DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2015.08.019
基于相关Toeplitz预处理的二维测向方法
司伟建1，吴迪1，韩惠莲2
(1. 哈尔滨工程大学 信息与通信工程学院，黑龙江 哈尔滨，150001；
2. 宇航智能控制技术国家级重点实验室，北京，100854)
摘要：针对经典多重信号分类(MUSIC)算法对相干信号的测向性能急剧下降的问题，提出基于相关Toeplitz预处理的二维测向方法。首先，利用阵元接收数据之间的相关性信息构造一个Toeplitz矩阵，使该矩阵中包含各个信号源的角度信息，且矩阵的秩与信号源的相关性无关，实现解相干。其次，利用降维的思想，将对正交阵列的二维测向转换为三个并行的一维测向。最后，通过对相关Toeplitz预处理构造Toeplitz矩阵，对其特征分解，得到噪声子空间，利用MUSIC算法子空间正交原理，实现对相干信号的二维测向。计算机仿真实验验证了该方法的可行性和有效性。
关键词：阵列信号处理；MUSIC算法；相关Toeplitz；相干信号；二维测向
中图分类号：TN911.7 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2015)08-2892-06
2-D direction finding method based on correlation Toeplitz pretreatment
SI Weijian1, WU DI1, HAN Huilian2
(1. College of Information and Communication Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China;
2. National Key Laboratory of Science and Technology on Aerospace Intelligence Control, Beijing 100854, China)
Abstract: Based on the problem that the direction finding performance of classical multiple signal classification (MUSIC) algorithm declines sharply in the presence of coherent signals, a 2-D direction finding method based on correlation Toeplitz pretreatment was proposed. First, a Toeplitz matrix containing the angle information of all signals was constructed by utilizing the correlation information of the receiving data, the rank of the Toeplitz matrix was irrelevant to the correlation of signals, and decorrelation can be achieved. Then, by reducing dimensions, the 2-D direction finding was converted into three collateral 1-D direction finding. At last, the noise subspace was obtained by eigendecomposition of the Toeplitz matrix constructed by correlation pretreatment. Thus based on the subspace orthogonal principle of MUSIC algorithm, the 2-D direction finding of coherent signals was realized. The results of the simulation experiment have shown the feasibility and effectiveness of the proposed algorithm.
Key words: array signal processing; MUSIC algorithm; correlation Toeplitz; coherent signal; 2-D direction finding
多重信号分类(multiple signal classification，MUSIC)算法由Schmidt等[1]提出，促进了特征子空间类算法的兴起和发展。但是由于多径效应，同频强信号干扰等因素，使得空间中存在大量的相干信号，这时MUSIC算法的测向性能将急剧恶化，从而针对相干信号的测向问题引发了学者们的广泛关注。为了解决这一问题，近些年涌现出大量的研究方法[2-5]，这些方法多数是对协方差矩阵进行修正，从而正确估计来波信号的方向。但是以上算法大都针对一维测向的研究方面，目前，二维空间到达角估计[6-7]已经成为一个重要的研究方向，针对相干信号的二维测向更是研究热点[8-9]。其中文献[8]提出了基于数据矩阵重构的波达方向矩阵法，该方法利用阵列接收数据之间的互相关信息，构造2个Toeplitz矩阵形式的等效协方差矩阵，实现解相干和二维波达方向估计，且无需二维谱峰搜索与参数配对。文献[9]提出了一种新的单次快拍二维测向算法，该算法仅用一次快拍数据构造４个等效的协方差矩阵，通过对其一次特征分解，实现完全解相干和二维波达方向估计。但是以上2种方法具有测向精度低的缺点。本文作者基于Toeplitz(TOP)矩 阵[10-12]类解相干算法的原理，利用阵元接收数据之间的相关性信息构造Toeplitz矩阵，提出基于正交阵列相关Toeplitz(C-TOP)预处理的解相干方法。该方法只用一组相关值构造Toeplitz矩阵，计算量减少为TOP解相干方法的1/M，同时利用降维思想，将二维正交阵列测向转换为3个并行的一维阵列测向，实现了对二维相干信号的正确测向。
1 问题的提出
考虑D个互不相关的窄带远场信号，信号波长为λ；一维均匀线阵阵元数为M(M＞D)，阵元间距d=λ/2。各阵元接收到的噪声为互不相关的高斯白噪声，且噪声和信号不相关。因此，第m个阵元的输出为
(1)
式中：
，
，θk为第k个信号源的方向，nm(t)为第m个阵元接收的噪声。
将式(1)写成矩阵形式：
(2)
式中：
为数据矢量；
为信号矢量；
为噪声矢量；A为阵列流型矩阵，
，第k个信号源的方向向量
。
由于各阵元的噪声互不相关，且与信号不相关，因此接收数据的协方差矩阵为
(3)
式中：
为信号的协方差矩阵；
为高斯噪声的方差。
对R进行特征分解，可以得到M个特征值，
，对应的特征矢量为
。将这些矢量张成的空间U划分为信号子空间US和噪声子空间UN，即
(4)
且
，
，
。
由子空间基本原理可知，信号子空间与噪声子空间正交，并且信号子空间与信号方向向量张成的子空间为同一子空间。因此有，
。
MUSIC算法正是基于上述性质提出的，因此MUSIC算法的谱估计公式为
(5)
以上情况是基于入射信号为非相干信号时给出的，经典的MUSIC算法对于非相干信号具有较高的测向性能，但是当入射信号为相干信号时，其测向性能急剧下降，甚至失效。这主要是因为当多个信号是相干信号时，US的秩将会小于D，信号子空间将向噪声子空间渗透，也就是说UN不再是单纯的噪声子空间，从而US与UN将不能完全正交。因此，就需要研究解相干方法，以实现对相干信号的正确测向。
目前，各类解相干方法很多，其中一类解相干方法是基于接收数据协方差矩阵的Toeplitz性而提出的，称为Toeplitz[10-12]近似方法，这里简称为TOP解相干方法。由于采样次数有限，在一般情况下，协方差矩阵R可由有限次采样得到的近似估计
来表示，L为快拍数。当存在相干信号源时，
的秩会下降，将无法正确估计信源方向。那么，TOP解相干方法就是对数据协方差矩阵的斜对角线上的元素进行平均，来构造一个Toeplitz矩阵RT。可以归结为以下公式：
(6)
；0≤n≤M (7)
其中：M为阵元数；rij为R的元素；
，为RT中的元素。然后利用MUSIC算法的步骤，对重构矩阵进行特征值分解，得到数据的信号子空间与噪声子空间，以进行DOA估计。
然而，TOP解相干方法是对相关矩阵下三角部分各条对角线上的元素求平均，替代相应的对角线元素，这样会造成信号空间能量向噪声空间的泄露。这样就需要研究新的解相干方法，并且实现对二维空间角的正确估计。
2 本文方法
本文同样通过构造Toeplitz矩阵来解相干，基于阵列接收数据之间的相关信息，提出相关Toeplitz解相干方法，简称为C-TOP解相干方法。该方法只用一组相关值构造Toeplitz矩阵，使计算量减少为TOP解相干方法的1/M，避免了对多组相关值求平均带来的计算量。
下面将首先介绍基于一维均匀线阵的C-TOP解相干方法，然后将此方法扩展到二维正交阵列，最终实现二维测向。
2.1 一维C-TOP解相干方法
考虑D个窄带远场信号，信号波长为λ，前p个是相干的信号源，即
(k=2，…，p；γk是一个复常数)，并且剩余的信号不相关。
采用一维均匀线阵，阵元间距d=λ/2，阵元数为2M+1(M＞D)。各阵元接收到的噪声为互不相关的高斯白噪声，且噪声和信号不相关。阵列摆放形式如图1所示。
图1 一维阵列摆放形式
Fig. 1 One-dimensional array form
以中间的阵元为参考，第m个阵元的输出为
(8)
定义参考阵元与第m个阵元的相关性系数为
；
(9)
由上述2M+1个系数构造一个Toeplitz矩阵
(10)
此Toeplitz矩阵包含了入射信号的角度信息，并且是满秩的，它的秩与信号源的相关性无关，因此达到了去相关的目的。由于只用一组相关值进行构造，使计算量减少为Toeplitz近似方法的约1/M，避免了平均带来的计算量。
对矩阵T进行特征值分解，将得到M+1个特征值，由大到小进行排序为
。前D个大特征值对应的特征矢量张成的空间为信号子空间TS，剩余小特征值对应着噪声子空间Tn，它们相互正交。此时，谱估计公式为
(11)
这样就实现了一维测向。
2.2 二维C-TOP解相干方法
为了实现对信号二维空间角的估计，可以将上述一维均匀线阵的测向结果直接应用于二维空间谱。利用降维的思想，将降维技术与C-TOP解相干方法相结合，使对正交阵列的二维测向转换为对3个并行线阵的一维测向。构造阵列模型如图2所示，在X，Y和Z轴各摆放一个均匀线阵，摆放规则与图1一致，构造二维正交阵列。
考虑D个信号波长为λ的窄带远场信号
入射到天线阵列，它们的波达方向矢量角分别为
，其中，
，
分别为第k个信号sk(t)入射方向与X，Y，Z轴的夹角，不难证明有如下关系成立：
(12)
各阵元接收到的噪声为互不相关的高斯白噪声，且噪声和信号不相关。在X轴上，以中间的阵元为参考，第m个阵元的输出如式(8)所示，写成矩阵形式
图2 二维正交阵列摆放形式
Fig. 2 Two-dimensional orthogonal array form
(13)
同理，Y轴和Z轴方向上阵元接收数据矩阵分别为
(14)
(15)
利用上述的C-TOP算法，可以求得X，Y和Z轴方向上阵元接收数据对已参考阵元与其他阵元相关性系数为ρx，ρy和ρz，由这些系数便可以构造Toeplitz矩阵Tx，Ty和Tz。
分别对矩阵Tx，Ty和Tz进行特征值分解，就能够分别在3个方向上得到前D个大特征值对应的特征矢量张成的空间为信号子空间Txn，Tyn和Tzn，剩余的小特征值对应着噪声子空间为Txn，Tyn和Tzn，信号子空间与噪声子空间相互正交。此时，3个方向上的谱估计公式分别为：
(16)
(17)
(18)
由式(16)，(17)和(18)可得到D个信号源与X，Y和Z轴的夹角分别为
，
，
。
由前面的分析，满足式(12)的α，β，γ认为是同一信号源的角度信息，令
(19)
当
足够小时，便认为
来自同一信号源，即求出了入射信号的二维DOA。
3 仿真实验
下面通过MATLB仿真实验验证本文提出的C-TOP解相干算法的可行性，并将其测向性能与传统的TOP解相干方法进行比较，以验证本文算法的有效性。
X，Y和Z轴均摆放阵元数N=9的均匀线阵，阵元间距dx=dy=dz=λ/2。
3.1 C-TOP算法可行性验证
设有3个窄带信号源s1，s2，s3入射到天线阵上，入射方向分别为(31°，75°，63°)，(50°，41°，82°)，(61°，55°，49°)，其中s1与s2是相干信号源，并且与s3不相关；噪声为高斯白噪声，信噪比为30 dB，快拍数为100，分别采用经典MUSIC算法和本文算法进行仿真。
图3所示为二维C-TOP算法和经典MUSIC算法在X，Y，Z轴上的空间谱。由图3可以看出，经典MUSIC算法只分辨出1个信号源，不能估计相干的2个信号源；而二维C-TOP算法成功分辨出了3个信号源。
图3 2种算法在X，Y，Z轴上的空间谱
Fig. 3 Spectrum of two algorithms in X, Y, Z axis
图4所示为利用式(19)进行角度组合后得到的信号源的DOA。从仿真结果可以看出：经典MUSIC算法只能分辨出s3，对于相干信号s1和s2不能分辨；而二维C-TOP算法能分辨出3个信号源。
图4 2种算法在X和Y轴上的角度组合
Fig. 4 Angle combinations of two algorithms in axis X and Y
以上仿真实验验证了本方提出的C-TOP算法对相干信号二维测向的可行性。
3.2 C-TOP算法有效性验证
为验证C-TOP算法的有效性，设2个窄带信号源入射到X轴天线阵上，入射角度为(-5°，5°)，噪声为高斯白噪声，快拍数为100。进行100次实验，统计当信噪比变化时，TOP与C-TOP算法的成功概率和估计方差。成功概率定义为正确分辨的次数与实验次数的比值，其中估计的角度间隔小于真实角度间隔的一半时认为正确分辨。
成功概率与信噪比的关系如图5所示。由图5可以看出：TOP方法和C-TOP方法的分辨成功概率均随信噪比的提高而增大；当信噪比高于10 dB时，分辨成功概率基本能够达到100%。本文提出的C-TOP算法的分辨性能高于TOP方法性能，且在信噪比比较低时也具有较高的成功概率。
估计方差与信噪比的关系如图6所示。由图6可知：TOP方法和C-TOP方法的估计方差均随信噪比的提高而减小，而且本文提出的C-TOP算法的估计精度比TOP方法的精度高。
以上仿真实验验证了本文提出的C-TOP算法比传统的TOP方法具有更高的测向性能。
图5 成功概率与信噪比的关系
Fig. 5 Relationship between probability of success and SNR
图6 估计方差与信噪比的关系
Fig. 6 Relationship between estimation variance and SNR
4 结论
1) 针对经典MUSIC算法在对相干信号的测向性能急剧下降的问题，提出了相关Toeplitz解相干方法。
2) 利用一组阵列接收数据之间的相关信息，构造Toeplitz矩阵，使计算量减少为TOP解相干方法的1/M，避免了求取平均带来的计算量。
3) 利用降维的思想，将对正交阵列的二维DOA估计转换为3个并行的一维DOA估计，最终实现对相干信号的二维测向。
4) 计算机仿真实验结果验证了该方法的可行性和有效性。
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(编辑 赵俊)
收稿日期：2014-08-06；修回日期：2014-11-17
基金项目(Foundation item)：中央高校基本科研业务费资助项目(HEUCF130804)(Project (HEUCF130804) supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities)
通信作者：司伟建，博士，研究员，从事宽带信号处理、检测与识别及高分辨高精度测向技术研究；E-mail：swj0418@263.net
