DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2015.07.024

斜腹板箱形截面的扭转几何特性

胡玉茹，刘亮，张元海

(兰州交通大学 土木工程学院，甘肃 兰州，730070)

摘要：根据薄壁箱梁约束扭转理论中的几何特性计算过程，推导斜腹板双室箱形截面的扭转中心、主扇性坐标及主扇性惯性矩的实用计算公式，数值算例验证所推导公式的正确性。以所推导的实用公式为基础，结合数值算例，详细分析斜腹板倾角、悬臂板宽度及梁高等参数变化对斜腹板双室箱形截面的扭转中心、主扇性坐标及主扇性惯性矩的影响规律。研究结果表明：扭转中心至顶板中面的距离随着斜腹板倾角的增大而增大，但该距离与梁高之比却随着梁高的增大而减小；随着悬臂板宽度的增大，悬臂板自由端处的主扇性坐标将显著增大；随着斜腹板倾角的增大，主扇性惯性矩具有先增大后减小的变化规律；当悬臂板宽度较大时，主扇性惯性矩随悬臂板宽度的增大而迅速增大，梁高较大时主扇性惯性矩的增大程度尤为显著。

关键词：斜腹板箱形截面；几何特性；扭转中心；主扇性坐标；主扇性惯性矩

中图分类号：U448.213             文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2015)07-2558-06

Torsional geometrical properties of box section with inclined webs

HU Yuru, LIU Liang, ZHANG Yuanhai

(School of Civil Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)

Abstract: According to the calculation procedure for the geometrical properties in the restrained torsion theory of thin-walled box girders, the practical formulas for the twist centre, principal sector coordinate and principal sector moment of inertia of a double-cell box section with inclined webs were derived. Numerical examples validated the correctness of the formulas. Based on the practical formulas derived, the influences of the variations of the web-inclined angle, cantilever plate width and beam depth on the twist centre, principal sector coordinate and principal sector moment of inertia of the double-cell box section with inclined webs were numerically analyzed in detail. The results show that the distance from the twist centre to the middle surface of the top plate increases with the increase of the web-inclined angle; however, the ratio of the distance to the beam depth decreases with the increase of the beam depth. The principal sector coordinate at the tip end of the cantilever plate increases significantly with the increase of the cantilever plate width. The principal sector moment of inertia increases firstly and then decreases with the increase of the web-inclined angle. The principal sector moment of inertia increases rapidly with the increase of the cantilever plate width when the plate width is relatively large; moreover, the increase degree is especially significant for relative large beam depth.

Key words: box section with inclined webs; geometrical properties; twist centre; principal sector coordinate; principal sector moment of inertia

箱形梁由于具有有利的受力性能而广泛应用于现代桥梁工程中。斜腹板箱梁(梯形截面箱梁)不仅具有结构轻巧、造型美观等优点，而且由于底板宽度较小，可以有效减小墩台的横桥向尺寸，尤其适用于高墩桥梁。随着预应力技术的进步及材料强度的提高，薄壁轻型化是现代混凝土箱梁的一个主要发展趋势。众所周知，当按薄壁箱梁理论分析箱梁的约束扭转时，需要计算截面的扭转中心、主扇性坐标及主扇性惯性矩等几何特性，然而，这些扭转几何特性的计算过程非常繁琐。为此，有些学者推导了计算箱形截面扭转几何特性的实用公式，有些学者则借助计算机进行数值计算。陈淮等^[1-2]借助薄壁梁弯曲理论中的弯曲中心概念，采用先计算弯曲剪力流的分布，然后通过建立等效力矩方程的途径，推导了计算箱梁截面扭转中心位置的公式。朱文正等^[3]按照薄壁箱梁约束扭转理论中的一般方法，推导了单室梯形截面的扭转中心计算公式，但公式形式复杂，不便应用。周建春等^[4]根据任意薄壁截面上翘曲变形的分布应使整个截面的剪切应变能为最小的思路，提出了一种计算任意薄壁截面主扇性坐标的比拟有限元数值方法；周凌远等^[5]按照类似的思路，从更一般的情况出发，采用数值积分的方法求解相关几何特性。徐秀丽等^[6]利用空间有限元软件的分析功能计算薄壁箱梁截面的抗扭参数。赵勇等^[7-9]还给出了分段计算薄壁箱形截面几何特性的积分表达式。Waldron^[10]编制了一个可计算任意非对称薄壁截面扭转几何特性的计算机程序。Kristek^[11]虽然给出了一个计算斜腹板单室箱形截面扭转中心的公式，但形式复杂。李琳等^[12]推导了箱形截面的扭转中心及主扇性坐标计算公式，但仅适用于直腹板箱梁。综上所述，尽管在薄壁箱梁截面几何特性计算方面已有不少文献，但相关文献中给出的计算扭转中心位置等几何特性的公式主要是针对直腹板箱梁建立的。虽然个别文献中也给出了适用于斜腹板单室箱形截面的相关公式，但由于形式过于复杂，不便实际应用。此外，已有文献中几乎没有涉及箱梁截面参数变化对几何特性影响的分析。本文作者针对斜腹板双室箱形截面，选取顶板与中腹板交点作为辅助极点，导出了计算扭转中心、主扇性坐标及主扇性惯性矩的简便公式，结合数值算例，具体分析斜腹板倾角、悬臂板宽度及梁高等参数变化对扭转中心位置、主扇性坐标及主扇性惯性矩的影响规律。

1  扭转几何特性计算公式

图1所示为具有竖向对称轴的斜腹板双室箱形截面简图，直角坐标系的原点位于形心C处，x轴和y轴为形心主轴。由于y轴为截面对称轴，故扭转中心A必位于该轴上。图1中用d表示扭转中心A至顶板中面的距离，3个关键点分别用1，2和3表示，它们分别位于左侧悬臂板端部、斜腹板与顶板及底板交点处。各板件宽度及厚度等变量参见图1。为了确定扭转中心A(x_A, y_A)的位置及以A为极点的主扇性坐标ω_A，可任选一点B(x_B, y_B)作为辅助极点，并求出以B为极点的辅助扇性坐标ω_B，则主扇性坐标ω_A可按下式计算^[13]：

             (1)

式中：；；D为取决于周线坐标s起始点位置的常数，它们的计算公式如下：

               (2)

               (3)

              (4)

式中：F为箱形截面的面积；I_x和I_y分别为箱形截面对x轴和y轴的惯性矩。

图1  斜腹板双室箱形截面简图

Fig. 1  Twin-cell box section with inclined webs

对于图1所示具有竖向对称轴的斜腹板双室箱形截面，若将辅助极点B选在中腹板与顶板的交点处，且周线坐标s(以逆时针方向为正)的起始点也选在该点处，则计算量会大大减小，从而很容易绘出相应的辅助扇性坐标ω_B图如图2所示，它关于y轴呈反对称分布，在中腹板上为零。

图2  辅助扇性坐标图

Fig. 2  Diagram of auxiliary sector coordinate

3个关键点处的辅助扇性坐标分别为：

             (5)

          (6)

式中：

                (7)

              (8)

             (9)

将所得ω_B图与x图(为节省篇幅，x图未绘出)进行图乘，即可由式(2)导出斜腹板箱形截面扭转中心A至中腹板与顶板的交点(辅助极点B)之间的竖向距离d(亦即a_y)的公式，经化简整理后可表达为

      (10)

式中：

               (11)

根据图2所示辅助扇性坐标ω_B图的反对称性质，显然，式(3)和式(4)中的积分均为零，亦即a_x和D均为零，从而，由式(1)即可很方便地得到主扇性坐标。主扇性坐标图在中腹板处也为零，且关于y轴呈反对称分布。3个关键点处的主扇性坐标计算公式分别为：

              (12)

              (13)

          (14)

通过对主扇性坐标图自乘，即可求得主扇性惯性矩I_ω，经化简整理后可表达为

          (15)

2  数值算例验证

文献[14]中给出了一个斜腹板单箱双室箱形截面算例，截面尺寸如图3所示，b=660 mm，a=240 mm，c=420 mm，h=120 mm，各板件厚度均为20 mm。按文献[13]中的计算方法，经繁琐的运算过程求得该截面的扭转中心至顶板中面的距离为67.02 mm，而按式(10)可直接求得该截面的扭转中心至顶板中面的距离为d=67.03 mm。可见，两者几乎完全相同，但应用式(10)却大大简化了计算过程。按式(12)~(14)求得该截面3个控制点处的主扇性坐标分别为：

ω₁=4 795.6 mm²，ω₂=-3 248.2 mm²，ω₃=3 543.9 mm²。

该斜腹板箱形截面的主扇性坐标图如图4所示。

按式(15)求得该斜腹板箱形截面的主扇性惯性矩为I_ω=1.016×10¹¹ mm⁶。

图3  斜腹板双室箱形截面算例尺寸

Fig. 3  Dimension of twin-cell box section with inclined webs

图4  斜腹板双室箱形截面主扇性坐标图

Fig. 4  Diagram of principal sector coordinate of twin-cell box section with inclined webs

按本文推导的公式对文献[3]给出的斜腹板单箱单室箱形截面进行计算，该单室截面尺寸为：b=c= 3 000 mm，a=2 000 mm，h=4 573 mm，t_a=16 mm，t_b= 12 mm，t_h=10 mm。按式(10)求得该截面的扭转中心至顶板中面的距离为d=2 172.5 mm，与文献[3]给出的结果一致。按本文推导的主扇性坐标计算公式求得各控制点处的主扇性坐标分别为：ω₂=1.051 8×10⁶ mm²，ω₃=-1.297 0×10⁶ mm²。按式(15)求得该截面的主扇性惯性矩为I_ω=7.490×10¹⁶ mm⁶。

再对文献[12]中给出的单箱双室直腹板箱形截面进行计算，截面尺寸为b=400 mm，a=c=268 mm，h=80 mm，t_h=12 mm，其余板件厚度均为10 mm。按本文推导的公式求得扭转中心至顶板中面距离为d=43.86 mm，3个控制点处的主扇性坐标分别为：ω₁=187.1 mm²，ω₂=-2 707.5 mm²，ω₃=3 741.5 mm²，与文献[12]中的结果相同。按式(15)求得该截面的主扇性惯性矩为I_ω=2.924×10¹⁰ mm⁶，也与文献[15]中给出的结果相同。

3  参数影响分析

为了考察斜腹板双室箱形截面的腹板倾斜程度对扭转中心位置的影响，以图3所示的箱形截面为基础，在维持上翼缘板全宽b及底板全宽a不变，且梁高及各板件厚度均不变的条件下，只改变箱室顶宽c使边腹板倾斜角β变化(β的定义参见图1)，当c从240 mm逐渐增大至526 mm时，相应腹板倾斜角β从0°增大至50°(实际箱梁斜腹板倾斜角度一般小于45°)，作出相应扭转中心至顶板中面距离的变化曲线如图5所示。由图5可以看出：在常用的斜腹板倾斜角度范围内，扭转中心至顶板中面的距离随着腹板倾斜角β的增大基本呈线性增大关系，亦即，随着腹板倾斜角β的增大，扭转中心位置基本呈现出线性下移的趋势。

为了考察斜腹板双室箱形截面的悬臂板宽度变化对不同梁高时扭转中心位置及主扇性坐标的影响，以图3所示的箱形截面为基础，分别取梁高为120 mm和180 mm，在维持箱室宽度a和c及各板件厚度均不变的条件下，令悬臂板宽度从0 mm以21 mm为步长增大至210 mm，亦即悬臂板宽度与单室顶宽(210 mm)之比从0开始以0.1为步长增大至1.0，绘出扭转中心至顶板中面距离与梁高之比随悬臂板宽度与单室顶宽之比的变化曲线如图6所示。

图5  扭转中心位置随腹板倾斜角变化曲线

Fig. 5  Variation of twist centre with web-inclined angle

图6  扭转中心位置随悬臂板宽度变化曲线

Fig. 6  Variation of twist centre with cantilever plate width

从图6可以看出：当悬臂板宽度与单室顶宽之比(可称为悬臂板相对宽度)很小时(约小于0.1时)，扭转中心至顶板的相对距离(亦即与梁高之比)随着悬臂板相对宽度的增大而增大，但当悬臂板相对宽度超过0.1后，扭转中心至顶板的相对距离随着悬臂板相对宽度的增大反而减小。图6还显示，梁高h=120 mm时扭转中心至顶板的相对距离要比h=180 mm时大。

图7所示为梁高为120 mm和180 mm时3个关键点处主扇性坐标随悬臂板宽度与单室顶宽之比的变化曲线。

从图7可以看出：悬臂板端部即关键点1处的主扇性坐标随悬臂板相对宽度的增大而单调增大，而且伴随有正负号的改变(由负变正)；关键点2和3处的主扇性坐标均随悬臂板相对宽度的增大而呈现出先增大后减小的变化规律。从图7还可以看出：若将对应于关键点1和3处主扇性坐标相等时(即图中ω₁和ω₃曲线的交点处)的悬臂板宽度与单室顶宽之比视为一个特征宽度比，显然，随着梁高的增大，该特征宽度比有明显减小的趋势。

最后考察腹板倾斜角及悬臂板宽度变化对主扇性惯性矩的影响。以图3所示的箱形截面为基础，在维持其他尺寸不变的条件下，只改变箱室顶宽c使腹板倾斜角β变化，作出相应主扇性惯性矩变化曲线如图8所示；分别取梁高为120 mm和180 mm，在维持箱室宽度a和c及各板件厚度不变的条件下，只改变悬臂板宽度，作出相应主扇性惯性矩随悬臂板宽度与单室顶宽之比的变化曲线如图9所示。

图7  h不同时主扇性坐标随悬臂板宽度变化曲线

Fig. 7  Variation of principal sector coordinate with cantilever plate width at different h

从图8可以看出：随着腹板倾斜角β的增大，主扇性惯性矩呈现出先增大后减小的变化规律，当腹板倾斜角约为13°时，主扇性惯性矩达到最大值。从图9可以看出：主扇性惯性矩随着悬臂板相对宽度的增大而单调增大；当悬臂板相对宽度较小时，主扇性惯性矩的增大程度较小，但当悬臂板相对宽度超过0.5后，主扇性惯性矩将随悬臂板相对宽度的增大而迅速增大，而且，梁高较大时主扇性惯性矩的增大程度尤为显著。

薄壁箱梁的约束扭转翘曲正应力在横截面上的分布规律完全取决于主扇性坐标的分布，主扇性惯性矩则直接影响翘曲正应力。因此，上述关于主扇性坐标及主扇性惯性矩的变化规律对于把握约束扭转翘曲正应力在横截面上的变化规律具有重要意义。

图8  主扇性惯性矩随腹板倾斜角变化曲线

Fig. 8  Variation of principal sector moment of inertia with web-inclined angle

图9  主扇性惯性矩随悬臂板宽度变化曲线

Fig. 9  Variation of principal sector moment of inertia with cantilever plate width

值得指出的是，尽管图7和图9表明，当悬臂板宽度显著增大时，在悬臂板端部(即关键点1处)的主扇性坐标及截面主扇性惯性矩都会显著增大，但这是在薄壁箱梁约束扭转理论中的“刚周边假设”成立的前提下得到的结果。对于悬臂板宽度相对于箱室宽度很大的箱形截面梁，例如“展翅梁”，长悬臂板在主梁约束扭转中参与主梁共同工作的程度尚需进一步研究。

4  结论

1) 扭转中心至顶板中面的距离随着腹板倾斜角的增大基本呈线性增大关系，该距离与梁高之比随着梁高的增大而减小。

2) 存在一个临界悬臂板相对宽度。当悬臂板相对宽度小于该临界相对宽度时，随着悬臂板相对宽度的增大，扭转中心至顶板中面距离与梁高之比也随之增大；当悬臂板相对宽度大于该临界相对宽度时，扭转中心至顶板中面距离与梁高之比则随着悬臂板相对宽度的增大反而减小。

3) 随着悬臂板宽度的增大，悬臂板自由端处的主扇性坐标将显著增大，且一般会改变符号(由负变正)，而斜腹板与顶、底板交点处的主扇性坐标则有先增大后减小的变化规律；当悬臂板宽度与单室顶宽之比等于某一特征宽度比时，悬臂板自由端处的主扇性坐标恰好等于斜腹板与底板交点处的主扇性坐标，该特征宽度比随着梁高的增大而减小。

4) 主扇性惯性矩随着悬臂板相对宽度的增大而增大；当悬臂板相对宽度较大时，主扇性惯性矩随悬臂板相对宽度的增大而迅速增大，梁高较大时主扇性惯性矩的增大程度尤为显著；主扇性惯性矩随着腹板倾斜角的增大而呈现出先增大后减小的变化规律。

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(编辑  杨幼平)

收稿日期：2014-07-08；修回日期：2014-10-28

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51268029, 51468032, 51068018) (Projects(51268029, 51468032, 51068018) supported by the National Natural Science Foundation of China)

通信作者：张元海，博士，教授，博士生导师，从事薄壁箱梁理论研究；E-mail: zyh17012@163.com