圆形水池底板与池壁的相互作用

夏桂云^{1, 2}，李传习²，张建仁²

(1. 中南大学 土木工程学院，湖南 长沙，410075；

2. 长沙理工大学 土木与建筑学院，湖南 长沙，410004)

摘要：考虑圆形水池池壁剪切变形的影响，基于底板对池壁的径向约束作用和弯曲约束作用，将圆形水池底板与池壁的相互作用简化成端部受切向弹性约束和转动弹性约束下的弹性地基Timoshenko梁。利用自编程序和Ansys对底板环形简支的圆形水池在均布荷载作用下的受力进行分析，比较考虑以及不考虑池壁剪切变形影响、底板与池壁相互作用共4种工况的受力状态。研究结果表明：圆形水池底板与池壁的相互作用明显，对内力和变形影响巨大，池壁剪切变形影响较小。

关键词：圆形水池；剪切变形；弹性地基梁；有限元方法；径向约束刚度；弯曲约束刚度

中图分类号：TU991             文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2013)01-0345-06

Interaction between base plate and thick wall of circular water tank

XIA Guiyun^{1, 2}, LI Chuanxi², ZHANG Jianren²

(1. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China;

2. School of Civil Engineering and Architecture, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410004, China)

Abstract: Considering the shear deformation effect of the thick wall for circular water tank, and the interactions of radial constraint and bending constraint between the base plate and the thick wall, the interacting model was imitated as elastic foundation Timoshenko beam supported by elastically tangential constraint and rotating constrain at the end. The self-complied program and Ansys were used to analyze the circular water tank with base plate simply loop-supported under the even distributing load. Four states of considering and not considering the shear deformation effect of the thick wall and the interaction between the base plate and the thick wall were presented. The change of the shear forces and moments of the thick wall were calculated with the bending constraint stiffness. The results show that the interaction between the base plate and the thick wall is enormous enough to affect the internal forces and the deformations, and the shear deformation effect of the thick wall is relatively small.

Key words: circular water tank; shear deformation; elastic foundation beam; finite element method; radial constraint stiffness; bending constraint stiffness

圆形水池作为一种特种结构，在给排水、石油、化工等领域应用非常广泛，其作为独立构件的池壁、顶板、底板、环梁受力分析方法很成熟，编制有多种荷载和边界条件下的计算表格^[1]，可供设计计算采用。

在这些计算中，其共同特点就是将边界条件假定为固定、铰支和自由3种情况。在通常情况下，圆形水池由2个或2个以上构件组成，构件间互相作用明显，其边界条件不同于构件独立计算的假定，具有弹性约束特征。为此，湖北给水排水设计院^[1]提出了位移法，但没有考虑基础板的径向变形影响；李建波^[2]提出了采用力矩分配法确定边界力和力矩，其适应于手算；李明义^[3]提出采用Ansys软件分析圆形水池的空间受力，此方法需要计算人员熟悉Ansys软件；Vallabhan等^[4]将圆形水池底板视为双参数地基板，提出了一种迭代解法和有限差法，分析了多种受力条件下的圆形水池底板受力问题；Mezaini等^[5]采用SAP2000有限元对圆形水池的土-结构相互作用进行了计算，分析了圆形水池地基条件和底板尺寸变化对水池受力的影响，以克服波特兰水泥协会(PCA)提供的设计系数的不足；James等^[6]针对1座大型圆形储水池结构，考虑池壁厚度变化和底板的约束条件，采用实体有限元对储水池的储水过程进行了分析和试验测试，对底板约束效应进行了测试、分析和解释。这些研究工作揭示了圆形水池底板与池壁的相互作用，但都将水池壁作为薄壳，没有考虑池壁剪切变形的影响。夏桂云等^[7-8]基于中厚壳理论建立了轴对称荷载作用下圆形水池的微分方程，分析了剪切变形的影响，指出池壁较厚的水池应考虑剪切变形的影响，并建立了考虑池壁剪切变形影响的圆形水池传递矩阵方法，丰富了圆形水池的计算方法。本文作者在此基础上建立底板与池壁相互作用模型，以期分析圆形水池底板对池壁的约束作用问题。

1  考虑剪切变形影响的池壁有限元分析

对于如图1所示圆形水池，在轴对称荷载作用下，考虑剪切变形影响，池壁的控制微分方程为Winkler地基Timoshenko梁^[7-8]，其微分形式如下^[7-8]：

        (1)

式中：w为池壁横向变形；E为材料弹性模量；h为池壁厚度；R为圆池半径；C为池壁的剪切刚度，；D为池壁的抗弯刚度，。利用式(1)，可建立有限元平衡方程^[7]：

      (2)

式中：；；；；；；，，， (i=1，2，3，4)，其具体表达式见文献[7-8]。

图1  环形简支的圆形水池

Fig.1  Simply loop-supported circular water tank

2  考虑底板弹性约束的圆形水池池壁模型

对置环形简支的如图1所示圆形水池，在轴对称荷载作用下，考虑剪切变形影响时，池壁的受力可简化成弹性地基梁(不考虑池壁剪切变形影响时为Winkler地基初等梁，考虑池壁剪切变形影响时为Winkler地基Timoshenko深梁)，底板对池壁的径向约束可等效成端部的径向弹性约束，底板对池壁的弯曲约束可等效成转动弹性约束，其分析模型如图2所示。径向弹性约束刚度K、转动弹性约束刚度B可由底板的平面应力分析和弯曲分析确定。

图2  受底板约束的池壁计算模型

Fig.2  Analysis model of tank wall constrained by base plate

3  底板(或顶板)对池壁的径向约束作用

圆形水池在轴对称荷载作用下，底板也呈轴对称，底板对池壁径向约束为圆板平面应力问题。假定底板与池壁间的径向拉力为p，如图3所示。轴对称圆板平面应力问题的双调和方程^[9-11]为：

图3　轴对称圆板受平面径向拉力p作用

Fig.3  Axisymmetric circular plate under radial tension p

 　     (3)

其径向位移解为：

               (4)

对于厚度为t的圆板，单位宽度上的径向拉力-径向位移关系为：

  　　         (5)

由式(5)可知池壁端部切向弹性约束刚度K为：

   　           (6)

4  底板对圆形水池池壁的弯曲约束作用

底板对圆形水池池壁弯曲约束作用主要是底板具有抗弯能力，其边缘弯曲刚度决定其对池壁约束程度，因此，可将底板视为轴对称荷载作用下的圆形板，分析其边缘弯矩-转角关系来计算模型中的弹性转动刚度B。圆形水池底板支撑条件有多种形式，本文只分析环形简支、弹性地基支撑2种形式下的刚度。

4.1  周边环形简支底板

周边环形简支圆板在无荷载条件下的奇异方程^[9-10]为：

　   　(7)

其边缘处弯矩与转角间的关系^[9-10]为：

               (8)

环形简支底板对池壁弹性约束的转动刚度为：

                  (9)

4.2  弹性半空间地基上底板的弯曲约束刚度

弹性半空间地基上底板边缘弯矩与转角为：

                 (10)

式中：系数k与参数Q有关^{[1, 12-13]}，Q的表达式为：

　    　　　(11)

弹性半空间地基上底板对池壁弯曲约束刚度为：

　　　　 　　　　(12)

5  计算方法

根据前述的池壁计算有限元理论和底板弹性约束刚度，编制考虑剪切变形影响、底板与池壁相互作用的计算程序SDEBPSFEM.F90^[14]。同时，为了校核计算程序的准确性，还利用Ansys进行校对。在Ansys中，池壁采用可考虑地基弹性支撑的Beam54单元，其实常数F为梁底的地基基床系数，可按下式进行计算：

　　　     　　　(13)

底板的约束刚度采用Matrix27单元模拟，将式(6)中的切线刚度和式(8)中的转动刚度作为单元的实常数即可^[15]。

6  计算示例

底部环形简支的圆形水池如图4所示。圆形水池半径R=5.0 m，高H=4.2 m，池壁厚度h=0.4 m，底板周边环形简支。池壁材料为C50混凝土，弹性模量E=34.5 GPa，剪切模量G=13.8 GPa，受均布荷载p=1.0×10⁷ N/m²作用，池壁剪切修正系数k=5/6。根据式(9)，底板对池壁的转动刚度取为B=36.8 MN·m；根据式(6)，底板对池壁的径向剪切刚度取为K=3.68 GN/m。

图4　底部环形简支的圆形水池

Fig.4  Circular water tank with base plate simply loop-supported

为方便比较，本文分析了4种工况：(1) 考虑池壁的剪切变形影响，同时也考虑底板与池壁相互作用而形成的弹性约束边界；(2) 不考虑池壁的剪切变形影响，但考虑底板与池壁相互作用而形成的弹性约束边界；(3) 考虑池壁的剪切变形影响，但将底板作为固结的边界条件；(4) 不考虑池壁的剪切变形影响，同时将底板作为固结的边界条件。利用本文所编制的程序对结构进行分析，池壁水平变形、转角、弯矩和剪力计算结果分别如图5~8所示。为检验程序的准确性，同时也用Ansys软件中的Beam54单元按端部弹性约束的Winkler地基梁进行分析与校核，其结果与本文程序所得结果一致，这里不再列出。

从图5~8可以看出：考虑底板的实际刚度，池壁的变形、转角、剪力、弯矩分布与假定底部固结时差别较大。如在池顶，考虑底板与池壁相互作用时，池壁的水平变形比不考虑底板与池壁相互作用时的水平变形减小5.05%，转角则相差112.62%，并且转动的方向都发生改变。在池底，其剪力减小47.88%，弯矩减小90.64%。由此可见：底板对圆形水池池壁的弹性约束作用比较大，计算中不能简单地将其简化成固支、简支或自由边界条件，而应考虑其相互作用。

图5　池壁不同高度截面的水位位移

Fig.5  Horizontal deformations of different height sections for thick wall

图6　池壁不同高度截面的转角位移

Fig.6  Rotating angles of different height sections for thick wall

图7　池壁不同高度截面的弯矩系数

Fig.7  Moment parameters of different height sections for thick wall

图8　池壁不同高度截面的剪力系数

Fig.8  Shear force parameters of different height sections for thick wall

为分析底板转动刚度的影响，改变底板的转动刚度，取刚度比n为10²⁶ (相当于池壁底部转动固结)，10²，10¹，10⁰，10^-1，10^-2，10^-3和0倍(相当于池壁底部转动自由)，得到池壁剪力、弯矩系数如图9和图10所示。

图9　截面剪力系数随底板转动刚度的变化

Fig.9  Relationship between shear efficience and rotating stiffness of base plate

图10　截面弯矩系数随底板转动刚度的变化

Fig.10  Relationship between moment coefficient and rotating stiffness of base plate

从图9和图10可以看出：底板转动刚度主要影响池壁底部的内力分布，对池壁上部影响较小；存在1个不动点，在此不动点处，其内力与底板转动刚度无关。此外，剪力的不动点在池壁高约0.743H处、弯矩的不动点在池壁高约0.476H处。

7  结论

(1) 考虑底板对池壁的径向约束作用和弯曲约束作用，建立了圆形水池底板与池壁相互作用的计算模型，即端部受切向弹性约束和转动弹性约束的Winkler地基Timoshenko梁模型，可用于圆形水池底板与池壁相互作用的分析和圆形水池的受力计算。

(2) 圆形水池底板与池壁的相互作用非常明显，因此，对有底圆形水池的池壁分析不能简单地假定池壁边界条件为固支、简支或自由等，否则，计算结果严重失真。

(3) 对于常规的结构，池壁剪切变形影响较小，可以忽略。但是，考虑池壁剪切变形影响的计算模型从理论上来说更完善，适应性更广。

(4) 底板对池壁的弹性约束受底板的支撑条件限制，在复杂支撑条件如多环简支、弹性地基支撑等下，其切线约束刚度和转动约束刚度的理论推导比较复杂，是本文分析模型推广应用的关键问题。

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(编辑  陈灿华)

收稿日期：2012-01-10；修回日期：2012-03-12

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51278072)；中国博士后科学基金资助项目(2012M521555)；湖南省科技计划资助项目(2012FJ4125)

通信作者：夏桂云(1972-)，男，湖南湘阴人，博士，副教授，中南大学交通运输工程博士后流动站在站博士后，从事结构剪切变形影响、桥梁结构理论研究；电话：13974885367；E-mail: xiagy72@163.com