DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2016.02.019

一种有色噪声背景下混合信号的波达方向估计算法

司伟建，赵嫔姣，刘鲁涛

(哈尔滨工程大学 信息与通信工程学院，黑龙江 哈尔滨，150001)

摘要：提出一种有色噪声背景下，不相关信号和相干信号构成的混合信号的测向算法。在本文算法中，不相关信号和相干信号采用并行处理方式，缩短运算时间。首先，通过对划分的阵列输出矢量子阵构造2组自相关矩阵和互相关矩阵，利用它们构造新的矩阵并进行特征值分解，估计出不相关信号的来波方向；然后利用Toeplitz矩阵的特性，采用空间差分法去除混合信号中的不相关信号和有色噪声；再采用本文提出的改进的矩阵分解法解相干，最后应用ROOT-MUSIC算法对重构矩阵进行波达方向估计。本文所提算法在进行混合信号的波达方向估计问题时充分利用接收信号2组自相关矩阵和互相关矩阵，同时不需要进行谱峰搜索，计算量较小。理论分析和实验仿真结果验证本文算法的有效性和良好的测向性能。

关键词：波达方向估计；有色噪声；混合信号；并行处理

中图分类号：TN911             文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2016)02-0488-07

A novel direction of arrival estimation algorithm for uncorrelated and coherent signals with colored noise

SI Weijian, ZHAO Pinjiao, LIU Lutao

(College of Information and Communication Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Abstract: A novel direction of arrival estimation algorithm for uncorrelated and coherent signals with colored noise was proposed. Parallel estimation for uncorrelated and coherent signals was utilized in this algorithm, which helped to reduce the computation time. First, a new matrix was reconstructed by exploiting multiple divisional array output vector submatrices, and the DOAs of uncorrelated signals were obtained through eigen-decomposition of this new matrix. Then, a spatial differencing method was adopted to eliminate the interference of uncorrelated signals and colored noise by taking advantage of Toeplitz characteristic. Moreover, the proposed improved matrix decomposition method was carried out to reconstruct a new matrix. With the ROOT-MUSIC algorithm, the DOAs of coherent signals were achieved. The proposed algorithm makes full use of multiple autocorrelation-matrices and cross correlation-matrices of received signals, which requires no spectral peak searching. Hence, the computational burden is low. Theoretical analysis and simulation results show the effectiveness and performance of the proposed algorithm.

Key words: direction of arrival estimation; colored noise; uncorrelated and coherent signals; parallel estimation

在阵列信号处理领域中，云层、山峰等障碍物导致信号的多径传播。多径传播条件下的波达方向(direction of arrival, 简称DOA)的估计问题受到了广泛关注，特别是在雷达、声呐和移动通信中^[1-3]。信号的多径传播会引起信号的高度相关或相干，使得现有的多重信号分类算法(multiple signal classification method，简称MUSIC)^[4]、旋转不变子空间算法(estimation of signal parameters via rotational invariance techniques，简称ESPRIT)^[5]估计失效，因此研究由不相关信号和相干信号组成的混合信号的波达方向估计问题具有重要意义。RAJAGOPAL等^[6]提出了一种在高斯白噪声下基于矩阵分解的相干信号DOA估计算法，该算法可以实现对相干信号的波达方向进行精确估计，但是该算法只能分辨2个相干信号并且无法完成对不相关信号和相干信号共存的混合信号进行DOA估计。文献[7-12]实现了对不相关信号和相干信号组成的混合信号的DOA估计。在这些算法中，不相关信号和相干信号的DOA估计分开进行，缩短运算时间。但是文献[7-8]采用四阶累积量进行DOA估计，计算量较大；文献[9]在估计相干信号的DOA时采用改进的空间平滑算法和MUSIC算法，需要进行谱峰搜索处理，运算量较大；文献[10]依据压缩感知原理构造多测量矢量DOA估计模型，在低信噪比时该算法的估计性能较差；文献[11]提出一种采用单次快拍进行相干信号DOA估计算法，利用接收的快拍数据直接构造Toeplitz矩阵，阵列孔径得到充分利用，但该算法测向精度较低。针对以上问题，本文作者提出了一种基于有色噪声背景下的混合信号的DOA估计算法。首先，利用阵列输出矢量子阵之间的自相关矩阵和互相关矩阵构造新的矩阵来估计不相关信号的DOA。然后，采用空间差分法去除混合信号中的不相关信号。最后，利用提出的改进的矩阵分解法结合ROOT-MUSIC算法来估计相干信号的DOA。理论分析和实验仿真验证了该算法在高斯白噪声和有色噪声2种背景下的有效性。

1  信号模型

考虑1个由M个各向同性的阵元构成的均匀线阵(ULA)，阵元间距为d。假设K个窄带远场信号从不同方向入射到该阵列，且满足：K=Q+P，Q和P分别表示不相关信号数和相干信号数。为了不失一般性，假设P个相干信号来自L组统计独立且功率为的远场信号源s_k(t)，k=1，2，…，P，每组有p_i(i=1，…，L)个多径信号。用θ_i(i=1，2，…，K)表示第i个信号的入射角且。以ULA的第1个阵元作为相位参考，导向矢量可以写成

     (1)

其中：λ为信号的波长；为共轭转置。M×1维的阵列输出矢量x(t)为

    (2)

式中：b_il表示第i个信号经第l次多径传播时的衰减系数，；为Q个不相关的入射信号矢量， 为L组相干的入射信号矢量，；表示不相关信号的阵列流型，， ，；为有色噪声信号。根据式(2)中的阵列接收信号的表达式，获得接收信号的协方差矩阵表达式

         (3)

R_ns为有色噪声协方差矩阵，采用文献[12]中的有色噪声模型矩阵中每一个元素记为，有如下定义

       (4)

式中：i=1，2，…，M；k=1，2，…，M；为噪声功率；ρ为相邻两阵元间的空间相关系数()，为任意实数。对进行展开，

       (5)

由式(5)可以看出：有色噪声的协方差矩阵是Toeplitz矩阵，各阵元间的噪声相关，的特征值完全由噪声功率和相关系数ρ来决定。

2  DOA估计

2.1  不相关信号的DOA估计

将L组相干信号等价成L个虚拟信号，在满足等效信源数小于阵元数(即：)条件下，将M×1维的阵列输出矢量x(t)划分成2个部分重叠的子阵，每个子阵的阵列输出矢量可以表示为

 (6)

定义

       (7)

        (8)

其中：表示分块对角阵；， ；。

      (9)

根据式(2)和(7)~(9)，式(6)可以写为

      (10)

式中：n=1，2；；  ；。

根据文献[13]可以得到不相关信号和相干信号的信源数估计，这里假设混合信号的信源数已知，为Q+L。对式(3)中矩阵R进行特征值分解，将得到的特征值进行从大到小的排列，选取Q+L个大特征值及其对应的特征向量构造去除有色噪声干扰的信号协方差矩阵R_o。则第i个子阵和第j个子阵的信号互协方差矩阵可以写为

          (11)

其中：；；；。

利用R_ij构造新的矩阵

              (12)

              (13)

其中：表示矩阵的伪逆。

将式(12)和(13)进一步写成

          (14)

  (15)

根据文献[14]，利用式(14)和(15)构造新的矩阵

 (16)

   (17)

           (18)

联立式(16)~(18)可得下式

  (19)

式(19)可以写成式(20)

       (20)

式中：k=1，2，…，L；n=1，2，…，Q。

对式(20)中矩阵进行特征分解可得

            (21)

其中：和分别表示的特征值和特征向量。根据式(20)可知对进行特征分解后得到Q+L特征值中有Q个模值接近于1的特征值，这Q个特征值为不相关信号的特征值。由式(21)将这Q个特征值记为，则不相关信号的DOA估计值可以表示为

         (22)

式中：n=1，2，…，Q。

2.2  相干信号的DOA估计

2.2.1 利用空间差分法提取相干信号

根据式(3)，将不相关信号的协方差矩阵记为R_ou，将相干信号的协方差矩阵记为R_oc，接收信号的协方差矩阵表达式可以改写为

 (23)

不相关信号的协方差矩阵R_ou中的第(i，k)个元素为

           (24)

其中：为不相关信号的功率；。由式(4)和(24)可以看出，有色噪声协方差矩阵R_ns和不相关信号的协方差矩阵记为R_ou均为Toeplitz矩阵。Toeplitz矩阵满足如下性质：若矩阵S为Toeplitz矩阵，则存在反对角阵J使得S=JS^TJ。根据该性质可得

             (25)

             (26)

构造空间差分矩阵R_df，则有

        (27)

将式(25)和式(26)代入到式(27)中，得

           (28)

根据Toeplitz矩阵性质，可以去除不相关信号和有色噪声，式(28)为提取出的只含有相干信号协方差矩阵的差分矩阵，下面进行对R_df矩阵的解相干操作。

2.2.2  利用提出的改进矩阵分解法解相干

根据文献[15]，差分矩阵的特征值是正负成对出现的，且每对特征值的模值相同，因此差分矩阵R_df的秩为偶数，若某一组含有奇数个相干信号，经过解相干后得到的差分矩阵会出现秩损的现象。构建矩阵R_p使^[16]，此时差分矩阵的秩可奇可偶，消除了差分矩阵秩损的现象。

本文提出一种改进的矩阵分解方法来解相干，首先将式(28)中的只含相干信号的M×M维的差分矩阵进行分块处理，分成若干组a×a维的子阵列，其中a满足K≤a≤M，分割方法如图1所示。

图1  差分矩阵分割图

Fig. 1  Partitions of difference matrix

每个子阵的协方差矩阵可以表示为

       (29)

式中：i=1，2，…，M-a+1；j=1，2，…，M-a+1。

将式(29)得到的各个子阵的协方差矩阵分行叠加后取平均值，得到

 (30)

由式(30)构建新的矩阵R_l

          (31)

对R_l进行特征分解，。根据ROOT-MUSIC算法，

      (32)

求解f(z)中P个接近单位圆上的根，则相干信号的DOA为

          (33)

式中：i=1，2，…，P。

3  实验及仿真结果

为了验证算法的有效性，在白噪声条件下与文献[9]中SDM算法进行测向性能的对比。测向性能由均方误差和归一化成功概率进行度量。在本文算法中，不相关信号和相干信号同时进行估计，不相关信号和相干信号的测向均方误差的定义分别为：

        (34)

     (35)

式中：和分别为第n次Monte-Carlo实验中来波方向和的估计值；N为进行Monte-Carlo实验的次数。归一化的成功概率的定义为进行N次Monte-Carlo实验，估计成功的次数(设定不相关信号与相干信号的来波方向的估计值与真实值的绝对偏差分别在1.5°和0.5°以内认为估计成功)与总的实验次数的比值。由于目前大多数关于混合信号的测向算法都是基于白噪声下的，本文提出基于有色噪声背景下的混合信号的DOA估计算法。通过实验仿真验证色噪声条件下该测向算法的测向性能，从而验证该算法在色噪声下的有效性。

实验1  测试白噪声下本文算法与SDM算法的均方误差随信噪比的变化性能。远场窄带信号入射到阵元数为8个的均匀线阵上，阵元间距为d=λ/2，频率为8 GHz，分块子阵列的横向、纵向维数均为a=6。入射的混合信号由来波方向分别为-33°，10°，45°的不相关信号和来波方向分别为-24°，17°，30°相干信号组成。相干信号的衰减系数为[-0.618 7+0.785 6j，-0.643 5，-0.657 5j，-0.765 9+0.079 7j]。噪声为高斯白噪声，快拍数取300，进行500次Monte-Carlo实验。不相关信号和相关信号在本文算法、文献[9]算法中的均方误差随信噪比的变化曲线如图2所示。

从图2可以看出：在不相关信号和相干信号同时存在时，本文算法、SDM算法均可以对来波方向进行有效估计。相比于SDM算法，本文算法在对不相关信号和相干信号的估计中都具有更小的均方误差。图中4条曲线在4~5 dB之间变化相对平缓是因为到达算法精度的饱和限，即：1~4 dB时，信噪比变化对算法影响较大；当信噪比大于4 dB时，算法受信噪比变化的影响较小。图2中对于不关信号进行DOA估计时，应用SDM算法在估计不相关信号的来波方向的均方误差明显比本文算法的大，这是由于本文算法在进行不相关信号的DOA估计时，充分利用阵列输出矢量子阵的2组自相关矩阵和互相关矩阵之间的关系，使得测向误差明显降低。对于进行相干信号的DOA估计问题，应用本文算法估计得到的均方误差整体上低于SDM算法。本文算法在进行相干信号的DOA估计时采用改进的矩阵分解算法，将提取的相干信号矩阵分块后进行局部平均处理，处理后的矩阵块构造成新的矩阵，破坏了原有矩阵的相关性，从而提高了相干信号的DOA估计的精度。

图2  白噪声下混合信号的均方误差

Fig. 2  RMSE against input SNR with white noise

实验2  测试白噪声下本文算法与SDM算法的归一化成功概率随快拍数的变化性能。阵元数为12个，入射的混合信号由来波方向分别为-13°，5°，35°的不相关信号和来波方向分别10°，16°，23°，30°相干信号组成。相干信号的衰减系数为[0.093 4- 0.995 6j，-0.793 4-0.102 7j，-0.286 3+0.853 3j，-0.376 6-0.467 1j]，信噪比取15 dB，分块子阵列的横向、纵向维数均为a=7，其他条件同实验1。不相关信号和相干信号在本文算法、文献[9]的归一化成功概率随快拍数的变化曲线如图3所示。

从图3可以看出：不论是不相关信号还是相干信号在本文算法、SDM算法的归一化成功概率随快拍数的增加而增加，在相同条件下本文算法的归一化成功概率高于SDM算法，在快拍数为300时，本文算法对不相关信号和相干信号的归一化成功概率达到1。

实验3  测试有色噪声下本文算法的测向性能。阵元数为12个，入射的混合信号由来波方向分别为-30°，12°，25°的不相关信号和2组相干信号，第1组相干信号的来波方向分别-23°，19°，32°，第2组相干信号的来波方向分别为-14°，68°。2组相干信号的衰减系数分别为[-0.618 7+0.785 6j，-0.465 6+ 0.770 2j，-0.765 9+0.079 7j]，[0.192 4+0.981 3j，0.289 1-0.756 7j]。噪声为有色噪声，快拍数取100，分块子阵列的横向、纵向维数均为a=8，其他条件同实验1。混合信号在2种算法下的均方误差随快拍数的变化曲线和归一化成功概率随快拍数的变化曲线分别如图4和图5所示。

由图4和图5可以看出：在有色噪声背景下，本文算法可以对不相关信号和相干信号进行测向。从图4还可以看出：随着信噪比的增大，不相关信号和相干信号的均方误差逐渐减小。在信噪比为1 dB时，不相关信号的均方误差为0.58°，相干信号的最大均方误差为0.52°。由此可见本文所提出的求解混合信号的算法在低信噪比下具有良好的测向性能。图4中第1组相干信号的均方误差整体上大于第2组相干信号的均方误差，这是由于在相同的阵元数的条件下第1组相干信号数大于第2组相干信号数，第2组相干信号的均方误差会随阵元数的增加而降低。在图5中，归一化成功概率随快拍数的增加而增加。图4和图5验证了有色噪声背景下本文算法的有效性。

图3  白噪声下混合信号的归一化成功概率

Fig. 3  Resolution probability against number of snapshots with white noise

图4  色噪声下混合信号的均方误差

Fig. 4  RMSE against input SNR with colored noise

图5  色噪声混合信号的归一化成功概率

Fig. 5  Resolution probability against number of snapshots with colored noise

实验4  比较本文算法与SDM算法的计算量。信噪比取10 dB，进行100次Monte-Carlo实验，其他条件同实验1。为了方便，将本文所提算法简记为IMD算法。根据前面的模型建立与算法推导，设定阵元数为M、信源数为K、快拍数为L、谱峰搜索的搜索点数为N，SDM算法中应用空间平滑算法解相干时划分的每个子阵的阵元数目为a、在本文提出的改进矩阵分解法解相干时将差分矩阵进行分块处理，子阵块的维数为a×a。在进行不相关信号的DOA估计，SDM算法的复数计算量约为M³+M²L+2M²N；本文提出的IMD算法的复数计算量约为M³+M²L+3(M-1)³+ 2(M-1)²。在进行相干信号的DOA估计时，SDM算法的复数计算量约为M³+a³+a²L+2a²N；本文提出的IMD算法的复数计算量约为M³+a⁵+a⁴+2a²-2aK+2a。这些变量满足如下关系

            (36)

根据式(36)可以判断出：在进行不相关信号的DOA估计，本文提出的IMD算法的复数计算量小于SDM算法的复数计算量；在进行相干信号的DOA估计时，本文提出的IMD算法的复数计算量仍小于SDM算法的复数计算量。实验1条件下(M=8；L=300；N=361；a=6；K=6) 2种算法的运行时间比较如表1所示。

表1  2种算法的运算时间

Table 1  Computation time of two algorithms

由表1可以发现：在相同条件下本文所提的IMD算法的运算时间小于文献[9]中的SDM算法的运算时间。本文算法在利用2组互相关矩阵和自相关矩阵构造新的矩阵来估计不相关信号的DOA，算法中使用矩阵间的基本运算，没有进行复杂的迭代等运算，故计算量较小。在估计相干信号的来波方向时，采用改进的矩阵分解法结合ROOT-MUSIC算法，不需要进行谱峰搜索，故计算量较小。

4  结论

1) 针对实际环境中噪声的非白性以及信号的多径传播，本文提出了有色噪声背景下混合信号的波达估计算法。

2) 本文算法中不相关信号和相干信号采用并行处理方式，即：混合信号在进行不相关信号DOA估计的同时采用空间差分法分离出相干信号，进行相干信号的DOA估计，缩短了运算时间。

3) 本文算法在进行混合信号的DOA估计问题时充分利用接收信号2组自相关矩阵和互相关矩阵，无需进行谱峰搜索处理，测向精度更高，计算量小。

4) 理论分析和实验仿真验证了该算法在高斯白噪声和有色噪声2种背景下的有效性和良好的测向性能。但是在本文算法中必须满足阵元数大于等于信源数这个限制条件，在这个方面需进一步研究。

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(编辑  杨幼平)

收稿日期：2015-03-05；修回日期：2015-06-15

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(61201410)；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(HEUCF140803)(Project (61201410) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (HEUCF140803) supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities)

通信作者：司伟建，博士，研究员，从事宽带信号处理、检测与识别及高分辨高精度测向技术研究；E-mail：swj0418@263.net