变截面薄壁箱形连续梁考虑大挠度和剪力滞影响的力学分析

陈玉骥¹，罗旗帜¹，刘小洁²

(1. 佛山科学技术学院 土木工程与建筑学系，广东 佛山，528000；

2. 中南大学 土木建筑学院，湖南 长沙，410075)

摘  要：为了考察变截面薄壁箱形梁考虑大挠度和剪力滞效应的受力性能，依据势能变分原理，考虑箱梁翼缘正应力的剪力滞效应和结构竖向挠度的几何非线性影响，将5个广义位移函数(竖向挠度、扭转角和3个剪滞翘曲位移)用样条函数展开，使变截面薄壁箱形连续梁的大挠度问题转化为求解非线性代数方程组问题，并采用Newton-Raphon迭代法求解。研究结果表明：要合理地分析薄壁箱形梁的受力状态，应对翼缘板的悬臂板、顶板和底板分别取不同的剪力滞翘曲位移函数进行计算；变截面连续箱梁受力比相应等截面薄壁箱梁的压力更为合理，更能适应连续梁箱梁截面内力沿梁纵向的变化；大挠度对变截面连续梁箱梁内力、位移的影响程度取决于荷载。

关键词：变截面薄壁箱梁；势能变分原理；剪力滞；挠度

中图分类号：        文献标识码：A         文章编号：1672-7207(2008)04-0845-05

Mechanics analysis of thin-walled box continuous girder with

 variable cross-sections in considering influence of

large deflection and shear lag

CHEN Yu-ji¹, LUO Qi-zhi¹, LIU Xiao-jie²

(1. Department of Civil Engineering and Architecture, Foshan Science and Technology University,

 Foshan 528000, China;

2. School of Civil Architectural and Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)

Abstract: In order to study the mechanics behavior of the thin-walled box continuous girder with variable cross-sections considering the influence of large deflection and shear lag, by mean of potential variational theories, considering the influence of the shear lag effect of flange’s stress and the geometry nonlinear of vertical displacement, and evolving five generalized displacements with the spline function, the large deflection problem of the thin-walled box continuous girder with variable cross-section was transformed to the nonlinear algebra equation group, which was solved with Newton-Raphon iterative method. The calculating results show that different shear lag warp functions to cantilever, top and bottom plate should be taken for analyzing the mechanics behavior of the thin-walled box continuous girder reliably. The thin-walled box continuous girder with variable cross-section has more reasonable stress state and more adaptable for the longitudinal change of internal forces in the thin-walled box continuous girder than that with equal cross-section. The influence of large deflection on the stress and displacement of the thin-walled box continuous girder with variable cross- sections depends on the load.

Key words: thin-walled box girder with variable cross-section; potential variational theory; shear lag; deflection

在预应力混凝土连续桥及刚构桥等桥梁结构中，为了适应结构内力的变化，通常中支座处的梁高较大，而跨中的梁高较小，从而成为变截面梁。变截面梁的梁高一般按照二次抛物线、圆弧线、正弦曲线等规律变化，其中以二次抛物线应用最多。目前，人们对变截面薄壁箱梁的力学分析进行了大量研究，如：罗旗帜等^[1-4]对变高度薄壁箱梁桥的剪力滞效应进行了试验研究和理论分析；王修信等^[5]采用差分法分析了变截面多跨梯形箱梁桥剪滞效应；刘腾喜等^[6]对宽翼变截面箱梁桥进行了空间有限元计算分析；魏丽娜等^[7]讨论了变截面箱梁桥剪滞效应分析中翼板纵向位移函数的选择办法；郑振等^[8]用平均刚度法研究了大悬臂变截面箱梁剪力滞效应分析；张元海等^[9]探讨了变截面梁的剪应力计算及其分布规律。以上研究都是针对小挠度分析问题进行的。陈玉骥等^[10-11]采用能量变分原理分析了薄壁箱梁的大挠度问题，但研究对象为曲线等截面薄壁箱梁，相应的控制方程为常系数非线性微分方程。此外，以往应用能量变分法研究薄壁箱梁的剪力滞效应时, 翼板的纵向位移函数都是为只含1个量测剪滞效应尺度的剪滞翘曲函数U(x)和竖向挠度函数w(x)的泛函^{[2, 6-7, 10]}。而对于梯形截面箱梁，底板、顶板和悬臂板的宽度不同，所产生的剪滞翘曲位移函数幅度也不同，即三者的最大转角函数不同^[10]。为了合理、可靠地考察大挠度和剪力滞对变截面薄壁箱梁的影响，本文作者根据薄壁结构计算理论^[12-13]，取5个广义位移函数(竖向挠度、扭转角和3个剪滞翘曲位移)，并将其用样条函数展开，利用势能变分原理，分析变截面薄壁箱形连续梁考虑剪力滞效应的大挠度问题。

1  变截面薄壁箱梁考虑剪滞效应的大挠度问题

首先，引入如下基本假设：

a. 只考虑竖向荷载q_z和扭转荷载m_x的作用；

b. 薄壁箱梁轴线的水平位移与竖向挠度相比较小，可忽略不计；

c. 不考虑薄壁箱型截面的畸变。

图1所示为箱梁截面，采用三维直角坐标系，轴向、水平方向和竖向分别为x，y和z轴，任一截面的坐标原点均取在箱梁截面的形心处。

图1  薄壁箱梁截面

Fig.1  Section of thin-walled box girder

根据基本假设可知，结构中任意1点的位移由3部分组成：竖向挠度w、扭转角Φ和剪滞翘曲位移(用剪力滞翘曲位移函数U1(x)，U2(x)和U3(x)来描述)。且由于竖向挠度是主要位移，故只考虑竖向挠度的几何

非线性影响。根据薄壁箱梁的变形特点，可设轴向位移函数为

将式(1)代入薄壁箱梁的非线性几何方程：

再将得到的应变代入箱梁的总势能，可得

根据结构的变形和受力特征，设

将以上所设广义位移函数代入箱梁的总势能式(2)，并利用关系式，得：

根据最小势能原理，可得刚度方程：

以上矩阵中，各项积分采用以样条节点为积分点的复化梯形求积公式计算^[15]。

非线性方程组(4)采用Newton-Raphon迭代法求解, 其迭代格式为：

2  算  例

采用文献[1]中跨径为(46+86+46) cm的三跨变截面连续箱梁试验模型(见图2)。箱梁中间支座截面高度为8 cm，边跨端部和中跨跨中截面高度为4 cm，箱梁高度沿纵向按二次抛物线变化，即变化规律为h_w=4+0.002 5x²(h_w和x的单位为cm)，在边跨端部和中跨跨中部分各有长6 cm、等高度h_w=4 cm区段(图2中阴影部分)。材料的弹性模量E = 2.6 GPa, 剪切模量G = 930 MPa。

(a) 横截面；(b) 纵截面

图2  三跨变截面连续箱梁(单位：cm)

Fig.2  Variable section continuous box girder with three-spans

分别取1个U(U₁= U₂=U₃)和3个U进行计算，主要结果见表1和图3~4。图3所示为曲线箱梁中跨跨中挠度随荷载变化曲线，其中，“线性解1”和“非线性解1”为取1个U的计算结果，“线性解2”和“非线性解2”为取3个U的计算结果。图4所示为取3个U的计算结果，其中，λ为弯曲剪滞效应系数，l_z为中跨跨度，h_max为最大截面高度。此外，为考察本文结果的精度，表1中还给出了试验结果^[1]。图4中还给出了2个三跨等高度连续箱梁(h_w为4 cm和8 cm，其他参数与图2中的相同)的弯曲剪滞效应系数。

表1  q_z=5 N/cm时三跨变截面连续梁箱梁上翼缘的正应力

           Table 1  Stresses of variable section continuous box girder with three-spans when q_z=5 N/cm  

1—非线性解1；2—线性解1；3—非线性解2；4—线性解2

图3  中跨中挠度随荷载变化曲线

Fig.3  Change curves of deflection at middle of middle span

h_w/cm:1—4; 2—8; 3—4~8

图4  q_z=5 N/cm时中跨跨中截面和中支座截面上翼缘的弯曲剪滞效应系数

Fig.4  Moment-shear coefficients of top flange at section on middle of middle span and inner support when q_z=5 N/cm

通过以上计算结果可以看出：

a. 取1个U计算与取3个U计算，所得结果有一定的差别，其中后者与试验结果更接近，表明取3 个U进行计算时，精度较高。

b. 对取1个U计算与取3个U的计算所得结果进行比较，前者中支座截面和中跨跨中截面应力分布的不均匀程度较大。可见，取1个U计算，会高估中支座截面和中跨跨中截面的剪滞效应。

c. 翼缘取1个统一的剪力滞翘曲位移函数U计算，其相应位移比取3个U计算的结果小，而应力则较大。可见，取1个统一的U计算，会低估曲线箱梁位移，高估曲线箱梁的应力。

d. 变截面薄壁箱型梁的正应力沿横向的分布与等高度薄壁箱型梁的正应力横向分布相比要均匀，表明变截面薄壁箱型梁的剪滞效应不如等高度薄壁箱型梁的剪滞效应明显。

3  结  论

a. 对于梯形截面箱梁，要合理可靠地分析结构的受力状态，应对翼缘板的悬臂板、顶板和底板分别取不同的U进行计算。

b. 变截面连续箱梁受力比相应等截面薄壁箱梁的受力更为合理，更能适应连续梁箱梁截面内力沿纵向的变化。

c. 变截面连续箱梁截面的应力存在一定的剪力滞效应，在结构分析时不能忽略。

d. 大挠度对变截面连续梁箱梁内力、位移的影响程度取决于荷载。对于算例所讨论的三跨变截面等跨连续箱梁，当＞0.3×10^-4时，应考虑结构大挠度的影响。

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收稿日期：2007-09-20；修回日期：2007-12-01

基金项目：国家自然科学基金资助项目(50378019)

通信作者：陈玉骥(1962-)，男，海南文昌人，博士，教授，从事土木工程结构分析和弹塑性力学及其应用研究；电话：0757-82261435；E-mail: chenyj1310@163.com