DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2017.09.015
新型斜线齿面齿轮齿宽的几何设计
苏进展1, 2，张昆仑1，方宗德3
(1. 长安大学 道路施工技术与装备教育部重点实验室，陕西 西安，710064；
2. 重庆理工大学 汽车零部件先进制造技术教育部重点实验室，重庆，400054；
3. 西北工业大学 机电学院，陕西 西安，710072)
摘要：为了满足航空传动的紧凑空间设计要求，研究一种新型点接触斜线齿面齿轮及其齿宽设计。根据渐开线插齿刀方程，模拟插齿刀与工件的运动关系，推导斜线齿面齿轮的齿面方程；建立内端根切、外端变尖、限定工作齿高和避免二次切削等限制条件，计算面齿轮的有效齿宽。分析倾斜角、交点位置对内径、外径及齿宽的影响。研究结果表明：减小刀顶圆角半径可避免齿根发生二次切削；增大倾斜角和交点位置的增量，面齿轮的内径和外径都增大，而有效齿宽却减小。
关键词：斜线齿面齿轮；齿根根切；齿顶变尖；二次切削；齿宽设计
中图分类号：TH132 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2017)09-2363-07
Geometry design of tooth width for a new-type face gear with tilted tooth trace
SU Jinzhan1, 2, ZHANG Kunlun1, FANG Zongde3
(1. Key Laboratory of Road Construction Technology and Equipment, Ministry of Education, Chang’an University, Xi’an 710064, China;
2. Key Laboratory of Advanced Manufacture Technology for Automobile Parts, Ministry of Education, Chongqing University of Technology, Chongqing 400054, China;
3. School of Mechanical Engineering, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)
Abstract: In order to satisfy the need of compacted design of transmission system in aviation application, a new point-contacted face gear with tilted tooth trace and the design of tooth width were studied. The equations of shaper were derived and the generated relationship between sharper cutter and work piece was simulated, and the tooth surface of face gear can be established. By setting the limiting conditions like undercutting on root of the toe, pointing on addendum of the heel, giving depth on tooth working surface and avoiding the second cutting on the toe, the valid tooth width was determined. The influence of the titled angle and positions of cross point on the inner and outer radius and tooth width were investigated. The results show that the radius of top rounder mostly affects the second undercutting of tooth root. With the increasing of the tilted angle or moving of the crossing point from the toe to the heel, the inner and outer radii increase, while tooth width decreases.
Key words: face gear with tiled tooth trace; root undercutting; addendum pointing, second cutting; tooth width design
面齿轮传动是圆柱齿轮与平面齿轮相啮合的角度传动，可用于两轴线正交、非正交或偏置等情况。近年来，由于面齿轮在分流传动中所表现出的潜在优势，使得其成为航空动力传输领域的研究热点，出现了诸如直齿、斜齿及其偏置形式的面齿轮传动，更有新型弧线齿面齿轮的传动类型。鉴于直齿面齿轮重合度低、斜齿面齿轮存在轴向力，提出一种新型点接触斜线齿面齿轮，其齿线近似为斜线并与半径方向形成倾斜角，仅能与直齿轮相啮合，不能与斜齿轮啮合。齿面是由渐开线插齿刀斜交错插削而成，而点接触则是通过插齿刀齿数多于直齿轮1~3个齿来实现的[1]。由于斜线齿面齿轮的配对齿轮是直齿轮，不产生轴向力，具有简化支撑结构和易于实现浮动均载等优点，且两轴线为倾斜交错安装，非常适应于航空的紧凑空间设计的多样化需求。齿宽设计是面齿轮传动要解决的关键问题，LITVIN等[1-4]从几何学角度推导直面齿轮根切和齿顶变尖的条件；在此基础上，ZHANG等[5]研究了偏置直齿面齿轮的齿宽设计。在国内，朱如鹏等[6]根据啮合角变化，得出了齿宽设计的基本公式。李政民卿[7]采用包络理论进行齿宽设计。沈云波等[8-11]推导斜齿面齿轮和偏置斜齿面齿轮的齿宽设计。李永祥等[12]讨论了变位插齿刀对齿宽及接触应力的影响。蔡香伟等[13-14]根据弧线齿面齿轮的展成原理，研究了内径和外径的计算方法。文献[15-18]研究了面齿轮齿宽对轮齿强度的影响规律。面齿轮的齿宽计算方法已较为成熟且为试验所验证，但上述文献鲜有讨论插齿刀齿顶圆角半径对内径的影响及给定内端工作齿高的齿宽设计。本文作者阐述了斜线齿轮面齿轮的插齿原理，推导面齿轮的齿面方程；利用插齿刀的界限线，求出内端齿根根切点的位置；通过外端齿顶齿厚等于零的条件，获得变尖的条件；再结合避免齿根二次切削发生的条件，确定刀顶圆角半径，最终获得面齿轮的齿宽，并分析倾斜角和交点位置对齿宽的影响规律，为该类面齿轮加工及应用奠定理论基础。
1 插齿原理及模型
1.1 插齿原理
斜线齿面齿轮的插齿加工是模拟渐开线直齿圆柱齿轮与斜线齿面齿轮的斜交啮合传动，两者运动类似于直齿面齿轮的插削过程；不同之处在于插齿刀轴线与节锥线的位置关系，前者是倾斜交错，而后者是平行关系。图1(a)所示，轴线 zc为平行于面齿轮的节锥线且距离等于插齿刀节圆半径的直线，轴线zc交面齿轮轴线z2于点O2，插齿刀轴线zs和轴线zc的交点为Os，交角为倾斜角gc ，点P为节点，L0为节点与O2的距离，DL为交点Os相对节点P的增量距离；图1(b)中，虚线为插削直齿面齿轮的位置，实线为插削斜线齿面齿轮的位置；插齿刀沿轴线zs以速度vs进行切削，是插齿机的主运动；插齿刀绕轴线zs以角速度ws旋转，被加工面齿轮绕轴线z2以角速度w2旋转，两者形成展成运动且满足ws/w2=N2/Ns，N2为面齿轮齿数，Ns为插齿刀齿数。实际加工时，将安装工件的夹具及相应的传动链绕Os旋转gc后，即可实现斜线齿面齿轮的插齿加工。完成一个轮齿的插削后，通过分度机构将轮坯旋转2p/N2角度，继续插削下一个轮齿，直至插出所有轮齿。
图1 斜线齿面齿轮插齿原理
Fig. 1 Shaping principle of face gear with tilted tooth trace
1.2 插齿刀方程
图2所示为渐开线插齿刀的截面示意图，包括展成面齿轮工作齿面的渐开线齿廓
和加工过渡曲面的刀顶圆弧
，坐标系Ss(xs, ys, zs)为插齿刀坐标系，平面ys=0是插齿刀齿槽的对称面。矢量
由式(1)给出，
(1)
图2 插齿刀齿形
Fig. 2 Shaper involute profile
渐开线齿廓的位置矢量表示为[1]
(2)
式中：rbs=0.5mnNscosa0为渐开线插齿刀的基圆半径，mn为法向模数，a0为插齿刀压力角；us为刀具齿面的轴线参数，qs为刀具渐开线的角度参数，即渐开线的展角。式(2)中的正负号分别对应于刀具齿槽两侧的渐开线方程；q0s=0.5p/Ns-inva0为插齿刀渐开线起点的角度，渐开线函数inva0=tana0-a0。
渐开线齿廓的单位法线矢量为
(3)
在坐标系Ss中，刀顶圆弧
的位矢表示为
(4)
式中：qf为刀顶圆弧参数；rc为刀顶圆角半径；uf为插齿刀轴向参数；Xf和Yf为圆弧中心Of的坐标，由式(5)确定：
(5)
式(5)的第1个等式表示刀顶圆弧和渐开线齿廓相切交点A的位矢相等，第2个等式为圆弧与齿顶圆相切于B点，ras为插齿刀齿顶圆半径。求解式(5)计算出A点的圆弧参数
和展角参数
，代入
求出圆弧中心的坐标Xf，Yf。
2 面齿轮齿面方程
2.1 插齿加工坐标系
图3所示为斜线齿面齿轮加工过程的坐标系，其中动坐标系Ss和S2分别与插齿刀、面齿轮固联；坐标系Sa和Sd分别为插齿刀、面齿轮的参考坐标，用于确定插齿刀转角fs和面齿轮转角f1，辅助坐标系Sb确定了插齿刀轴线zs与面齿轮节锥线zb的倾斜角gc，辅助坐标系Sc用于确定与Sb的相对位置L0，gm为轴线zc与面齿轮轴线z2的交角。
图3 插齿加工坐标系
Fig. 3 Coordinate systems applied for generation
2.2 齿面展成
面齿轮齿面S2是由插齿刀的刀具面Ss包络展成，经过齐次坐标变换和啮合方程[1]，齿面的位置矢量表示为
(6)
式中：M2s=M2dMdcMcbMbaMas为刀具坐标系Ss到面齿轮坐标系S2的变换矩阵；
为插齿刀与面齿轮的啮合方程；
和
分别为工作齿面位矢对坐标参数
和
的偏导数；矢量
表示工作齿面的法矢；
为工作齿面位置矢量对插齿刀转角
求偏导，表示加工工作齿面时插齿刀和面齿轮的相对速度。同理，过渡曲面的表达式为
(7)
式中：
和
分别为过渡曲面的位矢对坐标参数
和
求偏导，
表示过渡曲面的法矢；
为过渡曲面位矢对插齿刀转角
求偏导，表示加工过渡曲面时插齿刀和面齿轮的相对速度。
3 齿宽限制条件
3.1 齿根根切
齿根根切是一种加工缺陷，易产生应力集中，降低轮齿的弯曲强度，造成齿轮过早失效，应该在几何参数设计阶段给予消除。避免根切可以通过限定刀具齿面Ss来实现。插齿刀齿面Ss的界限线L用下列方程确定[19]
(8)
式中：
；
，
和
分别为啮合方程
对坐标参数，和插齿刀转角的偏导数。
根切界限线L上的点A是根切极限点，即最先发生根切的位置。将代入式(8)中，求解出参数
和
；再将
代入到式(6)中求出面齿轮发生根切起始点的坐标
。则内端齿根不发生根切的内径为
(9)
由于斜线齿面齿轮齿面结构的不对称性，轮齿两侧不发生根切的内径需分别计算，记左、右侧根切起始点的坐标分别为
和
，将其代入式(9)，则两侧不发生根切的内径分别为
和
；另外，面齿轮内端齿根高不能太大，否则在有安装误差条件下，容易发生小轮齿顶和大轮齿根干涉的现象。设计时可预先给定内端工作齿高ha2，通过式(10)求解插齿刀转角参数
，获得齿面两侧对应点的坐标
和
，最后利用式(9)计算出给定工作齿高的两侧内径
和
。
(10)
面齿轮的内径R1应取最大值，即
。
3.2 齿根二次切削
为了提高刀具寿命和增加齿根强度，插齿刀都需刃磨出刀顶圆角。由于斜线齿面齿轮两侧齿面的不对称性，加工过渡曲面时容易产生齿根二次切削现象，即插削第二个轮齿左侧过渡曲面时会将第一个轮齿右侧过渡曲面的部分去除，是一种加工缺陷。由于面齿轮的过渡曲面区域是从外端往内端增加的，因此内端过渡曲面发生二次切削的可能性最大，应由刀顶圆弧的极限点B展成。假设刀顶圆角半径rc和内径R1已知，极限点B的圆弧参数
，代入式(7)求得过渡曲面位置矢量
；同时，内端过渡曲面的齿根点满足
(11)
式中：
和
分别为
的3个坐标分量；ras= 0.5mnNs+1.25mn。
联立式(6)的啮合方程和式(11)求解出内端齿根点参数
，
，代入式(6)求得两侧内端齿根点的位置矢量分别为
和
。矢量绕面齿轮轴线z2旋转到的旋转角
由式(12)确定。
(12)
式中：
为大轮轴线的矢量。则不发生二次切削的条件是
。
3.3 齿顶变尖
外端齿顶变尖是指轮齿的两侧齿面与齿顶圆锥面相交，使得齿顶厚等于0 mm；尖顶的出现削弱了在该区域轮齿的接触强度，应当避免齿顶变尖的发生。尖点位置通过求解式(13)获得。
(13)
式中：参数
和
分别表示面齿轮的左侧和右侧的齿面参数，坐标分量
，
，
和
，
，
分别为左、右齿面的坐标；rds=0.5mnNs-mn为插齿刀齿根圆半径，方程
和
分别为左、右两侧的啮合方程。则面齿轮不发生变尖的外径为
(14)
最后，斜线齿面齿轮的有效齿宽B=R2-R1。
4 算例
据上述设计方法，编写斜线齿面齿轮齿宽设计的计算程序。表1所示为斜线齿面齿轮的基本参数，图4所示为斜线齿面齿轮副的三维实体模型，图5所示为该面齿轮的齿宽设计流程。一般情况下，刀顶圆角半径rc越大，齿根弯曲强度越好，但它会影响内径R1和齿根二次切削，所以需迭代计算。初选文献[20]推荐值rc=0.635 mm，内端工作齿高ha2=5.357 8 mm时，内径R1=170.782 1 mm，外径R2=195.914 3 mm，旋转角qlr=3.454 9°＞3.364 5°(=2p/N2)，发生齿根二次切削；经过若干次迭代后，取rc=0.455 0 mm时，内径R1=173.683 0 mm，外径R2=195.914 3 mm时，旋转角qlr=3.364 5°，两侧过渡曲面平滑过渡，消除了齿根二次切削现象，但内径R1略有增大，齿根二次切削比较见图6。
图7所示为斜线齿面齿轮一侧的齿面接触印痕。从图7可以看出：该齿轮副为点接触且齿面接触印痕位于齿宽中部偏小端；接触迹线向小端倾斜，可增大面齿轮副的设计重合度，能够提高轮齿的强度。
取倾斜角gc=[0° 20°]和交点Os相对于节点位置L0移动的增量DL为-30.0 mm，0 mm，30.0 mm，DL＜0表示交点相对于L0靠近内端，DL＞0表示交点相对于L0靠近外端。图8所示为斜线齿面齿轮的内径、外径和齿宽随着倾斜角的变化曲线。当gc等于0°时，表示直齿面齿轮的情况。当gc不等于0°时，是一种用倾斜角表示偏置面齿轮，使面齿轮副设计和安装更加灵活。
表1 齿轮副基本参数
Table 1 Basic gear blank
图4 斜线齿面齿轮副三维实体模型
Fig. 4 Solid model of face gears pairs
图5 齿宽设计流程
Fig.5 Flow chart of tooth width design
图6 齿根二次切削比较
Fig. 6 Comparison of the second cutting of root
图7 齿面接触印痕
Fig. 7 Tooth contact pattern
从图8(a)和(b)可知：对于任意给定交点位置，斜线齿面齿轮内径R1和外径R2都是随着倾斜角gc增大而增大，且内径增大较外径多，从而导致有效B齿宽随倾斜角的增大而减小；同样，对于相同倾斜角gc，交点位置从内端移向外端，即从DL=-30.0 mm移动到DL=30.0 mm时，斜线面齿轮内径R1和外径R2也随之增大，且内径增大较外径的多，使得有效齿宽B减小，如图8(c)所示。
斜线齿面齿轮的最佳齿宽设计需要从倾斜角和交叉点位置这2方面分析，设计时需综合考虑斜线齿面齿轮副的实际工况、安装和轮齿强度等条件进行综合迭代优化获得，具有较高的难度，是本文后续的研究内容。
图8 倾斜角和交点增量对内径、外径和齿宽的影响
Fig. 8 Influence of increasing of tilted angle and cross point on inner and outer radius, width
5 结论
1) 随着倾斜角gc越大，斜线齿面齿轮的内径R1增大，外径R2也增大，但有效齿宽减小，当gc=0°时，
有效齿宽B达到最大，此时相当于直齿面齿轮，因此其齿形更具一般性。
2) 当交点Os沿面齿轮节线移动时，获得偏置斜线齿面齿轮副；在一定的L0范围内，面齿轮的有效齿宽B随Os从内端移向外端而减小。确定这2个参数需要综合考虑面齿轮副的实际工况、安装条件、轮齿强度等因素进行优化。
3) 减小插齿刀刀顶圆角半径rc可避免出现齿根二次切削，但会引起内径增大，从而使有效齿宽减小，但其对齿宽得影响程度较小，因此应当选用较小的圆角半径，避免加工缺陷。
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(编辑 赵俊)
收稿日期：2016-11-12；修回日期：2017-01-23
基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51205310，51375384)；陕西省自然科学基金资助项目(2015JQ5162)；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(310825171003，310825161006)；汽车零部件先进制造技术教育部重点实验室开放课题资助项目(2015KLMT06) (Projects(51205310, 51375384)supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(2015JQ5162) supported by the Natural Science Foundation of Shannxi Province; Projects(310825171003, 310825161006) supported by the Fundamental Research Founds for the Central Universities; Project(2015KLMT06) supported by the Open Fund of Key Laboratory of Advanced Manufacture Technology for Automobile Parts, Ministry of Education)
通信作者：苏进展，博士，副教授，从事齿轮传动技术研究；E-mail: sujinzhan@chd.edu.cn
