DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2018.01.021

中主应力系数对岩石强度准则的影响

傅鹤林^{1, 2}，史越^{1, 2}，龙燕^{1, 2}，张加兵^{1, 2}，黄震^{1, 2}

(1. 中南大学 土木工程学院，湖南 长沙，410075；

2. 中南大学 高速铁路建造技术国家工程试验室，湖南 长沙，410075)

摘要：为揭示真三轴条件下的岩石强度，基于Mohr-Coulomb准则、Hoek-Brown准则、Drucker-Prager准则、Mogi-Coulomb准则、统一强度理论等不同本构模型，引入中主应力系数β，推导不同强度准则关于β的计算公式；结合Mogi对Dunham白云岩试样的试验结果，将该问题等效为不同本构模型在β变化下的比选问题。研究结果表明：随着β增加，当σ₃较小时，统一强度理论比较适用，在统一强度理论计算峰值与试验峰值之间Mogi-Coulomb准则和Hoek-Brown准则比较适合；当σ₃较大时，Mogi-Coulomb准则失效，Hoek-Brown准则较为安全；采用统一强度理论在岩石强度峰值之后能较好地拟合试验曲线；Drucker-Prager外接圆准则主要适用于一般三轴条件下或β较小情况下的计算。

关键词：中主应力系数；岩石强度；本构模型；强度准则

中图分类号：TU452        文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2018)01-0158-09

Influence of intermediate principle stress coefficient on rock strength criterion

FU Helin^{1, 2}, SHI Yue^{1, 2}, LONG Yan^{1, 2}, ZHANG Jiabing^{1, 2}, HUANG Zhen^{1, 2}

(1. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China;

2. National Engineering Laboratory for High Speed Railway Construction, Central South University,Changsha 410075, China)

Abstract: To reveal the rock strength in the condition of true triaxial test, the intermediate principle stress coefficient was applied based on Hoek-Brown, Drucker-Prager, Mogi-Coulomb criterion and unified strength theory. With the modified strength criterion formulas referred to β and the Dunham dolomite experiment data by Mogi, the problem was equivalent to contrasting and selecting different constitutive models appropriately. The results show that: With the increase of β, the unified strength theory is suitable when the σ₃ is small, while Mogi-Coulomb criterion and Hoek-Brown criterion are appropriate when the related value of β ranges between peak value calculated by unified strength theory and that of experiment; When the σ₃ is large, Mogi-Coulomb criterion is invalid and Hoek-Brown criterion is superior. After peak value of experiment condition, the unified strength theory is preferable in fitting the experiment value. Only in case of general triaxial or less value of β can the Drucker-Prager circumcircle criterion fit experiment data better.

Key words: intermediate principle stress coefficient; rock strength; constitutive model; strength criterion

近年来，随着我国山岭隧道、地铁、基坑、边坡等岩土工程的大规模兴起，对岩石材料力学参数以及本构模型的研究成为岩石力学的一个重要热点。在岩石工程中，岩石强度的正确评估是实现安全设计及经济效益的关键问题。岩体是一种复杂地质体，赋存在复杂的三维应力场中，岩体的力学特性及破坏模式通常会随着应力状态的改变而改变。岩石的应力状态由大主应力、中主应力、小主应力组成，过去岩石力学试验由一般三轴试验仪(＞=)完成。近20a来，伴随着试验设备的改进，室内真三轴试验的兴起，通过对，和的独立变化，真实模拟了岩石受荷情况。许多学者^[1-5]已经证明，岩石中主应力对岩石强度有明显影响：1) 从开始，在中主应力逐渐增大过程中，岩石强度先增大后减小，但始终高于一般三轴试验强度；2) 岩石越致密坚硬，中主应力效应越大；3) 内摩擦角越大，中主应力效应越大。因此，对于之前忽略中主应力偏保守的本构模型，如M-C准则、H-B强度准则等既有本构模型，国内外许多学者力图修正，同时，大量真三轴强度准则被相继提出，如D-P准则^[6]、Mogi经验准则、统一强度理论^[7-8]等从不同角度描述了岩石的多轴强度特性。通过对既有本构模型的不断修正、多轴本构模型的提出、多轴与常规三轴关系的讨论^[9]、不同岩石的试验^[10]等，人们对岩石强度进行了研究。本文作者以中主应力系数β引入既有本构模型为基础，结合白云岩相关试验数据，分析中主应力的相对大小对岩石强度的影响，并对不同本构模型加以对比，力求为本构模型适用性讨论、岩体承载力计算和盾构刀具破岩机理等问题提供理论基础。

1  基本理论

1.1  中主应力系数

定义中主应力系数β为

(0≤β≤1)            (1)

在弹塑性理论中，常以Lode参数μ表示应力参数：

              (2)

不难证明，μ和β之间满足如下关系：

                 (3)

在一般三轴试验状态(＞=)下，对于三轴压缩，β=0，μ=-1；在真三轴试验极限状态(=＞)下，对于三轴拉伸，β=1，μ=1。

1.2  Mohr-Coulomb准则

1900年提出的Mohr-Coulomb(简称M-C)准则实际上只考虑了1个剪应力及其面上正应力，没有考虑中主应力对土抗剪强度的影响或者说中主应力对土抗剪强度无关。单剪强度理论是各种可能外凸理论的下限。

在平面应力状态下，M-C屈服准则可表示为：

     (4)

或

    (5)

1.3  Hoek-Brown准则

Hoek和Brown于1980年针对完整、黏聚力很强的岩石和岩体提出了Hoek-Brown(简称H-B)强度准则^[11-12]，为了使其更具普遍性与适用性，于1997年又提出了广义H-B准则^[13]：

             (6)

其中：

          (7)

式中：和分别为岩体大、小主应力；为单轴抗压强度；m，s和a为岩石材料常数，取决于岩石性质及破碎程度；D为岩体扰动参数。

1998年SINGH等^[14]提出修正的H-B准则：

          (8)

结合式(1)和(8)为

    (9)

1.4  Drucker-Prager准则

在主应力空间，M-C屈服面为一不规则六棱锥面；在π平面内，为一不等角六边形。由于Drucker-Prager(简称D-P)屈服面在π平面内为一簇光滑圆曲线，表述简洁且计算效率高，因此，常用D-P系列准则逼近M-C准则。

以应力不变量表示D-P准则^[6]：

           (10)

式中：和k为D-P准则参数，取不同值时对应不同形式的D-P准则。

国外大型有限元软件(如ANSYS、MARC)通常把M-C外角点外接圆准则作为D-P准则，如图1所示。

图1  π平面上M-C准则与D-P外接圆准则的关系

Fig. 1  Relationship between M-C and D-P circumcircle criterion on π plane

这时，有^[15]

              (11)

在真三轴情况下，结合式(1)和(11)，式(10)为

   (12)

在一般三轴情况下(β=0)，

         (13)

化简可知，式(13)为M-C准则。

1.5  Mogi-Coulomb准则

MOGI等^[1-3]针对大理岩、石灰岩、白云岩等多种各向异性岩石进行了真三轴试验研究，并提出了Mogi经验强度准则，表明岩石强度与中主应力的关系：

    (14)

将Mogi经验强度准则与Coulomb强度准则相结合，AL-AJMI等^[16]建立了Mogi-Coulomb(简称Mogi-C)强度准则：

             (15)

其中：

                (16)

结合式(1)和(16)，整理式(15)得^[17]：

                (17)

其中：

          (18)

如上得到岩石强度与中主应力系数β之间的关系式。π平面上M-C准则与Mogi-C准则的关系如图2所示，Mogi-C强度准则极限线为外接于M-C强度准则极限线的曲边六边形，在轴对称的三轴压缩状态(β=0)和三轴拉伸状态(β=1)即不考虑中主应力影响时，两准则的极限线重合。

图2  π平面上M-C准则与Mogi-C准则的关系

Fig. 2  Relationship between M-C and Mogi-C criterion on π plane

1.6  统一强度理论

1985年，俞茂宏等^[7-8]建立了双剪强度理论，1997年，鲁祖统等^[18]在数学上证明了单剪与双剪强度理论分别为各种屈服准则的内外包络线。

室内试验表明^[19]，圆柱形岩石试样轴向压缩强度与围压P大致成线性关系(Q和K均为强度准则参数)：

                (19)

若以相同的参数b进行线性插值，则得到

     (20)

式中：为中主应力作用转折点，两式在处连续，得到

   (21)

对式(21)，中主应力分界点也就是强度准则的折点。b=0对应于M-C准则，对岩石强度无影响；b=1对应于双剪强度理论，和对岩石强度影响相同。这2个极端情况构成了外凸强度准则极限面内外边界。

由式(20)分别整理得

     (22)

两式对比得

               (23)

式(23)也为统一强度理论参数K提供了算法，即为真三轴试验状态下岩石破坏时关于中主应力系数β的比值。

易得

       (24)

此时岩石强度为

   (25)

式(24)和(25)表明在真三轴试验条件下，中主应力达到临界点时，岩石强度与中主应力系数β的关系。

2  本构模型计算对比分析

根据前面公式，作用不同小主应力，计算得到不同本构模型下的岩石强度随中主应力系数β变化曲线，如表1和图3~6所示。

表1  Mohr-Coulomb强度计算值

Table 1  Calculation result of Mohr-Coulomb criterion                 MPa

由1.2节及表1可知：M-C准则计算结果仅与小主应力有关，不随中主应力的改变而发生变化。随着中主应力的增加，保守性越来越明显，有必要通过多轴强度准则来进一步挖掘岩石强度的安全储备。

根据H-B准则相关参数回归分析的结果^[20]，强度随中主应力系数计算结果如图3所示。M-C与H-B准则区别在于前者的破坏线在主应力空间的π平面及子午面上均为直线，而后者为曲线，因此，H-B准则可以很好地描述岩石强度的非线性特征，但难以确定准则中参数，特别是岩石各向异性明显时更限制了它的使用。

图3  Hoek-Brown强度准则

Fig. 3  Strength rule of Hoek-Brown

D-P外接圆屈服准则在偏平面内计算结果如图4所示。由图4可知：采用外接圆模型虽然满足外凸和光滑的要求，易于收敛，但随着的增大，计算结果较危险，这也限制了D-P外接圆模型的使用范围。

图4  Drucker-Prager强度准则

Fig. 4  Strength rule of Drucker-Prager

图5所示为Mogi-Coulomb准则强度曲线。根据岩石真三轴强度的统一强度理论参数(Q=298.9 MPa，b=0.47)^[19]，计算得到白云岩强度随β变化曲线如图6所示。对比图5和图6可知：Mogi-C强度准则、统一强度理论考虑了中主应力作用效应及其作用的区间性，符合前述β存在转折点的特征。但两强度准则在β=0与β=1时强度计算结果相等，这与试验结果不相符。其主要原因是两准则此时退化为不考虑中主应力效应的M-C准则。

图5  Mogi-Coulomb强度准则

Fig. 5  Strength rule of Mogi-Coulomb

图6  统一强度理论

Fig. 6  Strength rule of unified strength theory

3  算例分析

3.1  试验数据分析

MOGI等^[2-3]对Dunham白云岩试样进行了真三轴试验研究。小主应力在25~145 MPa范围内间隔20 MPa取值，试验机从(β=0)开始加载，记录每次破坏时的岩石强度。将试验数据绘成三维图像如图7所示。从图7可以看出引言中关于中主应力作用效应的结论。

图7  Dunham 白云岩的真三轴试验数据

Fig. 7  True triaxial test data of Dunham dolomite

将试验数据换算成关于不断变化下的与关系、β与的关系，如图8和图9所示。由图8和图9可以看出：岩石强度曲线波动规律一致，说明中主应力系数β可以用来研究真三轴条件下的岩石强度规律。由图9可知：中主应力系数β存在1个转折点，能使岩石在不同加载条件下强度达到最大，Dunham白云岩的转折点在0.35~0.40之间。

图8  Dunham 白云岩强度关于σ₂的真三轴试验结果

Fig. 8  True triaxial test results of Dunham dolomite in regard to intermediate principal stress σ₂

图9  Dunham 白云岩强度关于β的真三轴试验结果

Fig. 9  True triaxial test results of Dunham dolomite in regard to intermediate principal stress coefficient β

在不同中主应力系数β下，与拟合曲线如图10所示。从图10可以看出：与的拟合曲线为直线，岩石强度随小主应力的增大而增大，且小主应力对岩石强度作用明显；岩石强度随中主应力系数的增大先升高后降低，这与图9中所示结果相吻合。

3.2  中主应力系数β的影响

对3.1节得到的试验数据进行统计发现，受真三轴试验仪器的限制，β只能在0~0.5范围内变化。在这里以小主应力分别等于45 MPa和125 MPa为例，对照试验数据，讨论不同多轴本构模型的区间性，如图11和图12所示。

图10  不同中主应力系数下Dunham白云岩强度规律

Fig. 10  Strength rule of Dunham dolomite in regard to different intermediate principal stress coefficient

在小主应力较小时(图11，=45 MPa)，各本构模型计算结果在不考虑中主应力(β=0)时几乎相等；随着β增大，在统一强度理论的峰值之前(0.10＜β＜0.20)，统一强度理论计算结果能够较好地反映强度变化规律；Mogi-C准则与H-B准则的计算结果在统一强度理论峰值与试验强度峰值之间(0.25＜β＜0.35)能较好地契合试验曲线，反映出材料强度变化规律。

图11  σ₁试验值与计算值对比(σ₃=45 MPa)

Fig. 11  Contrast between experiment and calculation values of σ₁ (σ₃=45 MPa)

在小主应力较大时(图12，=125 MPa)，可以看出各本构模型计算结果相差较大，Mogi-C准则、统一强度理论计算结果超过了试验结果，偏于危险，反映出高地应力状态下的复杂性；H-B准则在试验强度达到峰值之前(0＜β＜0.35)能够反映出强度变化规律，偏于安全。

图12  σ₁试验值与计算值对比(σ₃=125 MPa)

Fig. 12  Contrast between experiment and calculation values of σ₁ (σ₃=125 MPa)

从图11和12可知：D-P外接圆准则在较低地应力场且中主应力效应较小(图11，0＜β＜0.10)时才能反映出岩石强度。

根据岩石强度随中主应力系数变化规律及上述讨论，在达到岩石最大强度对应的β前(Dunham 白云岩的β在0.35~0.40之间)，真三轴本构模型相比于目前大量应用的不考虑中主应力作用效应的M-C模型，能够更好反映出岩石强度变化规律，满足设计要求。

3.3  小主应力σ₃的影响

根据前述试验数据的分析，岩石强度随小主应力的增大显著增大，拟合曲线为直线，Dunham 白云岩试验强度最大值对应β范围在0.35~0.40之间。在这里分别取β为0，0.10，0.22和0.40，用拟合曲线来比对试验值与不同的多轴本构模型计算值，如图13~16所示。

在一般三轴条件下(图13，β=0)，M-C准则、D-P外接圆准则、Mogi-C准则、统一强度理论计算值相同，在低地应力场条件下小于试验值；随着β增大(图14，β=0.1)，D-P外接圆准则计算值在低地应力场内能够较准确的估算岩石强度，这与图10所示结果相吻合，反映出大部分有限元软件所内嵌的D-P外接圆模型较适合于一般三轴条件下的低地应力场计算。

图13  σ₁试验值与计算值拟合线对比(β=0)

Fig. 13  Contrast of fitting lines between experiment and calculation values of σ₁ (β=0)

图14  σ₁试验值与计算值拟合线对比(β=0.10)

Fig. 14  Contrast of fitting lines between experiment and calculation values of σ₁ (β=0.10)

当β处于强度峰值之前时(图15，β=0.22＜0.35)，各本构模型在不大时差别不大(除D-P外接圆模型)；随着增加，Mogi-C准则、统一强度理论计算值会超过试验值，偏于危险；H-B准则计算强度拟合曲线与试验值拟合曲线变化规律基本一致，且始终小于试验值，偏于安全。

当β处于强度峰值之后时(图16，β=0.40＞0.35)，各本构模型计算值差别较大，Mogi-C准则计算值完全超过了试验值，失效；H-B准则计算强度仅在高地应力场 (＞85 MPa)时小于试验值，偏于危险；统一强度理论计算值比试验值小，能够反映强度变化规律，这与图11和图12在岩石强度峰值后的走向是一致的。

图15  σ₁试验值与计算值拟合线对比(β=0.22)

Fig. 15  Contrast of fitting lines between experiment and calculation values of σ₁ (β=0.22)

图16  σ₁试验值与计算值拟合线对比(β=0.40)

Fig. 16  Contrast of fitting lines between experiment and calculation values of σ₁ (β=0.40)

根据岩石所处地应力场高低、强度峰前峰后、中主应力效应大小等条件，合理选择与转换不同的多轴本构模型，能够更进一步利用岩石的塑性储备。

4  结论

1) 基于中主应力系数β定义，结合Hoek-Brown准则、统一强度理论，推导本构模型随β变化的计算公式；并引用Drucker-Prager准则、Mogi-Coulomb准则计算模型随β变化的计算公式，为真三轴条件下岩石强度随中主应力系数变化研究提供了理论依据。

2) 得到统一强度理论中参数K的又一计算方法，即真三轴试验下岩石破坏时关于β的比值，也说明了该系数的又一实用意义。

3) 对比真三轴条件下常用岩石本构模型随中主应力系数变化的计算曲线，在不考虑中主应力影响时，Drucker-Prager准则、Mogi-Coulomb准则、统一强度理论将退化为Mohr-Coulomb准则，计算值一致，Hoek-Brown准则计算值较小，反映出它的安全性。

4) 在低地应力场、β很小时，各本构模型基本能够反映出岩石强度规律；在低地应力场，统一强度理论计算峰值之前(0.10＜β＜0.20)，统一强度理论具有一定优越性；在统一强度理论峰值与试验强度峰值之间(0.20＜β＜0.35)，Mogi-Coulomb准则和Hoek- Brown准则比较适用；在高地应力场复杂状态下，在岩石强度达到峰值之前(0＜β＜0.35)，应用Hoek- Brown准则计算是偏于安全的；在岩石强度峰值之后(β＞0.35)，统一强度理论能较好地拟合强度的变化。

5) 广泛应用于有限元计算的Drucker-Prager外接圆准则仅在低地应力场一般三轴条件下或β较小时(0＜β＜0.10)才能较好地预测岩体强度，反映出该准则应用于岩土体计算的局限性。

6) 本文仅基于白云岩的试验数据，未对其他种类岩石展开分析，准则转换节点还需精确算核，因此，本文结论存在一定前提条件和局限性，有待进一步探讨。

参考文献：

[1] MOGI K. Effect of the intermediate principal stress on rock failure[J]. Journal of Geophysics Research, 1967, 72: 5117-5131.

[2] MOGI K. Fracture and flow of rocks under high triaxial compression[J]. Journal of Geophysics Research, 1971, 76(5): 1255-1269.

[3] YAO Yangping, HU Jing, ZHOU Annan, et al. Unified strength criterion for soils, gravels, rocks, and concretes[J]. Acta Geotechnica, 2015, 10: 749-759.

[4] 许东俊, 耿乃光. 岩石强度随中间主应力的变化规律[J]. 固体力学学报, 1985, 6(1): 72-80.

XU Dongjun, GENG Naiguang. The variation law of rock strength with increase of intermediate principal stress[J]. Acta Mechanica Solida Sinica, 1985, 6(1): 72-80.

[5] FU Helin, ZHANG Jiabing, HUANG Zhen, et al. A statistical model for predicting the triaxial compressive strength of transversely isotropic rocks subjected to freeze-thaw cycling[J]. Cold Regions Science and Technology, 2018, 145: 237-248.

[6] DRUNKER D C, PRAGER W. Soil mechanics and plastic analysis in limit design[J]. Quarterly of Applied Mathematics, 1952, 10: 157-165.

[7] 俞茂宏. 线性和非线性的统一强度理论[J]. 岩石力学与工程学报, 2007, 26(4): 662-669.

YU Maohong. Linear and nonlinear unified strength theory[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2007, 26(4): 662-669.

[8] 昝月稳, 俞茂宏. 岩石广义非线性统一强度理论[J]. 西南交通大学学报, 2013, 48(4): 616-624.

ZAN Yuewen, YU Maohong. Generalized nonlinear unified strength theory of rock[J]. Journal of Southwest Jiaotong University, 2013, 48(4): 616-624.

[9] 张传庆, 冯夏庭, 周辉. 岩石多轴与常规三轴强度的关系[J]. 固体力学学报, 2011, 32(3): 228-234.

ZHANG Chuanqing, FENG Xiating, ZHOU Hui. Relationship between polyaxial strength and conventional triaxial strength for rock[J]. Chinese Journal of Solid Mechanics, 2011, 32(3): 228-234.

[10] 刘运思, 傅鹤林, 饶军应, 等. 基于 Hoek-Brown 准则对板岩抗拉强度研究[J]. 岩土工程学报, 2013, 35(6): 1172-1177.

LIU Yunsi, FU Helin, RAO Junying, et al. Tensile strength of slate based on Heok-Brown criterion[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2013, 35(6): 1172-1177.

[11] HOEK E, BROWN E T. Empirical strength criterion for rock masses[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, ASCE, 1980, 106(9): 1013-1035.

[12] HOEK E, BROWN E T. Underground excavation in rocks[M]. London: Institution of Mining and Metallurgy, 1980: 527.

[13] HOEK E, BROWN E T. Practical estimates of rock mass strength[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Science, 1997, 34(8): 1165-1186.

[14] SINGH B, GOELRK, MEHROTRA V K, et al. Effect of intermediate principal stress on strength of anisotropic rock mass[J]. Tunnelling and Under-ground Space Technology, 1998, 13(1): 71- 79.

[15] 唐芬, 郑颖人. 强度储备安全系数不同定义对稳定系数的影响[J]. 土木建筑与环境工程, 2009, 31(3): 61-65.

TANG Fen, ZHENG Yingren. Effect on safety factors in different definitions based on strength margin[J]. Journal of Civil, Architectural & Environmental Engineering, 2009, 31(3): 61-65.

[16] AL-AJMI A M, ZIMMERMAN R W. Relation between the Mogi and the Coulomb failure criteria[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Science, 2005, 42(3): 431-439.

[17] 吕彩忠. 基于Mogi-Coulomb强度准则的隧道围岩理想弹塑性解答[J]. 土木建筑与环境工程, 2014, 36(6): 54-59.

L Caizhong. Elastic-perfectly plastic solution of tunnel surrounding rocks using Mogi-Coulomb strength criteria[J]. Journal of Civil, Architectural & Environmental Engineering, 2014, 36(6): 54-59.

[18] 鲁祖统, 龚晓南.关于稳定材料屈服条件在π平面内的屈服曲线存在内外包络线的证明[J].岩土工程学报, 1997, 19(5): 1-5.

LU Zutong, GONG Xiaonan. Verification of inner and outer envelopes for the yield curve of stable material in π-plane[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 1997, 19(5): 1-5.

[19] 尤明庆. 统一强度理论的试验数据拟合及评价[J]. 岩石力学与工程学报, 2008, 27(11): 2193-2204.

YOU Mingqing. Fitting and evaluation of test data using unified strength theory[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2008, 27(11): 2193-2204.

[20] 许宏发, 王发军, 江淼, 等. 岩石考虑中间主应力Hoek-Brown强度参数分析[J]. 解放军理工大学学报, 2012, 13(6): 636-639.

XU Hongfa, WANG Fajun, JIANG Miao, et al. Parameters in Hoek-Brown’s failure criterion considering intermediate principal stress of rock[J]. Journal of PLA University of Science and Technology, 2012, 13(6): 636-639.

(编辑  杨幼平)

收稿日期：2017-02-25；修回日期：2017-05-05

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51578550)；国家自然科学重点基金资助项目(51538009) (Project(51578550) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(51538009) supported by the State Key Program of National Natural Science of China)

通信作者：史越，博士研究生，从事岩石力学和隧道工程等研究；E-mail: yueshi@csu.edu.cn