一种新的改进响应面法的结构可靠性计算方法

李少宏，陈建军

(西安电子科技大学 机电工程学院，陕西 西安，710071)

摘要：针对经典响应面方法计算结构的可靠度时计算量大、不够精确、易产生奇异解等问题，首先通过计算原来响应面函数的梯度函数得到方位向量，由方位向量得到旋转矩阵；然后，按照该旋转矩阵通过旋转坐标轴得到新的坐标系，在该新的坐标系用新的样本点构造逼近函数，所构造的逼近函数和原来极限状态函数在形式上接近；最后，通过反复迭代，得到极限状态函数的最大失效点，从而得到结构的失效概率。研究结果表明：本文方法改进了传统响应面法，提高计算精度，降低计算次数，是有效和可行的。

关键词：响应面；结构；可靠性

中图分类号：TH122       文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2013)05-1837-05

A new improved response surface method for structural reliability computing

LI Shaohong, CHEN Jianjun

(School of Electronic & Mechanical Engineering, Xidian University, Xi’an 710071, China)

Abstract: Considering that the classical response surface method can easily produce large amount of calculation, errors and singular solution, the original response surface function gradient orientation vector was firstly computed to obtain the rotation matrix, and then the axes were rotated in accordance with the rotation matrix to get the new coordinate system by using the rotation matrix. In the new coordinate system, the new sample points were used to construct the approximation function and the original limit state function approximation function in the close form. Finally, the most failure point of the limit state function and the structural failure probability were obtained by using the mutual replacement method. The results show that the calculation accuracy of the traditional response surface method can be improved, and the computational times can be reduced. The algorithm is effective and feasible.

Key words: response surface; structure; reliability

结构可靠性是结构的一个重要指标。人们对结构可靠性进行了大量分析，并提出多种关于结构可靠性的计算方法^[1-5]，如Monte Carlo(MC)方法、一阶可靠性方法(the first order reliability method, FORM)、二阶可靠性方法(the second order reliability method, SORM)等。MC法虽然能够给出问题的精确解，但计算量巨大，特别是对于具有低失效率的复杂结构，其缺点相当明显。改进的MC法、FORM法和SORM法虽然可以减少计算量，但当随机变量很多时，其计算时间较长，而且对于功能函数是非线性时会产生很大的误差。为了提高计算效率，减少计算量，常用响应面法(RSM)来进行结构的可靠度分析。其基本思想是用响应面函数(RSF)来拟合原有的隐式极限状态函数，但其算法十分复杂。当前应用较多的仍是Bucher的响应面法及其局部改进^[6]。赵明华等^[7]据传统的响应面法提出逼近函数可以用四次多项式，虽然提高了精度，但增大了计算量。张哲等^[8-9]提出响应面法与几何法相结合改进了传统的响应面法，对样本点进行了选取，但操作性不强。Lee等^[10]用矩法赋值，然后用响应面计算结构的可靠度，但该方法降低了计算效果。Gavin等^[11]用高阶多项式逼近极限状态函数，但是，它容易产生病态方程组。以上研究都忽视了对样本点的选取。为此，本文作者在这些研究的基础上，通过旋转坐标轴合理选取样本点，改进响应面方法，以提高计算精度，降低计算次数。

1  传统响应面法

响应面法是用近似的功能函数来代替真实的功能函数，再结合一定的可靠度计算方法对结构的可靠性进行分析，其中常用的是一阶可靠性方法。

对于n个随机变量，通常取如下的二次多项式作为响应面函数：

        (1)

式中：a，b_i和c_i (i=1, 2, …, n)为待定系数。与FORM结合的RSM的常用方法如下^[12-13]：

Step 1 假定初始点，一般取均值点。

Step 2 利用数值分析模拟方法计算功能函数及，得到2n+1个点估计值。其中，f一般Step 1取3，以后各步取1。

Step 3 由这2n+1个点估计值求出2n+1个系数a，b_i和c_i (i=1, 2, …, n)，得到近似功能函数，再用一阶可靠性方法求出可靠性指标及相应的验算点(k表示第k次迭代)。若＜(要求的精度)被满足，则就为第k次所求的可靠性指标。否则，进入Step 4。

Step 4 计算新的展开点，其计算公式为

       (2)

式中：为响应面的第k次迭代的初始点；和分别为与第k个响应面相应的验算点与插值点；和分别为和相应的功能函数值。最后，取和中距离极限状态面更近的点作为下一次迭代的起点进行下一次迭代。

但是，这种方法在功能函数是非线性时计算量很大，而且结果误差较大^[13-15]。

2  改进响应面法及其算法

2.1  响应面法的改进

普通的极限状态函数为

              (3)

其中：c为正常数。这个极限状态函数的最大失效点为，可靠性指标为。以为中心点的4个样本点为

，，

，       (4)

其中：。这个极限状态函数可以由下面响应面生成：

        (5)

为了确定式(5)中的系数a₀，a_i和a_ii，将中心点及4个样本点代入式(3)求得极限状态函数h(x₁, x₂)分别为：0，，，和。

将X_M以及式(4)和(6)代入式(5)得

，，，，  (6)

由此的极限状态函数的响应面为

            (7)

极限状态函数和响应面函数的图像如图1所示。

由以上的运算过程可以看出：在计算失效概率运算中，响应面方法并没有比一阶可靠性方法产生好的效果。

现以最大失效点X_M为原点，极限状态函数的切线为轴，与它垂直的直线为轴，建立新的坐标系-，以极限状态函数的梯度方向为正方向。将样本点(式(4))逆时针旋转，则该样本点分别位于坐标系-的2条轴上，如图2所示。

坐标系x₁-x₂与-之间的坐标变换公式为

              (8)

其中：R为旋转矩阵；为坐标系-下的向量空间。

图1  极限状态函数与响应面函数

Fig.1  Limit state function and response surface function

图2  点的旋转示意图

Fig.2  Points are rotated

            (9)

相应地，5个样本点的坐标为

，，，

，            (10)

对应的极限状态函数值分别为

，，

，

，

       (11)

求得响应面函数的系数分别为

，，，，   (12)

求得-坐标系下的响应面函数为

           (13)

式(14)在x₁-x₂空间中与式(8)有相同的形式，因而可以产生更精确的逼近形式。

实际上，对所有的非线性极限状态函数都可以进行类似变换。下面讨论旋转角的确定。

记与极限状态函数的切线垂直且指向极限状态函数方向的向量为，

                (14)

其中：为x₁-x₂空间下的h(X)的梯度向量。，，和分别是的第1与第2分量，这时，旋转矩阵R就可以用Gram-Schimdt正交化方法写出。

2.2  算法

根据上面的推理过程，可以得到以下的响应面的改进算法。

Step 1 用二阶响应函数逼近极限状态函数：

第1次迭代时在标准正态空间选取均值点为中心样本点，如下选取其他2n个样本点(n为随机变量的个数)：

             (15)

第j步迭代：

1) 由上一步的迭代的计算旋转矩阵R；

2) 根据旋转坐标系；

3) 将作为新的样本中心点，其他2n个样本点旋转到的坐标轴上；

4) 求出响应面函数。

Step 2 计算空间的响应面函数的梯度函数；

Step 3 计算X空间响应面函数的梯度向量；

              (16)

Step 4 计算方位向量。

Step 5 用下式进行设计验算：

       (17)

Step 6 计算可靠性指标。

Step 7 检查收敛性，若不收敛，则从Step1开始重新迭代；若收敛，则为极限状态函数的最大失效点，迭代结束。

一般的收敛标准取为(ε为预定误差)

＜            (18)

3  算例

例1 极限状态函数为

       (19)

其中：x₁和x₂为2个实标准正态变量。用一阶可靠性方法、蒙特卡洛方法、经典响应面方法和本文方法计算可靠性指标、失效概率、最大失效点的结果比较见表1。

表1  例1的计算结果比较

Table 1  Comparison results of Example 1

例2 如图3所示，长度为9.75 m的杆，受均匀载荷，这个结构有64个随机变量，它的极限状态函数如下：

             (20)

其中：M_leftend为左端点的弯矩。弹性模量E与载荷q服从正态分布，E的期望和方差分别为464.877 MN·m²和116.7 kN/m，q的期望和方差分别为92.977 MN·m²和35 kN/m。用一阶可靠性方法、蒙特卡洛方法、经典响应面方法和本文方法计算可靠性指标及失效率结果比较见表2。

图3  例2示意图

Fig.3  Truss of Example 2

表2  例2的计算结果比较

Table 2  Comparison results of Example 2

从表1和表2可以看出：由本文方法所得计算精度与由MCM所得结果相差很小，比由FORM所得结果能够更好地接近精确值，同时运算次数明显减少；此外，在功能函数为隐式时，也能够运用本文方法进行计算。

4  结论

(1) 由于每一次迭代，对坐标系进行旋转，因而使得算法计算效率、精度极大提高。算例表明，改进的算法是有效可行的。

(2) 所提出的方法易于编程实现，无需修改现有软件，能与经典响应面方法很好地融合。

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(编辑  陈灿华)

收稿日期：2012-05-17；修回日期：2012-07-26

基金项目：国家自然科学基金资助项目(50905134)；中央高校基本科研基金资助项目(JY10000904012)

通信作者：李少宏(1968-)，男，陕西榆林人，博士研究生，从事可靠性分析与设计研究；电话：015-22931859；E-mail: lishaohong100@yahoo.com