人工模拟环境中混凝土内温度响应谱
刘鹏1, 2，宋力1, 2，余志武1, 2
(1. 中南大学 土木工程学院，湖南 长沙，410075；
2. 中南大学 高速铁路建造技术国家工程实验室，湖南 长沙，410075)
摘要：探讨人工模拟环境中混凝土内温度响应预测模型，并基于牛顿后插值法提出求解混凝土内温度响应模型数值解的途径，采用人工模拟实验验证混凝土内温度响应模型及其求解方法的合理性。实验结果表明：混凝土内温度初期响应变化较快，随时间延长而降低，并最终与模拟环境温度趋于一致。基于分离变量法构筑出的人工模拟环境中混凝土内温度响应模型可较好地描述混凝土内温度响应规律；采用牛顿插后值法所推导出的数值解与实测数据吻合较好。
关键词：混凝土；环境；温度；模型
中图分类号：TU528.07 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2014)09-3085-08
Response spectrum of temperature in concrete in artificial simulation environment
LIU Peng1, 2, SONG Li1, 2, YU Zhiwu1, 2
(1. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China;
2. National Engineering Laboratory for High Speed Railway Construction, Central South University,
Changsha 410075, China)
Abstract: The prediction model of the temperature in concrete in the artificial simulation environment was investigated. Based on the Newton interpolation method, the new way of solving the parameters of the temperature response model in concrete was discussed, as well. Furthermore, the test was carried out to prove the validities of the model and the solution method. The results show that the response of the temperature changes quickly in the initial stage and reduces gradually with time. Lastly, the temperature of the concrete and the environment tends to be the same. Based on the method of the separation of variables, the response model of the temperature can be used to describe the law of the temperature change. The theoretical results deduced from the Newton interpolation method perfectly coincide with the test results.
Key words: concrete; environment; temperature; model
混凝土结构是现代建筑的主体元素，但其耐久性和使用寿命受自然环境中湿度、温度和光照等影响显著[1]；其中，温度是最为典型的一个因素[2-4]。温度波动会引起混凝土结构工程出现温度应力，从而导致结构损伤和性能劣化；国内外对此进行了大量研究[5-9]，如朱四荣等[10]建立了混凝土梁结构在等强度日光直射下的瞬态热传导数学模型，可用来描述日光直射下混凝土梁在任意时刻的温度分布规律，并分析了混凝土温度应力和变形；朱伯芳[9]研究了大体积混凝土内温度应力与温度控制，提出了大体积混凝土施工及其使用过程中为防止温度应力破坏采取的措施；Francesca[11]研究了温度变化对钢筋混凝土梁长期性能影响，通过有限元分析探讨了静载、收缩和热梯度等对梁的影响规律；李云峰[12]探讨了混凝土结构环境模拟试验技术，并对其进行了理论阐释；Yuan和Jiang等[13-14]研究了人工模拟环境下混凝土内响应规律，提出相应的预测模型并采用试验进行了验证。Schnidler等[15]采用HIPERPAV预测模型探讨了硅酸盐水泥混凝土和快硬混凝土铺装的温度随地温变化的响应规律。事实上，自然环境中混凝土结构工程所受温度影响应指混凝土内微观环境温度而非自然环境温度[16]，但既有研究成果多基于自然环境温度。为了更好地探讨人工模拟环境与自然环境中混凝土结构工程劣化相关性，并为人工模拟环境试验设定温度参数提供依据，故有必要探讨人工模拟环境中混凝土内温度响应规律。本文作者利用分离变量法推导出了混凝土内不同类型的温度响应模型，并基于牛顿后插值法提出了求解混凝土内温度响应模型数值解的途径。通过对人工模拟环境试验结果的分析，论证了混凝土内温度响应模型及其求解方法的合理性，并探讨了展开式所取项数与计算精度间的关联。
1 理论推导
1.1 混凝土内温度响应理论模型
环境与混凝土间温度变化实质为传热学上换热边界条件下的非稳态导热问题，对于无内热源的物体内部温度分布可依靠导热微分方程予以解决。基于傅里叶(Fourier)导热定律和能量守恒原理所建立微元平行六面体的导热微分方程[9]，如式(1)所示；其定解条件主要包括几何条件、物理条件、初始条件和边界条件。环境中混凝土结构导热方程的边界条件通常为第3类边界条件，如式(2)所示。
(1)
(2)
式中：T为物体热力学温度，K；
为导热体温度变化率，K/s；α为导温系数(也称热扩散率)，m2/s；x，y，z分别为混凝土内测点三维尺寸，m；λ为混凝土的导热系数，W/(m·K)；
为物体内温度梯度，K/m；tf为流体温度，K；Tw为物体壁面温度，K；h为边界面上的表面传热系数，W/(m2·K)；n为表面 A 的法线方向。
传热学中解的连乘定理已阐明有限多维物体的加热(冷却)过程，可利用一维问题解的组合求解[17]。有鉴于此，为简化起见拟先推导一维非稳态导热方程的数值解，进而推导出物体三维(二维)非稳态导热方程数值解。对于无限大平壁混凝土，假设其厚度为2δ，内部初始温度(均匀)为t0，环境温度(恒定)为t∞，环境与混凝土间的表面总传热系数h、导热系数λ和导温系数a均为常数，则式(1)的一维非稳态导热微分方程式可表示为式(3)，则其定解条件(初始条件和边界条件)如式(4)所示。
(3)
(4)
微分方程式(3)的解可表示为2个函数的乘积形式，即分别为τ和x的函数，该法称为分离变量法，如式(5)所示。
(5)
将式(5)代入式(3)中，可得导热方程式如式(6)所示。
(6)
基于定解条件式(4)和式(6)，若引入过余温度
，则可以获得式(3)的数值解如式(7)所示，此法可称为分离变量法[17]。
(7)
式中：为任意位置任意时刻的过余温度，
；
为初始时刻过余温度，
；
为超越方程
的根，亦是无因次数Bi的函数；Bi为必渥数(Biot数)，
；F0称为傅里叶准则数，
，其物理意义表征了给定导热系统的导热性能与其贮热性能的对比关系，亦是给定系统动态特征量，为无因次时间；
为无因次坐标。
传热学中解的连乘定理已阐明有限多维物体的加热(冷却)过程，可利用一维问题解的组合求解[17]。组合体上任意点在任意时刻的无因次过余温度
恒等于该点在各个垂直相交的形体上对应点的无因次过余温度
的乘积；由式(7)可推导混凝土试件六面体尺寸分别为2δx，2δy和2δz的混凝土内温度响应模型如式(8)所示。
(8)
其中：
；
；
。
上述式(7)和式(8)即为一维和三维厚短方柱体混凝土内任意处不同时刻温度响应模型，它适用于初始温度均匀的混凝土加热或冷却过程；若为单面传热则δ对应物体厚度2δ。
与之相似，对于圆柱体其径向过余温度则可用式(9)表示；相应的圆柱体(准二维)内径向尺寸为r和纵向尺寸为z处的过余温度，如式(10)所示。
(9)
(10)
式中：R为圆柱体半径，m；r为圆柱体径向测点位置，m；l为圆柱体纵向测点位置，m；
，为径向必渥数；
，为径向傅里叶准则数。
为方程的根植，亦有无穷解，并对应式(9)和式中的
，其表达形式下式：
(11)
式中：
和
分别为零阶和一阶贝塞尔函数，其表达式如下式：
(12)
(13)
对于实际问题的计算，可只取展开式的前3项即可保证具有足够的精确度，亦可根据具体情况取值。
式(7)和式(9)是对流边界条件下一维瞬态导热问题的温度解，它是一个收敛的无穷级数的和，其精确解的计算工作量大，但表达式是快速收敛的级数。当加热已扩散到物体的中心处时，其内部温度分布已摆脱初始温度分布的影响，即加热已进入第2期——正规加热阶段，则对于平壁有F0≥0.3(圆柱体为F0≥0.25)，若取级数的第1项而略去其余各项可保证计算误差不超过1%。当F0≥0.2时，工程计算中若只取级数第1项亦能保证计算结果具有较高精确度。
综上所述，三维方柱体混凝土内任意位置在任意时刻温度分布可用式(14)表示，而圆柱体(准二维)混凝土内相应的温度分布则如式(15)所示，式中符号意义同上。
(14)
(15)
1.2 牛顿后插值法求解微分方程解析解
式(5)和式(7)是对流边界条件下瞬态导热问题的温度解；然而，直接应用数值解计算所面临的困难在于解出μn(即超越方程对应于的)和。以下将讨论如何利用已有研究所得的μn和βn数值表进行插值计算求解；其宗旨是应用μn的第1个根值数值表，按照牛顿后插法解出相应的3个μ和β，其相应的μn和βn的数值[17-18]如表1所示。
鉴于表中数据存在间断和偏少等问题，为保证所处理数据计算精度，本文采用牛顿插值公式推导出相应数值，其推导过程如下：设函数f(x)在n+1个相异的点x0，x1，…，xn上的函数值分别为f(x0 )，f(x1)，…，f(xn)；或记为y0，y1，…，yn。
一阶均差：称
为f(x)关于节点x0，x1 的一阶均差，记为
。
表1 μn和βn的数值
Table 1 Value of μn and βn
二阶均差：一阶均差与
的均差
称为f(x)关于节点x0，x1，x2 的二阶均差，记为
。
n阶均差：递归地用n-1阶均差来定义n阶均差，
称为f(x)关于n+1个节点x0, x1, …, xn均差。
若利用均差表计算均差，则表达式可表示为表2中的形式。
表2 各级均差
Table 2 Divided difference of every levels
因为
，故
，简称为0式；
同理，相应的1式为：
一般地，相应的n式为：
将n式代入(n-1)式，…，1式代入0式，得式(16)形式。
(16)
最后一项因均差部分含有x，故称为余项部分(截断误差)，记作Rn(x)；而前面n+1项的均差部分都不含x，故前n+1项是关于x的n次多项式，记作Nn(x)，此即为牛顿后插值公式；则上式可表示为式(17)形式。
(17)
(18)
(19)
设等距节点
，记
，(k=0, 1, …, n)。当x∈[x0, xn]，令等距牛顿向后插值公式为x=xn+th (-n≤t≤0)，故
，
；从而牛顿后插值公式在等距插值节点下的形式为以下形式：
(20)
(21)
利用上述式(15)、式(18)和式(19)即可用于计算相应的μn和β的数值，进而利用式(7)和式(8)来求解混凝土内任意点在任意时刻对应的温度分布。
2 试验
2.1 试验原料、混凝土配制及试验仪器
所用主要原料：硅酸盐水泥，长沙平塘水泥厂产P·O 42.5级水泥；减水剂，长沙黄腾外加剂厂生产聚羧酸系列高效减水剂；粉煤灰，湖南湘潭电厂Ⅰ级灰；矿粉，湖南涟源钢铁集团有限公司生产S95级矿粉；长沙本地产河砂，细度模数约为2.9；连续级配石灰岩碎石，粒径5~20 mm；自来水，符合JGJ 63—1989混凝土拌合用水标准。拟配制C50级混凝土，所用材料质量比m(水泥):m(矿粉):m(粉煤灰):m(砂):m(石): m(水):m(减水剂)为375:85:35:720:1085:152:5。所采用的温度测定仪为湖南省长沙市三智电子科技有限公司生产的SHT10温湿度传感器。
2.2 试样制作与试验过程
按照《公路工程水泥及水泥混凝土试验规程规程》和T 0553—2005《水泥混凝土立方体抗压强度试验》的力学性能试验要求安排试验；浇筑尺寸为150 mm×150 mm×150 mm立方体试样，成型24 h后脱模，放入标准养护池中养护至试验龄期，实测28 d的抗压强度约为53 MPa。采用钻芯机制成直径为(100±1) mm，高度为(150±1) mm的圆柱体；然后，利用钻机钻取距表面不同厚度的孔，置入传感器，并采用混凝土浆体密封，养护；将所制备的含有温度传感器的试样置于杜瓦瓶中，采用混凝土浇筑成型。测试过程中，先将试样置于恒温箱内恒温72 h以保证试件内温度分布均匀；然后，将其迅速转移入恒温箱内，记录温度及其时间。恒温箱采用循环风扇保持空气流动，实测风速约为4 m/s；试样置于距地高度约为1 m架上，传感器连接测定仪，实时测定环境温度值和混凝土内温度响应值。图1所示为用于测定混凝土温度响应模型的试件简图，图2~4所示分别为混凝土内温度响应试件实物图。
图1 混凝土内温度响应模型(单位：mm)
Fig. 1 Model of temperature response in one dimensional concrete
图2 混凝土内一维温度响应试件
Fig. 2 Sample of temperature response in one dimensional concrete
图3 混凝土内三维温度响应试件
Fig. 3 Sample of temperature response in three dimensional concrete
图4 混凝土内二维温度响应试件
Fig. 4 Sample of temperature response in two dimensional concrete
3 分析与讨论
鉴于上述理论分析，为了验证人工模拟环境试验中混凝土内温度响应模型的合理性和精确度，以下对混凝土内温度响应规律进行了探讨。试验测试混凝土导热系数λ约为2.0 W/(m·K)，密度ρ约为2 300 kg/m3，比热容c取值[19]为920 J/(kg·K)，混凝土表面总换热系数h参照文献[20]模型计算约为22.5 W/(m2·K)。升温过程中，混凝土初始温度为20 ℃，相应的人工模拟环境温度恒定为40 ℃；降温过程中，两者温度则互换。
3.1 混凝土内一维温度响应规律
所述人工模拟环境中一维混凝土内温度响应规律是混凝土内距表层深度为35 mm处测点的温度响应，理论计算数值解为展开式前三项。混凝土内一维温度响应实测值和理论拟合曲线如图5所示。从图5可以看出：人工模拟环境中混凝土内一维温度响应模型理论曲线与实测值变化趋势一致且两者间基本吻合，这表明所建立混凝土内一维温度响应模型是合理的。混凝土内一维温度响应初期变化率较快，随时间推移而逐渐减慢，经过一定时间后混凝土与环境间温度趋于相同；这是因主导混凝土与环境间温度变化因素是温度梯度和热阻。试验初期两者间温差较大，相应的温度梯度亦较大，故温度响应变化速率大；温度梯度随时间延长而逐渐降低，故温度响应速率趋于平缓。理论计算曲线与实测温度值间略有差异可能是因混凝土热学参数(如比热容和传热系数等)取值与实际略有差异造成的；此外，杜瓦瓶内的试样和传感器自身形体效应等亦是其中原因。从图5还可以看出：混凝土内一维温度响应规律升温过程与降温过程曲线基本相反。
图5 混凝土内一维温度响应规律
Fig. 5 One dimensional response law of temperature in concrete
3.2 混凝土内三维温度响应规律
为了验证所建立混凝土内三维温度响应模型的合理性，试验制备出尺寸为150 mm×150 mm×150 mm的混凝土试样，采用温度传感器测定距同一顶角的相邻3个表面距离均为35 mm处的温度响应规律，实测结果和理论曲线如图6所示。
图6 混凝土内三维温度响应规律
Fig. 6 Three dimensional response law of temperature in concrete
从图6可以看出：混凝土内三维温度响应模型理论曲线与实测温度值吻合较好，温度响应变化率及其变化趋势与混凝土内一维温度响应类似——呈现出初期温度响应变化率较大，随时间延长而逐渐降低，最终两者间温度趋于一致的变化规律。然而，混凝土内三维温度响应亦体现出其自身特征，主要表现在温度响应变化率增大、响应时间缩短和理论曲线与实测温度响应间吻合更佳等方面；这是因混凝土三维温度响应模型基于相互垂直的三维方向传热，其单位时间内换热总量更多造成的。实测结果与理论曲线间较佳吻合证明了混凝土内三维温度响应模型可预计人工模拟环境中混凝土内的温度分布，也间接证明了混凝土内一维与三维温度响应模型间的相关性的合理性。
3.3 混凝土内准二维温度响应规律
混凝土工程中含有大量的准二维构件(圆柱和圆墩等)，为了更好地探讨其内部温度响应规律，本试验制备出尺寸直径×高为400 mm×600 mm的圆柱体混凝土试样，采用温度传感器测定距圆柱顶面和侧表面均为35 mm处的温度响应规律，实测结果和理论曲线如图7所示。
从图7可知：混凝土内温度响应模型理论曲线与实测温度值间基本吻合，两者间变化规律一致，这表明所构筑的混凝土内准二维温度响应模型是合理的。基于展开式前三项和前一项的混凝土内温度响应模型曲线在温度响应初期略有差异，而其他阶段两者均相互重合；这是因展开式是时间的指数函数，其对初期时间变化更加敏感，故初期舍去部分展开式会降低其精度。这亦表明对初期温度响应精度有要求的情况，需保留较多的展开式进行计算；反之，可仅取展开式前一项即可满足所需精度要求。
图7 混凝土内准二维温度响应规律
Fig. 7 Two dimensional response law of temperature in concrete
3.4 人工模拟环境中混凝土内温度响应谱
基于上述模型所构筑出的人工模拟环境中混凝土温度响应模型，以150 mm×150 mm×150 mm立方体混凝土为例，研究了其内35 mm处的三维温度响应谱。试验循环周期为72 h，分为60 ℃和40 ℃ 2个阶段；降温阶段采用喷水冷却模式方式(实测水温约为26 ℃)，而升温阶段则采用界面换热模式；人工模拟环境和混凝土实测温度值及其理论曲线，如图8所示。
图8 人工模拟环境中混凝土内温度响应谱
Fig. 8 Response spectrum of temperature in concrete under artificial environment
从图8可以看出：人工模拟环境试验中混凝土内温度响应和模拟环境(水)温度变化呈现出一定的规律——混凝土内温度试验值与理论值变化趋势一致，而模拟试验环境温度与模拟设定温度间略有不同。恒温阶段(0~6 h)，混凝土内温度、模拟试验环境温度与环境箱理论设计温度均等同；降温阶段(6~42 h)，混凝土内温度与温度响应理论值吻合较好，且起始阶段其响应变化率较大，随时间延长两者趋于一致；升温阶段(42~72 h)，混凝土内温度响应值低于理论值，初期的模拟试验环境温度亦低于其设定值，这是因模拟试验环境温度达到设定值需一定时间过程造成的。简而言之，所构筑的混凝土内温度响应谱可描述人工模拟环境试验中混凝土内温度响应规律。
4 结论
1) 研究了人工模拟环境中混凝土内温度响应规律和变化特征；混凝土内温度响应在初期变化率较快，随时间延长而降低，并最终与模拟环境温度趋于一致。
2) 基于分离变量法构筑出人工模拟环境中混凝土内不同维数温度响应模型，提出了采用牛顿后插值法求解混凝土内温度响应模型数值解的途径。
3) 通过人工模拟环境试验验证了混凝土内温度响应模型和求解方法的合理性；试验测试结果表明：该模型可较好地描述混凝土内温度响应规律，为人工模拟环境试验中温度参数选定提供了理论依据。
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(编辑 陈爱华)
收稿日期：2013-11-16；修回日期：2014-02-28
基金项目：国家自然科学基金资助项目(51378506，51278496)；铁道部科技重点计划项目(2014G010-A)；教育部博士研究生学术新人奖项目(094801016)
通信作者：宋力(1975-)，男，湖南郴州人，博士，讲师，从事结构耐久性研究；电话：13874976186；E-mail: songlisong2002@126.com
