DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2015.03.021
考虑剪力墙剪切变形影响的框架-剪力墙结构分析的传递矩阵法
夏桂云1, 2, 3，郭德群2，俞茂宏3，曾庆元1
(1. 中南大学 土木工程学院，湖南 长沙，410075；
2. 长沙理工大学 土木与建筑学院，湖南 长沙，410004;
3. 西安交通大学 航天航空学院，陕西 西安，710049)
摘要：考虑剪力墙剪切变形影响、连梁固结连接条件，利用变分原理，建立框架-剪力墙结构分析模型的微分方程。推导微分方程的初参数解，进而建立适应变刚度结构分析的传递矩阵法，给出均布荷载和倒三角形分布荷载作用的传递矩阵荷载附加项的计算公式，导出顶部集中荷载、顶部集中弯矩、沿高度方向均布荷载和倒三角形分布荷载作用下的挠度、转角、剪力墙弯矩、剪力的计算公式。以2个铰结体系框架-剪力墙为例，对计算公式进行验证。研究结果表明：当连梁等效抗弯刚度为0 kN·m/m时固结体系可退化成铰结体系，当剪力墙抗剪刚度趋于无穷大时，弯剪型剪力墙可退化为不考虑剪切变形的弯曲型剪力墙，因此，本文微分方程可适应于多种模型的计算；采用传递矩阵法分析变刚度框架-剪力墙结构，其计算结果与采用平均刚度法的理论解析解结果较吻合，证明传递矩阵法与平均刚度法都具有可行性，但若提高计算精度，则应采用能考虑变刚度特征的传递矩阵法或有限元法；考虑剪力墙剪切变形影响的本文计算公式所得计算结果与其他公式所得结果有一定差别。
关键词：框架-剪力墙；剪切变形；传递矩阵法；变刚度；固结体系；解析解
中图分类号：TU311；O342 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2015)03-0917-09
Transfer matrix method for the analysis of frame-shear wall structures including shear deformation effects of shear wall
XIA Guiyun1, 2, GUO Dequn2, YU Maohong3, ZENG Qingyuan1
(1. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China;
2. School of Civil Engineering and Architecture, Changsha University of Science and Technology,
Changsha 410004, China;
3. School of Aeronautics and Astronautics, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)
Abstract: Considering the shear deformation effect of shear wall and the rigid joint condition of connecting beam, a differential equation was presented for the analysis of frame-shear wall structures based on the variational principle. The initial parameter solutions to the differential equation were derived, and the transfer matrix method was put forward to analyze the frame-shear wall structures with variable stiffness. The additional items of calculations of frame-shear wall structures subjected to the uniformly distributing load and triangularly distributing load were established using transfer matrix method. The deflection, slope, moment and totel shear force were derived for frame-shear wall structures under the concentrated load and concentrated moment on the top, the uniformly distributing load and triangularly distributing load along the height. By using two hinged systems of frame-shear wall structure as the examples, the derived formulae were checked. The results show that when the equivalent flexural stiffness of connecting beam is 0 kN·m/m, the fixed system is degenerated into the hinged system, and when the shear stiffness of shear wall tends to be infinite, the flexural-shear type shear wall is transformed into the flexural type shear wall without the shear deformation effects, so the present differential equation can be used to analyze multi models of frame-shear wall structures. For variable stiffness structures, the calculating results obtained by the present transfer matrix method agree with those of the analytical solutions obtained by the equivalent uniform stiffness, so both methods are feasible. To obtain high precision, the transfer matrix method and finite element method are preferred to adapt to the variable stiffness structures. When the shear deformation effect of shear wall is considered, the results obtained by the presented formulae in this paper differ from those obtained by other formulae.
Key words: frame-shear wall; shear deformation; transfer matrix method; variable stiffness; fixed system; analytical solution
近年来，高层建筑结构发展的一个特点是体型复杂化[1]，框架-剪力墙结构由于适应平面内结构的布置，在高层建筑结构中日渐增多，这种结构通过框架、剪力和刚性楼板连接在一起协同工作。人们对其静力分析进行了深入研究，如：包世华[2]将连梁连续化建立了结构分析的微分方程，导出了常见荷载作用下的理论解析解；王崇昌等[3]考虑剪力墙基础转动对框架-剪力墙结构的影响，导出了剪力墙基础转动和外载共同作用下的理论解析解；司林军等[4]针对变刚度框架-剪力墙结构提出了初参数解和传递矩阵法；郭乐工等[5]基于框架-剪力墙之间结构侧移柔度，提出了一种基于链杆内力离散化分布模式的框架-剪力墙侧向刚度新算法，可解决框架与剪力墙各自所承受水平荷载的合理分配问题；孟焕陵[6]基于优化原理，对框架-剪力墙结构中的剪力墙合理刚度进行了研究，导出了3种常见荷载作用下剪力墙合理数量，分析了连接形式对剪力墙合理刚度的影响；Capuani等[7]将框 架-剪力墙结构连续化，建立了动力特性分析的有限元法，得到了结构的整体刚度矩阵和质量矩阵，其有限元结果与其他理论分析结果、实验结果较吻合；Topkaya等[8]将框架-剪力墙视为竖向的悬臂结构，开发了一种结构基频的手算方法，其结果与有限元结果较吻合。以上研究都没有考虑剪力墙的剪切变形影响。当考虑剪力墙剪切变形影响时，唐兴荣[9]将连梁的约束作用沿高度方向连续化，建立了考虑剪力墙剪切变形影响的框架-剪力墙结构在水平荷载作用下的平衡微分方程，推导了多种荷载作用下结构内力和位移的计算公式，其不足之处是其个别公式在不考虑剪力墙剪切变形影响时不能退化成经典的计算公式。郭猛等[10]利用Timoshenko梁双挠度理论，将框架-密肋复合墙结构视为由剪切型悬臂框架、弯剪型悬臂剪力墙组成双重抗侧力体系，采用连续化方法建立了框架-密肋复合墙结构的微分方程，导出了计入复合墙剪切变形的位移和内力解析表达式，其分析揭示剪切变形能改变内力在框架与复合墙之间的分配比例[10]。他们的研究都是针对铰结体系的框架-剪力墙结构，没有研究固结体系情形，当考虑剪力墙的剪切变形影响时，建立的微分方程、位移与内力的计算公式也互不相同，而且他们的研究也都是针对沿高度方向结构参数不变的等刚度框架-剪力墙结构，不适应变刚度的情况。夏桂云等[11]考虑剪力墙的剪切变形影响，基于Timoshenko梁理论建立了等刚度框架-剪力墙的微分方程，得到了常见荷载的理论解析。在实践中，框架-剪力墙有呈阶梯的变刚度布置形式，如剪力墙不到顶[12]、沿高度方向结构尺寸有变化等都是变刚度结构；连梁与剪力墙、框架两者固结的情形特别多，连梁的约束弯矩作用不能忽略。为此，本文作者根据能量原理，利用变分法建立考虑剪力墙剪切变形影响的固结体系框架-剪力墙结构的分析模型，导出微分方程的初参数解，进而建立其传递矩阵方法，以便为变刚度框架-剪力墙结构分析提供一种有利的工具。利用变分原理建立框架-剪力墙的微分方程具有概念清楚、过程简单等特点。
1 框架-剪力墙结构的微分方程
由于框架-剪力墙铰结体系可视为固结体系的一种特例，因此，固结体系模型更具代表性，本文以此为研究对象。为建立分析模型，将连梁连续化，承受任意分布荷载的计算模型如图1所示。为方便建立分析模型的微分方程，假定：1) 考虑剪力墙的剪切变形影响，视剪力墙为弯剪型悬臂构件，利用Timoshenko梁理论进行分析；2) 只考虑框架的剪切变形影响，忽略其弯曲变形影响，视框架为剪切型悬臂构件；3) 水平连梁与剪力墙、框架固结，考虑连梁的约束弯矩作用，不考虑连梁轴向的弹性压缩，框架和剪力墙变形协调。框架-剪力墙简化计算模型如图2所示(按固结体系建立通用模型，令水平连梁的等效抗弯刚度为0 kN·m/m，则固结体系可退化为铰结体系)。
图1 固结体系的框架-剪力墙结构
Fig. 1 Frame-shear wall structures of fixed system
图2 考虑连梁约束弯矩效应的框架-剪力墙计算简图
Fig. 2 Calculating models of frame-shear wall structures considering shear deformation effects of shear wall and constrained moment influences of connecting beam
根据框架-剪力墙常规分析方法，设框架水平抗推刚度为CF，框架-剪力墙结构的水平位移为w，框架的剪切角为
，则框架的剪切变形势能为
(1)
将剪力墙视为考虑剪切变形影响的弯剪形悬臂构件，其水平位移为w、转角为θ、剪切应变为-θ，根据Timoshenko深梁理论，其弯曲变形和剪切变形的势能为[13-14]
(2)
式中：D为剪力墙抗弯刚度(D=EI)；C为剪力墙抗剪刚度(C=μGA)；μ为剪力墙剪切修正系数；G为材料抗剪模量；A为截面面积。
连梁约束弯矩MB与端部转角θ之间假定为[2]
(3)
式中：S为连梁抗弯刚度[2]。
若楼层高h范围内有n根连梁，则连梁沿高度方向约束弯矩的分布力矩[2]为
(4)
式中：CB为连梁的等效抗弯刚度。其势能
为
(5)
框架-剪力墙结构的总势能为
(6)
式中：P为框架-剪力墙的分布荷载；m为分布弯矩。
对式(6)进行变分，得到框架-剪力墙结构的微分方程为
(7)
由式(7)的第1式知
(8)
框架-剪力墙结构中受分布弯矩m作用荷载的机会较小，不考虑分布弯矩的作用，由式(7)的第2式知
(9)
将式(9)微分1次，再将式(8)的一、三阶导数代入，引入高度方向的规一化条件，即
，可得微分方程为
(10)
式中：
，为考虑剪切变形影响的固结体系框架-剪力墙结构的刚度特征值。
式(10)中，当不考虑连梁的约束弯矩影响时，令
kN·m/m，则微分方程从固结体系退化成铰结体系，此时与郭猛等[10]所推导的方程一致，但与唐兴荣[9]所建立的方程有所不同。
若不考虑剪力墙的剪切变形影响，即令C→∞，则微分方程退化为经典理论模型[2-3]。
2 微分方程的初参数解
不考虑分布荷载p的影响，令式(10)中右端项为0，即可得到框架-剪力墙结构的水平位移、转角、剪力墙的弯矩、框架和剪力墙的总剪力奇次解析解为：
；
；
；
。 (11)
式中：A1，B1，C1和D1为待定参数。用初始状态参数(即
时的挠度
，转角
，框架-剪力墙的总剪力
，剪力墙弯矩
)来表示结构的变形、内力解即初参数解，结合初始状态参数确定式(11)的待定参数，有
；
；
；
。 (12)
将上述待定参数回代到初参数解的式(11)中，有
(13)
式中：
；
；
；
；
；
；
；
。
3 结构分析的传递矩阵方法
根据初参数解便可建立其传递矩阵方法[15]。传递矩阵方法将结构分成若干站点(两站点间的结构为节段)，利用矩阵将节段的首尾站点的状态向量联系起来。当节段内有作用荷载时，需要建立荷载附加项的计算公式[13, 16]，这是传递矩阵方法的核心内容。任意荷载作用下等效框架-剪力墙体结构如图3所示。设框架-剪力墙结构中节段内作用有任意荷载的情况，如集中力、集中力偶、均布荷载、三角形分布荷载等。
节段内的状态向量(水平位移、转角、框架和剪力墙的总剪力、剪力墙的弯矩)用左端(x=0)的初参数表示为：
；
图3 任意荷载作用下等效框架-剪力墙结构
Fig. 3 Equivelent frame-shear wall structures under arbitrary loads
；
；
。 (14)
式中：
(i=a, b, c, d)表示当
≥i时应考虑此荷载附加项，当＜i时不考虑此荷载附加项[13, 16]。其中：
；
；
；
；
；
；
；
。
4 等刚度框架-剪力墙结构在常见外载作用下的理论解
有了传递矩阵的基本公式，便可以很方便地建立等刚度框架-剪力墙结构在各种常见荷载作用下的理论解析。
4.1 顶部集中力作用下的理论解
框架-剪力墙结构在顶部集中力作用下，框架-剪力墙底部固结，即时的位移
m，
rad，框架-剪力墙顶部(
)的总剪力
kN，弯矩
kN·m。由式(14)所示的矩阵传递公式，有
(15)
解得
(16)
则框架-剪力墙结构在顶部集中力作用下的水平位移、转角、剪力墙弯矩和总剪力的理论解为
(17)
4.2 在顶部集中力偶作用下的理论解
在顶部作用集中力偶时，框架-剪力墙底部固结，即时水平位移 m、转角位移 rad，框架-剪力墙顶部()的总剪力总剪力
kN，弯矩
。类似地，由边界条件确定初参数
和
，再将初参数代入解析解中，有
(18)
4.3 均布荷载作用下的解析解
在均布荷载作用下，框架-剪力墙底部固结，即时水平位移 m，转角位移 rad，框架-剪力墙顶部()的总剪力总剪力 kN，弯矩 kN·m。类似地，由边界条件确定初参数Q0和M0，再将初参数代入解析解中，有
(19)
4.4 倒三角形分布荷载作用下的理论解
在倒三角形分布荷载作用下，框架-剪力墙底部固结，即时水平位移 m，转角位移 rad，框架-剪力墙顶部()的总剪力总剪力 kN，弯矩 kN·m。类似地，由边界条件确定初参数Q0和M0，再将初参数代入解析解中，有
；
；
；
。 (20)
5 算例分析
为验证所建立的公式的正确性，以2个算例为工程背景进行对比分析。
算例1：某12层住宅楼[2]如图4所示，底层高6.0 m，顶层高3.8 m，其他楼层高3.0 m。包世华[2]根据各层结构的构造计算得到剪力墙抗弯刚度D：第1层为46.0×1010 N·m2，第2~3层为39.8×1010 N·m2，第4~7层为34.12×1010 N·m2，第8~12层为29.44×1010 N·m2；框架抗推刚度CF：第1层为7.11×108 N，第2~3层为10.49×108 N，第4~7层为10.17×108 N，第8~11层为9.71×108 N，第12层为7.0×108 N。为方便按理论解析解进行结构分析，包世华[2]将变刚度框架-剪力墙结构等效成等刚度结构，各种刚度取各层刚度的平均值，即剪力墙抗弯刚度D=34.9×1010 N·m2，框架抗推刚度CF=93.16×108 N，地震作用折算成倒三角形分布荷载，q=185.2 kN/m。不考虑剪力墙剪切变形的影响，将框架-剪力墙分成12站，本文利用传递矩阵方法计算变刚度框架-剪力墙结构的水平位移、转角和剪力墙弯矩，同时利用经典的理论解析解，对等效的等刚度结构相应水平位移、转角位移和剪力墙弯矩进行计算。2种方法的计算结果如图5~7所示。
图4 变刚度框架-剪力墙受倒三角形分布荷载作用
Fig. 4 Frame-shear wall structure with variable stiffness under triangularly distributing load
从图5~7可以看出：考虑结构刚度变化，本文利用传递矩阵方法所得结果与经典理论解析解基本一致，证明本文传递矩阵方法的正确性。由于在经典理论解析解计算中剪力墙抗弯刚度、框架抗推刚度是取各层刚度的平均值，有一定近似，造成其计算结果与本文结果有一定误差，其中水平位移最大值(位置为结构顶部)中，本文结果为4.286 5 cm，理论解析结果为4.716 7 cm，相对误差为9.12%；转角最大值中(位置为距底23.4 m)，本文结果为1.365 3 mrad，理论解析结果为1.470 5 mrad，相对误差为7.15%；剪力墙最大弯矩(位置为结构底部)中，本文结果为5.689 7×107 N·m，理论解析结果为5.384 8×107 N·m，相对误差为5.66%。
从上述传递矩阵法结果和理论解析结果可以看出:变刚度框架-剪力墙结构采用平均刚度的理论解析法进行分析具有可行性，但有一定的误差，若要提高计算精度，则应采用诸如本文所建立的能考虑变刚度特征的传递矩阵方法或有限元法等。
算例2：某12层铰结体系框架-剪力墙结构，高39.8 m，剪力墙抗弯刚度D=10.44×1010 N·m2，抗剪刚度C=2.684×1010 N，框架抗推刚度CF=9.9×108 N，承受倒三角形分布荷载作用，q=228.2 kN/m。利用本文的传递矩阵方法所得计算结果和利用文献[9]中公式、文献[10]中公式及不考虑剪力墙剪切变形影响的经典公式[2]计算的结果如图8和图9所示。
从图8可以看出：考虑剪力变形影响的本文结果和文献[10]中结果都比经典的不考虑剪切变形影响结果大，但考虑剪切变形影响的文献[9]中计算结果明显偏小。本文作者怀疑文献[9]中计算公式有误，其原因主要是：1) 对于铰结体系的框架-剪力墙，本文与文献[10]定义的结构刚度特征值都为
，而文献[9]中定义
，虽然不考虑剪力墙剪切变形时(剪力墙抗剪刚度C→∞)，2种刚度特征值式完全一致，但当剪力墙剪切刚度与框架抗推刚度在同等级数量级时就有明显差别；而刚度特征值是影响框架-剪力墙结构内力、变形分布的最重要参数，其表达式不一致，因而计算结果出现较大偏差；2) 文献[9]所推导的考虑剪力墙剪切变形影响的框架-剪力墙结构在倒三角形分布荷载作用下的水平位移计算公式(文献[9]中的式(18(a))在不考虑剪力墙的剪切变形时不能退化成经典的计算公式。文献[9]中的水平位移计算公式为
(21)
式中：
依原文定义为
。若不考虑剪力墙的剪切变形，即当
，
时，理论上，式(21)应退成经典公式[2]，得
(22)
可以看出：退化式(22)与经典公式相差甚远。在水平位移计算中，文献[9]中结果与本文结果、文献[10]中结果差别较大的主要原因可能是文献[9]中公式有误。
图5 变刚度框架-剪力墙在倒三角形分布荷载作用下的水平位移
Fig. 5 Horizontal displacement of frame-shear wall structure with variable stiffness under triangularly distributing load
图6 变刚度框架-剪力墙在倒三角形分布荷载作用下的剪力墙转角
Fig. 6 Slope of frame-shear wall structure with variable stiffness under triangularly distributing load
图7 变刚度框架-剪力墙在倒三角形荷载作用下的剪力墙弯矩
Fig. 7 Bending moment of shear wall in frame-shear wall structure with variable stiffness under triangularly distributing load
图8 框架-剪力墙结构在倒三角形分布荷载作用下的水平位移
Fig. 8 Horizontal displacements of frame-shear wall structure under triangularly distributing load
图9 框架-剪力墙结构在倒三角形分布荷载作用剪力墙的弯矩
Fig. 9 Bending moment of shear wall in frame-shear wall strucutre under triangularly distributing load
6 结论
1) 将框架-剪力墙结构的连梁作用连续化，利用变分原理，导出了考虑剪力墙剪切变形影响的固结体系框架-剪力墙结构的微分方程。当连梁等效抗弯刚度 kN·m/m时，框架-剪力墙结构由固结体系退化为铰结体系。当剪力墙抗剪刚度时，框架-剪力墙结构由考虑剪力墙剪切变形影响退化为不考虑剪力墙剪切变形影响。因此，本文所建立的微分方程具有通用性，可适应于多种计算模型的分析。
2) 基于本文所导出的微分方程，推导了方程的初参数解，建立了适应变刚度结构的传递矩阵方法，推导了均布荷载、倒三角形分布荷载的计算附加项，为变刚度框架-剪力墙结构提供了一种较方便的分析方法，是传统理论解析方法的有益补充。
3) 考虑剪力墙剪切变形影响时，本文所建立的计算理论与以往利用双挠度理论所建立的计算公式有一定差别，因此，考虑剪切变形影响的框架-剪力墙结构分析仍需进一步研究。
4) 对于变刚度框架-剪力墙结构，利用平均刚度进行经典的理论分析具有一定的可行性，但要提高计算精度，应采用诸如本文所建立的传递矩阵法、有限元法等考虑变刚度特征的计算方法。
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(编辑 陈灿华)
收稿日期：2014-04-10；修回日期：2014-06-22
基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51278072)；中国博士后科学基金资助项目(2012M521555)；湖南省科技计划项目(2012FJ4025)；湖南省学位与研究生教育教改项目(JG2012B031) (Project(51278072) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(2012M521555) supported by the National Science Foundation for Post-doctoral Scientists of China; Project(2012FJ4025) supported by Science and Technology Plan of Hunan Province; Project(JG2012B031) supported by Academic Degrees and Graduate Education Reform of Hunan Province)
通信作者：夏桂云，博士，在站博士后，教授，从事剪切变形对结构的影响、预应力混凝土箱梁结构的计算理论研究；E-mail: xiagy72@163.com
