强度折减法在Hoek-Brown准则中的应用
林 杭，曹 平，赵延林，李江腾
(中南大学 资源与安全工程学院，湖南 长沙，410083)
摘 要：为了在Hoek-Brown准则中实施强度折减法，并使其得到的结果与Mohr-Coulomb准则中强度折减法得到的结果等效，首先，通过理论推导确定Ｈoek-Brown准则参数m，s，σci与粘结力c和内摩擦角
之间的关系；然后，进一步得到在Hoek-Brown准则中实施强度折减法时，m，s和σci的折减系数以及它们之间的关系；最后，由FLAC3D软件建立计算模型，采用所确定的折减方法计算边坡的安全系数，并将该结果与Mohr-Coulomb准则得到的结果进行对比，结果表明：参数m，s和σci的折减系数须满足一定关系，强度折减法在Hoek-Brown准则和Mohr-Coulomb准则中得到的安全系数的差别为3.54%，差别微小，从而验证了所确定的折减方法的可靠性。
关键词：Hoek-Brown准则；Mohr-Coulomb准则；等效；强度折减法；FLAC3D软件
中图分类号：TU353.6 文献标识码：A 文章编号：1672-7207(2007)06-1219-06
Application of strength reduction method in Hoek-Brown criterion
Lin Hang, CAO Ping, ZHAO Yan-lin, LI Jiang-teng
(School of Resources and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)
Abstract: In order to implement the strength reduction method in the Hoek-Brown criterion, and make the result obtained by Hoek-Brown criterion equivalent to that by Mohr-Coulomb criterion, some deductions and numerical calculations were done. Firstly, the relationships among Hoek-Brown parameters m, s, σci and cohesion c, internal friction angle were established by theory deduction. Secondly, the reduction factors of m, s, σci were obtained by further theory deduction and their relationships among these factors were found. At last the calculation models were obtained by FLAC3D software. In the calculation procedure for safety factor of slope, the proposed reduction method was adopted. The comparative analysis was done for the safety factors obtained by Hoek-Brown and Mohr-Coulomb criterion. The result shows that, three reduction factors for m, s and σci should satisfy certain relationship, the difference between the two safety factors is 3.54%, which is very small, which proves that the reduction method proposed is correct.
Key words: Hoek-Brwon criterion; Mohr-Coulomb criterion; equivalence; strength reduction method; FLAC3D software
近年来，随着计算机技术的发展，弹塑性数值技术日趋成熟和完善[1-8]，采用数值方法对边坡的稳定性进行评判成为可能，其中，强度折减法是一种重要的方法，其原理是逐渐折减边坡的强度参数，直到临界失稳状态，此时所对应的折减系数即为边坡的整体安全系数。目前，强度折减法主要针对Mohr-Coulomb准则进行实施，即对抗剪强度参数粘结力c、内摩擦角
进行折减，从而得到边坡的安全系数。但Mohr-Coulomb准则对岩体强度的描述有一定局限性，如不能解释低应力区对于岩体的影响[9]，只能反映岩体的线性破坏特征等。Hoek-Brown经验准则能够反映岩体的固有特点和非线性破坏特征，弥补了Mohr-Coulomb准则的不足，符合边坡岩体的变形特征和破坏特 征[10-11]。因此，必须将强度折减法和Hoek-Brown准则相结合。在此，本文作者首先通过理论推导确定m，s，σci与c和之间的关系；然后，进一步得到m，s和σci的折减系数，以及它们之间的关系；最后，通过算例验证所确定的折减方法的正确性。
1 FLAC3D中的Hoek-Brown模型
Hoek等[12]认为，岩石破坏判据不仅要与实验结果相吻合，其数学表达式也应尽可能简单，并且岩石破坏判据除了适用于结构完整且各向同性的均质岩石外，还应当适用于碎裂岩体及各向异性的非均质岩体等。Hoek和Brown对大量岩石抛物线型破坏包络线的系统进行了研究，提出
Hoek-Brown准则将影响岩体强度特性的复杂因素，集中包含在该准则所引用的2个经验参数m和s以及力学参数σci之中，概念简洁明确，便于工程应用。
1.1 弹性增量方程
式(1)表示一曲面，落在曲面内的应力点为弹性状态。塑性状态下的应变增量可表示为弹性应变增量和塑性应变增量之和(认为材料的破坏与中间主应力σ2无关，因此，其不引起塑性应变)：
1.2 流动法则
流动法则规定了塑性应变增量的方向。为了描述材料屈服时候的体积变化，需选择一种合适的流动法则。流动系数λ与应力以及加载历史有关，因为典型岩体破坏模式是轴向劈裂而不是剪切破坏，与围压较小或拉伸状态下材料的膨胀角并不相同。所以，其采用非线性剪切屈服函数，流动法则为基于应力水平的塑性流动法则。虽然塑性应变增量和材料的应力水平之间存在复杂的关系，但对于一些特殊的情况，可采用以下的流动法则求得，而对于其他复杂的情况，可通过这些流动法则并进行插值求得[13]。
1.2.1 关联流动法则
在无围压情况下，岩石屈服时表现出较大的体积膨胀并伴随轴向劈裂效应。关联流动法则在理论上提供最大的体积应变率。单岩石处于单轴压缩时可采用该流动法则，其表征塑性应变方向与屈服面垂直。
1.2.2 径向流动法则
在单轴拉伸过程中，材料将沿拉伸方向破坏；或者当各个方向施加相等的拉应力时，材料将沿不同方向发生相同的变化。以上2种情况均可用径向流动法则来描述，其 
1.2.3 常体积流动法则
当围压增加时，达到屈服状态时材料的体积不再发生膨胀，此时可用常体积流动法则对这种现象进行描述。当围压大于自定义的围压上限值
时，流动系数为：
1.2.4 复合流动法则
对于不同的应力状态，将采用不同的流动法则。若在完全拉伸区域，则采用径向流动法则；当围压等于零时，采用关联流动法则。对于0＜
＜的状态，流动参数λ可通过关联流动法则和常体积流动法则之间的插值得到：
若=0，则模型的情况接近非关联流动法则，即膨胀角等于0。若设置为一较大值(相对于σci)，则模型情况接近关联流动法则。
2 Hoek-Brown中的强度折减技术
2.1 m，s，σci与c和φ的关系
将Hoek-Brown准则和Mohr-Coulomb准则进行对比。在确定m，s和σci后，可利用式(1)得到岩体力学参数。
根据与Hoek-Brown准则对应的Mohr-Coulomb准则，可求得岩体的粘结力c和内摩擦角[14-16]，即：
2.2 m，s和σci的折减方法
假设边坡处于原始状态时，其参数为c0，
，m0，s0和
；处于临界失稳状态时，其参数为ccr，
，mcr，scr和
。
对于Mohr-Coulomb准则，其折减方法为：
因此，
3 算例模型与分析
3.1 算例模型
为便于讨论，选取均质岩坡作为分析对象，该边坡高80 m，坡角为90°。按照平面应变建立FLAC3D计算模型，模型共756个单元，1 638个节点。流动法则为非关联流动法则。边界条件为下部固定，左右两侧为水平约束，上部为自由边界，计算模型见图1。其中，K为折减系数；K1和K2分别为K的上、下限值。边坡参数为：弹性模量E=30 MPa，泊松比μ=0.27，σci=150 MPa，m=1.50，s=0.04，γ=27.0 kN/m3。本构模型采用Hoek-Brown准则以实施强度折减技术，其中对m，s和σci的折减系数由式(31)确定。
图1 边坡计算模型
Fig.1 Calculation model of slope
3.2 计算分析
由于强度折减法实施的关键问题是如何判断边坡达到失稳状态，因此，需事先确定边坡的失稳判据。赵尚毅等[4]认为边坡达到破坏状态时，滑动体上的位移将发生突变，产生很大且无限制的塑性流动，程序无法找到一个既能满足静力平衡，又能满足应力-应变关系和强度准则的解，此时，不管从力的收敛标准判断，还是从位移的收敛标准来判断，计算都不收敛。因此，以静力平衡方程组是否有解、计算是否收敛作为边坡是否失稳的判据是合理的[4, 6, 17-18]。
在判据的实施过程中，随着折减系数的增大，ra(节点平均内力与最大不平衡力的比值)[13]逐渐无法满足ra＜10-6的求解要求，计算由收敛状态转为不收敛状态，此时边坡产生失稳破坏；其求解流程如图2所示。在确定K1和K2时，设K＝1，若计算收敛，则K1=1，K2=KC，KC为试算得到的某一较大值；若计算不收敛，则K1=0，K2=1。
采用二分法计算安全系数时，各折减时步所保存的K值如表1所示。经计算安全系数为：
。
图2 安全系数求解流程
Fig.2 Flow chart for solution of safety factor
表1 各折减时步对应的折减系数
Table 1 Reduction factors for each reduction step
由Mohr-Coulomb准则得到FMohr-Coulomb=1.765 6；
=3.54%。
可见，两者的相对误差很小。而产生这种误差的主要原因是：
a. FLAC3D在Mohr-Coulomb准则中实施强度折减技术时，主要考虑剪切破坏，而未考虑材料拉伸破坏的影响；Hoek-Brown准则将工程岩体在荷载作用下表现出的复杂破坏，归结为拉伸和剪切破坏2种机制[11]，在引入剪切强度准则的同时，还引入拉伸破坏准则，因此，得到的安全系数略小。
b. 屈服准则采用的流动法则不同，Mohr- Coulomb准则采用非关联的剪切流动法则；Hoek- Brown准则中的流动系数与应力状态有关[15]，分别采用关联流动法则、径向流动法则、常体积流动法则以及复合流动法则。
4 结 论
a. 在Hoek-Brown准则中实施强度折减法的关键问题是使其与Mohr-Coulomb准则中的强度折减法等效，且需对准则中的3个参数m，s和σci进行折减，这3个折减系数的关系须满足：
，
。
b. 通过FLAC3D软件算例的对比分析可知，强度折减法在Hoek-Brown准则中得到的安全系数为1.703 1，在Mohr-Coulomb准则中得到的安全系数为1.765 6，两者之间的相对误差为3.54%，差别微小，说明强度折减法在2个准则中的等效性，可见，所确定的折减方法是可行的。
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收稿日期：2007-03-10；修回日期：2007-05-05
基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金资助项目(20060533071)；中国博士后科研基金资助项目(20060400264)；国家自然科学基金资助项目(50774093)
作者简介：林 杭(1980- )，男，福建福州人，博士研究生，从事岩土工程数值计算的研究
通信作者：林 杭，男，博士研究生；电话：13787016941；E-mail: linhangabc@126.com
