DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2015.08.041

冷弯薄壁型钢卷边槽形截面构件非线性畸变屈曲承载力计算方法

姚行友^{1, 2}，李元齐¹，郭彦利²

(1. 同济大学 建筑工程系，上海，200092；

2. 南昌工程学院 江西省水利土木特种加固与安全监控工程研究中心，江西 南昌，330099)

摘要：为研究冷弯薄壁型钢卷边槽形截面构件畸变屈曲承载力计算方法，基于能量法采用大挠度理论对部分加劲板件的非线性畸变屈曲承载力进行推导分析，得到冷弯薄壁型钢部分加劲板件屈曲稳定系数和畸变屈曲承载力计算方法，并采用有限元分析结果验证该方法的精确性。利用我国现行国家标准GB 50018—2002“冷弯薄壁型钢结构技术规范”中的有效宽度法公式计算畸变屈曲承载力，与分析提出的建议方法计算结果进行对比分析。研究结果表明：基于能量法提出的计算畸变屈曲承载力方法是精确、可行的。在修正部分加劲板件屈曲稳定系数的基础上，可以采用我国现行国家标准GB 50018—2002“冷弯薄壁型钢结构技术规范”中有效宽度法的公式计算发生畸变屈曲的构件截面承载力，从而建立了考虑局部和畸变屈曲承载力的统一计算公式。

关键词：冷弯薄壁型钢；加劲板件；非线性；畸变屈曲；能量法

中图分类号：TU392.1；TU317.1             文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2015)08-3067-08

Nonlinear distortional-buckling strength estimation of cold-formed thin-walled steel members with lipped channel section

YAO Xingyou^{1, 2}, LI Yuanqi¹, GUO Yanli²

 (1. Department of Building Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China;

2. Jiangxi Provincial Engineering Research Center of the Special Reinforcement and Safety Monitoring Technology in

Hydraulic & Civil Engineering, Nanchang 330099, China)

Abstract: To study the distortional buckling strength calculated method for cold-formed thin-walled steel lipped channel members, distortional-buckling strength and corresponding stability coefficient of cold-formed thin-walled steel members with lipped channel section were developed based on nonlinear post-buckling strength analysis of partially stiffened elements using the energy method and the large deflection theory. The accuracy of the proposed method was verified by using the finite element method. Furthermore, comparison on post-distortional buckling strength estimation was conducted between the energy method proposed and the effective width method provided by the national code “technical code of cold-formed thin-walled steel structures” (GB 50018—2002). The results show that the energy method proposed is much more efficient; with modification of stability coefficient of partially stiffened elements, similar formula to the effective width method for post-local buckling provided by “technical code of cold-formed thin-walled steel structures” (GB 50018—2002) can be used to calculate the post-distortional buckling strength. A unified formula calculating load-carrying capacity of cold-formed lipped channel members considering local and distortional buckling was suggested.

Key words: cold-formed thin-walled steel; stiffened elements; nonlinear; distortional buckling; the energy method

近年来，冷弯薄壁型钢在建筑钢结构中应用日益广泛，而卷边槽形截面构件是其最为主要的截面形式。由于卷边槽形截面构件的卷边对于翼缘支承作用的强弱不同，卷边槽形截面构件在外力的作用下会出现局部屈曲和畸变屈曲。局部屈曲和畸变屈曲会降低构件的整体稳定承载力，各国冷弯薄壁型钢结构相关规范^[1-3]均采用有效宽度法计算构件有效截面来考虑局部屈曲的降低作用。而对于畸变屈曲承载力的计算，大致可分为2种处理方式：一种与局部屈曲处理方法相同，采用降低部分加劲板件的屈曲稳定系数来实现，北美规范^[1]、我国规范^[2]、澳洲规范^[3]以及欧洲规范^[4]均给出了相应的计算方法；另一种是把畸变屈曲当作单独的失稳模态计算承载力，北美规范^[1]和澳洲规范^[3]在相关研究成果^[5-8]的基础上给出了相应的计算方法。第1种处理方法中有效宽度的计算方法首先需要计算板件的弹性屈曲应力^[1,3]或弹性屈曲稳定系数^[2]。相关文献^[9-15]研究结果表明，我国规范中这种降低部分加劲板件屈曲稳定系数的方法相对比较保守且显得比较粗糙。目前国内外的相关研究成果均是从弹性屈曲出发计算屈曲应力，对于承载力则采用数值和试验回归分析得到相应的计算方法。为此，本文作者基于能量法和大挠度理论对冷弯薄壁型钢卷边槽形截面构件畸变屈曲的屈曲后强度进行理论分析，并与有限元分析结果进行对比，验证本文理论分析方法的正确性。在此基础上，分析采用有效宽度法计算公式计算畸变屈曲强度的可行性。最后，在大量参数分析的基础上，提出与我国现有规范有效宽度法相一致的畸变屈曲承载力计算公式。

1  部分加劲板件畸变屈曲的屈曲后强度

1.1  部分加劲板件大挠度屈曲后强度

对于部分加劲板件的畸变屈曲分析采用以下基本假定^[16]：1) 视卷边为弹性支承梁，且忽略卷边对翼缘的嵌固作用；2) 板件周边剪应力为0 MPa，非加载边正应力为0 MPa。

由基本假定2)可得到应力边界条件为：

       (1)

式中：F和b分别为应力函数和部分加劲板件宽度；λ为屈曲半波长。

对于具有初弯曲的板，由大挠度理论可得平衡微分方程(2)和协调方程(3) ^[16]：

     (2)

    (3)

式中：D，E，t，w和w₀分别为单位板宽的抗弯刚度、弹性模量、板件厚度、板件横向变形和板件的初始横向变形。

卷边槽形截面构件发生畸变屈曲时部分加劲板件的计算简图和坐标系统如图1所示，变形函数取畸变屈曲变形函数式为

             (4)

式中：f为系数。部分加劲板件畸变屈曲的初始变形函数为

            (5)

图1  部分加劲板件的畸变屈曲分析模型

Fig. 1  Distortional buckling analytical model for partially stiffened elements

式中：β为系数。

将把畸变屈曲变形函数和初始变形函数代入变形协调方程(3)得

 (6)

化简得

       (7)

式(7)的解为

       (8)

把式(8)代入协调方程(7)得

      (9)

比较等式(9)等号两边，可得

     (10)

          (11)

对式(10)积分2次可得到F₁(y)的二阶导数为

 (12)

式中：积分常数B₁和B₂可由板件端部中面的位移条件确定，显然端部剪应力边界条件(1)自然满足。

在加载边的中面位移为

        (13)

根据大挠度理论得到中面位移u的一阶导数为

 (14)

把式(14)代入式(13)得到

       (15)

考虑板端部的中面位移条件

，            (16)

可求得B₁和B₂的表达式为

   (17)

对于式(11)，可令F₂(y)的解为

       (18)

把式(18)代入式(11)得到

  (19)

式(19)的通解由特解和余解这2部分组成，即

            (20)

对式(19)显然可选择特解为

     (21)

式中：a₁，a₂，a₃，a₄和a₅为系数。

把式(21)代入式(19)后比较等式两边系数得

             (22)

令式(19)右边部分等于0，可得F₂(y)的余解为

       (23)

式中：A₁，A₂，A₃和A₄为系数。则应力函数F可表示为

         (24)

把式(24)代入应力边界条件(1)中得到关于参数A₁，A₂，A₃和A₄的方程组为

  (25)

求解方程组(25)得系数A₁，A₂，A₃和A₄的解为

 (26)

至此可得到应力函数F的解。部分加劲板件的总能量包括部分加劲板件和卷边的应变能和势能、腹板的约束应变能、部分加劲板件的中面应变能以及卷边的压缩应变能^[12]。

部分加劲板件的弯曲应变能为

    (27)

式中：ν为泊松比。卷边的弯曲应变能为

            (28)

式中：I为卷边相对部分加劲板件和卷边形心轴的惯性矩。腹板的扭转应变能为

                (29)

式中：为腹板对于部分加劲板件的转动刚度。当最大应力作用于卷边侧部分加劲板件的外力势能为

      (30)

式中：α为部分加劲板件的应力不均匀系数；σ_w为加劲侧部分加劲板件的压应力。

卷边的外力势能为

       (31)

对于部分加劲板件的中面应变能，计算式为

    (32)

根据应力边界条件以及格林公式可知式(32)的第2项为0，因此，式(32)可简化为

    (33)

把F的表达式代入式(33)可求得部分加劲板件的中面应变能。

卷边的压缩应变能按下式计算：

   (34)

考虑卷边的端部位移条件u(b)=u_l，由于压缩而引起的卷边应变为

 (35)

将式(35)代入式(34)并忽略高阶项得

           (36)

把畸变屈曲变形函数和初始变形函数代入式(36)得卷边压缩应变能为

   (37)

部分加劲板件的屈曲总能量为

   (38)

其中：V_lip，V_f，U_f，U_lip，U_w，U_lipc和U_fm分别为卷边势能、部分加劲板件势能、部分加劲板件弯曲应变能、卷边弯曲应变能、腹板扭转应变能、卷边的压缩应变能和部分加劲板件的中面应变能。

令总能量∏对于变形函数系数f的一阶变分为0，可得部分加劲板件的屈曲后应力与系数f之间的对应关系为

            (39)

式中：η为系数；σ_crx为弹性屈曲临界应力。

由式(39)可得到部分加劲板件屈曲后荷载与板屈曲后挠度w之间的关系和屈曲后强度的提高程度。同时，式(39)可重新写为参数f和屈曲应力σ_x之间的关系式为

          (40)

部分加劲板件的中面应力为

 (41)

对于冷弯薄壁型钢截面构件，边缘纤维屈服荷载和极限荷载非常接近，而且初始缺陷对于边缘纤维屈服荷载影响较小，可把无缺陷的边缘纤维屈服荷载看作极限荷载^[17]，对于发生畸变屈曲的部分加劲板件可参照此准则进行分析，则极限荷载时边缘纤维的中面应力应等于屈服应力f_y，即

      (42)

由式(42)可以求得部分加劲构件的中面平均应力σ_x，这样可求得部分加劲板件所受到的合力，即屈曲后强度为P_f=σ_xbt。

1.2  部分加劲板件大挠度屈曲后应力分析

1.2.1  部分加劲板件大挠度屈曲后应力

选取宽度为30，40，50和60 mm，厚度1 mm即宽厚比分别为30，40，50和60的部分加劲板件分析屈曲后应力，卷边和部分加劲板件的宽度比取 a/b和0.1，0.2，0.3和0.4，腹板和部分加劲板件的宽度比h/b=2，不考虑初始缺陷。按式(39)计算得到的轴压构件在部分加劲板件宽厚比不同时的屈曲后过程对比如图2所示(其中：f_d为大挠度屈曲应力，f为畸变屈曲变形系数)。

从图2可以看出：随着部分加劲板件宽厚比的降低，屈曲应力逐渐增大，板件屈曲后应力的增大幅度降低；在保证卷边不先屈曲的情况下，随着卷边宽厚比增加，畸变屈曲应力增加。受弯构件和偏压构件屈曲应力变化规律相同^[12]。

1.2.2  畸变屈曲后应力与临界屈曲应力对比

图3(a)所示为卷边和部分加劲板件宽度比a/b=0.1时不同宽厚比板件发生畸变屈曲的屈曲后应力与畸变屈曲临界屈曲应力之比的对比结果；图3(b)所示为b/t=60时卷边和部分不同加劲板件宽厚比板件的畸变屈曲后应力与畸变屈曲临界屈曲应力之比的对比结果，其中，σ_cd为畸变屈曲临界屈曲应力。从图3可以看出：随着翼缘宽厚比增大，畸变屈曲的屈曲后应力提高幅度降低；随着卷边翼缘宽度比增大，畸变屈曲的屈曲后应力提高幅度降低。

1.3  部分加劲板件畸变屈曲强度有限元验证

采用大型通用有限元程序ANSYS计算部分加劲板件发生畸变屈曲的强度来验证本文采用能量法求解畸变屈曲强度的正确性。

选取部分加劲板件宽厚比为40和60，即宽度为40 mm和60 mm，厚度为1 mm的卷边槽形截面构件分析部分加劲板件的畸变屈曲强度。为了保证畸变屈曲的发生，卷边部分加劲板件宽度比a/b取0.1和0.2，构件长度L/b取5，7和10，初始缺陷取L/10 000，L/1 000 和L/500，压力不均匀系数为1，材料屈服强度取235 MPa和550 MPa，得到有限元计算畸变屈曲强度与能量法计算的偏压构件部分加劲板件畸变屈曲强度对比如表1所示。表1中：b，a，t，L，W₀，f_y，P_a和P_n分别为部分加劲板件的宽度、卷边宽度、板件厚度、构件长度、畸变屈曲初始变形值、屈服强度、有限元分析所得畸变屈曲强度和能量法计算所得畸变屈曲强度。

图2  轴压构件部分加劲板件大挠度屈曲后应力对比

Fig. 2  Comparison on post-buckling stress of partially stiffened elements of axially-compression members under large deflection

图3  畸变屈曲后应力与畸变屈曲临界屈曲应力的比较

Fig. 3  Comparison between post-buckling stress and critical buckling stress of distortional buckling

从表1可以看出：采用能量法计算的部分加劲板件畸变屈曲强度与有限元分析结果比较吻合，均值、方差和变异系数分别为1.003 7，0.072 6和0.072 3，说明能量法能够较好地计算部分加劲板件的畸变屈曲强度。轴压构件部分加劲板件的畸变屈曲强度计算和分析对比结果也表明能量法具有较高的精度^[12]。

表1  有限元与能量法计算偏压构件部分加劲板件畸变屈曲强度对比

Table 1  Comparison on distortional buckling strength of partially stiffened elements eccentrically-compressed members between the energy method and the FE method

2  畸变屈曲强度计算方法

我国规范^[2]采用有效宽度法考虑板件局部屈曲对于构件整体稳定承载力的影响，有效宽度的计算是在试验基础上总结出来的经验公式，其计算模型为^[17]

          (43)

转化为强度表达式为

     (44)

在式(44)中引入弹性模量E=206 000 N/mm²，泊松比ν=0.3和参数就可得到我国现行冷弯薄壁型钢结构技术规范(GB 50018—2002)^[2]关于考虑局部屈曲影响的有效宽度法计算公式为

           (45)

规范^[2]在设计中采用了三段式的设计公式。

对于畸变屈曲对整体稳定承载力的影响建议借鉴局部屈曲的有效宽度法计算公式(45)进行计算，但部分加劲板件的屈曲稳定系数采用式(46)计算^[18]。

当最大应力作用于部分非加劲边时，

 (46)

表2  能量法与修正规范计算方法计算部分加劲板件承载力比值的均值、方差与变异系数

Table 2  Mean value, variance and coefficient variation of comparison on load-carrying capacities of partially stiffened elements between the energy method and the proposed code method

当最大应力作用于加劲边时，

 (47)

式中：λ为畸变屈曲半波长和构件实际计算长度的最小值；a，b，t，I和α分别为卷边宽度、部分加劲板件宽度、板件厚度、卷边关于卷边部分加劲板件形心轴的惯性矩以及部分加劲板件应力不均匀系数。

选取部分加劲板件宽厚比为60，即宽度60 mm、厚度1 mm的卷边槽形截面构件分析部分加劲板件的畸变屈曲后强度，卷边和部分加劲板件的宽度比a/b取0.05~0.40、腹板和部分加劲板件的宽度比h/b为1~4、对于偏压构件压应力不均匀系数取1，最大压应力作用于卷边。

利用能量法以及修正规范计算方法计算所得的部分加劲板件的强度对比统计结果如表2所示。表2中统计结果为能量法计算结果与修正规范计算结果相比的比值统计。

从表2可以看出：采用修正规范计算方法计算的部分加劲板件畸变屈曲强度与能量法计算的强度比较吻合，均值与1.000 0比较接近，变异系数也相对较小。3种不同屈服强度钢材的轴压、受弯以及偏压共576个部分加劲板件计算结果总的均值、方差和变异系数分别为1.022 0，0.095 8和0.093 7。为此，在采用公式(46)计算屈曲稳定系数后，可采用规范^[2]有效宽度法计算构件畸变屈曲强度。该公式在形式上可以与局部屈曲的有效宽度法形成统一，故畸变屈曲承载力可采用我国现行冷弯薄壁型钢结构技术规范给出的有效宽度法进行计算。

3  畸变屈曲强度建议计算方法试验验证

收集国内外卷边槽形截面轴压构件77个，试件截面见文献[12]，表3所示为采用我国规范计算方法、建议计算方法以及北美规范计算方法计算的构件承载力对比统计结果，其中，P_c1，P_c2，P_cr1和P_cr2分别为冷弯薄壁型钢结构技术规范考虑板组相关和不考虑板组相关计算承载力、建议的局部和畸变统一设计方法考虑板组相关和不考虑板组相关计算承载力，P_A为北美规范AISI-S100—2007计算承载力，P_t为承载力试验结果。

从表3可见：对于卷边槽形截面构件，式(46)计算屈曲稳定系数后，采用规范^[2]中的有效宽度法计算构件畸变屈曲承载力和试验结果与北美规范考虑畸变屈曲计算结果比较接近，变异性较小，表明建议的畸变屈曲强度计算方法合理有效。偏压构件和受弯构件的畸变屈曲强度计算和分析对比结果也表明建议的畸变屈曲强度计算方法有较好的适用性^[12]。

表3  试验和计算轴压构件承载力对比

Table 3  Comparison on load-carrying capacities of axially-compressed members between the tested and calculated results

4  结论

1) 采用基于能量法和大挠度理论分析卷边槽形截面构件畸变屈曲强度的方法是可行的，且具有较高的精度。

2) 卷边与部分加劲板件的宽度比以及部分加劲板件自身宽厚比对于部分加劲板件畸变屈曲后强度的影响较明显。

3) 通过修正部分加劲板件稳定系数来考虑畸变屈曲的影响后，可采用与我国冷弯薄壁型钢结构技术规范主要针对局部屈曲的有效宽度法相统一的计算公式来计算卷边槽形截面构件的畸变屈曲承载力，具有很好的便捷性。

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(编辑  罗金花)

收稿日期：2014-09-11；修回日期：2014-11-20

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51308277，51078288)；江西省教育厅科学技术研究项目(GJJ14760)(Projects (51308277, 51078288) supported  by the National Nature Science Foundation of China;Project (GJJ14760) supported by the Science and Technology Program of Education Department of Jiangxi Province, China)

通信作者：李元齐，教授，博士生导师，从事冷弯型钢结构、空间结构及结构抗风研究；E-mail：liyq@tongji.edu.cn