基于模糊Lyapunov函数的Mamdani模糊

系统H_∞稳定性分析

黄卫华，方康玲，章政

(武汉科技大学 信息科学与工程学院，湖北 武汉，430081)

摘要：推导典型Mamdani模糊控制器解析结构，构造模糊Lyapunov函数，提出一种判断模糊系统H_∞稳定性的方法，得到闭环Mamdani模糊控制系统的稳定性分析的充分条件。仿真结果证明了该方法的有效性。

关键词：模糊Lyapunov函数；Mamdani模糊系统；H_∞稳定性

中图分类号：TP273⁺.4          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2011)S1-0314-06

H_∞ stability analysis of Mamdani system based on fuzzy Lyapunov function

HUANG Wei-hua, FANG Kang-ling, ZHANG Zheng

(College of Information Science and Engineering, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan 430081, China)

Abstract: The fuzzy Lyapunov function was used in the stability analysis of Mamdani fuzzy control system, and a judgment method for H_∞ stability of fuzzy system was put forward based on the analytical structure of Mamdani fuzzy controller, then the sufficient condition for the stability of the Mamdani fuzzy control system was proposed. The simulation results show that the method is effect.

Key words: fuzzy Lyapunov function; Mamdani fuzzy system; H_∞ stability

稳定性是控制系统设计和应用的首要条件，由于模糊控制本质的特殊性和模糊控制器结构的复杂性，使得模糊系统的稳定性分析远不如传统控制系统成熟。近年来，T-S模糊控制系统的稳定性分析和设计已成为模糊控制理论研究的热点，已取得了许多研究成果^[1-4]。目前，关于模糊系统稳定性分析的有效方法主要是基于Lyapunov直接法，分为公共Lyapunov函数法、分段Lyapunov函数法和模糊Lyapunov函数法。已经证明，模糊Lyapunov函数具有光滑性，且基于模糊Lyapunov函数的模糊系统稳定性条件在一定程度上能够降低寻找公共正定矩阵的保守性^[5]。但是，基于Lyapunov函数法的模糊系统稳定性分析要求知道系统的明晰解析表达式，而Mamdani模糊系统的规则前件和后件均为模糊词集，它们之间不是一种直接的解析关系，因此，目前模糊Lyapunov函数方法主要是应用于T-S模糊系统^{[3, 6-8]}，关于基于模糊Lyapunov函数Mamdani型模糊系统稳定性分析的研究相对  较少。1989年，Hao提出了解析模糊控制理论，将人的思维推理过程表示为关于输入-输出模糊变量的明晰表达式，从而模糊控制可以与传统的控制理论相结  合^[9-10]。在此，本文作者通过对典型Mamdani模糊控制器解析结构的推导，将模糊Lyapunov函数的稳定性分析方法用于闭环Mamdani模糊控制系统，提出一种判断模糊系统H_∞稳定性的方法。

1  Mamdani模糊系统描述

一般而言，多数工业控制过程都可以等效为二阶环节：

其中：K为控制对象增益；T₁和T₂为时间常数。

由二维模糊控制器和二阶对象构成的Mamdani模糊控制系统如图1所示。系统微分方程表达式如下：

其中：；；u(t)为系统输入量；y(t)为输出量；u_c(t)为模糊控制量；ω(t)为扰动输入。

图1  模糊控制系统

Fig.1  Fuzzy control system

当输入量u(t)为单位阶跃函数时，令模糊系统误差为e(t)，则e(t)=u(t)-y(t)，，。则式(1)可写为：

   (1)

令x₁(t)=e(t)，，，式(1)变为：

当讨论模糊系统鲁棒稳定性时，模糊系统输入u(t)=0，则模糊系统的状态方程为：

         (2)

2  典型Mamdani模糊控制器的设计

典型模糊控制器为两输入一输出的Mamdani模糊控制器，模糊控制器的输入变量为误差e^*和误差变化率r^*，输出变量为u^*，e^*=G_ee(t)，，。其中：G_e，G_r和G_u为归一化因子，即e^*[-1，1]；r^*[-1，1]；u^*[-1，1]。为了说明问题的简单性，设定输入变量e^*和r^*均采用对称、全交叠、均匀分布的三角形隶属函数，取输入模糊子集E_i和R_j的个数N=3(i=-1，0，1；j=-1，0，1)；输出变量u^*采用均匀分布的单点隶属函数。为了覆盖所有的控制规则，输出模糊子集U_k的个数为2N-1，令δ_k为U_k的中心点，δ_k=k/2。

3  基于Sum-Product推理方法的Mamdani模糊系统稳定性分析

输入模糊子集将模糊空间划分为16个子空间，如图2所示。在子空间S₁，S₂，S₃和S₄内，均有4条模糊规则被激活；在子空间M₁，M₂，…，M₈内有2条规则被激活；在子空间N₁，N₂，N₃和N₄内仅有1条规则被激活。根据最大交叠规则组的定义，只需在子空间S₁，S₂，S₃和S₄内判断Mamdani模糊控制系统(2)的稳定性。

图2  模糊控制系统输入空间分布

Fig.2  Input space distribution of fuzzy control system

采用重心法解模糊化后，在子空间S₁，S₂，S₃和S₄内，模糊控制器的输出值相同，即

由此可得：

     (3)

将式(3)代入式(2)，则模糊系统的状态方程为：

(4)

令，，

则。同理，在其他模糊子空间内，可计算出线性化后Mamdani模糊系统的状态方程。

定义1  对于模糊控制系统(式(4))，若存在模糊控制器的输出(式(3))，使得：

(1) 当ω(t)=0时，模糊控制系统为渐进稳定；

(2) 当ω(t)≠0时，给定常数γ＞0，在零初始条件下(x(0)=x₀)，模糊控制系统具有H_∞性能指标γ，即，则称Mamdani模糊控制器为H_∞模糊控制器。

 定理1  对于模糊控制系统(式(2))，给定常数γ＞0，若，在各最大交叠规则组的模糊子空间S_j(j=1，2，…，16)内分别存在相应的正定矩阵   P_l(l=1，2，3，4)满足线性矩阵不等式

，则模糊

控制系统(式(2))为渐进稳定，且具有H_∞性能指标γ。

证明：在模糊子空间S₁内，定义模糊Lyapunov函数为：

其中：P_l为正定对称矩阵；；l=1，2，3，4。则模糊Lyapunov函数V₁(x)的导数为：

定义非线性函数

    (5)

现在分别讨论系统外部扰动量ω(t)=0和ω(t)≠0时，Mamdani模糊系统(式(2))的稳定性问题。

(1) 当系统外部扰动量ω(t)=0时，由于，故

由于h_i＞0，故当时，有，即模糊系统(式(2))是稳定的。

(2) 当系统外部扰动量ω(t)≠0时，

由于对于任意适当维数的矩阵X和Y，有, 。则有：

因此，

  (6)

将式(6)代入式(5)，可得：

则当

  (7)

成立时，H(x，ω)＜0。此时，在初始条件为0的条件下，对式(5)从0到T求积分，有

  (8)

当T→∞时，

由此可得：即。因此，当ω(t)≠0时，若

，

则有H(x，ω)＜0，模糊系统(式(2))在子空间S₁是稳定的，并具有H_∞控制性能指标γ。

对于整个Mamdani模糊系统，令，在整个输入向量空间上构造Lyapunov函数：

因此，当定理1成立时，模糊控制系统在整个空间内是渐进稳定的。

4  Mamdani模糊系统的稳定性分析方法

闭环Mamdani模糊控制系统的稳定性分析的步骤如下。

Step 1 推导Mamdani模糊控制系统的解析结构，得出模糊控制器的输入-输出的明晰表达式。

Step 2 若Mamdani模糊控制器的输出表达式为线性函数，则将此表达式转换为状态空间表达式；否则，在平衡态附近，利用泰勒展开式将非线性输出表达式转化为线性微分方程，然后，转换为状态空间表达式。

Step 3 根据文献[11]中的最大交叠规则组的确定方法，找出Mamdani模糊控制系统的最大交叠规则组子空间，并在这些子空间内证明系统的稳定性。

Step 4 根据文献[12]确定的值，并设定γ的值，求解得到满足线性矩阵不等式(7)的正定矩阵P_l。

Step 5 根据Step 4所得的结果，验证闭环Mamdani模糊子系统的稳定性。

5  仿真实验

某温度对象矩形脉冲响应实验数据如表1所示，其中：矩形脉冲幅值为1/3，脉冲宽度为10 min。

表1  实验数据表

Table 1  Experimental data

设矩形脉冲响应为y₁(t)，阶跃响应为y(t)，由此可得：

其中：Δt=10 min；t₀=1 min。

由表1所示的实验数据可得此温度对象的矩形脉冲响应曲线和阶跃响应曲线如图3所示。

图3  温度对象的矩形脉冲响应曲线和阶跃响应曲线

Fig.3  Rectangular pulse and step response of temperature object

采用二阶惯性环节近似该温度对象，则有：

其中：温度对象增益K=300。

采用两点法计算T₁和T₂：

， 。

选取y(t₁)≈40，y(t₂)≈80，由此可得t₁≈13 min，t₂≈30 min，T₁≈11 min，T₂≈4.36 min。该温度对象的传递函数为：

。

采用本文所定义二维模糊控制器对该温度对象进行模糊控制，模糊推理算法为Sum-Product。基于ITAE性能指标，采用单纯型法对模糊控制器的归一化因子进行优化后，取G_e=0.190 8，G_r=0.035 7，G_u=1.142 2，模糊系统阶跃响应曲线如图4所示。闭环Mamdani模糊控制系统的状态方程为：

图4  模糊系统阶跃响应曲线

Fig.4  Step response of fuzzy system

当采用公共Lyapunov函数方法时，在模糊空间内找不到满足定理1稳定性条件的公共正定矩阵P，因而无法判断Mamdani模糊系统的稳定性。

令(k=1，2，3，4)，γ=3，根据式(11)可得正定矩阵(j=1，2，3，4；l=1，2，3，4)如下：

，

，

，

由此可知：可找到正定矩阵使得Lyapunov函数小于0，由此验证所设计的Mamdani闭环模糊控制系统是渐进稳定的。

在t=80~90 min之间，对模糊系统外加干扰正弦信号sin(50t)，模糊控制系统的输出响应曲线如图5所示，系统的状态响应曲线如图6所示。

图5  外加干扰信号后系统模糊系统阶跃响应曲线

Fig.5  Step response of fuzzy system with disturbance

图6  外加干扰信号后系统模糊系统状态响应曲线

Fig.6  State response of fuzzy system with disturbance

仿真结果表明：当G_e=0.190 8，G_r=0.035 7，G_u=1.142 2时，基于模糊Lyapunov函数对外部具有干扰的Mamdani闭环模糊控制系统进行稳定性分析，验证该模糊系统是渐进稳定，且满足H_∞控制性能指标，由此说明所设计的模糊控制器使系统具有良好的抗干扰能力。

6  结论

基于模糊控制器的解析结构，本文将基于模糊Lyapunov函数的T-S模糊系统稳定性分析的方法，用于典型Mamdani模糊系统的H_∞稳定性分析，提出了一种新的判断闭环Mamdani模糊系统H_∞稳定性的方法，即若能找到满足系统稳定性条件的正定矩阵，则从模糊系统稳定性分析的角度可以证明设计的Mamdani模糊控制系统能够有效的抑制外部干扰，具有良好的鲁棒稳定性。最后，仿真实验结果验证了算法的有效性。

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(编辑 杨幼平)

收稿日期：2011-04-15；修回日期：2011-06-15

基金项目：湖北省教育厅研究项目(Q20111109，2009Q1112)

通信作者：黄卫华(1976-)，女，湖北武汉人，博士，副教授，从事模糊控制、智能算法的研究；电话：15327378692；E-mail：hwh1108@wust.edu.cn