文章编号：1004-0609(2016)-08-1763-11

基于应变率效应的岩石动态Mohr-Coulomb准则和Hoek-Brown准则研究

宫凤强^{1, 2, 3}，司雪峰¹，李夕兵^{1, 3}，陶  明¹

(1. 中南大学 资源与安全工程学院，长沙 410083；

2. 中国矿业大学 深部岩土力学与地下工程国家重点实验室，徐州 221008；

3. 中南大学 高等研究中心，长沙 410083)

摘  要：在考虑强度准则参数粘聚力c、内摩擦角φ和岩石材料常数m随应变率增加而变化的基础上，分别提出了基于应变率效应的岩石动态Mohr-Coulomb准则和Hoek-Brown准则。花岗岩材料在6种围压下的三轴试验结果表明：当应变率从10^-4 s^-1增加到10⁰ s^-1时，粘聚力c和岩石材料常数m均随应变率增加而增加，但是内摩擦角φ则随应变率增加而减小。为此，给出了上述3项参数随应变率变化的函数关系，并在此基础上，分别提出了考虑率效应的动态Mohr-Coulomb准则和Hoek-Brown准则表达式。通过理论计算结果与试验数据的对比，发现动态Mohr-Coulomb准则适应于低围压情况，而动态Hoek-Brown准则在低围压和高围压情况下均适用。

关键词：岩石力学；抗剪强度参数；应变率；动态Mohr-Coulomb准则；动态Hoek-Brown准则

中图分类号：TU45　　           文献标志码：A

摩尔-库仑(Mohr-Coulomb)准则和霍克-布朗(Hoek-Brown)准则是目前岩石力学领域内应用最广泛的两个强度准则^[1-2]。上述准则主要考虑的是静载作用下岩石的破坏情况。在分析研究岩石(体)的动力破坏时，静态强度准则由于无法考虑强度参数的率效应特性，显然已经不太适用，非常有必要发展不同应变率范围内的岩石动态强度准则^[3-4]。在岩石动态强度准则研究方面，钱七虎等^[5-6]针对岩石和岩体的动力破坏特性，提出了考虑强度-应变率效应的Mohr-Coulomb准则；ZHAO等^[7]根据不同加载率下的试验结果，提出岩石的抗压强度随着应变率变化的主要原因是Mohr-Coulomb准则里的粘聚力的变化，并检验Mohr-Coulomb准则和Hoek-Brown准则用于评估岩石动态强度的适用性；宫凤强等^[8]通过对砂岩进行试验，给出了不同应变率范围内的动态Mohr-Coulomb准则和动态Hoek-Brown准则的具体表达形式，并检验了动态强度准则的适用情况；卢志堂等^[9]和陈勇等^[10]分别通过中高应变率下花岗岩动力特性三轴试验研究及对华山花岗岩进行应变率范围为10^-4~10⁰ s^-1、围压范围为20~100 MPa 的动三轴试验测试，也认为岩石动态强度增大主要是由粘聚力的应变率效应引起这一结论。

在上述研究中，主要是验证了不同应变率或加载率量级下Mohr-Coulomb和Hoek-Brown准则的适用性，即所建立的动态强度准则是针对某一应变率或加载率量级下的表达形式，缺少考察强度准则参数受应变率增加的影响分析，也未建立基于率效应的动态强度准则统一表达式。为此，本文作者根据参考文献[11-12]中的试验数据，利用稳健回归方法^[13-14]，分别得到粘聚力c、内摩擦角φ和岩石材料常数m随应变率增加的变化规律，并建立了基于应变率效应的岩石动态Mohr-Coulomb准则和Hoek-Brown准则，并对理论计算结果和试验数据进行了对比，验证了动态强度准则的适用范围。

1  Mohr-Coulomb准则

Mohr-Coulomb准则主要包含两个参数，分别是粘聚力c和内摩擦角φ，岩石的抗剪强度为岩石的粘聚力c与剪切面法向应力产生的摩擦力之和，如式(1)所示^[7]：

                              (1)

式中：c为粘聚力；φ为内摩擦角。

平面内，经应力变换得

           (2)

和

                        (3)

式中：和为主应力；为最大主应力方向与剪切面间的夹角(如图1和2所示)。

图1  Mohr-Coulomb准则(a-b面剪切破坏)

Fig. 1  Mohr-Coulomb strength criterion (a-b plane shear failure)

图2  Mohr-Coulomb准则

Fig. 2  Mohr-Coulomb strength criterion

根据式(1)~(3)，经重新整理，可得由任意角确定的平面极限应力条件为

        (4)

根据图2中的Mohr圆，有

则式(4)可整理为

                  (5)

由式(5)，令

，

可得

，                     (6)

2  基于应变率效应的动态Mohr- Coulomb准则

为了研究应变率对岩石抗压强度的影响，LI和ZHAO等^[11-12]针对花岗岩做了大量单轴试验和一系列不同围压下的三轴试验，所采用的花岗岩试样全部取自新加坡Bukit Timah地区。试样由55 mm的岩芯加工而成，尺寸为d 30 mm×60 mm。所有试验均在RDT-10000型动载荷试验机上进行。其中三轴试验围压取6个系列，分别为20、50、80、110、140和170 MPa，加上单轴压缩试验，共为7个系列，实验数据如表1^[11-12]所列。根据表1中7组试验数据，下面分别分析低围压和高围压下岩石的动态Mohr-Coulomb准则。

表1  不同应变率及围压下的抗压强度^[11-12]

Table 1  Compressive strength of different strain rates and confining pressures^[11-12]

2.1  低围压下的动态Mohr-Coulomb准则

根据0、20、50和80 MPa下的试验数据，利用稳健回归方法分别拟合10^-4、10^-3、10^-1和10⁰ 等4个应变率量级下的强度线，如图3所示。由图3可以看出，相关系数r的平方分别为0.9789、0.9883、0.9611和0.9078，线性相关性较好。根据图中的直线拟合方程，结合式(6)，可以计算得到c和φ在10^-4、10^-3、10^-1和10⁰ 等4个应变率量级下的数值，结果如表2所示(A和B分别为拟合直线中的参数)。从表2中可以看出不同应变率量级下的粘聚力变化较大，10^-4与10⁰量级下相差26.57 MPa；内摩擦角变化较小，不同应变率量级下相差最大为2.93°。

表2  低围压下粘聚力c和内摩擦角φ的计算结果

Table 2  Calculation results of cohesion c and internal friction angle φ with low confining pressure

对表2中的应变率与c、φ值的关系进行拟合可以得到图4中的关系曲线。可以看出：c和φ两者并不是定值，而是随着应变率量级的对数成线性关系，拟合的相关系数分别为0.9924和0.8986，直线的斜率分别为6.4488和-0.7385，c随着应变率的对数的增大而增大，而φ随着应变率的对数的增大而减小。以最低应变率量级所对应的c和φ为基准值，可以得到其它应变率量级所对应的c和φ，如式(7)和(8)所示。

                       (7)

                           (8)

式中：为10^-4量级应变率，s^-1；为大于10^-4量级的应变率，s^-1；c₀为应变率对应的粘聚力，MPa，本研究中取33.92 MPa；φ₀为应变率对应的内摩擦角，(°)，本研究中取49.21°；为应变率对应的粘聚力，MPa；为应变率对应的内摩擦角，(°)。

图3  低围压下不同量级应变率的岩石强度规律

Fig. 3  Variation of rock strength with different strain rate under low confining pressure

根据式(7)和(8)可以得到不同应变率下岩石的动态Mohr-Coulomb准则表达式：

     (9)

为了验证上述动态Mohr-Coulomb准则的适用性，根据式(9)进行理论计算，图5给出了试验数据与理论数据的对比结果。从图中可以看出，本研究中给出的动态Mohr-Coulomb准则计算所得到的理论数据比较符合实际情况。因此，在低围压条件下，可用本研究给出的动态Mohr-Coulomb准则估算岩石在不同应变率下的动态压缩强度。

图4  低围压下粘聚力c、内摩擦角φ与应变率的关系

Fig. 4  Relationship between cohesion c, internal friction angle φ and strain rate under low confining pressure

图5  动态Mohr-Coulomb准则理论结果与低围压试验数据比较

Fig. 5  Comparison of dynamic Mohr-Coulomb criterion theoretical results and low confining pressure test data

2.2  高围压下的动态Mohr-Coulomb准则

利用稳健回归方法拟合4个应变率量级下的强度线，并且每个量级包含0、20、50、80、110、140和170 MPa 7个围压，结果如图6所示，图6(a)到6(d)中0.9271、0.9148、0.9619和0.9032分别为4个应变率量级下线性拟合的相关系数r的平方，与低围压下的结果相比，拟合效果相对差一些。利用公式(6)计算得到c和φ的值如表3所示。

对表3中的应变率与c和φ的关系进行拟合可以得到图7中的关系曲线，图中直线的斜率分别为9.4463和-0.8681，对比图4(a)与图7(a)、图4(b)与图7(b)，可以看出，低围压下c和φ的线性拟合的相关系数均高于高围压。用9.4463和-0.8681来替换式(9)中的6.4488和-0.7385，可以得到式(10)。

    (10)

式中：c₀取58.81MPa，φ₀取41.35°。

利用式(10)进行理论计算，得到试验数据与理论数据的对比结果如图8所示，从图中不难看出，在图8(a)中围压为170 MPa时，试验值与理论值相差为122 MPa；图8(b)中，80 MPa围压下相差高达146 MPa；图8(c)和(d)中，单轴抗压强度的理论值与试验值相差分别为116和144 MPa。从整体上来说，拟合效果相对不佳。

表3  高围压下粘聚力c和内摩擦角φ的计算结果

Table 3  Calculation results of cohesion c and internal friction angle φ under high confining pressure

图6  高围压下不同量级应变率的岩石强度规律

Fig. 6  Variation of rock strength with different magnitude of strain rate under high confining pressure

图7  高围压下粘聚力c、内摩擦角φ与应变率的关系

Fig. 7  Relationship between cohesion c, internal friction angle φ and strain rate under high confining pressure

图8  动态Mohr-Coulomb准则理论结果与高围压试验数据比较

Fig. 8  Comparison of dynamic Mohr-Coulomb criterion theoretical results and high confining pressure test data

为了建立基于应变率效应的岩石动态Mohr- Coulomb准则，另外分别计算了4、5、6和7个围压下的c和φ的值，对c和φ的值用稳健回归法进行拟合，得到拟合的相关系数随着围压的增大而减小。粘聚力拟合的相关系数在4、5、6和7个围压下分别为0.9924、0.9056、0.7982和0.9175，内摩擦角拟合的相关系数分别为0.8986、0.6173、0.4806和0.8650。对不同围压下的相关系数以及理论数据和试验数据进行比较，可以看出在4个围压下的动态Mohr-Coulomb准则比较符合实际情况。因此，基于应变率效应的动态Mohr-Coulomb准则适用于低围压情况，对于高围压情况适用性较差，这一结论和文献[7]一致。

3  基于应变率效应的动态Hoek- Brown准则

Hoek-Brown准则由HOEK和BROWN于1980年首次提出，其表达式为^[15-16]

                     (11)

式中：、分别为最大、最小压应力，MPa；为岩石单轴抗压强度，MPa；m为岩石量纲的经验参数，反映岩石的软硬程度。

表4  不同应变率下单轴抗压强度^[11-12]

Table 4  Uniaxial compressive strength at different strain rates^[11-12]

图9  单轴抗压强度与应变率的关系

Fig. 9  Relationship between uniaxial compressive strength and strain rate

在围压为0 MPa下测得不同应变率的单轴抗压强度如表4所示^[11-12]，图9给出单轴抗压强度与应变率对数的关系式及拟合线，以10^-4量级的单轴抗压强度为基数，用作为强度因子，可以得到

式中：为10^-4应变率下的单轴抗压强度，MPa，取205.2 MPa。

三轴试验围压取6个值，分别为20、50、80、110、140和170 MPa，将单轴抗压强度的试验数据带入式(12)，

                         (12)

可以求得岩石参数m，结果如表5所示。

表5  岩石参数m值

Table 5  Values of parameter m

图10  低围压下岩石参数与应变率的变化规律

Fig. 10  Variation of rock parameter with strain rates under low confining pressure

观察4种应变率下m的均值可以发现，试验求得的数据与查表所得的岩石参数m存在一定差距。首先考虑低围压情况，选取围压为20、50和80 MPa的数据拟合不同应变率下岩石参数m的变化趋势，如图10所示。从图10中发现，随应变率的增大，岩石参数m整体呈上升趋势，对不同应变率量级的岩石参数m进行拟合，如式(13)所示。

                      (13)

式中：为应变率对应的岩石参数；m₀为应变率(10^-4 s^-1)对应的岩石参数，取18.10。

根据式(13)可以得到在低围压下花岗岩的动态Hoek-Brown准则：

    (14)

用式(14)计算出不同应变率量级下的抗压强度，试验数据与理论数据对比如图11所示。从图中可以看出，大多数情况下，试验数据与用式(14)计算得到的理论数据基本吻合，说明动态Hoek-Brown准则在低围压范围内具有适用性。

图11  动态Hoek-Brown准则理论结果与低围压试验数据的对比

Fig. 11  Comparison of dynamic Hoek-Brown criterion theoretical results and low confining pressure test data

考察高围压情况，不同应变率量级下的岩石参数m的平均值分别为19.45、23.70、22.82和25.13，对其进行拟合，得到岩石参数m与应变率的关系曲线如图12所示。从图12可以看出，在4个应变率量级下的试验数据与理论数据十分吻合。由图12中岩石参数m与应变率的关系式可以得出式(15)，

                      (15)

式中：m₀为应变率(10^-4 s^-1)对应的岩石参数，取19.45。

根据式(15)可以得到高围压下的岩石动态Hoek-Brown准则的表达式为

    (16)

用式(16)计算不同应变率及不同围压下花岗岩的抗压强度，图13给出了计算值与试验值的对比。可以认为，拟合效果相对较好。

为了建立应变率效应下的岩石动态Hoek-Brown准则，本研究另外分别计算了从低到高4、5、6和7个围压下岩石参数m的值，对岩石参数m的值用稳健

回归方法进行拟合，得到4、5、6和7个围压下的相关系数，分别为0.7812、0.7973、0.8475和0.7935，可以看出，4种围压下的相关系数在0.8左右波动，但是变化并不大。比较图10与图12中的理论数据与试验数据以及拟合的相关系数r可以看出应变率效应下的岩石动态Hoek-Brown准则在低围压和高围压下均适用。

图12  岩石参数m与应变率的关系

Fig. 12  Relationship between rock parameters m and strain rate

图13  动态Hoek-Brown准则理论结果与高围压试验数据的比较

Fig. 13  Comparison of dynamic Hoek-Brown criterion theoretical results and high confining pressure test data

4  结论

1) 岩石Mohr-Coulomb准则中粘聚力c和内摩擦角φ在动载荷作用下并不是定值，而是受应变率影响比较显著；岩石Hoek-Brown准则中岩石参数m也受到应变率的影响。

2) 在应变率的影响下，粘聚力c和内摩擦角φ与应变率的对数呈线性关系，粘聚力c随着应变率的对数的增大而增大，内摩擦角φ随着应变率对数的增大而减小，粘聚力c的变化较内摩擦角φ的变化明显。应变率效应下花岗岩的动态Mohr-Coulomb准则表达式如下：

岩石的种类不同，的系数也不一样。

3) 在不同的应变率量级条件下，Hoek-Brown准则中的岩石参数m随应变率的增大，整体呈上升趋势。岩石参数m与应变率的对数呈线性关系。基于应变率效应的花岗岩动态Hoek-Brown准则表示如下：

岩石的种类不同，的系数也不一样。

4) 通过理论数据与试验数据的对比发现，应变率效应下的动态Mohr-Coulomb准则适用于低围压情况，动态Hoek-Brown准则既适用于低围压也适用于高围压情况。

5) 由于缺少不同应变率下(尤其10⁰ s^-1量级)的单轴以及三轴试验，本研究主要是基于参考文献[11-12]提供的试验数据开展的，研究结果受到原有数据离散性的影响。在今后的工作中，需要加强岩石类材料在高应变率下的三轴试验工作，进而进一步科学考察动态Mohr-Coulomb准则和Hoek-Brown准则的适用性。

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Rock dynamic Mohr-Coulomb and Hoek-Brown criteria based on strain rate effect

GONG Feng-qiang^{1, 2, 3}, SI Xue-feng¹, LI Xi-bing^{1, 3}, TAO Ming¹

(1. School of Resources and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, China;

2. State Key Laboratory for Geomechanics and Deep Underground Engineering,

China University of Mining and Technology, Xuzhou 221008, China;

3. Advanced Research Center of CSU, Central South University, Changsha 410083, China)

Abstract: Considering the changes of strength criterion parameters cohesion c, internal friction angle φ and rock material constants m with the increase of strain rate, the rock dynamic Mohr-Coulomb criterion and Hoek-Brown criterion based on strain rate effect were proposed in this study. According to the triaxial experimental data of a granite under six confining pressures, the results show that, when the strain rate increases from 10^-4 s^-1 to 10⁰ s^-1, the cohesion c and rock material constants m increase, while the internal friction angle φ decreases with the increase of strain rate. The relationship between each strength criterion parameter and strain rate is given firstly. On this basis, the expression of dynamic Mohr-Coulomb criterion and Hoek-Brown criterion considering strain rate effect are presented, respectively. Through the comparison of theoretical calculation results with the experimental data, it can be concluded that the dynamic Mohr-Coulomb criterion is suitable for low confining pressure situation, while the dynamic Hoek-Brown criterion is applicable under low and high confining pressure conditions.

Keywords: rock mechanics; shear strength parameters; strain rate; dynamic Mohr-Coulomb criterion; dynamic Hoek-Brown criterion

Foundation item: Projects(41472269, 41102170) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(SKLGDUEK1104) supported by State Key Laboratory for Geomechanics and Deep Underground Engineering, China University of Mining & Technology; Project(2015CX005) supported by Innovation Driven Plan of Central South University

Received date: 2016-04-20; Accepted date: 2016-06-21

Corresponding author: GONG Feng-qiang; Tel: +86-18175973819; E-mail: fengqiangg@126.com

(编辑  何学锋)

基金项目：国家自然科学基金资助项目(41472269，41102170)；中国矿业大学深部岩土力学与地下工程国家重点实验室开放基金项目(SKLGDUEK1104)；中南大学“创新驱动计划”项目资助(2015CX005)

收稿日期：2016-04-20；修订日期：2016-06-21

通信作者：宫凤强，副教授，博士；电话：18175973819；E-mail: fengqiangg@126.com