Winkler地基上Timoshenko深梁的有限元分析

夏桂云¹，李传习¹，曾庆元²

(1. 长沙理工大学 土木与建筑学院，湖南 长沙，410076；

2. 中南大学 土木建筑学院，湖南 长沙，410075)

摘  要：建立Winkler地基上Timoshenko深梁的初参数解和有限元列式，导出单元刚度矩阵和均布荷载、集中力、集中力偶等非结点荷载的等效公式。根据《材料力学》剪应力分布假定，提出截面剪切修正系数的梯形分块算法，计算T形截面的剪切修正系数。运用建立的有限元对弹性地基上变截面阶梯梁、等截面倒T梁的弯曲问题进行计算。分析剪切变形对两端固支弹性地基梁的地基沉降影响。研究结果表明：考虑剪切变形影响与不考虑剪切变形影响计算的悬空长度、最大挠度、最大转角、最大剪力和最大弯矩分别相差48.88%，4.61%，67.17%，43.59%和59.26%，证明剪切变形对弹性地基梁有重要影响。

关键词：弹性地基梁；剪切变形；有限元；初参数

中图分类号：O342；TB115         文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2010)04-1549-07

Finite element formulation of Timoshenko beam on Winkler elastic foundation

XIA Gui-yun¹, LI Chuan-xi¹, ZENG Qing-yuan²

(1. School of Civil and Architectural Engineering, Changsha University of Science and Technology,
Changsha 410076, China;

2. School of Civil and Architectural Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)

Abstract: Initial parameter solution and finite element formulation of Timoshenko beam on elastic foundation were presented. Element stiffness and equivalent nodal forces of distributing load, concentrating load and concentrating moment were deduced. Based on the shear stress distribution assumption of material mechanics, trapezium-meshed arithmetic method for shear correction factor was proposed. Shear correction factors of T-type cross-sections were calculated. Stepped T-beam of variable cross-section and inverse T-beam were analyzed. Local hanging beam on elastic foundation was studied with and without shear deformation. The results show that the hanging length, maximum deformation, slope, shear force and moment differ at 48.88%, 4.61%, 67.17%, 43.59%, 59.26%, which verifies the importance effect of shear deformation for beam on elastic foundation.

Key words: elastic foundation beam; shear deformation; finite element; initial parameter

弹性地基梁在土木工程中获得了广泛应用，特别是在铁路、公路、隧道和房屋等工程中，以其简单、适用而备受青睐。目前，常用的地基模型^[1-4]有Winkler弹性地基模型、双参数模型、三参数模型、有限深地基模型和半无限体弹性地基模型等；分析方法^[1-4]有解析法、有限元法、级数法和链杆法等。在实践中经常遇到弹性地基梁的梁长较短、梁厚较大、高度局部承载和局部悬空等情况，此时，梁的剪切变形影响较   大^[5]。Selvadurai^[3]指出：弹性地基梁的剪切变形影响程度受梁刚度和地基刚度之比的控制，一般弹性地基短梁、厚梁和局部高度承载的地基梁应考虑剪切变形的影响，但目前国内弹性地基梁多采用初等梁理论，如：龙驭球^[1]基于初参数法建立弹性地基初等梁有限元列式，没有考虑梁的剪切变形影响；刘小兵等^[6]在分析双跨连拱隧道以地基梁方式穿越溶槽地段时，将中墙简化为弹性地基初等梁，不考虑梁的剪切变形影响；陈天愚等^[7]基于初等梁单元的插值函数和弹性地基初等梁的解析函数，建立弹性地基梁2种修正单元刚度矩阵，也是弹性地基初等梁单元，忽略梁的剪切变形影响；王燮山^[8]应用奇异函数法分析阶梯形弹性地基梁，同样没有考虑梁的剪切变形影响。实践中，弹性地基梁的剪切变形影响有时是不能忽略的，黄义等^[4]研究Winkler地基上Timoshenko梁的自由振动，得出剪切变形对高阶频率有一定影响。Essenburg^[9]建立的弹性地基Timoshenko梁弯曲的解析方法显示忽略剪切变形影响是有一定条件的。Aydogan^[10]基于双挠度理论建立的弹性地基深梁有限元算例显示剪切变形影响比较显著。然而，考虑剪切变形影响的经典理论是Timoshenko两广义位移梁理论，人们基于此理论的弹性地基梁研究较少，为此，本文作者建立Winkler地基上Timoshenko深梁单元的有限元列式，并导出分布荷载、集中力、集中力偶等非结点荷载的等效公式。

1  Winkler地基上Timoshenko深梁单元

1921年，Timoshenko提出了两广义位移深梁理  论^[5]。Winkler地基上Timoshenko深梁用挠度w、转角两广义位移表示的平衡方程为：

       (1)

式中：K为基床系数；；；E为弹性模量；I为抗弯惯性矩；G为抗剪模量；A为截面面积；n为剪切修正系数；q为分布荷载。

不考虑梁上荷载时，用初参数法可导出解析解的表达式为：

 (2)

式中：Q为剪力；M为弯矩；，，和(i=1, 2, 3, 4)为影响函数。

当梁上有各种作用荷载时，其解析解中可通过附加荷载影响项^[1]来表示其影响。

利用式(2)，采用初参数法，可建立考虑剪切变形影响的Winkler地基上Timoshenko深梁的有限元平衡方程，其建立方法、步骤与文献[1]基本一致。

2  非结点荷载的等效

在有限元中，非结点荷载都必须等效成结点力，一般基于功的互等定理进行推导。本文作者所建立的有限元由于是从初参数解中转换过来，没有显式的形函数，不便采用常规方法进行非结点荷载的等效，必须根据构件在非结点荷载作用下的固端力与等效结点力的关系(数值相同、方向相反)进行转化。本文作者具体推导出单元内作用的均布荷载、集中力和集中力偶等非结点荷载的等效公式，但由于计算公式复杂，此处不给出其具体表达式。

3  剪切修正系数n的数值算法

应用弹性地基上Timoshenko深梁单元进行结构分析时，其单元截面剪切修正系数的计算是一个重要问题^{[5, 11]} 。本文作者基于《材料力学》中的剪应力分布假定，提出一种梯形分块算法。截面剪切修正系数的计算公式^[5]为：

                 (3)

式中：A，I，b和S分别为截面的面积、抗弯惯性矩、宽度和截面中计算部位对中性轴的静矩。梯形分块法是截面几何特性计算的常用方法，颜东煌等^[12]将此方法应用于桥梁工程的主梁截面面积、抗弯惯性矩和形心位置的计算。

对于剪切修正系数n，假定已知整个截面的面积A、抗弯惯性矩I和形心位置。将截面x轴设在形心位置处，并将截面从下往上顺序划分成若干梯形，如图1所示。单个梯形块i(如图2所示)的阴影部分(从竖坐标为H的底部至竖坐标为y的计算部位)面积A_y、形心位置Y_c、上顶宽c分别为：

     (4)

   (5)

            (6)

图1  截面的梯形分块

Fig.1  Trapezium mesh of cross-section

图2  第i个梯形块的计算图式

Fig.2  Computing model of No.i trapezium

第i个梯形块的积分为：

      (7)

式中：，为第i个梯形块以下的小梯形

块对X轴(截面形心轴)的面积静矩。

由上式积分难于得出其解析式。为了保证计算的稳定和精度，采用Gauss数值积分方案。将整个截面的m个梯形块的积分V_i叠加起来，得整个截面的积分，将其代入式(3)则得截面的剪切修正系数为：

                (8)

根据上述计算公式和方法，本文作者编制了计算程序GEO.F90，对能进行梯形划分的任意截面面积、惯性矩、中性轴位置、剪切修正系数进行计算。经计算，对矩形、三角形和梯形截面，n=6/5；对菱形截面，n=31/30；对实心圆截面和椭圆截面，n=10/9；对半圆截面，n=1.161 68；对薄壁空心圆截面，n=2；对薄壁方管截面，n=81/40。其计算结果与罗氏结果^[13]一致。该方法理论简单，输入数据少，应用方便。

4  算例分析

4.1  剪切修正系数的计算

包世华^[14]给出了翼板与腹板同厚度的T形截面的剪切修正系数，本文作者采用梯形分块算法对此截面进行分析。截面形式如图3所示，其中顶宽为B、高为H、腹板厚为t的T形截面的计算结果如表1所示。

图3  T形截面计算简图

Fig.3  Computing model of T-type cross-section

从表1可以看出：除个别情况外，本文作者的计算结果与包世华^[14]的计算结果相对误差在8%以内。造成差别的原因是包世华采用Cowper理论计算剪切修正系数，此理论公式建立时假定B/t和H/t都很大，可忽略其倒数(t/B和t/H)的高阶影响。本文作者应用梯形分块法没时有忽略其高阶影响。

表1  T形截面的剪切修正系数比较

Table 1  Shear correction factors of T-type cross section

4.2  阶梯梁的弯曲分析

如图4所示为Winkler弹性地基上变截面阶梯梁，其上作用有全跨均布荷载q=0.4 kN/m；集中荷载P₁=200 kN，P₂=400 kN；集中力偶M=100 kN?m；梁的弹性模量E=2×10⁷ kN/m²；剪切模量G=8×10⁶ kN/m²；基床系数K=1.8×10⁴ kN/m²；梁宽b=1.0 m；梁高分别为0.3 m和0.5 m；梁长L=9.0 m。本文作者计算的结果和用Ansys中Beam54(考虑梁的剪切变形影响)单元计算的结果如图5~7所示。

图4  弹性地基阶梯梁

Fig.4  Stepped beam on elastic foundation

从图5~7可以看出：无论是挠度、弯矩，还是剪力，本文作者的计算结果与由Ansys所得结果几乎一致，证明本文作者建立的有限元列式是正确的。

图5  截面挠度计算结果

Fig.5  Deflections of cross-section

图6  截面弯矩计算结果

Fig.6  Moments of cross-section

图7  截面剪力计算结果

Fig.7  Shear forces of cross-section

4.3  倒T形弹性地基梁

Aydogan^[10]分析了一倒T形弹性地基梁，本文作者利用此算例进行验证。梁长L=5.0 m，荷载P=1 000 kN，倒T梁底宽为1.5 m，顶宽为0.8 m，细部尺寸如图8所示。改变倒T梁高和基床系数，对3种工况下的结构进行分析，计算参数如表2所示。在3种工况下，考虑梁的剪切变形(剪切修正系数n=2.0)与不考虑剪切变形的边缘截面挠度、跨中截面弯矩如表3所示。

图8  弹性地基梁计算图式

Fig.8  Model of beam on elastic foundation

表2  3种工况的计算参数

Table 2  Parameters of three cases

表3  3种工况的计算结果

Table 3  Computing results of three cases

经比较，3种工况下考虑剪切变形与不考虑剪切变形相比，结构边缘挠度相差5.89%(工况1)、6.05%(工况2)和9.86%(工况3)，跨中弯矩相差2.13%(工况1)、1.84%(工况2)、3.42%(工况3)，显然，剪切变形对挠度影响比对弯矩的影响大。

4.4  地基沉降分析

公路桥头搭板、房屋条形基础等结构由于地基发生沉降而经常成为局部悬空结构。本算例取一两端固结的弹性地基梁进行分析，如图9所示。由于地基发生整体沉降(Δ=0.01 m)，整个结构成为部分悬空，局部为弹性地基梁结构。地基梁抗弯刚度D=5.0×    10⁷ N/m²，抗剪刚度C=2.0×10⁷ N/m²，基床系数K=1.8×10⁷ N/m²，L=10.0 m，q=4.0×10⁵ N/m。

图9  局部悬空的两端固结弹性地基梁

Fig.9  Elastic foundation beam of local hang

在分析中，把结构划分为10⁴个单元，悬空部分采用普通Timoshenko梁单元，与地基接触部分采用本文作者设计单元，荷载分级加载，逐步迭代。为反映剪切变形的影响，同时采用弹性地基上初等梁单元 (令梁的抗剪刚度C→∞即可)进行计算。经分析，采用本文作者设计的弹性地基上Timoshenko单元(TB)得到的悬空长度a_TB=1.223 8 m，采用弹性地基上初等梁单元(BEB)得到的悬空长度a_BEB=2.393 4 m，(a_BEB-a_TB)/a_BEB=48.88%。在2种理论下计算的挠度、转角、剪力和弯矩比较结果如图10~13所示。

在考虑剪切变形与不考虑剪切变形情况下，对应最大挠度、转角、剪力和弯矩的相对误差分别为4.61%，67.17%，43.59%和59.26%。

从本例的悬空长度及挠度、转角、剪力和弯矩的相对误差看，弹性地基上考虑剪切变形影响的Timoshenko理论结果与不考虑剪切变形影响的初等梁理论结果有较大偏差。一般地，对挠度或变形比较敏感的土木工程问题一般应考虑剪切变形的影响，否则，会导致结构刚度的估计出现偏差。

图10  2种理论下的挠度比较

Fig.10  Comparison of deflection between two theories

图11  2种理论下的转角比较

Fig.11  Comparison of slope between two theories

图12  2种理论下的剪力比较

Fig.12  Comparison shear force between two theories

图13  2种理论下的弯矩比较

Fig.13  Comparison moment between two theories

5  结论

(1) 建立的初参数解和影响函数为Winkler地基上Timoshenko深梁受力分析提供了有利工具。利用初参数解建立的有限元是一种理性有限元，精度高。利用本文建立的Winkler地基Timoshenko梁单元计算的结果与由其他方法所得结果一致。由于本文单元考虑了剪切变形的影响，当梁的抗剪刚度C→∞时可退化为初等梁单元，是一种通用单元。

(2) 提出了截面剪切修正系数的梯形分块算法，对常见截面计算得到的结果与其他文献结果一致。由于梯形分块算法为数值算法，可适用于梯形划分的任意截面，适用性较强，为Timoshenko梁截面剪切修正系数的计算提供了一种实用工具。

(3) 在土木工程中，对地基沉降造成弹性地基梁局部悬空、弹性地基梁弯曲、弹性地基梁高度局部承载等问题，应考虑梁的剪切变形影响，否则会造成较大误差。

参考文献：

[1] 龙驭球. 弹性地基梁的计算[M]. 北京: 人民教育出版社, 1981: 6-67.
LONG Yu-qiu. Computation of beam on elastic foundation[M]. Beijing: People’s Education Press, 1981: 6-67.

[2] 杨维加. 弹性地基梁的三角级数解法[M]. 北京: 中国水利水电出版社, 2005: 1-18.
YANG Wei-jia. Triangular series solution of elastic foundation beam[M]. Beijing: China Water Conservancy and Hydropower Press, 2005: 1-18.

[3] Selvadurai A P S. Elastic analysis of soil-foundation interaction[M]. Elsevier scientific publishing Co, 1979: 7-110.

[4] 黄义, 何芳社. 弹性地基上的梁板壳[M]. 北京: 科学出版社, 2005: 42-44.
HUANG Yi, HE Fang-she. Beam, plate and shell on elastic foundation[M]. Beijing: Science Press, 2005: 42-44.

[5] 胡海昌. 弹性力学的变分原理及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 1981: 139-206.
HU Hai-chang. Variational principles of elasticity mechanics and their applications[M]. Beijing: Science Press, 1981: 139-206.

[6] 刘小兵, 陈宇. 溶槽地段双跨连拱隧道的结构计算与分析[J]. 中南大学学报: 自然科学版, 2005, 36(3): 517-521.
LIU Xiao-bing, CHEN Yu. Structural calculation and analysis for double-arch tunnel in water-eroded groove[J]. Journal of Central South University: Science and Technology, 2005, 36(3): 517-521.

[7] 陈天愚, 张克绪. 弹性地基梁的修正刚度矩阵解法[J]. 哈尔滨建筑大学学报, 2000, 33(2): 44-48.
CHEN Tian-yu, ZHANG Ke-xu. Modifying stiffness matrix method of elastic foundation beam[J]. Journal of Harbin University of Civil Engineering & Architecture, 2000, 33(2): 44-48.

[8] 王燮山. 奇异函数及其在力学中的应用[M]. 北京: 科学出版社, 1993: 122-194.
WANG XIE-shan. Singularity function and its application of mechanics[M]. Beijing: Science Press, 1993: 122-194.

[9] Essenburg F. Shear deformation in beams on elastic foundations[J]. ASME: Journal of Applied Mechanics, 1962, 29(4): 313-317.

[10] Aydogan M. Stiffness-matrix formulation of beams with shear effect on elastic foundation[J]. ASCE: Journal of Structural Engineering, 1995, 121(9): 1265-1270.

[11] Cowper G R. The shear coefficients in Timoshenko’s beam theory[J]. ASME: Journal of Applied Mechanics, 1966, 33(4): 335-340.

[12] 颜东煌, 田仲初, 李学文. 桥梁结构电算程序设计[M]. 长沙: 湖南大学出版社, 1999: 202-211.
YAN Dong-huang, TIAN Zhong-chu, LI Xue-wen. Program design of bridge structure computation[M]. Changsha: Hunan University Press, 1999: 202-211.

[13] Young W C, Budynas R G. Roark’s formulas for strain and stress[M]. New York: McGraw-Hill Companies Inc, 2005: 107-108.

[14] 包世华. 新编高层建筑结构[M]. 北京: 中国水利水电出版社, 2001: 101-102.
BAO Shi-hua. High-rise architecture structure[M]. Beijing: China Water Conservancy and Hydropower Press, 2001: 101-102.

收稿日期：2009-07-04；修回日期：2009-09-18

基金项目：国家自然科学基金资助项目(50778024)；中国博士后科学基金资助项目(20080441177)；长沙理工大学人才基金资助项目(1004171)

通信作者：夏桂云(1972-)，男，湖南湘阴人，博士，副教授，从事桥梁工程研究；电话：13974885367；E-mail: xiagy72@163.com

(编辑 刘华森)