粗粒土初始各向异性弹塑性模型

褚福永^{1, 2}，朱俊高¹，赵颜辉¹，何顺宾³

(1. 河海大学 岩土力学与堤坝工程教育部重点实验室，江苏 南京，210098；

2. 丽水学院 土木工程学系，浙江 丽水，323000；

3. 中国水电顾问集团成都勘测设计研究院，四川 成都，610072)

摘要：基于黏土的初始各向异性研究成果，提出一个适用于粗粒土的弹塑性模型。该模型屈服面为旋转的椭圆，采用考虑塑性体应变和塑性剪应变耦合的两个硬化参数，即表示屈服面大小的硬化参数k^p和旋转硬化参数α。模型能较好地反映初始及后续各向异性状态下粗粒土的剪胀性。利用双江口堆石坝覆盖层砂卵砾石料，进行了K₀固结排水剪和K₀固结不排水剪大三轴试验，并用试验结果对模型进行了初步验证。研究结果表明：模型能够合理地预测粗粒土的变形和强度特性。

关键词：初始应力状态；各向异性；弹塑性模型；粗粒土

中图分类号：TU43             文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2012)05-1914-06

An elastoplastic model for granular soil considering initial anisotropy

CHU Fu-yong^{1, 2}, ZHU Jun-gao¹, ZHAO Yan-hui¹, HE Shun-bing³

(1. Key Laboratory of Ministry of Education for Geomechanics and Embankment Engineering,

Hohai University, Nanjing 210098, China;

2. School of Civil Engineering, Lishui University, Lishui 323000, China;

3. Chengdu Design and Research Institute, Chengdu 610072, China)

Abstract: On the basis of the former study on anisotropy of fine-grained soil, an elastoplastic model applicable for coarse-grained soil was proposed. The improved yield surface of this model is a rotational ellipse. Two hardening parameters which consider the plastic volumetric strain coupling to plastic shear strain are adopted in this model, that is, the hardening parameter k^p, which is related to the size of the yield surface of model, and the rotation hardening parameter α. The presented model can reflect the dilatancy of coarse grained soil in the initial and the subsequent anisotropy state preferably. K₀ consolidated drained and K₀ consolidated undrained tests are carried out by making use of a gravel soil that is taken from ShuanJiangKou earth dam, and the model is validated by comparing the predicted results with the test data. As it turned out, the model can rationally predict the stress-strain behaviour of coarse-grained soil.

Key words: initial stress state; anisotropy; elastoplastic model; coarse-grained soil
 

各向异性是土的基本特性之一。一般来说，土的各向异性分为固有各向异性(Inherent anisotropy)和应力诱发各向异性(Induced anisotropy)。固有各向异性是由土骨架的结构各向异性引起的，如天然土在沉积的过程，土颗粒往往形成一定的排列方向，在排列方向上土的强度和变形与其他方向上不同。应力诱发各向异性通常指由于应力状态的改变导致土结构发生变形而引起的各向异性。近年来，国内外学者^[1-7]针对土的各向异性特性及其本构模型已进行了大量的研究，并得到了一系列的进展。如Wheeler等^[1]基于对软黏土的试验研究，在修正剑桥模型的基础上考虑K₀固结诱发的土体各向异性，倾斜椭圆作为其本构模型S-CLAY1的屈服面；魏星等^[2]基本于边界面本构理论，提出了一个可以考虑初始各向异性和诱发各向异性对黏土应力应变行为影响的本构模型；孔亮等^[4]将Lade提出的旋转硬化机制引入修正的剑桥模型中，建立了一个能反映应力诱发的各向异性弹塑性模型；王立忠等^[7]采用倾斜的屈服面来描述土体各向异性。以往对土体各向异性的研究大多是针对细粒土进行的，尽管国内外学者一直以来对粗粒土都在从各个角度对其研究^[8-15]，也有一些关于粗粒土各向异性的研究，但对粗粒土各向异性本构模型研究很少。然而，在实际工程中，如土石坝的坝基的深厚覆盖层，可以认为处于初始各向异性状态(即存在固有各向异性的性质)，在其后的坝体填筑荷载及蓄水荷载作用下变形无疑会表现出各向异性。因此，粗粒土的各向异性研究具有重要实际意义。本文作者基于对修正剑桥模型以及S-CLAY1模型的深入分析，考虑粗粒土具有剪胀性这一特殊性质，提出了一个适用于粗粒土的初始各向异性弹塑性模型，并对模型进行了初步验证。

1  各向异性弹塑性本构模型

1.1  屈服函数及硬化参数

S-CLAY1模型^[1]用旋转的椭圆屈服面替代了修正剑桥模型关于平均主应力轴对称的椭圆屈服面，并考虑加载过程中各向异性的演化，引入了综合考虑塑性体积应变和塑性剪应变的旋转硬化准则。该模型比修正剑桥模型更符合K₀固结土体的受力变形性质。

为使建立的模型能够反映初始各向异性，本文采用S-CLAY1模型所采用的旋转椭圆作为屈服面，其屈服函数为：

     (1)

式中：；；为Kronecker符号；为表示屈服面大小的硬化参数；为旋转硬化参数；M为特征状态应力比，即土体开始发生剪胀时的应力比q/p。屈服面如图1所示。

为确定后继屈服面，需要确定硬化参数和硬化法则。本文模型建议了两个独立的硬化参量，即计算屈服面大小的硬化参数和旋转硬化参数。

图1  各向异性屈服面

Fig.1  Anisotropic yield surface

出于对粗粒土剪胀性的考虑，本文采用了与S-CLAY1模型不同的硬化规律，即对表示屈服面大小的硬化参数同时考虑了塑性体积应变和塑性剪应变，利用两者的函数组合来描述。硬化参数的演化规律为^[16]：

             (2)

式中：描述和的耦合程度；为应力比。

已有研究表明：使用相关联流动法则可合理地模拟土的本构特性，很多模型都使用了该法则^{[1, 4]}，故本文模型采用相关联流动法则，即(g为塑性势函数)。因此，有：

；         (3)

式中：为比例系数。

把式(3)代入式(2)，可得：

            (4)

令，则：

                (5)

当土体到达峰值强度(破坏)时，屈服面达到最大，即破坏面。以后，硬化不再发展，故土体的硬化模量。由于破坏时(M_f为峰值应力比，如图1所示)，因此，由式(4)等于0可得：

            (6)

由式(1)，可求得破坏()时：

；       (7)

将式(7)代入式(6)，可推求出为：

             (8)

下面利用等向应力条件下粗粒土的应力-应变关系确定硬化参数。本文作者对文献[8]中关门山主堆石料及文献[9]中糯扎渡堆石坝Ⅰ区主堆石料等压固结试验结果进行了整理，并点绘出lg p₀~lg ε_v之间(p₀为各向等压固结压力)的关系曲线，如图2所示。

图2  粗粒土的等压试验结果

Fig.2  Result of isotropic compression tests for coarse-grained soil

从图2可以看出：等向应力条件下，lg p₀~lg ε_v之间呈较好的线性关系。故建议粗粒土等压条件下ε_v与p₀之间关系采用下面表达式表示：

              (9)

式中：h，m为材料参数；p_a为大气压力。

等压固结时没有偏应变，因此，依据式(2)有。若假定等向卸载时应力与弹性体变之间也符合幂函数关系，即

          (10)

式中：h_e为材料参数；ε_v0为状态参数。

由式(9)和(10)求导可得

          (11)

          (12)

因此，塑性应变增量，从而，考虑到，故有

        (13)

对模型的旋转硬化参数，采用文献[18]给出的旋转硬化准则表示。该准则也考虑了塑性体应变和塑性剪应变的耦合，表达式如下：

           (14)

与式(5)同理，式(14)可改写为：

       (15)

其中：X₂假定由下式给出^[18]：

             (16)

式中：l₁和l₂是材料参数，分别描述各向异性发展的速度和程度。从式(16)可知：l₁的数值越大，各向异性发展速度越快；时，，说明一定比例的加载路径下土体的各向异性不会得到发展。

1.2  模型方程的建立

假定弹塑性土体的全应变增量是由弹性应变增量和塑性应变增量两部分所组成，即

               (17)

1.2.1  弹性部分

弹性体应变和弹性剪应变增量如下式所示：

；            (18)

式中：K为体积模量；G为剪切模量。

体积模量K可根据等压回弹曲线求取，体积模量K和剪切模量G的表达式如下：

 ；        (19)

式中：为泊松比，近似取0.3。

1.2.2  塑性部分

由式(1)及相关联流动法则可得到：

；

           (20)

式中：g和f分别为塑性势函数和屈服函数。

沿屈服面轨迹有df=0，从而可求出比例系数dλ。对式⑴求导，考虑到式(1)中的硬化参数k^p与p₀之间有式(13)所示的隐式关系，可得：

    (21)

将式(5)和(15)代入式(21)，整理可得：

   (22)

三轴空间的应力应变关系为：

        (23)

令，并将式(3)，(18)和(23)代入式(22)，可得到比例系数：

        (24)

其中，H的展开式为：

 (25)

根据式(1)和式(13)可推导出：

；    (26)

        (27)

将式(26)和(27)代入式(25)，便可得到明确的H的表达式。其中，p₀可由式(1)确定。

2  模型参数的确定

本文各向异性模型参数共8个，分别为h，h_e，m，M，M_f，，l₁和l₂。参数h，h_e和m可根据等压固结试验的结果确定。

峰值应力比M_f可用计算得到，为内摩擦角。特征状态应力比M则用围压很大时不产生剪胀时的破坏时的q/p计算，或者可近似用公式计算得到，为残余内摩擦角^[10]。

为旋转硬化参数的初始值，可通过粗粒土K₀固结试验确定屈服面形状，从而根据屈服面的性质得到。但是通过试验获得准确的屈服面形状是比较困难的。已有大量试验结果证明，原状土的初始屈服面倾角近似为K₀线的倾角，因此，本文选用K₀线的倾角作为初始屈服面的倾角。

参数l₂可由计算^[16]，，其中， 为初始应力比；K₀为静止侧压力   系数。

参数l₁没有明确的物理意义，而且应力应变关系对该参数不太敏感，一般可假定为10左右，也可通过固结排水三轴压缩试验结果采用优化识别得到，即由模型计算应力应变关系，与试验曲线最优吻合所对应的参数l₁即为所求。

3  试验结果与模型预测的比较

为了验证本文建议模型的合理性，本文作者对双江口覆盖层土料进行各向等压固结试验和常规三轴试验，用于确定模型参数，同时，进行了K₀固结排水剪和K₀固结不排水剪大三轴试验(K₀=0.42，文献[17]通过试验测定)，将试验成果与模型预测的结果进行了对比分析。试样密度为2.21 g/cm³，三轴试验的固结围压均为0.2，0.5，1.2，2.0和2.5 MPa。

在K₀固结不排水剪大三轴试验中，为了提高试样的饱和度，固结时施加了350 kPa的反压力，以保证试样饱和，同时测得准确的孔隙水应力。利用等压固结试验和常规三轴试验可确定模型参数(见表1)。

图3和图4分别给出了双江口覆盖层土料K₀固结排水剪、K₀固结不排水剪的试验结果(以散点表示)和模型的预测结果(以实线表示)。

表1  模型参数

Table 1  Material parameters of model

由图3可知：模型不仅可以较精确地预测偏应力与轴向应变的关系，还能较好地反映粗粒土随围压变化剪胀特性的变化情况，即低围压时剪胀特性明显，随着围压的增大，剪胀性减小，逐渐向剪缩性过度。

由图4可知：模型能较好地预测K₀固结不排水剪试验的(σ₁-σ₃)-ε_a关系、u-ε_a关系及不排水剪的有效应力路径，尤其在围压较低情况下。说明模型能合理的反映粗粒土在K₀固结不排水应力路径下的应力与应变特性。

图3　K₀固结排水剪试验结果和模型预测结果比较

Fig.3  Comparison between predication and results of K₀-consolidated drained triaxial test

图4  K₀固结不排水剪试验结果和模型预测结果比较

Fig.4  Comparison between predication and results of K₀-consolidated undrained triaxial test

4  结论

(1) 提出了一个适用于粗粒土各向异性的弹塑性模型，该模型能够反映粗粒土在各向异性条件下的应力-应变特性，特别是能够较好反映粗粒土在各向异性条件下的剪胀特性。利用双江口堆石坝覆盖层料的各向等压固结试验及常规大型三轴试验结果确定模型参数。利用该参数预测了粗粒土K₀固结三轴排水剪及K₀固结三轴不排水剪条件下的应力应变关系，与大三轴试验结果进行了比较，吻合较好，初步证明了模型的合理性。

(2) 针对粗粒土各向异性的研究仅仅是初步的探讨，考虑的因素还相对较少，例如模型尚未能考虑应变的软化特性，有关应变软化特性的研究还需进一步展开。模型对复杂应力条件下应力应变关系的反映能力有待更多试验验证。另外，模型在实际工程问题中的应用也有待于进一步研究。

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(编辑 杨幼平)

收稿日期：2011-05-28；修回日期：2011-08-30

基金项目：水利部公益性行业科研专项项目(200801133)；高等学校博士学科点专项科研基金资助项目(20110094110002)；国家杰出青年科学基金资助项目(50825901)

通信作者：朱俊高(1964-)，男，江苏兴化人，教授，从事土体本构关系、土石坝工程研究；电话：13851754908；E-mail: zhujungao@hhu.edu.cn