改进差分进化算法在铝电解多目标优化中的应用

郭俊, 桂卫华, 阳春华

(中南大学 信息科学与工程学院，湖南 长沙，410083)

摘要：针对多目标优化问题，提出一种改进的差分进化算法(DE)。该改进算法首先将DE与粒子群优化算法(PSO)结合，提高DE的收敛速度，然后引入多种群进化策略，有利于维持Pareto解的多样性。同时，在综合考虑机理与工艺的基础上建立铝电解多目标优化模型，并应用改进算法进行求解。仿真结果表明：在电流效率为92%时，改进算法所得的直流功耗为14.03 MW·h/t，比NSGA-II的直流功耗降低了1.45%，比传统DE的直流功耗降低了1.75%。表明本文改进算法有效地提高了传统进化算法的性能。

关键词：差分进化算法；铝电解；多目标优化；粒子群优化；多种群进化

中图分类号：TP273            文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2012)01-0184-05

An improved hybrid differential evolution algorithm used for multi-objective optimization of aluminum electrolysis

GUO Jun, GUI Wei-hua, YANG Chun-hua

(School of Information Science and Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

Abstract: An improved hybrid differential evolution algorithm for multi-objective optimization problems was proposed. To increase the convergence speed, differential evolution and particle swarm optimization were combined, and then multi-swarm evolutionary strategy was introduced to maintain the diversity of the Pareto solutions. A multi-objective optimization model of aluminum electrolysis cell was built based on the mechanism and was resolved based on the improved algorithm. The simulation results show that the DC power consumption is 14.03 MW·h/t by using the improved algorithm, which is 1.45% lower than consumption using NSGA-II and is 1.75% lower than the consumption by using DE algorithm. The results indicate the proposed algorithm can effectively improve the performance of traditional evolution algorithms.

Key words: differential evolution algorithm; aluminum electrolysis; multi-objective optimization; particle swarm optimization; multi-swarm evolution

铝电解是一个复杂的工业生产过程，其多个工艺参数难以同步达到最优，这给铝电解生产的自动化控制带来一定的困难和阻碍^[1-4]。目前，国内外的大部分研究是进行单目标的分析，很少用系统优化方法对铝电解过程的工艺进行多目标(如电流效率、单位能耗等)优化研究，即保证铝电解槽电流效率处于最佳的状况下，其单位能耗最低。这是铝电解企业亟待解决的重要课题^[5-6]。进化算法在求解多目标问题(MOP)时有许多突出优点，近年用进化算法求解MOP得到了广泛的关注和重视^[7-9]。差分进化(Differential evolution, DE)算法是由Rainer Storn和Kenneth Price共同提出的一种采用浮点矢量编码在连续空间中进行随机搜索的优化算法^[10]，在许多复杂优化问题中得到广泛应用。已有研究将DE的功能拓宽，用于多目标优化。Abbass等^[11]提出了求解MOP的Pareto前沿DE算法；Babu等^[12]结合罚函数法和权值系数法提出了一种求解MOP的DE算法；Parsopoulos等^[13]提出了一种用于求解MOP的矢量评估DE算法。然而，这些算法都没有考虑如何保持Pareto最优解的多样性问题，容易过早收敛。在此，本文作者综合考虑DE算法与粒子群算法的优势，将两者结合提高算法的搜索效率；同时，在混合算法中引入多种群进化策略，提高种群的多样性以避免算法陷入局部最优，构建改进的混合差分进化算法(Improved hybrid differential evolution algorithm, IHDEA)。在保证物料平衡与能量平衡的基础上建立以单位能耗最小和电流效率最高为目标的多目标优化模型，并应用IHDEA进行求解。

1  多目标优化问题的定义

实际工程优化问题大多数属于多目标优化问题，目标之间一般是互相冲突的。多目标优化问题 (Multi-objective optimization problem, MOP)又称多准则优化问题(Multi-criteria optimization problem)或多性能优化问题(Multi-performance optimization problem)或矢量优化问题 (Vector optimization Problem)。多目标优化问题的数学表达式如下^[15]。

决策变量：

优化目标：

；

约束：

a_i≤x_i≤b_i; i=0.1, …, n

h_j(X)=0; j=0, 1, …, p

g_k(X)≤0; k=0, 1, …, l

式中：a_i和b _i分别为第i个决策变量x_i的上限和下限；n为决策变量的个数；h_j(X)和g_k(X)分别为等式约束和不等式约束的表达式；p为非上、下限等式约束的个数；l为非上、下限不等式约束的个数。

2  改进的差分进化算法(IHDEA)

2.1  多目标差分进化的操作步骤

步骤1 种群初始化与参数设置。种群规模、变异率、最大进化代数和交叉概率因子分别设置为N_p，F，G_max和G_R，令进化代数G=0，为随机初始化种群中的个体。

步骤2 变异。变异个体按下式生成：

          (1)

式中：表示父代个体；和为不同于的2个互异的个体。

步骤3 交叉。据式(2)在父代个体与变异个体之间进行交叉操作，产生试验个体X_T：

            (2)

式中：j=1, 2, …, m；m为变量的维数；rand ( )表示[0,1]之间的均匀随机序列。

步骤4 选择。将生成的所有试验个体与父代个体一起组成新的种群Q^G，并将Q^G中的每个个体代入多目标问题的等式约束中进行求解，求得目标向量值。根据个体的优劣对种群进行排序，具体实现方法为：给种群中的所有非劣最优解赋予相同的优劣等级为1；然后找出剩余个体中的非劣最优解，并赋予其等级为2；重复此过程，直到种群中所有个体都被赋予相应的级别为止。为了维持种群的多样性，保证生成均匀分布的Pareto最优解，计算种群中的每一个体与同级别相邻2个个体之间的拥挤距离，等级值越大、拥挤距离越小的个体在种群中的排序越靠后，从排完序的种群中选择前N_P个个体组成子代种群P^G+1。

步骤5 终止判断。令G+1→G，若G＜G_max，则返回步骤2；否则，将生成的子代种群中优劣等级为1的所有个体构成多目标优化问题的非劣最优解，输出并结束运行。

2.2  DE算法与PSO结合

DE算法具备特有的记忆能力，可以动态跟踪当前的搜索情况，具有较强的全局收敛能力和鲁棒性，适于求解一些利用常规的数学规划方法所无法求解的复杂环境中的优化问题。PSO具有算法简单、运算速度快，搜索能力强等特点。本文利用两者各自的优势，按粒子搜索方式不同将整个粒子群体分为两分群，分别命名为PSO分群(P群)和DE分群(D群)。

设p_best(t)，p_gbest(t)和D_gbest(t)分别代表P群t时刻个体历史极值解、全局历史极值解和t时刻D群全局历史极值解，g_best(t)代表t时刻整群全局历史极值解。DE与PSO结合的计算流程如下。

Step 1 初始化两分群粒子的位置，设置分群规模、最大迭代次数、优化精度及PSO算法和DE算法的其他相关初始参数，计算所有粒子的初始适应值并保存整群最好适应值。

Step 2 第1阶段搜索，具体步骤包括：

(1) P群粒子按基本PSO搜索机制产生粒子新位置并计算新适应值，更新p_best(t)，p_gbest(t)及其适应值。

(2) D群根据式(1)和(2)对D群体中所有个体执行变异和杂交操作，生成粒子新位置并计算新的适应值，记录D_gbest(t)及其适应值。

(3) 比较P_gbest(t)和D_gbest(t)适应值，更新g_best(t)及其适应值。

(4) 计算进化因子H，判断PSO群体是否陷入局部最优。重复步骤(1)~(3)，满足精度要求或达到最大迭代次数时则转至step 4；若判断P 群粒子陷入局部最优，则进入step 3。

Step 3 第2阶段搜索，具体步骤包括：

(1) 按照。其中：i=1, 2, …, N，Y=(Y₁, Y₂, …, Y_N)；Y_i的各维分量取值为[-1, 1]范围内的随机值。在以g_best(t)为中心、R为半径的邻域内产生N个随机粒子X_i，取代现有D群中所有粒子进行迭代。

(2) 计算两群各个粒子的适应值并更新P_gbest(t)和D_gbest(t)及其适应值，将两分群粒子按适应值优劣排序，用D群中适应值较好的粒子取代P群中相同数量的适应值较差粒子。

(3) 比较P_gbest(t)和D_gbest(t)的适应值，保存g_best(t)及适应值，转至step 2。

Step 4 停止搜索，输出并结束运行。

2.3  多种群进化策略

DE算法在求解多目标优化问题时易陷入局部最优。利用多种群进化策略，当多个种群共同执行进化搜索时，即使单个种群的多样性丧失，由于种群间存在差异，通过种群间的信息共享和交换，引导算法跳出局部最优，也可保证整个算法继续进化。

根据文献[12]的双种群进化策略，上述P群和D群分别采用双种群p₁和p₂进行差分进化，p₁和p₂都包含N_P个个体，p₂作为辅助种群，用于存放p₁在选择时被舍弃的个体。p₂中的个体虽然较“差”，但p₂却具有较好的种群多样性。

种群p₁交叉操作如下：

 (3)

通过式(3)，实现p₁与p₂的信息交换()。

3  算法测试与分析

为验证本文算法IHDEA的有效性，采用2个经典测试函数来测试算法的性能。

MOP1:

其中：0≤x₁≤1, -5≤x_i≤5；i=2, …, 10。

MOP2:

其中：0≤x₁≤1。

算法的参数设置：种群规模N_p=200，缩放因子F=0.6，交叉概率因子C_R=0.5，最大进化代数G_max=400。本文将IHDEA与传统DE算法、NSGA-II算法进行比较，验证改进算法的有效性。

为评价多目标优化算法的性能，本文采用文献[16]中的2项指标。

(1) 收敛性指标γ：

          (4)

式中：P^*为非劣最优解集；P_FT为理论真实非劣最优解集；Q表示算法得到Pareto非劣解集中解的个数。γ越小，越逼近真实最优非劣解，收敛性越好。

(2) 分布度指标S_P：

          (5)

式中：d_i为P^*中连续2个非劣解个体间的欧氏距离；为所有d_i的均值。

3种算法对2个测试函数求解后的收敛性指标和分布度指标如表1所示。

表1  3种算法对测试函数的性能指标比较结果

Table 1  Performance indexes comparison of three algorithms for test functions

由表1可见：对于MOP1和MOP2，在收敛性方面，IHDEA的逼近性明显优于DE和NSGA-II，说明DE与PSO的结合提高了传统DE算法的搜索效率；在分布性方面，IHDEA对改善Pareto最优解集多样性的效果比较明显，尤其要比NSGA-II优越，说明基于多种群进化的信息交换策略优于NSGA-II的拥挤距离判断方法。2个测试函数的计算结果表明：IHDEA对于求解复杂非线性多目标优化问题具有明显的优势。

4  铝电解多目标优化模型的IHDEA求解

4.1  铝电解多目标优化模型

根据现场经验，铝电解生产过程应着重考虑节能降耗，采用电流效率与直流功耗作为优化的2个目标。通过深入研究铝电解生产机理，全面分析铝电解生产工艺参数，确定多目标优化模型的设计变量为：极距、氧化铝浓度、摩尔比、电解质温度、电解质及铝液高度。

在铝电解生产过程中，物料平衡和能量平衡是电解槽稳定工作的2个基本保障，因此，它们是多目标优化模型约束条件的主要成分。其中，物料平衡使用氧化铝的消耗平衡来反映：

   (6)

式中：和分别为k时段与k的前一时段的氧化铝浓度；和分别为k时段和k的前一时段的电解质高度；M₁为下料量；M₂为出铝量；ρ为电解质密度；S为电解质表面面积。

能量平衡表达式为：

             (7)

式中：U为槽电压；I为系列电流；t为运行时间；W为直流功耗；w为能量损失。

另外，设计变量的允许变化范围也是约束条件的重要组成部分。

综上所述，本文构建的铝电解多目标优化模型为：

      (8)

  s.t.

其中：η为电流效率；W为直流功耗；f₁和f₂分别为电流效率和直流功耗与设计变量之间的函数关系；d为极距；c为氧化铝浓度；r为摩尔比；为电解质温度；l₁为电解质高度；l₂为铝液高度。

4.2  仿真结果与分析

基于某厂240 kA预焙铝电解槽的历史生产数据，运用上述改进的差分进化算法对铝电解多目标优化模型进行求解。

IHDEA的参数设置：种群规模N_p=200，变异常数为0.7，交叉概率因子C_R=0.5，最大进化代数为500。优化结果如表2所示。

为验证IHDEA的优化性能，将IHDEA与传统DE算法、NSGA-II算法进行比较。图1所示为3种算法求解铝电解多目标优化模型所得的Pareto最优结果。由图1可见：在相同的电流效率下，NSGA-II算法所得的直流电耗比传统DE算法的低，而IHDEAD算法所得的直流功耗比NSGA-II和DE所得的低。利用IHDEA所得的Pareto最优前沿在解的均匀性上要明显比DE与NSGA-II的好，说明IHDEA的优化效果比其他2种算法的优化效果好。

图1  铝电解多目标优化结果对比

Fig.1  Comparison between multi-objective optimization results for aluminum electrolysis

为进一步说明优化效果，根据现场经验与工艺要求，设置设计变量的取值：d=4.85 cm，c=2.3%， r=2.52，=943 ℃，l₁=18 cm，l₂=23 cm。代入式(8)，应用IHDEA求解得到在电流效率为92%的情况下，直流功耗为14.03 MW·h/t，比NSGA-II的直流功耗降低1.45%，比传统DE的直流功耗降低了1.75%。这说明了本文改进优化算法的有效性。

5  结论

(1) 在综合考虑粒子群算法的收敛速度快和多种群进化策略的全局优化性能好的基础上，构建了一种改进的差分进化算法IHDEA。该算法首先利用差分进化与粒子群算法的结合提高了搜索效率；同时，在混合算法中引入多种群进化策略，提高种群的多样性，以避免算法陷入局部最优。

(2) 在保证物料平衡与能量平衡的基础上建立了以单位能耗最小和电流效率最高为目标的铝电解多目标优化模型，并应用IHDEA进行求解。仿真结果表明：在电流效率为92%的情况下，改进算法所得的直流功耗为14.03 MW·h/t，比NSGA-II的直流功耗降低1.45%，比传统DE的直流功耗降低1.75%。表明本文改进算法有效地提高了传统进化算法的性能。

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(编辑 陈灿华)

收稿日期：2011-03-11；修回日期：2011-05-28

基金项目：国家“十一五”国家支持计划项目(2009BAE85B00)

通信作者：郭俊(1982-)，男，湖南武冈人 博士研究生，从事铝电解生产过程优化与控制研究；电话：18932441893；E-mail: gjhr12200221@163.com