DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2016.10.024

基于势能驻值原理的薄壁箱梁畸变效应分析

张元海，刘泽翔，林丽霞，周茂定

(兰州交通大学 土木工程学院，甘肃 兰州，730070)

摘要：在对梯形截面箱梁的畸变角给出一般定义的基础上，提出一种与薄壁箱梁约束扭转分析相似的薄壁箱梁畸变效应分析方法，推导梯形箱梁畸变效应分析的一般公式。应用基于势能驻值原理的能量变分法，建立以所定义的畸变角为未知量的控制微分方程，并给出其初参数解。对1个简支箱梁模型的畸变翘曲应力计算值与相关文献中的有限梁段单元计算值吻合良好，验证分析方法和所推导公式的正确性。研究结果表明：按本文方法揭示的梯形箱梁畸变内力及位移的分布规律与相关文献中的一致，但本文畸变双力矩和畸变矩均大于相关文献中的相应内力，而畸变角和畸变翘曲均小于相关文献中的相应位移。在跨中畸变矩荷载作用下，梯形箱梁腹板与顶板交点处的畸变翘曲应力和横向弯矩绝对值都小于腹板与底板交点处的对应值。

关键词：薄壁箱梁；畸变效应；变分法；畸变角；初参数解

中图分类号：U448.213             文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2016)10-3461-08

Analysis on distortion effect of thin-walled box girders based on principle of stationary potential energy

ZHANG Yuanhai, LIU Zexiang, LIN Lixia, ZHOU Maoding

(School of Civil Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)

Abstract: Based on the definition of the distortion angle presented for trapezoidal box girder, a method for analyzing distortion effect of thin-walled box girders was proposed which is similar to that of the restraint torsion analysis of thin-walled box girders. The general formulas for the distortion effect analysis of trapezoidal box girders were derived. The governing differential equation on the distortion angle defined was established by applying the energy variation calculus based on the principle of stationary potential energy and the initial parameter solutions to the equation were achieved. A simply supported box girder model was analyzed and the calculated values of the distortion warping stress are in a good agreement with those in the related literatures obtained by using finite beam segment element, validating the analytical method presented and the formulas derived. The results show that the distribution regularities of the distortion force and displacement of the trapezoidal box girders revealed in this paper are identical to those in the related literatures. However, the distortion bi-moment and moment are greater than those in the related literatures, while the distortion angle and warping displacement are smaller than those in the related literatures. The distortion warping stress and transverse bending moment at the intersection of the web and top slabs of trapezoidal box girder subjected to mid-span distortion moment are smaller in absolute values than those at the intersection of the web and bottom slabs.

Key words: thin-walled box girder; distortion effect; variation calculus; distortion angle; initial parameter solution

随着材料强度的提高，混凝土箱梁采用的壁厚趋于减小。近年来，为了施工方便及减轻自身重力，除在墩顶处设置必要的横隔板外，大跨度预应力混凝土箱梁桥在跨内已不再设置横隔板。采用轻型化单箱单室薄壁箱形截面并采用悬臂浇筑施工方法，是今后大跨度预应力混凝土梁桥的发展趋势。在竖向偏心荷载作用下，这种薄壁箱梁在发生约束扭转变形的同时，必然伴随发生横截面轮廓形状的改变即畸变，薄壁箱梁因偏心布置的汽车荷载而产生的畸变翘曲应力在活载总应力中占有较大的比例，已成为大跨度箱形梁桥设计计算中必须考虑的问题^[1-3]。近年来，国内外学者在薄壁箱梁的畸变效应分析理论方面开展了不少研究工作^[4-8]。徐勋等^[5]对以畸变角和畸变挠度为位移参数的2种畸变分析理论进行了比较分析，论证了2种分析理论的统一性。项海帆等^{[3, 6]}选取腹板与底板之间夹角的改变量作为描述箱梁畸变变形的基本未知量，采用板梁框架法的思路，建立了单室梯形箱梁畸变效应分析的基本公式和控制微分方程。这种分析方法的缺陷是计算过程繁复，不便于实际应用，尤其是不能与箱梁约束扭转分析过程相统一。黄剑源等^[7]对直线箱梁和曲线箱梁的畸变分析方法进行了系统论述，对箱梁畸变角给出了一般性定义，但文中推导的上下角点处畸变翘曲应力比的计算公式只适用于矩形箱梁。张文献等^[8]对长悬臂板单室箱梁的畸变效应进行了试验研究，指出这类箱梁具有远大于普通箱梁的畸变效应。WRIGHT等^[9]提出了分析箱梁畸变应力的弹性地基梁比拟法，在此基础上，HSU等^[10]又提出了等效弹性地基梁比拟法。PARK等^[11-14]提出了分析箱梁畸变效应的各种箱梁单元，并通过板壳有限元计算结果和实验结果验证了单元的有效性。RAZAQPUR等^[12]提出的箱梁单元还可以同时考虑多室箱梁的剪力滞效应。本文作者采用薄壁箱梁约束扭转分析的思路，建立薄壁箱梁畸变效应分析的基本公式，运用基于势能驻值原理的能量变分法，推导畸变控制微分方程及其初参数解，并结合数值算例，对畸变广义内力和位移进行对比分析。

1  畸变变形描述

图1所示为单室梯形箱梁横截面畸变简图。图1中：y₀为横截面形心至顶板中面距离；y_D为畸变中心的y坐标；h为梁高；b₁和b₂分别为顶、底板宽度的一半；b₃为悬臂板宽度；b_w为斜腹板宽度；α为腹板的俯角。D为畸变中心，即箱梁发生畸变时各板件切向位移所共同对应的转动中心；O为形心，x轴和y轴为形心主轴，过畸变中心D且平行于x轴的直线与位于x轴正半轴的腹板相交于A点，y轴与底板相交于B点。箱梁发生畸变时，A点和B点分别位移至A'和B'，本文将直角∠ADB在箱梁发生畸变变形过程中的改变量定义为畸变角，并用γ_D表示，以使直角∠ADB减小者为正。畸变角γ_D只是纵向坐标z的函数，它由2部分组成，即γ_D=γ_D1+γ_D2。

图1  梯形箱梁畸变简图

Fig. 1  Distortion of trapezoidal box girder

图2所示为铰接箱梁模型分别发生畸变角γ_D1和γ_D2时的变位图。由图2(a)可知：当横截面只发生畸变角γ_D1时，上、下翼缘板将绕其各自的中点转动，只有左、右腹板发生竖向位移；由图2(b)可知：当横截面只发生畸变角γ_D2时，左腹板将绕A点转动，右腹板将绕其上的对应点转动，上、下翼缘板则既有水平位移也有竖向位移。

选取周线坐标s以逆时针方向为正，由图2可知，各板件沿s方向的切向位移u_t可表达为

       (1)

式中，x₁为A点至y轴的距离。

图2  畸变角的组成

Fig. 2  Composition of distortion angle

已有研究表明^[5]：箱梁畸变时各板件剪切变形的影响很小，故略去各板件的面内剪应变，即令，其中w为畸变翘曲位移。从而，由箱形截面闭合箱室的畸变翘曲位移连续性条件可知：

将式(1)代入式(2)，经整理后可得

               (3)

式中：

      (4)

对于矩形箱梁，由于b₁=b₂=x₁，故k_D=1。

将式(3)两边对z积分可得：，其中C为积分常数。由2部分畸变角的相关性可知C=0，从而可得

          (5)

将式(5)代入式(1)，再根据剪应变为0，可将畸变翘曲位移对s的偏导数表达为

               (6)

式中：

         (7)

将式(6)两边对s积分，可求得畸变翘曲位移为

                               (8)

式中：w₀为s坐标起始点处的畸变翘曲位移，当s坐标起始点选在周线与y轴交点处时，w₀=0，此时可将畸变翘曲位移表达为

                (9)

式中：，ω_D可称为畸变扇形坐标，其分

布如图3所示。图3中，悬臂板端部、腹板与顶板交点处、腹板与底板交点处的扇形坐标如下：

图3  畸变扇性坐标图

Fig. 3  Distortion sector coordinate

可见本文推演的畸变翘曲位移表达式(9)与薄壁箱梁约束扭转理论中的翘曲位移公式在形式上是完全相同的。在畸变翘曲位移基础上即可表达出畸变翘曲应力σ_D，即

         (10)

式中：E为弹性模量。畸变翘曲应力在箱梁横截面上应满足自平衡条件，即

，，

式中：t为板厚；A为横截面积。

显然，第1个和第3个条件是自动满足的，而根据第2个条件可求得畸变中心位置坐标y_D为：

    (11)

式中：β为腹板与顶、底板交点处的翘曲应力比值；t₁，t₂和t_w分别为上翼缘板、底板和腹板的厚度。

式(4)中的x₁可按下式求得：

2  畸变总势能

2.1  畸变翘曲应变能U₁

畸变翘曲应变能U₁可在式(10)基础上求得，即

      (12)

式中：I_ωD为畸变翘曲惯性矩；V为箱梁体积；l为箱梁跨度。

2.2  畸变横向框架应变能U₂

为了计算畸变横向框架应变能U₂，首先需确定畸变横向框架弯矩分布图。

由图2所示铰接模型发生畸变变形时的几何关系，可将箱梁横截面上任一点沿x轴和y轴方向的横向位移表达为

     (13)

式中：x_w(y)为与所考察点同一水平线处腹板至y轴的距离。沿箱梁轴线方向取单位长度梁段，所得横向框架变形如图4所示，图中4个角点分别用1，2，3和4表示。借助式(13)，可将角点1和2的水平位移和竖向位移表达为

；；i=1，2      (14)

式中：

；

；

；

。

图4  畸变横向框架变形图

Fig. 4  Distortion deformation of transverse frame

按图4所示各角点位移方向，分别对1-4杆和1-2杆应用转角位移方程，并利用对称性条件，即v₁=v₄, θ₁=θ₄，可得角点1的杆端弯矩分别为

   (15)

式中：；。

值得注意的是：图4中角点1的u₁的方向与x轴正方向相反，为了与式(14)表达的u₁的正方向相统一，故已在式(15)中的u₁前加了负号。

将式(14)代入式(15)，并利用角点1的弯矩平衡条件m_1(1-4)+m_1(1-2)=0，可得

      (16)

式中：

同理，由角点2的弯矩平衡条件，可得：

       (17)

式中：。

联立求解式(16)和(17)，解出角点转角θ₁和θ₂后，即可求得角点1和2的横向弯矩为(以框架内侧受拉为正)：

，       (18)

式中：

；

；

。

注意到框架弯矩图具有左右反对称性及沿各杆件线性分布的性质，则可求得整个箱梁的畸变横向框架应变能U₂为

                      (19)

式中：

。

2.3  畸变荷载势能V

畸变是伴随扭转而产生的一种变形状态。当箱梁在角点1和4处分别作用沿纵向分布的向下和向上荷载p_D时，箱梁的畸变荷载势能V可表达为

        (20)

式中：m_D为分布畸变荷载， 。

2.4  畸变总势能Π

将畸变翘曲应变能U₁、横向框架应变能U₂及荷载势能V相加，即得箱梁的畸变总势能Π为

   (21)

3  畸变微分方程及其初参数解

对总势能表达式(21)进行一阶变分运算，可得：

          (22)

根据势能驻值原理，，则由式(22)可得控制微分方程如下：

         (23)

即

           (24)

式中：。

由总势能的一阶变分表达式(22)中的边界项可以看出，与畸变角γ_D相应的畸变矩M_D和与畸变翘曲γ'_D相应的畸变双力矩B_D分别为：

                          (25)

                         (26)

求解畸变微分方程(24)时的边界条件如下。

对于固定端：。

对于设置刚性横隔板的简支端：。

对于设置刚性横隔板的自由端：。

畸变微分方程(23)为四阶常系数非齐次线性微分方程，其相应齐次方程的通解为

     (27)

箱梁的4个初参数取为γ₀，γ'₀，M₀和B₀，它们分别为起始端的畸变角、畸变角一阶导数(畸变翘曲)、畸变矩及畸变双力矩，则借助式(25)~(27)，可导出各畸变位移和畸变内力的初参数解，这里只列出畸变角的初参数解为

           (28)

在畸变位移和畸变内力的初参数解中，4个初参数可由箱梁两端的边界条件确定。初参数解只适用于箱梁跨内无外荷载的情况，当箱梁在跨内作用各种形式的外荷载(如分布畸变荷载或集中畸变矩荷载等)时，则尚应补充相应的影响项。

当简支箱梁承受满跨均布畸变荷载m_D作用时，可导出畸变角的公式为

 (29)

当简支箱梁在跨中截面承受集中畸变矩荷载作用时，可导出半跨内(0≤z≤l/2)的畸变角计算公式为

       (30)

式中：

4  数值算例

有机玻璃制作的简支箱梁模型^[13-14]，跨度l=   0.9 m，测点布置在距支座0.4l，0.5l和0.6l的3个横截面上，横截面尺寸及测点位置如图5所示，壁厚均为3 mm，在梁端支座处布置有横隔板，偏心集中荷载P=294 N作用于跨中截面梁顶腹板处。材料弹性模量E=3.268 GPa，泊松比μ=0.366 8。

按本文解析方法计算的各测点处畸变翘曲应力值连同文献[13-14]中用梁段有限元法所得计算结果见表1。需要说明的是：按本文方法计算时，对底板上外伸的4.5 mm悬臂段也准确予以考虑，此时式(11)中的应力比β的计算式应相应改变。

图5  模型横截面尺寸及测点位置

Fig. 5  Cross section dimension and measuring point position

表1  畸变翘曲应力比较

Table 1  Comparison of distortion warping stresses  10⁴ Pa

由表1可以看出：本文解析法计算结果与梁段有限元计算结果吻合很好。

图6所示为该简支箱梁模型的畸变双力矩B_D、畸变矩M_D及腹板与顶板交点1处单宽横向弯矩m₁等分布图。由图6可以看出：简支箱梁在跨中偏心竖向集中荷载作用下，畸变双力矩和角点横向弯矩最大值均发生在跨中截面，而畸变矩在跨中截面有突变，但最大值仍发生在跨中左右截面处。

计算表明：对于矩形箱梁，无论按本文定义的畸变角还是按其他文献定义的畸变角，求得的畸变内力都是完全相同的。

设一斜腹板梯形截面简支箱梁，跨度为20 m，材料弹性模量E=200 GPa，泊松比μ=0.3。箱梁在跨中截面腹板与顶板交点处作用竖向反对称集中荷载P=200 kN。箱梁横截面尺寸如图7所示，壁厚均为24 mm。

分别按本文方法和文献[3]方法计算该梯形截面简支箱梁在跨中反对称集中荷载作用下的畸变效应，表2所示为按2种方法计算的跨中截面畸变内力、畸变位移及相关畸变几何特性，其中，腹板与底板交点处的相应物理量均用下标P表示。

由表2可以看出：按2种方法求得的畸变翘曲应力和单位宽度横向框架弯矩都是完全相同的，但畸变内力、位移及相关几何特性并不相同，这是对畸变角的不同定义方法所造成的。在文献[3]中，畸变角定义为腹板与底板之间夹角在箱梁畸变过程中的改变量，而且由于文献[3]分析方法不能与箱梁约束扭转分析方法相统一，使畸变效应分析过程较为繁琐。

图8所示为该简支箱梁腹板与顶、底板相交点处(角点1和角点2)的畸变翘曲应力和畸变横向框架单宽弯矩沿纵向分布曲线。由图8可以看出：角点1处的畸变翘曲应力和横向弯矩总是小于角点2处的值(绝对值)。此外，虽然畸变翘曲应力和横向弯矩都从支点向跨中逐渐增大，但它们的增大速度完全不同，前者的增大速度在逐渐增大，而后者的增大速度逐渐减小。

图6  箱梁模型畸变内力图

Fig. 6  Distortion forces of box girder model

表2  梯形箱梁畸变效应

Table 2  Distortion effect of trapezoidal box girder

图7  梯形箱梁横截面

Fig. 7  Cross section of trapezoidal box girder

图9所示为该简支箱梁的畸变内力和位移分布曲线。由图9可以看出：按本文方法求得的畸变双力矩和畸变矩均大于按文献[3]求得的结果，而畸变角及其一阶导数(亦即畸变翘曲位移)均小于按文献[3]求得的结果。

图8  梯形箱梁畸变翘曲应力及横向弯矩

Fig. 8  Distortion warping stress and transverse bending moment of trapezoidal box girder

图9  梯形箱梁畸变内力和位移

Fig. 9  Distortional internal force and displacements of trapezoidal box girder

5  结论

1) 在对梯形箱梁畸变角进行一般定义的基础上，提出了基于薄壁箱梁约束扭转分析思路的畸变分析方法，推演出梯形箱梁畸变效应分析的一般公式，数值算例验证了本文分析方法和所建立公式的正确性。

2) 按畸变角的不同定义方法分析梯形截面箱梁的畸变效应时，得到的畸变翘曲应力或横向弯矩都是相同的，但用不同方法得到的畸变内力和广义位移各不相同。按本文方法求得的畸变双力矩和畸变矩大于按有关文献方法求得的相应内力，而畸变角和畸变翘曲小于按有关文献方法求得的相应位移，但畸变内力或位移的分布规律都是相同的。对于矩形箱梁，按本文定义的畸变角与按相关文献定义的畸变角所求得的畸变内力或位移都相同。

3) 梯形截面简支箱梁在跨中竖向反对称集中荷载作用下，腹板与顶板交点处的畸变翘曲应力和横向弯矩都小于腹板与底板交点处的值(绝对值)；当为矩形箱梁时，上述2个交点处的畸变横向弯矩大小相等，方向相反。此外，虽然畸变翘曲应力和横向弯矩都从支点向跨中逐渐增大，但它们的增大速度完全不同，前者的增大速度逐渐增大，而后者的增大速度逐渐减小。

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(编辑  赵俊)

收稿日期：2015-10-08；修回日期：2015-12-08

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51268029，51068018，51468032)(Projects (51268029, 51068018, 51468032) supported by the National Natural Science Foundation of China)

通信作者：张元海，教授，博士，博士生导师，从事桥梁结构设计理论研究；E-mail：zyh17012@163.com