AMD蚀化下砂岩的损伤本构模型
姜立春，温勇
(华南理工大学 安全科学与工程研究所，广东 广州，510640)
摘要：通过酸性矿山排泄水(AMD)蚀化砂岩的力学性质研究，利用Weibull函数分析砂岩微元体强度分布特征，导出单轴压缩下砂岩的损伤本构关系；基于AMD蚀化下砂岩主要胶结物含量的变化，引入砂岩化学损伤变量，得到蚀化后砂岩的等效弹性模量；根据推广的Lemaitre应变等效原理，建立AMD蚀化下砂岩的损伤本构模型。利用现场采集的pH为1.07和3.26的AMD溶液蚀化下砂岩单轴抗压试验，以及文献[7]中人工配制pH为3.0和5.0酸液溶蚀砂岩试验结果，分别检验所建本构模型的合理性。结果表明：模型预测曲线与试验结果曲线基本吻合，较客观地反映AMD蚀化下砂岩的损伤演化特性。
关键词：岩石力学；酸性矿山排泄水；化学损伤；本构模型；Weibull分布
中图分类号：TU 452 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2011)11-3502-05
Damage constitutive model of sandstone during corrosion by AMD
JIANG Li-chun, WEN Yong
(Institute of Safety Science and Engineering, South China University of Technology, Guangzhou 510640, China)
Abstract: Based on the study of mechanical properties of sandstone during corrosion by acid mine drainage (AMD), Weibull function was used to express the distribution of microelement strength of sandstone and a damage constitutive model under uniaxial compression was obtained. A chemical damage variable was introduced based on the variety of main cement and equivalent elastic modulus of sandstone was obtained under corrosion by AMD. Then, a damage constitutive model of sandstone during corrosion by AMD was established by using generalized Lemaitre’s strain equivalent principle. Rationality of the proposed constitutive model was verified through uniaxial compressive tests of sandstone corroded by AMD solution from field with pH of 1.07 and 3.26 and artificial solution with pH of 3.0 and 5.0 in literature [7]. The results show that the predicted curves of model agree with experimental ones, which verifies that the proposed model can reflect the damage evolution of sandstone during corrosion by AMD reasonably.
Key words: rock mechanics; acid mine drainage (AMD); chemical damage; constitutive model; Weibull distribution
矿山酸性排泄水(AMD)蚀化是含硫化物矿山边坡破坏的一种特殊方式，AMD溶液的pH一般在2~5之间，pH较低的AMD溶液具有强烈腐蚀性[1]。AMD蚀化作用改变边坡岩体的细观结构及组成，影响岩体的宏观力学特性，长期的累积效应为外力(水力、爆炸力、机械力)触发滑坡创造有利条件[2-5]。近年来，酸水蚀化作用已经引起国内外学者的高度关注。Vandiviere等[6]从微观的角度分析了AMD蚀化石灰石的作用机理；Sracek等[1]基于室内模拟方法研究了AMD作用对边坡岩体局部力学性能的影响；Li等[7] 根据钙质胶结长石砂岩在不同pH下主要胶结物的变化，提出了人工配制酸性溶液腐蚀砂岩的化学损伤强度模型；姜立春等[3, 5, 8-9]通过室内外试验及数值分析，研究了AMD蚀化边坡岩体的宏观力学效应；乔丽苹等[10]通过分析水物理化学作用下砂岩的细观损伤机制，得出砂岩水物理化学损伤变量表达式。AMD蚀化岩体的损伤效应通常是腐蚀与荷载共同作用的结果。目前相关研究主要集中在酸液对岩体力学效应的影响或化学损伤的定量方面，很少涉及AMD蚀化和荷载共同作用引起的力学效应研究。因此，加强该领域的研究对于揭示AMD蚀化作用机理，防止AMD蚀化诱发边坡失稳灾害的发生具有重要意义。
1 损伤本构模型的建立
1.1 损伤本构关系
根据Lemaitre应变等效原理[11]，即全应力σ作用在受损材料上引起的应变与有效应力σ′作用在无损材料上引起的应变等价，可得砂岩的应力-应变关系为：
(1)
式中：ε为应变；σ和σ′分别为全应力和有效应力；E和E′分别为基准状态和损伤状态的弹性模量；D为损伤变量。
由损伤力学理论，用损伤后的有效应力来取代无损材料本构关系中的名义应力，可得单轴压缩下砂岩的损伤本构关系为：
(2)
1.2 损伤演化方程
由于岩体内部细观结构的非均匀性，岩体受载过程中裂纹的产生、扩展和汇合具有随机统计的特征。将砂岩划分为若干个含有不同缺陷的微元体，假设损伤变量D与微元体破坏的统计分布密度之间存在如下关系[12]：
(3)
式中：x为表征砂岩微元体强度参数；
为加载过程中微元体损伤率的一种度量。
1939年，瑞典学者Weibull提出了适合于描述材料断裂应力分布情况的分布函数，国内外学者开始了对脆性材料强度统计的探索[13-15]。采用Weibull分布函数对岩石等脆性材料微元体强度数据进行统计分析是一种有效的途径。
假定受荷载过程中的砂岩微元强度服从Weibull分布，则其概率密度函数为：
(4)
式中：x0为微元体强度参数的平均值；m为分布函数的形状因子，表示岩石的均匀性特征。
因此，由式(3)和(4)可得到单轴压缩下砂岩的损伤演化方程为：
(5)
将式(5)代入式(2)中，得到砂岩单轴压缩下的损伤本构关系为：
(6)
由应力-应变曲线得到边界条件为：
(7)
其中：
和
分别为峰值应力和峰值应变。
对式(6)两边ε求导，并代入几何边界条件，可得：
(8)
(9)
将式(8)和(9)代入式(5)中，可得损伤演化方程为：
(10)
因此，由式(2)和(10)得到用最值表述的损伤本构关系为：
(11)
2 考虑AMD蚀化的损伤本构模型
式(1)~(4)中的损伤变量D是外力荷载作用引起的损伤，而AMD蚀化砂岩的损伤行为是由化学腐蚀与荷载共同作用产生的。因此，考虑到AMD蚀化对砂岩力学性质的影响，在其本构关系中引入一个化学损伤变量Dch。
2.1 化学损伤变量
根据AMD蚀化砂岩的细观试验及机理分析可知，AMD蚀化对砂岩力学的损伤主要是通过对可溶性胶结物的溶解，改变砂岩细观结构，不断形成损伤，最终造成力学性能下降[3, 8]。因此，用胶结物的溶蚀量来描述砂岩的化学损伤较为合适。Li等[7]将砂岩划分为可溶相、不可溶相和气相3个部分，并假设：(1) 气相(孔隙)没有承载能力；(2) 可溶物与不可溶物在岩样中均匀分布。根据胶结物的有效承载面积定义化学损伤变量为：
(12)
式中：
和
分别为腐蚀后岩样可溶胶结物有效承载面积的变化和初始时刻的有效承载面积；
为任意时刻可溶胶结物的物质的量；
为初始时刻的可溶胶结物物质的量。可通过化学动力学方程式得到，即：
(13)
式中：k为可溶胶结物的溶解速率，由化学动力学方程求得；t为溶蚀时间。
2.2 AMD蚀化下的损伤本构模型
根据Lemaitre应变等效原理，张全胜等[16]将岩石的初始损伤状态定义为基准损伤状态，提出推广后的应变等价原理：材料受到力F的作用，损伤产生扩展，任取其中的2种损伤状态，则材料在第1种损伤状态下的有效应力作用于第2种损伤状态引起的应变等价于材料在第2种损伤状态下的有效应力作用于第1种损伤状态引起的应变，即：
(14)
式中：
和
表示第1种状态下的有效应力和弹性模量；
和
表示第2种状态下的有效应力和弹性模量。
由推广后的应变等价原理，将砂岩的初始损伤状态作为第1种损伤状态，AMD蚀化后的状态作为第2种损伤状态，则AMD蚀化后砂岩的等效弹性模量为：
(15)
式中：E为AMD蚀化后砂岩的等效弹性模量；E0为腐蚀前的弹性模量。
同理，将砂岩的AMD蚀化后状态作为第1种损伤状态，受荷载损伤后的状态作为第2种损伤状态，可得AMD蚀化下砂岩的损伤本构关系为：
(16)
式中：D为荷载作用下砂岩的损伤变量。
将式(15)代入式(16)中，得出用化学损伤变量和外力荷载损伤变量表示的本构关系为：
(17)
因此，由式(10)，(12)及(17)构成了AMD蚀化下砂岩的损伤本构模型。
3 试验验证
为了检验AMD蚀化下砂岩损伤本构模型的合理性，首先模拟不同pH的AMD溶液下砂岩的常规单轴压缩试验结果。砂岩试件取自国内某硫铁矿边坡 体，节理间主要为铁质胶结物，呈孔隙-接触式胶 结，按照标准加工成标准试件；AMD溶液选取露天采坑，pH分别为1.07和3.26。对蚀化前的原始砂岩试件及蚀化25 d后的砂岩试件进行成分测定及常规单轴压缩试验。试验过程中，室温保持在20 ℃左右。常规单轴压缩试验采用INSTRON-1342型电液伺服控制材料试验机，最大载荷为250 kN，加载速度为 3.75 μm/s[3]。
由于砂岩试件主要胶结物为铁质，基于化学损伤变量的定义，通过测定AMD蚀化25 d后Fe2+的增加速率(即铁质胶结物的溶蚀速率)，代入式(12)和(13)中即可求出Dch；根据蚀化前后砂岩的应力-应变试验曲线求得初始弹性模量E0、峰值应力σp和峰值应变εp，再将其代入式(8)和(15)中得到蚀化后的形状参数m和等效弹性模量E。主要模型参数见表1。
表1 AMD蚀化下砂岩的损伤模型参数
Table 1 Parameters of damage model of sandstone under corrosion by AMD
将表1的模型参数代入式(10)和(17)中，得到AMD蚀化下砂岩的损伤本构模型，利用该模型对试验结果进行模拟，结果如图1所示。
由图1可知：所构建的损伤本构模型能够反映AMD蚀化下砂岩在单轴压缩过程中力学变化的基本特征，尤其在砂岩屈服破坏前的阶段，模型预测结果和试验结果趋势线相近，拟合程度高，较客观地表征了砂岩在弹性阶段的本构关系。在峰值后的阶段，理论曲线与试验曲线存在一定的偏差，这主要因为基于细观统计损伤力学建立的理论模型，主要研究微缺陷的演化到宏观裂纹的形成这一阶段，而后一个阶段(劣化阶段)，包括裂纹的扩展和相互作用导致宏观破裂尚不能考虑，从而造成理论模型曲线与试验曲线在砂岩屈服破坏前的阶段比较接近，而在峰值后阶段产生一定差异。
图1 AMD蚀化下砂岩的理论模型曲线与试验曲线对比
Fig.1 Comparison of theoretical model curves and experimental curves for sandstone under corrosion by AMD
为进一步验证模型的合理性，引用文献[7]的试验结果进行对比分析。试验采用岩样为钙质胶结为主的长石砂岩，胶结物中钙质含量为4%(质量分数)，其他胶结物主要为硅质和泥质，含量为2%，呈孔隙-接触式胶结。将岩样浸入pH为3.0和5.0的2种人工配制酸性溶液中，21 d后取出进行常规单轴抗压试验。同理，根据试验数据可得到模型参数(表2)。
表2 酸性溶液下砂岩的损伤模型参数
Table 2 Parameters of damage model of sandstone in acidic solution
根据所得的模型参数，利用已建立的损伤本构模型，得到酸性溶液条件下砂岩的应力-应变预测曲线。将模型预测曲线与试验曲线进行对比分析，结果如图2所示。
由图2可知：在不同pH的人工配制酸液条件下，除峰值后的阶段外，理论曲线与试验曲线基本吻合。同时，从理论曲线与试验曲线的对比可以看出，由于化学损伤变量的引入，模型较好地反映了不同pH酸性溶液对砂岩力学性质的影响，pH越低，蚀化后砂岩的单轴抗压强度越小，与试验结果相符，进一步验证了所建的砂岩损伤本构模型具有合理性。
图2 酸性溶液下砂岩的理论模型曲线与试验曲线对比
Fig.2 Comparison of theoretical model curves and experimental curves for sandstone in acidic solution
4 结论
(1) 基于砂岩内部细观结构的非均匀性，采用Weibull函数描述砂岩微元强度分布特征的方法，并将此方法引入单轴压缩下砂岩损伤本构模型的建立中，实现宏细观力学分析的结合，更好地表征了砂岩单轴压缩过程的损伤演化特性。
(2) 考虑AMD蚀化对砂岩力学性质的影响，引入基于砂岩胶结物含量变化的化学损伤变量，得到蚀化后砂岩的等效弹性模量，根据推广的Lemaitre应变等效原理，建立AMD蚀化下砂岩的损伤本构模型。该模型综合考虑了AMD蚀化及荷载作用引起的砂岩力学效应。
(3) 通过不同pH的AMD溶液及文献[7]的人工配制酸性溶液蚀化下砂岩单轴压缩试验的验证表明：模型预测曲线与试验结果曲线基本吻合，尤其是在砂岩屈服破坏前的阶段，较客观地反映了AMD蚀化下砂岩的应力-应变关系，表明了模型的合理性。
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(编辑 陈爱华)
收稿日期：2010-11-11；修回日期：2011-02-08
基金项目：教育部高校博士点新教师基金资助项目(200805611092)；中央高校基本科研业务费自主选题项目(2009ZM0064)；国家自然科学基金重 点资助项目(50934002)；国家自然科学基金资助项目(51174093)
通信作者：姜立春(1968-)，男，安徽全椒人，博士，副教授，从事矿山岩土安全领域研究；电话：13725250617；E-mail：gingerjlc@126.com
