DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2017.02.029
基于响应面法的三维H-B强度准则可靠度的研究
朱唤珍，李夕兵，宫凤强
(中南大学，资源与安全工程学院，湖南 长沙，410083)
摘要：针对采用一次二阶矩法计算复杂、高度非线性功能函数的可靠指标时，求解功能函数对随机变量的偏导数极其困难，并且偏导数形式非常复杂等问题，提出用响应面函数代替原功能函数的方法，使其求导过程方便，并且使偏导数形式转化为随机变量的线性表达式，便于程序化求解。然后以计算三维Hoek-Brown强度准则的可靠度为例，确认响应面法在复杂、高度非线性功能函数可靠度计算中的可行性，并与变量代换法和复合函数求导法则的计算结果进行比较，说明利用响应面法计算的结果具有较高的精度。最后，用响应面法分析强度准则参数分布类型和岩体参数之间的相关性对三维Hoek-Brown准则可靠度的影响规律。研究结果表明：该方法具有较高精度；强度准则参数分布类型对可靠指标的敏感性较弱；岩体参数的负相关系数与可靠指标线性相关，对可靠指标的影响不大。
关键词：Hoek-Brown准则；响应面法；高度非线性的功能函数；偏导数
中图分类号：TU 443 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2017)02-0491-07
Reliability analysis of 3d H-B strength criterion based on the response surface method
ZHU Huanzhen, LI Xibing, GONG Fengqiang
(School of Resources and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)
Abstract: Considering that it is very difficult for the FOSM to solve partial derivatives of performance function because random variables and the forms of partial derivatives are very complex in calculating the reliability index of complex, high order nonlinear performance function, the response surface method which used the response surface function to replace the original function was proposed. The solving process of function’s derivation was convenient and the form of the partial derivative was a linear expression of random variables. Based on the 3D Hoek Brown strength criterion for the limit state function, the response surface method was adopted to calculate the reliability index, which assured that this method was suitable for the complex and high-nonlinear performance function. Moreover, the variables replacing technique and the compound function method were employed as comparison. The results show that this method has higher accuracy, and the probability distribution of the basic random variables has less effect on the reliability index. The correlation of rock mass parameters and the relation between the reliability index and negative correlation coefficient of rock mass parameters is linear.
Key words: 3D Hoek-Brown criterion; the response surface method; the high order nonlinear performance function; partial derivative
在结构可靠度分析和计算中，比较常用的有中心点法、验算点法、JC法和考虑随机变量相关性的广义随机空间内的可靠度分析方法。这些可靠度计算方法大都是建立在功能函数为简单、弱非线性解析表达式的基础上[1]，但对于某些复杂结构系统如三维Hoek-Brown经验强度准则(简称为H-B准则)表示的极限状态，其功能函数往往具有高度非线性或非常复杂的特征。目前功能函数对随机变量偏导数的求解方法主要有变量代换法、复合函数链式求导法、有限差分法和有理多项式技术等[2]，但这些方法都是基于原功能函数直接求解，求解过程复杂，尤其是变量代换法和复合函数链式求导法则很难能给出偏导数具体的表达形式。为此，本文提出利用响应面法解决上述问题。国内很多学者基于响应面法分析了边坡的可靠度[3-6]。LI等[3-4]提出了边坡可靠度分析的随机响应面法，分析了具有相关非正态分布变量的边坡可靠度问题。傅方煜等[5]基于响应面法和SORM理论(二阶可靠度方法)，提出了边坡可靠度分析的实用算法，即在U空间内构造响应面函数，在X空间内计算试验点的函数值，在生成响应面函数的基础上，进行一阶或二阶可靠度分析。彭振斌等[6]将传统响应面分析方法与Bishop条分法相结合，提出了一种新的边坡稳定可靠性响应面分析方法。近年来，响应面法由于原理简单、方便易行、适用性强，在可靠度领域引起了众多学者的兴趣[7-8]。赵威等[9-10]将偏最小二乘法应用于响应面法的可靠度分析中，有效地解决了变量间多重相关性及小样本条件下建立回归模型的问题。赵维涛等[11]基于切平面布点对响应面法进行了改进。但以上研究方法主要针对隐式功能函数或功能函数不能明确表达的岩土工程或结构的可靠度问题。尽管L
等[12-13]将响应面法用于求解用显示功能函数表达的地下圆形隧道的可靠度分析，然而，将响应面法用于求解如三维H-B强度准则表达的复杂、高度非线性功能函数的可靠指标研究较少。为此，本文作者用响应面法拟合的响应面函数代替原复杂的功能函数，从而简化功能函数对随机变量偏导数的求解过程，然后利用广义随机空间内的JC法计算包含非正态相关随机变量功能函数的可靠指标，并用三维H-B强度准则表达的功能函数验证响应面法计算复杂、高度非线性功能函数可靠度问题的可行性。在此基础上，利用该方法分析强度准则参数的分布类型和岩体参数的相关性对三维H-B强度准则可靠度的影响。
1 响应面法
响应面法是一种统计学的综合实验技术，专门用于处理复杂系统的输入(基本变量)和输出(系统响应)的转换关系问题[14]。该方法通过采用有限试验回归拟合得到解析表达式即响应面函数，再用常规可靠度分析方法求解高度非线性功能函数的可靠指标和验算点。利用上述方法计算可靠度的原理如下。
设含有n个随机变量X1，X2，…，Xn的极限状态方程为
(1)
响应面函数的形式应当尽可能简单，并使待定系数尽量减少，以减小复杂结构可靠度分析的工作量。目前常用的响应面函数的形式为二次多项式，更高次的响应面函数由于概念上和计算上的原因，通常不予采用；线性响应面函数形式最简单，待定系数也最少，但在拟合非线性程度较高的功能函数时精度不高。不含交叉项的二次多项式可以在验算点附近很好地拟合复杂功能函数[15-17]，这保证了用响应面函数求解可靠度计算中最为关心的可靠指标和验算点的精度。本文选用响应面函数的形式为
(2)
式中：a，bi和ci为表达式的待定参数，
为响应面函数。从式(2)可知，确定响应面函数的关键是确定a，bi和ci，共2n+1个系数。本文采用中心复合设计方法，得到2n+1个试验点，即
和
，将响应面函数待定系数的求解转化为求解2n+1个线性方程组解的问题，即
(3)
其中：
；
；
。
显然，在每一次迭代过程中，要求响应面函数是唯一的，这就要求上述线性方程组的解是唯一的，为此，系数矩阵必须是非奇异矩阵。下面给出具体的证明过程。
|A|经过等价变换可以化为如下形式：
这就证明了系数矩阵A是可逆矩阵，由2n+1个试验点得到的2n+1个线性方程构建的线性方程组有唯一解，拟合得到的响应面函数是唯一的。因此，本文采用矩阵求逆的方法计算响应面函数的待定系数，即
(4)
响应面函数对随机变量的偏导数为
(5)
用响应面函数代替原功能函数后，再根据广义随机空间内JC法计算可靠指标和验算点。
将
在验算点
处展开成泰勒级数，均保留线性项，有
(6)
因此，Zr的均值
、均方差
分别为
(7)
式中：
为随机变量Xi与Xj的相关系数；
为随机变量Xi的均方差。
灵敏度系数为
(8)
可靠指标β为
(9)
在广义随机空间内新的验算点为
；i=1，2，…，n (10)
由于非正态分布随机变量的当量正态化并不改变随机变量的线性相关性，即
在当量正态化过程中保持不变，所以，对于非正态随机变量可以通过当量正态化转化为等效的正态随机变量，然后，将等效正态随机变量的均值和均方差代入式(7)~(10)进行计算。下面以三维H-B经验强度准则的可靠指标计算为例，研究响应面法在求解复杂、高度非线性的显示功能函数中的应用。
2 三维H-B强度准则可靠度计算方法
长期以来，人们对岩体在外力作用下的破坏准则进行了大量研究，其中H-B强度准则是目前最有影响应用也最广泛的强度准则之一[18]。但是经典的H-B强度准则未考虑中间主应力的影响，相关研究者对此进行了深入研究，并先后提出了考虑中间主应力影响的多种三维H-B强度准则[19-20]。实际上，由于岩土自身具有错综复杂的变异性质，且岩体本身存在内部微裂隙，使得岩体强度参数表现出极大的随机性和离散性。忽略岩体强度准则参数的随机性和离散性，会给计算结果带来较大的误差[21-22]，因此，对以H-B经验强度准则表达的功能函数进行可靠度研究显得极其重要，用响应面法计算该准则可靠度的具体步骤如下。
采用三维H-B强度准则表达的极限状态方程[23]为
(11)
式中：
；
为洛德应力角；
，为应力张量第一不变量；
，为应力偏量第二不变量；m为岩体量纲一的经验参数，反映岩体的软硬程度；s为反映岩体的破碎程度的经验参数，文中将m和s称为岩体参数；
和
分别为岩体破坏时的最大和最小主应力；
为岩石材料的单轴抗压强度。
由式(11)可见，该极限状态方程是高度非线性的，而且非常复杂，用常规计算可靠指标的方法不易求解，而且会带来较大误差。
令Xi(i=1~6)分别为，
，，m，s和，采用表征三维H-B强度准则极限状态方程的响应面函数的形式为不含交叉项的二次多项式，即
(12)
式(12)使由式(11)表达的高度非线性和复杂的功能函数变得极其简单，功能函数对随机变量偏导数的求解也十分方便，而且求解过程便于程序化进行。
利用响应面函数代替式(11)表示的功能函数，结合广义随机空间内的JC法计算可靠指标及其验算点，其中功能函数对随机变量的偏导数用式(5)代替。求解三维H-B强度准则的验算点和可靠指标的具体步骤如下。
1) 假定初始迭代点
，一般取平均值
。
2) 利用式(11)计算
以及
的函数值，可得到13个样本点，其中系数f 取2。
3) 将式(12)得到的13个样本点代入式(3)，可得含有13个待定系数的线性方程组的表达式为
根据式(4)可计算得到响应面函数的13个待定系数，然后将之回带到式(12)即可得到响应面函数的具体表达式。
4) 用广义随空间内的JC法计算可靠指标β及其相应的验算点x*，其中功能函数对随机变量的偏导数利用式(5)计算。
5) 计算x*处的原功能函数值。
6) 利用下式插值计算新的x：
(13)
7) 重复步骤2)~6)，直至前、后两次||x||相差小于ε为止(文中取ε=10-6)。
3 算例分析
对文献[24-25]中三维H-B准则可靠度算例进行具体计算，已知某岩体参数均值和方差见表1，求解岩体可靠指标。
表1 强度准则参数及其统计特征
Table 1 Random variables and its statistical properties
3.1 计算结果分析与比较
计算结果见表2，表2同时列出了文献[24]和[25]分别利用变量代换法和复合函数链式求导法则所得计算结果。在岩土工程的可靠度分析中，其可靠指标都可以通过Monte Carlo模拟计算得到。理论上，试验次数越多，得到的计算结果越精确。试验次数取决于期望的失效概率及其变异系数，对于通常的实际工程结构而言，pf为10-3~10-5量级，若相对误差小于20%的置信度为95%，则所需要的模拟次数N=95 940~9 603 551即可[1]。为了保证计算结果的精确性，针对上述3种方法，以Monte Carlo模拟100万次的计算结果作为基本参考值进行比较。
表2 本文计算结果与文献[24-25]中计算结果的比较
Table 2 Comparison of results obtained in this paper and References
从表2可以看出：响应面法所得计算结果为2.107，与Monte Carlo模拟方法计算的结果2.029相比仅相差0.078，而且将验算点带入原功能函数的误差也只有0.076；文献[24]采用变量代换法计算的可靠指标误差最大，为0.524，且不能给出可靠度计算中验算点的值；文献[25]利用复合函数求导法则，也能够计算得到验算点，并且计算得到的可靠指标为2.320，其精度较文献[24]中方法所得结果提高了80.07%，误差却是本文方法所得结果的2.73倍。
比较分析上述计算结果，可知本文方法求解非线性功能函数可靠度的可行性，并且具有较高的精度。下面用本文方法分析准则参数的分布类型和岩体参数的相关性对三维H-B强度准则可靠指标的影响规律。
3.2 参数分布类型对可靠指标的敏感性分析
在三维H-B强度准则的可靠度计算中，岩体参数m和s以及单轴抗压强度
的分布类型可通过大量试验结果进行统计分析得到；主应力，和可以通过随机有限元或室内试验得到。经大量试验统计分析单轴抗压强度一般为非正态分布随机变量[24-25]。本文用响应面法探讨H-B经验强度准则参数的分布类型对可靠指标的影响规律，并分析当主应力，和以及岩体参数m和s都为相互独立的正态随机变量时，单轴抗压强度的分布类型(分别为正态分布、对数正态分布和极值1型分布)对三维H-B强度准则可靠指标的敏感性，计算结果见表3。
从表3可以看出：强度准则参数的不同分布类型对可靠度有一定影响；当所有强度准则参数都服从极值1型分布时，可靠指标最小，为1.957，可靠指标误差为0.071；强度准则参数都服从正态分布时，可靠指标为2.106，误差为0.077；均服从对数正态分布时，误差为0.017，可靠指标介于二者之间。
通过分析岩体的单轴抗压强度的分布类型对三维H-B强度准则可靠度的影响发现：主应力，和以及岩体参数m和s都为相互独立的正态随机变量，当服从极值1型分布时可靠指标最大，为2.168，误差为0.014；当为对数正态随机变量时，可靠指标为2.139，误差为0.016；为正态随机变量时，可靠指标最小，误差最大。
表3 强度准则参数的分布类型对可靠指标的影响
Table 3 Effects of distribution type of strength criterion parameters on reliability index
据上述分析结果，当单轴抗压强度分别服从正态分布、对数正态分布和极值1型分布时，的分布类型对可靠指标的敏感性较弱。
通过上述分析可知，本文方法计算得到的可靠指标与Monte Carlo计算得到的可靠指标非常接近，再次证明了用本文方法计算高度非线性功能函数可靠指标的可行性。
3.3 参数相关性对可靠指标的影响
岩体参数m和s是1对具有负相关性的随机变量，忽略岩体参数的相关性可能会给计算结果带来影响[24]。因此，本文分析强度准则参数服从不同概率分布时，岩体参数m和s的相关性对可靠指标的影响，计算结果见表4和图1。
分析表4和图1可知：H-B经验强度准则参数的分布类型和岩体参数之间的相关性对可靠指标有一定的影响；当m和s的相关性为某一定值时，强度准则的可靠指标与m和s为相互独立随机变量的情况一致，即当服从极值1型分布，其他参数均服从正态分布时，可靠指标最大；当所有参数均服从极值1型分布时，可靠指标最小；当m和s的相关性从相互独立逐渐变化到完全负相关时，可靠指标均逐渐增大，但增加幅值与参数的分布类型有关；当为极值1型分布，其他均为正态分布时，可靠指标从2.139逐渐增大到2.271，增加幅值最大，为0.132；当所有参数均服从极值1型分布时，可靠指标从1.956增大到2.014，增加幅值最小，为0.058；当参数服从其他分布时，增加幅值介于二者之间。从图1还可以看出：参数服从上述分布类型时，可靠指标与负相关系数近似线性相关；当参数均服从极值1型分布时，斜率最小；参数服从其他4种分布时，斜率大致相等。
表4 强度准则参数相关性对可靠指标的影响
Table 4 Effect of correlation of strength criterion parameters on reliability
图1 可靠指标与m和s负相关系数的关系
Fig. 1 Relationship between reliability index and negative correlation coefficient of m and s
4 结论
1) 用响应面法的迭代格式得到在验算点能近似代替复杂的、高度非线性的功能函数的响应面函数。该函数形式简单，对随机变量的偏导数的求解也非常容易，便于程序化，在精度上也能满足实际工程和理论研究的需求，是一种求解复杂、高度非线性功能函数可靠度问题的行之有效的方法。
2) 本文方法不仅能计算出的可靠指标和验算点，而且能够得到较高的计算精度，说明将响应面法用于求解高度非线性功能函数可靠指标和验算点的可行性。
3) 用响应面法分析准则参数的分布类型以及岩体参数m和s的相关性对强度准则可靠度的影响，得出准则参数的分布类型对可靠指标的敏感性较弱，m和s的相关性对可靠指标的影响也较小。
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(编辑 陈灿华)
收稿日期：2016-02-22；修回日期：2016-04-24
基金项目(Foundation item)：国家重点基础研究发展计划(973计划)项目(2010CB732004)；国家自然科学基金资助项目(41272304, 11472311)(Project (2010CB732004) supported by the National Basic Research Development Program(973 Program) of China; Projects(41272304, 11472311) supported by the National Natural Science Foundation of China)
通信作者：李夕兵，教授，博士生导师，从事岩石动力学与采矿工程研究； Email：xbli@csu.edu.cn
