串表示：
(4)
其中：
和
为二进制指示符，分别表示收发天线是否被选择。用
表示选择发射天线编码，
表示选择接收天线编码串。被选择的天线矩阵表示为H0：
(5)
此时，信道容量可以改写为
(6)
其中：
为Nt×Nt的单位矩阵；(*)H表示共轭转置；O N×M为零矩阵；
(7)
则通过编码串Q1和Q2对矩阵的选择可得到
和
的关系：
(8)
其中：diag(Q2)和diag(Q1)分别为NR×NR和NT×NT的对角矩阵；P2和P1均为置换矩阵且满足
，
。则
(9)
由于
(10)
即
(11)
据式(11)可以将联合收发端进行天线选择后的信道容量公式改写为
(12)
由式(12)可知联合天线选择的MIMO系统信道容量是关于变量Q1和Q2的函数。选择最优的天线子集使信道容量最大化就是选择合适的编码串Q1和Q2使式(12)的值最大，为此，本文提出基于二进制粒子群思想的快速选择算法，以编码串Q1和Q2作为粒子群算法种群的粒子，式(12)作为粒子群算法的适应度函数，将天线选择问题转化为组合优化问题以进行迭代寻找最优解。
2.2 BPSO描述
粒子群算法是由Kennedy等[18]于1995年提出的一种基于种群的搜索过程，它的思想来源于模仿鸟群和鱼群等的群集行为，能在连续空间中使种群中个体相互协同寻找最优解，具有参数少、计算量小和收敛速度快的特点而得到广泛应用。Kennedy等[19]提出二进制粒子群算法(简称BPSO)以应用于离散空间的优化问题。在BPSO中，假设N个由二进制位表示的粒子组成种群，其中每个粒子由目前位置
、粒子速度
和历史最优位置
这3个D维向量表示(其中
；i=1，2，…，N；d=1，2，…，D)。每个粒子在D维空间通过比较自己和群体内其他粒子的位置，搜索历史最优位置和群体最优位置，最后经过T次迭代得到种群的最佳粒子位置。粒子的目前位置xi由二进制编码组成，在每次迭代中，该位置的优劣由适应度函数评价，若目前位置优于pi，则将历史最优位置替换成目前位置，用gi表示整个种群所有粒子中最优的位置，其中每个二进制位产生速度为
(13)
其中：c1和c2为粒子的学习因子，一般取值为2[19]；rand( )为取值范围在[0,1]的随机函数；速度用于表示粒子位置xid每个二进制编码位变化的概率。为了将速度映射到区间[0,1]，一般采用sigmod函数：
(14)
其中：s(vid)为位置xid取1时的概率。粒子通过下式改变它的位置：
(15)
评定粒子当前位置的优劣时，算法的关键是根据优化目标选择评价函数即适应度函数；结合天线选择问题时，粒子位置是由Q1和Q2联合组成的二进制编码串，D是发射端和接收端的天线数目之和。为了在算法迭代搜索结束后得到最大化信道容量的天线选择配置，采用式(16)作为算法的适应度函数：
(16)
基于BPSO的天线选择算法详细描述如下。
Step 1：初始化。随机生成N个粒子作为初始种群，设置迭代计数器T=0。
Step 2：迭代计数器加1。
Step 3：计算目标函数值。根据式(16)计算每个粒子的适应度。
Step 4：更新最优值。将种群中各粒子的适应度进行比较以更新个体最优值pi和全局最优值gi。
Step5：更新速度。根据式(13)计算每个粒子的飞行速度vi。
Step 6：产生新的粒子群。按式(14)计算每位的更新概率，通过计算式(15)更新粒子位置以产生新的粒子群。
Step 7：若迭代条件满足，则输出全局最优粒子的目标值gi和当前位置xi；否则，转入Step 2。
2.3 种群初始化
在迭代次数较小的情况下，二进制粒子群算法的最后优化结果和初始化种群有较大关系。若初始种群的盲目性减小，则粒子群搜索的目的性更强，收敛速度更快。
本文对初始种群的改进是通过选择具有最大信道幅值[4]的天线作为种群的1个粒子，然后，将该粒子以循环移位的方式产生其他粒子，从而保证每个天线能有被选择的机会，可有效提高搜索效率。当种群数量大于循环移位值时，通过变异部分粒子位置而增加种群中粒子的多样性，则搜索优化的效果将更明显。
首先，选择具有最大模值的天线子集作为种群的基准粒子。假设对发送端和接收端的天线选择子集分别为x0T和x0R，基准粒子x0为联结2个子集的二进制字符串：
(17)
(18)
则初始种群的设置如下：
其中：(x0T)i为对x0T的i位循环左移；U(x0T)为对x0T中的字符串位置进行均匀分布的随机置换。当NT=5，Nt=2，NR=6，Nr=3时，随机产生的初始种群分布如图1所示，改进后的初始种群分布如图2所示。
从图1可以看出：用随机产生的种群会出现部分天线被选择很多次，而部分天线1次都没有被选中的情况。当某信道条件良好的天线没有被随机选中时可能会引起部分信道容量损失。从图2(c)可见：经过循环移位产生的粒子种群中，每个天线至少被选择1次，均能为最大化信道容量提供保证。而当种群数目大于接收端或发送端天线数时(见图2(a)和2(b))，则从循环移位粒子中随机交换部分二进制编码的位置产生新的粒子，增加了种群的多样性，使算法优化性能更加明显。
图1 随机产生的初始粒子种群分布
Fig. 1 Random initialization distribution of particle swarm population
图2 改进后的初始粒子种群分布
Fig. 2 Improved particle swarm population initialization distribution
3 仿真结果与分析
通过仿真实验验证所提算法的性能，并将其与穷举法(ESA)[4]，CBM[5]以及解耦算法(Gorohkov)[9]和遗传算法(GA)[16]进行对比分析。假设信道为静态衰落瑞利分布，接收端已知信道状态信息，发射端无信道状态信息，一个无差错的低速率反馈信道使得被选发射天线的指标能被独立反馈到发射端，发射天线等功率分配；随机生成信道矩阵样值，矩阵系数是服从零均值单位方差的复高斯随机变量。其中，BPSO的粒子数与GA的染色体数相同，通过蒙特卡罗模拟，每个仿真结果即中断容量都是由5 000次独立信道矩阵H的平均仿真结果。
图3和图4所示分别为不同天线数目下10%信道中断容量(信道容量瞬时值的概率等于给定中断概率时所对应的信道容量)随信噪比的变化。从图3和图4可见：几种算法的仿真结果均随着信噪比的增加而增大；基于智能算法的BPSO和GA由于在解空间的成功全局搜索，获得的信道容量均与最优算法所得的接近，但通过改进种群初始化的BPSO其容量比GA的大；CBM算法由于只适用于相关性道，从而获得的中断容量明显比其他算法的低。当NT=6，Nt=2，NR=12，Nr=4，N=20，I=20和NT=8，Nt=3，NR=16，Nr=4，N=25，I=22时，BPSO算法的性能均比其他算法的性能优，这表明随着天线选择要求不同，BPSO算法的优势可以通过不同种群数量和迭代次数的选取实现。
图3 NT=6，Nt=2，NR=12，Nr=4，N=20，I=20时，10%信道中断容量随信噪比SNR的变化
Fig. 3 10% channel outage capacity with different SNRs when NT=6, Nt=2, NR=12, Nr=4, N=20 and I=20
图4 NT=8，Nt=3，NR=16，Nr=4，N=25，I=22时，10%信道中断容量随信噪比SNR的变化
Fig. 4 10% channel outage capacity with different SNRs when NT=8, Nt=3, NR=16, Nr=4, N=25, I=22
当NT=6，Nt=2，NR=12，Nr=4，N=20时，不同的初始化种群BPSO算法的信道容量随着迭代次数的变化如图5所示。从图5可看出：BPSO算法应用循环移位初始种群的性能明显优于随机初始种群的性能，且这2种方法获得的信道容量均随着迭代次数的增加而明显提高。这是因为随着迭代次数的增加，算法逐渐接近最优解，而使用循环移位初始种群的BPSO因为在算法初期减少了粒子群搜索的盲目性，因而算法寻优效率更高。
在计算信道容量公式时，穷举法[4]需要从所有可能的天线选择组合中选择出最优子集，计算信道容量公式达次，而每次对式中矩阵进行复数加和复数乘的时间复杂度为O(n3)，n=min(NT,NR)，故其计算复杂度为
。解耦算法[9]通过每次删除对信道容量贡献最小的天线以降低选择次数，使对矩阵的运算减少到
次；计算量最少的算法CBM[5]是基于信道的相关性进行选择，不需要进行矩阵运算，其算法复杂度大幅度降低到O(NRNT)，故其所需计算时间最少；基于智能算法的BPSO和GA[16]对容量公式的计算次数则取决于种群数和迭代次数的乘积，而与评价适应度函数相比，BPSO的种群初始化(2NRNT)及GA迭代过程中交叉变异等操作引起的计算量可以忽略，故它们的算法复杂度为O(NTn3)。为验证新算法的复杂度性能，将对几种算法的计算时间进行统计和对比。本文采用德州仪器公司生产的具有320 000 MMACS(每秒百万次复数乘法和加法)处理能力的TMS320C67x系列DSP，天线选择算法计算时间见表1。从表1可以看出：穷举法的计算时间随收发端天线数目的增大而急速增大，而BPSO由于参数少，迭代过程无交叉变异等操作而所需的计算时间最少。
图5 不同初始种群算法获得的信道容量
Fig. 5 Channel capacity obtained by different population initialization schemes
表1 天线选择算法计算时间
Table 1 Computation costs by different antenna selection algorithms μs
4 结论
1) 分析MIMO系统信道容量公式，得到采用二进制编码字符串表示的信道容量函数，提出了一种基于二进制粒子群的联合收发端天线选择算法。
2) 将MIMO天线选择问题转化为组合优化问题以降低计算复杂度，改进种群初始化，减少粒子群搜索的盲目性，提高了收敛效率以获得更高信道容量。
3) 本文提出的算法性能优于其他快速联合选择算法，且其性能随系统中天线数目增大而更优越。该算法更适用于天线数目较多的联合收发端天线选择的MIMO系统。
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(编辑 陈灿华)
收稿日期：2015-02-12；修回日期：2015-04-21
基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(61201086)；教育部博士学科点专项科研基金资助项目(20110162120044)；湖南省科技计划项目(2014GK3022)(Project (61201086) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (20110162120044) supported by the Doctoral Fund of Ministry of Education of China; Project (2014GK3022) supported by the Science and Technology Plan of Hunan Province)
通信作者：董健，博士，副教授，从事MIMO系统、智能天线研究；E-mail：dongjian@csu.edu.cn
