基于能量原理盐岩的损伤本构模型

郭建强^{1, 2}，刘新荣^{1, 2}，王景环³，余瑜^{1, 2}

(1. 重庆大学 土木工程学院，重庆，400045；

2. 重庆大学 山地城镇建设与新技术教育部重点实验室，重庆，400045；

3. 重庆大学 煤矿灾害动力学与控制国家重点实验室，重庆，400030)

摘要：通过对外力功、能量耗散以及能量释放之间内在联系的分析，并结合在盐岩力学特性和基于能量原理岩石强度与破坏方面已取得的结果，建立基于能量原理盐岩的损伤本构模型。为验证损伤方程的可行性，进行单轴和三轴条件下盐岩力学特性试验研究。研究结果表明：由于该模型仅需确定常规岩石力学参数，物理力学意义明确，能充分模拟盐岩单轴情况下应变软化和三轴情况下应变硬化的全过程，该模型模拟结果与实测结果吻合的较好。

关键词：盐岩；芒硝；能量原理；损伤变量；本构模型

中图分类号：TU443          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2013)12-5045-06

Damage constitutive model of rock salt based on energy principles

GUO Jianqiang^{1, 2}, LIU Xinrong^{1, 2}, WANG Junbao³, YU Yu^{1, 2}

(1. College of Civil Engineering, Chongqing University, Chongqing 400045, China;

2. Key Laboratory of New Technology for Construction of Cities in Mountain Area(Chongqing University),Ministry of Education, Chongqing 400045, China;

3. Laboratory for Coal Mine Disaster Dynamic Sand and Control Chongqing University, Congqing 400030, China)

Abstract: Based on the discussion of the intrinsic relation between external work, energy dissipation, and energy release and a series of the research achievements related to mechanical behavior of rock salt, and the damage formulation based on energy principle was deducted. In order to verify the viability of the formulation, the experiments of rock salt under different confining pressure were carried out. Through the experiment，the results show that it can also reflect softening characteristics under uniaxial compression and hardening under triaxial compression and it has less parameters and is simple. Finally, the feasibility of the model is verified through comparative analysis between the experimental results and the theoretical value.

Key words: salt rock; thenardite; energy principle; damage variable; constitutive model

盐岩作为能源地下储备和有毒有害物质的理想储存介质，其强度与变形破坏规律是盐岩溶腔稳定性评价的前提条件。目前有关岩石损伤的研究，主要以Weibull分布为基础，通过力学分析的手段，建立单场或多场耦合条件下岩石的损伤本构模型^[1~8]。陆银龙 等^[1]依据泥岩三轴压缩试验，建立了以广义摩擦力与广义黏聚力为参数表征的软弱岩石后继屈服面模型；李杭州等^[2]以考虑中间主应力的统一强度理论为基础，建立了三轴应力状态条件下软岩的损伤统计本构模型；徐卫亚等^[3]利用损伤和概率理论建立了岩石弹塑形损伤统计本构模型；Krajcinovic等^[4-7]以岩石微元强度服从Weibull分布为基础，建立了岩石变形破坏过程中损伤统计本构模型；陈剑文等^[8]利用Weibull函数，建立了温度-应力耦合作用下盐岩损伤方程。岩石是多相非均质非连续地质材料，内部多含有节理、裂隙、孔隙、缺陷等，其力学响应特性与赋存外部环境有着密切的关系，因而岩石损伤破坏必将是极其复杂的。能量转化是岩石变形破坏的本质属性^[9-11]，因此，从能量转化的角度对岩石的变形破坏进行研究是切实可行的。谢和平等^[9-13]基于热力学理论，研究岩石变形过程中能量释放和耗散机理，建立了岩石能量耗散强度准则和可释放应变能的整体破坏准则；金丰年等^[14]基于能量耗散定义的损伤变量方法，研究了损伤变量的理论计算及损伤阈值的确定。本文作者在岩石变形过程中能量释放与耗散的基础上^[9-17]，试图建立以能量原理为基础的盐岩损伤演化方程，并利用试验数据，对该方程可行性进行了验证。

1  岩石变形过程中的能量分析

根据热力学第一定律，封闭系统内岩体受压变形过程中能量的转化满足下式：

 (1)

其中：W为外力功；U ^d为耗散能，其变化满足热力学第二定律熵增原理；U ^e为岩石可释放弹性应变能；A，L分别为试样横截面积和试样长度。由文献[18]得外力功W：

           (2)

其中：

，    (3)

试验机对试样单位体积所做得功，单轴压缩时K₁等于轴向应力(σ₁)-应变(ε₁)曲线所围面积；三轴压缩时K₂等于轴向应力(σ₁)-应变(ε₁)与围压(σ₃)-应变(ε₃)曲线所围面积之和，且轴压(σ₁)做正功，围压(σ₃)做负功。

试样压缩过程中轴向应力由σ_1i增加到σ_1(i+1)，相应轴向应变ε_1i、侧向应变分别增加到ε_1(i+1)和，岩样受载过程中，对单轴压缩得：

      (4)

为便于计算试验机对试样单位体积所做得功K₂。假设侧向应变ε₃和轴向应变ε₁，仍满足如下关系式，则根据三轴压缩试验加载标准，可得

0≤σ₁≤σ₃

   (5)

σ₁≥σ₃

   (6)

则；。其中，σ₁₀=0；ε₁₀=0，即轴向应力-应变曲线是一条通过原点的曲线；n为采集应力-应变数。

主应力空间中岩体单元可释放弹性应变能^[9-10]可表示为：

 (7)

其中：为损伤后岩体卸载弹性模量；E₀为岩体单元无损伤时的初始弹性模量，且；假定岩体损伤过程中泊松比不受影响。

2  损伤演化方程的推导

能量耗散是岩石变形破坏的本质属性，耗散量反映了岩石原始强度的衰减程度^[9]。定义岩体单元能量损伤变量为：

      (8)

单轴情况下K=K₁；三轴情况下K=K₂。损伤演变的初始条件U ^d=0，即试样吸收外力功全部转化为可释放弹性应变能D=0，试样没有损伤。随着试样内部损伤的发展耗散能逐渐增加，损伤极限条件是试样吸收外力功全部转化为耗散能U ^d=K，即D=1，试样失去承载能力。可得单轴、三轴压缩损伤变量表达式为：

     (9)

   (10)

由广义Hooker定理，得：

 　   (11)

由弹性力学可知：式(11)中σ₃=0时，则表示单轴压缩情况下应力-应变关系；σ₃≠0时，则表示三轴压缩情况下应力-应变关系。

单轴压缩由式(8)，(9)和(11)联立，可得：

　　　         (12)

三轴压缩试验由式(8)，(10)和(11)联立，可得：

  (13)

其中：，。

3  试验分析及损伤方程验证

3.1  试验概况

无水芒硝(Na₂SO₄)试样取自于江苏洪泽赵集矿区矿开1井，埋深约2 000 m。所取芯样标明上下方向后，用保鲜膜和胶带包好，以防止其风化和潮解。对于单轴和三轴抗压强度试验，采用高径比2:1，直径50 mm的圆柱状标准试样。由于无水芒硝(Na₂SO₄)遇水易溶解特性，采用干法进行制样打磨。

单轴试验：试验采用轴向位移控制，加载速率控制为0.1 mm/min。

三轴试验：以0.05 MPa/s的加荷速度同时施加侧压力和轴向压力至预定值后，保持侧向力(围压)不变，再以0.5~1.0 MPa/s的加荷速度，施加轴向压力，直至试样完全破坏。

本次试验围压分为0，5，10和15 MPa，其全过程应力-应变曲线如图1和2所示；试验所得力学参数如表1所示。

本文所指盐岩系所有固体盐类矿物(包括岩盐NaCl、芒硝Na₂SO₄)的统称。

表1  芒硝单轴压缩试验结果

Table 1  Experimental results of thenardite under uniaxial compression

3.2  试验分析

(1) 本次三轴压缩试验芒硝变形可分为4个阶段：① 轴压应力小于围压时压密阶段，应力-应变曲线向上弯曲。② 轴向应力大于围压时弹性阶段，应力-应变趋于直线。③ 应变速率明显增加塑形阶段，应力-应变曲线向下弯曲。④ 轴向应力趋于稳定，应变不断增加的蠕变破坏阶段。由图1可看出：围压越大，盐岩塑形变形越明显，且发生蠕变破坏应力也越大。

(2) 芒硝单轴压缩试验的轴向应力较低时，应力-应变关系近似于直线，压密阶段不明显；随着应力增加曲线开始向下弯曲、曲线斜率也越来越小。由图2可看出，单轴压缩变形属于应变软化。

(3) 由图1和2可以看出：芒硝单轴抗压强度平均值16.32 MPa，围压5，10和15 MPa时，相应极限偏应力分别为37.27，46.70和51.57 MPa，可见，围压压密作用使芒硝内原有裂隙闭合，刚度增加，显著提高了芒硝的承载能力。

图1  三轴压缩芒硝应力-应变曲线

Fig. 1  Triaxial compression curves of thenardite under different confining pressures

图2  芒硝单轴压缩应力-应变曲线

Fig. 2  Stress-axial strain curves of thenardite under uniaxial compression

3.3  损伤方程验证

为了对芒硝受压全过程损伤方程进行验证，首先由单轴压缩试验确定芒硝的泊松比υ，接着分别利用式(4)，(5)和(6)计算单轴与三轴压缩时外力输入能量，最后代入相应损伤响应方程(12)和(13)进行试验数据和模拟数据对比研究。

通过对试验数据(不包括图3单轴与图4三轴实验数据)的拟合分析，可得如下2个关系式：

 (14)

三轴压缩可得C拟合方程

   (15)

其中：b=1.418 7×10³，c=8.605 0×10²，d=-1.891 7×10³，a与围压σ₃满足下列关系，即a=-0.098 3σ₃。通过损伤方程计算理论值与试验值对比如图3和4所示。其中图3所示为采用轴向位移控制，加载速率为0.1 mm/min的芒硝单轴试验。图4所示为采用应力控制三轴试验。

(1) 由图3可知：理论计算值与试验值基本一致，因此，式(12)能够较好模拟芒硝单轴压缩损伤演化。

(2) 由图4可看出：理论计算曲线与试验曲线基本一致，可见利用式(13)模拟芒硝复杂应力状态下的损伤，具有一定的可信度。

(3) 由图(3)和(4)可知：基于能量原理盐岩损伤响应方程，既能反映芒硝应变软化和硬化，同时又能反映中间主应力和芒硝的初始状态对损伤后续演化的 影响。

图3  单轴试验曲线与损伤方程理论值比较

Fig. 3  Comparison of theoretical curves vs experimental curves under uniaxial compression

图4  三轴试验曲线与损伤方程理论值比较

Fig. 4  Comparison of theoretical curves vs experimental curves under different confining pressures

4  结论

(1) 芒硝单轴剪切情况下变形特征表现为应变软化，有明显剪切面存在；高围压情况下则表现为应变硬化，无明显破裂面，但有膨胀破坏特征。

(2) 盐岩变形损伤实质是能量转化。能量耗散是造成岩石损伤的本质属性，耗散量大小反映了岩石初始力学强度衰减程度。因此，通过定义耗散能与外力功比值为能量损伤变量的方法，初步建立了盐岩损伤演化的方程。

(3) 基于热力学理论，给出了单轴和三轴应力状态下盐岩损伤本构模型。单轴应力状态下，盐岩弹性模量表现为逐步劣化衰减。三轴应力状态下，围压压密致使盐岩原有裂隙闭合，刚度增加。

(4) 该模型物理力学意义明确，仅需确定常规岩石力学参数，增强了模型可应用性。通过对理论模型试验验证表明，基于能量原理的损伤本构模型，能充分模拟盐岩单轴情况下应变软化损伤的全过程和三轴情况下应变硬化损伤的全过程。

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(编辑  陈爱华)

收稿日期：2013-03-24；修回日期：2013-05-29

基金项目：国家重点基础研究发展计划(“973”计划)项目(2009CB724606)；中央高校研究生创新基金资助项目(0218005204101)

通信作者：郭建强(1980-)，男，河北临城人，博士研究生，从事盐岩溶腔储气库方面的研究；电话：13628515490；E-mail：dianxiyou@163.com