DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2016.04.030

特殊支承条件下连续箱梁桥的约束扭转分析

朱德荣^{1, 2}，张元海¹，林丽霞¹，王丽娟¹

 (1. 兰州交通大学 土木工程学院，甘肃 兰州，730070；

2. 中铁上海设计院集团有限公司，上海，200070)

摘要：为了分析特殊支承连续箱梁桥的扭转力学性能，提出一个特殊支承箱梁单元，该单元考虑轴向拉压、竖向弯曲及约束扭转变形。通过引入位移变换矩阵，将箱梁轴线处的位移向特殊支承点处变换，以便满足特殊支承截面的位移约束条件。选取箱梁约束扭转微分方程的齐次解作为单元扭转位移函数，在初参数解的基础上，推导箱梁单元的约束扭转刚度矩阵。利用所提出的箱梁单元对一特殊支承3跨连续箱梁模型进行计算，其应力计算值与ANSYS壳单元计算值和实测值均吻合较好，验证该单元的可靠性。分析特殊支承连续箱梁与相应常规箱梁在偏心荷载作用下的扭转力学性能。研究结果表明：与常规箱梁相比，特殊支承箱梁具有更大的扭矩、双力矩、扭转角及广义翘曲位移，特殊支承箱梁的内力和位移具有更加复杂的分布规律。

关键词：连续梁桥；箱形梁；约束扭转；特殊支承；有限梁段单元

中图分类号：U448.213             文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2016)04-1312-07

Restraint torsion analysis of continuous box girder bridge with special supports

ZHU Derong^{1, 2}, ZHANG Yuanhai¹, LIN Lixia¹, WANG Lijuan¹

(1. School of Civil Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China;

2. China Railway Shanghai Design Institute Group Co., Ltd., Shanghai 200070, China)

Abstract: A special-support box girder element was presented to analyze the torsional mechanical behavior of the continuous box girder bridge with special supports. The deformations of axial extension, vertical bending and restraint torsion were considered in the element. The displacements at the beam axis were transformed to the special support point by introducing the element displacement transformation matrix to satisfy the displacement constraint condition at the special support section. The homogeneous solution to the restraint torsion differential equation was adopted as the torsional displacement function of the element and the element stiffness matrix for restraint torsion was derived by applying the initial parameter solution. A three-span continuous box girder model with special supports was analyzed by using the element presented and the calculated results of stresses are in good agreement with the shell element results of ANSYS and the testing results, which verifies the effectiveness of the box girder element. The torsional mechanical behaviors of the continuous box girder with special supports and the corresponding regular box girder under eccentric load were analyzed in detail. The results show that the torque moment, bi-moment, torsion angle and generalized warping displacement of the box girder with special supports are larger than those of the corresponding regular box girder. The distribution of the internal force and displacement of the box girder with special supports is more complicated than that of the regular box girder.

Key words: continuous beam bridge; box girder; restraint torsion; special support; finite segment element

在城市高架道路和高速公路设计中，由于受到线路环境条件的限制，往往会采用特殊支承的桥梁。这种特殊支承的桥梁具有显著的弯扭耦合受力性能，而箱形截面具有较大的抗扭刚度，故往往是特殊支承桥梁采用较多的截面形式。与常规的正交箱梁桥相比，特殊支承箱梁桥具有复杂的空间受力性能，目前对于这类桥梁受力性能研究深度还远不如对正交桥梁性能的研究^[1-3]。近年来，国内外学者对特殊支承桥梁开展研究^[4-7]。徐若昌等^[8]用平面梁格模拟特殊支承箱梁桥，并结合模型试验，对各纵向梁格的内力横向分配进行了理论分析与试验研究。虽然梁格模拟方法可以方便地考虑特殊支承的影响，对宽桥和异形桥梁具有较好适应性，但该方法难以全面客观地反映整体箱梁桥的扭转力学特性。黄平明等^{[1, 9-10]}假设特殊支承桥梁沿支承线方向具有无限大的抗弯刚度，通过建立单梁模型分析特殊支承桥梁的力学性能，对于梁的抗扭特性，他们只考虑了自由扭转而忽略了约束扭转的影响。王荣辉等^[11]将组成闭口箱梁截面的各板件离散为板梁，在斜坐标系下建立描述各板件子单元的位移模式，提出了斜交箱梁空间分析的斜形板梁有限单元法。该法可较全面地反映斜交箱梁桥的空间受力性能，但不便于在工程实践中应用。张谢东等^[12]在矩阵位移法和传递矩阵法基础上，提出了一种计算斜支承连续梁内力的矩阵混合法，但该方法尚难用于斜交箱梁桥的约束扭转分析。空间有限元方法可以全面反映斜交箱梁桥的受力性能。苏燕东等^[13-16]借助空间有限元软件，对斜交连续箱梁桥的应力分布和受力性能进行了计算分析，但所得到的箱梁各板件的应力结果仍不便于按基于内力的现行桥梁设计规范进行结构设计。张元海等^[17-18]应用有限梁段单元分析了特殊支承连续箱梁桥的剪力滞效应。本文作者选取约束扭转微分方程的齐次解作为箱梁单元的扭转位移函数，导出单元扭转刚度矩阵，并与平面梁单元的刚度矩阵相组合，通过建立特殊支承截面支点处与梁轴处的位移变换关系，提出一种特殊支承箱梁单元，并对特殊支承连续箱梁桥和相应常规支承箱梁桥的不同扭转性能进行对比分析。

1  特殊支承箱梁单元的提出

图1所示为特殊支承附近的箱梁简图，墩顶支承点C，D连线与梁轴线之间夹角的余角α为斜支承角，当α=0时，则为常规支承情况。在任一支点所在横截面上，例如在支点D所在截面I-I上，只有支点D处梁的竖向位移为0 mm，而梁轴处的竖向位移并不为0 mm，因此，图1(a)中箱梁单元e₁~e₄均为具有特殊支承的箱梁单元。为了便于在梁段有限元分析中处理这种特殊支承条件，需将箱梁轴线处的各位移向支点处变换。图1(b)中：梁轴处的各内力和位移分别为轴力N和轴向位移u，Q为剪力，w为挠度，M为弯矩，θ为弯曲转角，T为扭矩，φ为扭转角，B为扭翘双力矩，-β'为广义位移。

图1  特殊支承箱梁简图

Fig. 1  Diagram of box girder with special supports

本文作者提出的箱梁单元具有2个节点10个自由度。单元i端轴线处的节点位移列向量δ_i和节点力列向量F_i分别为

          (1)

同理，可写出单元j端轴线处的节点位移列向量δ_j和节点力列向量F_j，则单元轴线处的节点位移列向量δ和节点力列向量F分别为

，                         (2)

对于单元两端偏心支承点处的节点位移列向量和节点力列向量，可在前述表达形式基础上加注下标D。

当梁轴处发生弯曲转角θ时，在支承点D处将引起轴向位移r_yθ，梁轴处发生扭转角φ时，在支承点D处引起的竖向位移为r_xφ(其中r_x和r_y分别为支承点至梁轴的水平距离和竖向距离，见图1(b))，则可建立单元两端轴线处和支承点处的位移变换关系：

             (3)

式中：R为单元的位移变换矩阵，R_i和R_j分别为单元i端和j端的位移变换子矩阵，即

根据变换与逆步变换规则，单元节点力的变换关系为

                          (4)

由式(3)和式(4)可知联系单元两端支承点处节点位移和节点力列向量的单元刚度矩阵为

                            (5)

式中：K为联系单元两端轴线处节点位移和节点力列向量的刚度矩阵。

作用在单元轴线处的外荷载所产生的等效节点力以及作用在梁轴节点处的外荷载，也需相应地向支承点处变换后才能组集形成总荷载向量。考虑各支承点处的实际位移约束条件对总刚度矩阵和总荷载向量进行约束处理后，通过求解总刚度方程，即可得到各特殊支承箱梁单元在支承点处的节点位移列向量δ_D，则梁轴处的单元节点力列向量为

            (6)

式中：F_P为单元跨间荷载引起的节点力。

2  单元刚度矩阵及等效节点力

对于与扭转角和扭翘广义位移自由度相应的刚度系数，可在选取箱梁约束扭转微分方程的齐次解作为单元位移函数的基础上，利用初参数解进行推导。

根据箱梁约束扭转微分方程的初参数解可知，扭转角、广义翘曲位移、双力矩及扭矩分别为^[19]：

                      (7)

 (8)

  (9)

                                               (10)

式中：φ₀，β'₀，B₀和T₀为4个初参数，它们分别为起始端的扭转角、广义翘曲位移、双力矩及扭矩；J_d为抗扭惯性矩；k为约束扭转特性参数；μ为翘曲变形约束系数，μ=1-J_d/J_ρ，J_ρ为极惯性矩；μ与k之间具有关系式μGJ_d=k²EI_ω，I_ω为扇性惯性矩。

根据单元刚度系数的物理意义并注意式(1)和式(2)中的节点位移自由度排列顺序可知：当两端固定单元i端发生单位扭转角φ_i=1而其余位移为0(β'_i=φ_j=β'_j=0)时，单元两端的相应节点力即为单元刚度矩阵中的第4列元素。按此原理，在式(7)和式(8)中令φ₀=1, β'₀=0，并利用单元j端位移条件φ_j=β'_j=0，即可解得初参数T₀和B₀，注意到有限元中的节点力和约束扭转解析理论中的内力在正负号方面的差异性后，将求得的T₀和B₀反号即得到单元刚度矩阵第4列元素k_4,4和k_5,4。再将T₀和B₀代入式(9)和式(10)中并令z等于单元长度l，可得元素k_10,4和k_9,4。同理可求得单元刚度矩阵中相应于扭转位移自由度的其他各列元素。本文作者推导的单元刚度矩阵中与扭转位移自由度相应的各上三角元素如下：

其中：。

借助式(7)和式(8)表达单元两端节点的扭转角和广义翘曲位移，并联立解出各初参数后，再代入单元扭转角位移函数式(7)，可得

                                  (11)

式中：N_f为相应于单元扭转角的形函数矩阵。

在式(11)基础上，即可运用虚功原理求得单元相应于约束扭转位移自由度的各等效节点力。当单元上作用有分布扭转力矩荷载m_t时，相应于约束扭转位移自由度的等效节点力向量为

            (12)

必须注意的是将所推导的约束扭转刚度矩阵各元素与其他元素按单元节点位移自由度顺序排列后，得到的刚度矩阵为与单元两端轴线处节点位移和节点力相应的刚度矩阵K，该刚度矩阵必须按式(5)向特殊支承点处变换后，才可组集为总刚度矩阵，等效节点力必须按式(4)变换后才可组集总荷载列阵。这里不再列出按式(5)和式(4)变换后的单元刚度矩阵和等效节点力向量，而是在编制的有限元程序中实现上述变换运算。

3  模型试验验证

基于所提出的特殊支承箱梁单元，本文作者编制了特殊支承箱梁扭转力学性能分析的梁段有限元电算程序SSCB，利用该程序对文献[17]中的模型梁进行计算。该特殊支承连续箱梁模型用有机玻璃材料制作，支承在4个桥墩上，两端的桥墩为常规墩，中间两桥墩为斜交墩，斜支承角为30°，每个墩顶布置2个支承点，位于箱梁的边腹板与底板交汇处。箱梁在各墩顶处沿支承线方向均设有横隔板。材料弹性模量E=3.3 GPa，泊松比μ=0.375。模型简图如图2所示。

在箱梁中跨跨中断面梁顶边腹板位置施加竖向集中偏心荷载P=980 N，其具体作用位置参见图2(a)。用所编制的梁段有限元程序SSCB和通用有限元软件ANSYS中的SHELL63壳单元分别对模型梁进行了计算，这里只列出特殊支承点所在横截面I-I的应力结果，截面I-I上各计算点位置如图2(c)所示。I-I截面顶板和底板各点处应力计算值连同有关实测值如图3和图4所示。

图2  特殊支承箱梁模型简图

Fig. 2  Diagram of box girder model with special supports

图3  I-I断面顶板应力分布

Fig. 3  Stress distribution in top flange of cross section I-I

图4  I-I断面底板应力分布

Fig. 4  Stress distribution in bottom flange of cross section I-I

从图3和图4可以看出：按本文提出的特殊支承箱梁单元计算的应力与ANSYS计算值和实测值总体上吻合良好，从而验证了本文箱梁单元和所编程序的可靠性。从图3可知：在箱梁悬臂板上的应力存在一定偏差，这主要是本文未考虑箱梁畸变翘曲效应所致。

4  与常规箱梁的比较

为了揭示特殊支承连续箱梁在竖向偏心荷载作用下的扭转性能，用所编制的梁段单元程序SSCB对前述特殊支承3跨连续箱梁及相应常规支承箱梁的约束扭转内力和位移进行计算和比较。

图5所示为偏心荷载作用下两类箱梁的双力矩分布曲线。从图5可以看出：在中跨跨中偏心荷载作用下，特殊支承连续箱梁的双力矩分布图不再具有对称性，在距中跨跨中截面较近的2个特殊支承点所在截面处，双力矩的差值增大，在距离偏心荷载作用点较近的支点截面处，出现了很大的双力矩。在偏心荷载作用的中跨跨中截面处，2类箱梁的双力矩完全相同。

图5  偏载作用下的双力矩分布曲线

Fig. 5  Curves of bi-moment under eccentric load

图6所示为偏心荷载作用下2类箱梁的扭矩分布曲线。从图6可以看出：在偏心荷载作用下，常规支承箱梁的扭矩主要分布在荷载作用跨即中跨内，扭矩并没有传递到2个边跨。然而，特殊支承连续箱梁在每个跨内均有扭矩产生，而且具有不规则的分布形式，除在荷载作用跨即中跨内出现最大扭矩外，在特殊支承截面处也产生了不小的扭矩。在偏心荷载作用的中跨内，特殊支承箱梁的最大扭矩发生在跨中截面至距离偏心荷载较近的特殊支承点所在截面之间的梁段内。

图7~9所示分别为偏心荷载作用下2类箱梁的挠度、扭转角及翘曲广义位移分布曲线。

从图7可以看出：与相应常规支承箱梁不同，特殊支承箱梁的挠度曲线不再对称于中跨跨中截面，而且特殊支承箱梁的中跨正挠度和边跨负挠度都小于常规支承箱梁的相应挠度。在所分析的偏心荷载作用下，特殊支承箱梁的中跨跨中挠度比相应常规支承箱梁减小约9.8%，更值得注意的是，在2个边跨的最大负挠度(相应于纵向坐标z₁=562 mm和z₂=2 582 mm)分别减小了5.5%和24.9%，充分反映出特殊支承箱梁在偏心荷载作用下的弯扭耦合作用对边跨的不同影响程度。

从图8可以看出：在偏心荷载作用下，常规箱梁

的扭转角只集中在中跨内，两侧边跨内并无扭转角。对于特殊支承箱梁，在偏心荷载作用下，梁的扭转角分布于全梁范围，除中跨跨中截面产生最大扭转角外，在特殊支承点所在横截面处扭转角也较大。值得指出的是，在偏心荷载作用的中跨跨中截面处，特殊支承箱梁和相应常规箱梁的扭转角非常接近。

图6  偏载作用下的扭矩分布曲线

Fig. 6  Curves of torque under eccentric load

图7  偏载作用下的挠度分布曲线

Fig. 7  Curves of deflection under eccentric load

从图9可以看出：特殊支承箱梁的扭转翘曲广义位移具有更复杂的分布规律。在所分析的偏心荷载作用下，常规支承箱梁的扭转翘曲广义位移主要分布在中跨范围内，而且对于中跨跨中截面呈反对称分布，在中跨跨中截面处恰好为0 rad/m。特殊支承箱梁的扭转翘曲广义位移分布于全梁内，在2个边跨内的数值较小，最大翘曲广义位移发生在中跨跨中截面至距离偏心荷载最近的特殊支承截面之间的梁段内。与扭矩分布类似，特殊支承箱梁在中跨跨中截面至距离偏心荷载最近的特殊支承截面之间的梁段内同样具有显著的翘曲广义位移，设计中应引起注意。

图8  偏载作用下的扭转角分布曲线

Fig. 8  Curves of twist angle under eccentric load

图9  偏载作用下的翘曲广义位移分布曲线

Fig. 9  Curves of generalized warping displacement under eccentric load

5  结论

1) 采用所提出的箱梁单元对一特殊支承三跨连续箱梁模型的应力进行了计算，计算值与通用有限元软件ANSYS中的壳单元计算值及实测值均吻合良好，表明所提出的箱梁单元是可靠的。

2) 特殊支承连续箱梁除在竖向偏心荷载作用的跨中截面出现最大双力矩外，在特殊支承截面还出现了不规则分布的较大双力矩，这与相应常规箱梁的双力矩对称分布规律完全不同。

3) 特殊支承三跨连续箱梁在中跨跨中偏心荷载作用下，在全梁内均有扭矩产生，最大扭矩发生在跨中偏心荷载作用截面至距离偏心荷载较近的特殊支承点所在截面之间的梁段内，而常规箱梁的扭矩只发生在荷载作用跨。

4) 特殊支承连续箱梁在竖向偏心荷载作用下的挠度均小于相应常规箱梁的挠度，翘曲广义位移最大值发生在偏心荷载作用截面至距离偏心荷载较近的特殊支承点之间的梁段内。

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(编辑  罗金花)

收稿日期：2015-04-02；修回日期：2015-06-02

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51268029，51068018，51468032)(Projects (51268029, 51068018, 51468032) supported by the National Natural Science Foundation of China)

通信作者：张元海，博士，教授，博士生导师，从事桥梁结构设计理论研究；E-mail：zyh17012@163.com