变截面杆轴向和扭转振动分析的摄动法

杨立军^{1, 2}，邓志恒¹，叶柏龙³，吴晓²

(1. 广西大学 土木建筑工程学院，广西 南宁，530004；

2. 湖南文理学院 土木建筑工程学院，湖南 常德，415000；

3. 中南大学 土木建筑学院，湖南 长沙，410083)

摘要：基于变截面杆是工程结构中应用广泛的承力构件，采用摄动法研究变截面杆轴向和扭转固有振动。推导求解二阶线性齐次微分方程的摄动法，并采用该方法求出变截面杆轴向和扭转振动平衡微分方程的近似解析解；结合边界条件得到固有频率的特征方程，计算变截面杆轴向和扭转振动的固有频率。通过算例分析变截面杆轴向和扭转振动固有频率与形状参变量之间的变化规律, 确定变截面杆形状参变量变化时固有频率极大值和极小值。研究结果表明：该方法简便实用, 且有良好的近似性。

关键词：摄动法；变截面杆；轴向振动；扭转振动；固有频率

中图分类号：TU311.3；O326           文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2014)03-0855-09

Perturbation method for longitudinal and torsional vibration analysis of bar with variable cross-section

YANG Lijun^{1, 2}, DENG Zhiheng¹, YE Bailong³, WU Xiao²

(1. College of Civil and Architecture Engineering, Guangxi University, Nanning 530004, China;

2. College of Civil and Architecture Engineering, Hunan University of Arts and Science, Changde 415000, China;

3. School of Civil and Architectural Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

Abstract: Considering Variable cross-section bar is an important structural member in engineering structure, the longitudinal and torsional vibration of bar with variable cross-section was studied by perturbation method. Firstly, the perturbation method which is of particular importance in solving linear homogeneous differential equation of second order with variable coefficients was derived. Then the approximate analytical solution of the differential equation of longitudinal and torsional vibration of bar with variable cross-section was constructed using perturbation method, and the characteristic equations of natural frequencies were obtained considering the boundary constraints. Finally, as the numerical examples, the natural frequencies of longitudinal and torsional vibration of bar with variable cross-section were calculated. In the calculation example the variation law of natural frequencies with shape parametric variables was presented, and the maximum and minimum of the natural frequencies were given. The results show that the method is simple and practicable with high precision.

Key words: perturbation method; variable cross-section bar; longitudinal vibration; torsional vibration; natural frequency

变截面杆在工程领域如桁架的变截面弦杆、腹杆, 排架、框架结构的变截面柱、蒸汽轮机中的叶片、电视塔等频繁出现^[1-4]。变截面杆的轴向和扭转振动在动力机械等领域里广泛发生, 是一个具有实际应用的重要课题^[5-10], 因此，需要提出以探求这种杆件振动的比较简便的方法^[11-12]。变截面杆的轴向和扭转振动的平衡微分方程是变系数二阶线性齐次微分方程, 很多学者用不同方法如Bessel函数法^[13]、函数变换法^[14]、渐进解法^[15]、幂级数法^[16]、小波-DQ法^[17]、Kummer函数法^[18-19]和差分线法^[20]等进行了研究。这些解法不同程度地存在方法复杂、过程繁琐、精度不高、不利于工程应用计算的缺点，因此，有必要提出一种计算简单、精度较高、便于工程应用的方法。基于此, 本文作者提出一种求解变截面杆轴向和扭转振动的摄动法。

1  振动平衡微分方程

设一端固支另一端自由的变截面杆杆长l，其大头截面积为A₀, 极惯性矩为I_p0，小头截面积为A₁, 极惯性矩为I_p1。以杆件纵截面对称轴为x轴, 横截面对称轴为y轴, 建立如图1所示坐标系。

图1  变截面杆

Fig. 1  Variable cross-section bar

设杆件截面积和极惯性矩为

,     (1)

式中：；；β和m为描述变截面杆几何形状的2个形状参变量, 由截面积、极惯性矩杆件端部取值确定。

,         (2)

几何形状参变量β的取值范围为: 0≤β≤1。β=0时变截面杆小头截面积为0，β=1时杆件为等截面杆件，0＜β＜1时为小头截面积不为0的变截面杆。为了描述m变化时变截面杆的几何形状变化情况，以圆形截面变截面杆件为例，取m为1，2和3，分β=0和0＜β＜1共2种情况，给出沿杆件纵轴线x轴ξ处截面直径d(ξ)和ξ=0处截面直径d(0)的比值随几何形状参变量m变化规律，如图2和图3所示。

图2  β=0时圆形截面杆直径随m变化规律

Fig. 2  Variation regularity of diameter of circle section bar with m as β=0

图3  0＜β＜1时圆形截面杆直径随m变化规律

Fig. 3  Variation regularity of diameter of circle section bar with m as 0＜β＜1

从图2和图3可以看出：当0＜β＜1时，杆件几何形状参变量m越大, 杆件截面积变化越显著；另外，β=1时杆件为等截面杆件，此时m取值对杆件几何形状没有影响。

设杆件固有轴向振动位移，固有扭转振动位移，轴向和扭转振动的平衡微分方程分别为

     (3)

    (4)

式中：E为材料拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；ρ为密度。设

；   (5)

式中：和分别为杆件轴向和扭转振动的振型函数；和分别为杆件轴向和扭转振动的固有频率。

将式(1)和(5)代入式(3)和式(4)，经整理，可将式(3)和(4)化为：

   (6)

  (7)

式中：；。

2  变系数二阶线性齐次微分方程的解

变截面杆轴向和扭转振动的平衡微分方程可以转化为如下式所示的变系数二阶线性齐次微分方程：

          (8)

式中：u为变截面杆纵轴线位置ξ的函数；λ²为大参数；p(ξ)为区间[a, b]上的连续函数；q(ξ)为区间[a, b]上正的连续可微函数。

下面采用摄动法求出式(8)的解。利用变换

,          (9)

将式(8)化为：

      (10)

式中：和分别为和Y对ξ的一阶导数；和分别为和对ξ的二阶导数。选择和，使得

,         (11)

则式(10)可以简化为

                (12)

式中：

           (13)

由于p(ξ)是区间[a, b]上的连续函数，q(ξ)是区间 [a, b]上正的连续可微函数，所以，(ξ)是有界的，若(ξ)相对于大参数λ²可以忽略，则式(12)可以简化为

                (14)

由式(9)和(14), 求得式(8)的解为

   (15)

式中：C₁和C₂为积分常数。

3  固有频率特征方程

由式(6)和(8)可知：

, ,    (16)

由式(11)和(16)可得

, , ,    (17)

由式(13)，(16)和式(17)可得

             (18)

当的极值小于的1%时，可以认为(ξ)相当于参数可以忽略，此时，式(12)可以简化为式(14)，此条件在通常情况下可以得到满足。如在算例1中，m=1，β=0.5，在ξ=1时取得极值0.002 5，取文献[13]中采用Bessel函数求得的轴向振动的一阶固有频率二级近似值，则的极值为的0.078%，小于的1%。

由式(15)和(17)，即可求得变截面杆固有轴向振动微分方程式(6)的解为

    (19)

如图1所示的杆件轴向振动边界条件为

当时, ; 当时,      (20)

将式(20)代入式(19), 可以求得图1所示变截面杆固有轴向振动频率特征方程为

            (21)

用同样的方法, 结合杆件扭转振动边界条件：

当时, ; 当时,     (22)

可以求得图1所示变截面杆固有扭转振动的频率特征方程为

          (23)

实际上，对比变截面杆轴向和扭转振动的平衡微分方程式(6)和(7)，可知将固有轴向振动频率特征方程中的m代以m+2，就可以得到该杆件相同约束条件的固有扭转振动频率特征方程。同样，将固有扭转振动频率特征方程中的m+2代以m, 就可以得到该杆件相同约束条件的固有轴向振动频率特征方程。从式(21)和(23)也可以看出这个规律。轴向和扭转振动的平衡微分方程式相似性使得这2种振动特性可以互相类比。

当时，图1所示杆件退化为等截面杆件。由式(21)和(23)可以求得：

；i=1, 2, …, n      (24)

利用式(24)，由式(6)和(7)中和的表达式可以求得等截面杆件轴向振动的第i阶固有频率和扭转振动的第i阶固有频率分别为

；     (25)

式(25)与采用经典方法计算的一端固支另端自由的等截面杆轴向和扭转振动固有频率结果是相同的，这验证了本文方法的正确性。

由式(21)和(23)求出和后, 代入和的表达式，可以求得大头端固支小头端自由变截面杆轴向和扭转振动的固有频率分别为

；        (26)

对于其他约束条件的变截面杆，结合其边界条件, 采用本文的摄动法同样可以方便地求解其轴向和扭转振动近似解析解。由于固有轴向振动和固有扭转振动动力特性相似性, 下面讨论只针对固有轴向振动, 固有扭转振动动力特性通过类比即可得到。

对于两端自由的变截面杆件，其轴向振动边界条件为：

当时, ; 当时,      (27)

将边界条件式(27)代入式(19)，可以求得两端自由的变截面杆件固有轴向振动频率特征方程为

          (28)

在式(28)中，令，即可得到两端自由等截面杆件轴向振动固有频率为

               (29)

对于大头固定、小头受有弹性支承(设其弹性刚度为k)变截面杆件，其轴向振动边界条件为

当时, ; 当时,    (30)

将边界条件式(30)代入式(19)，可以求得大头固定、小头受有弹性支承的变截面杆件固有轴向振动频率特征方程为

        (31)

在式(31)中，令, 即可得到一端固定、另一端受有弹性支承的等截面杆件轴向振动固有频率特征方程为

             (32)

式(29)和式(32)的计算结果和采用经典方法计算结果是相同的, 这验证了本文方法的正确性。

4  算例

算例1 为了验证本文方法正确性，取文献[13]中所给参数，即图1所示大头端固支小头端自由变截面杆的2个几何形状参变量为：m=1，β=0.5。

由本文方法求得的轴向振动的一阶固有频率和二阶固有频率为

,        (33)

文献[13]采用Bessel函数求得的轴向振动的一阶固有频率和二阶固有频率一级近似值为

；      (34)

本文所得一阶固有频率和二阶固有频率与由式(34)所得一阶固有频率和二阶固有频率相对误差分别为0.77%和0.79%。

文献[13]采用Bessel函数求得的轴向振动的一阶固有频率和二阶固有频率二级近似值为

,       (35)

本文所得一阶固有频率和二阶固有频率与由式(35)所得一阶固有频率和二阶固有频率相对误差分别为0.17%和0.94%。

文献[15]采用渐近法求得的轴向振动的一阶、二阶固有频率一级近似值为

,        (36)

本文所得一阶固有频率和二阶固有频率与由式(36)所得一阶固有频率和二阶固有频率相对误差分别为3.28%和1.57%。

可见：本文方法与其他文献计算结果相差不大, 表明采用本文方法所得计算结果精度较高。

算例2 为了验证本文方法正确性, 取文献[13]中相同参数，即某汽轮机叶片参数为：A₀=7.41×10^{-4 m2}，A₁=2.88×10^{-4 m2}，I_p0=3.31×10^{-7 m4}，I_p1=5.08×10^{-8 m4}，l=0.4 m，ρ=8.2×10³ kg/m³，G=78.48 GPa。其约束条件为大头端固支小头端自由，求其扭振一阶固有频率。

将相关数据代入式(2)，可求得β=0.628，m=2.034。将β和m代入式(23)，求得λ_w1=2.091 5，其扭振一阶

固有频率，得=2 574 Hz。

文献[13]采用Bessel函数求得的扭振一阶固有频率=2 570 Hz，与本文计算结果相对误差为0.16%，表明本文方法具有很高精度。

算例3 变截面杆杆长为l，材料拉压弹性模量为E，密度为ρ，大头截面积为A₀。现在讨论变截面杆形状参变量β和m以及小头弹性支承刚度k对变截面杆轴向固有振动特性影响。由于扭转固有振动具有与轴向固有振动相似的特性，因此，本算例仅对变截面杆轴向振动固有频率进行计算。

给定β和m，由式(21)可求出大头固定、小头自由的变截面杆的λ_wi；由式(31)可求出大头固定、小头受有弹性支承变截面杆的λ_wi。由λ_wi的表达式可以求出变截面杆轴向振动固有频率。 表1所示为一端固支一端自由的变截面杆在m为1和 2，β为0.1，0.4和0.7时轴向振动前4阶固有频率；表2所示为一端固定、另一端受有弹性支承k(设支承弹性刚度k=20EA₀/l)的变截面杆在m为1和2，β为0.1, 0.4和0.7时轴向振动前4阶固有频率。由固有频率变化规律可以发现变截面杆形状参变量β和m对其轴向和扭转振动固有频率的影响。

为了讨论小头弹性支承刚度k对变截面杆轴向振动固有频率的影响，取m=1，β=0.5，弹性支承刚度k分别取0.1EA₀/l，EA₀/l，10EA₀/l，100EA₀/l和1 000EA₀/l，由式(31)求出大头固定、小头受有弹性支承k的变截面杆轴向振动前5阶固有频率，得到变截面杆轴向振动固有频率随kl/(EA₀)(弹性支承刚度与杆件拉伸刚度的比值)的变化规律，如图4所示。如令横坐标为kl/(GI_p0)(弹性支承刚度与杆件扭转刚度的比值)，讨论小头弹性支承刚度k对变截面杆扭转振动固有频率的影响，可以得到与图4相似规律的图形。

从表1、表2和图4可以看出变截面杆轴向振动具有如下特性：

(1) 当m一定时，随着β增大，杆件轴向和扭转振动的固有频率变小；当β取得最大值1即杆件退化为等截面杆件时, 固有频率取得极小值。

表1  一端固支一端自由变截面杆轴向振动固有频率

Table 1  Longitudinal vibration natural frequency of variable cross-section bar with one end fixed and the other end                 elastic support         ×l^-1(E/r)^0.5 Hz

表2  一端固定、另端受有弹性支承变截面杆轴向振动固有频率

Table 2  Longitudinal vibration natural frequency of variable cross-section bar with one end fixed and the other end free     ×l^-1(E/r)^0.5 Hz

图4  轴向振动固有频率随kl/(EA₀)的变化

Fig. 4  Variations of longitudinal vibration natural frequency with kl/(EA₀)

对于大头固定、小头自由的变截面杆，由式(25)可知变截面杆轴向振动第i阶固有频率极小值。同样可以得到其扭转振动第i阶固有频率极小值。

对于大头固定、小头受有弹性支承变截面杆件，其轴向振动第i阶固有频率极小值由固有频率特征方程式(32)确定，其取值与EA₀/(kl)有关。

(2) 当β一定时, 随着m增大，杆件轴向和扭转振动的固有频率也随着增大；当m趋向于无穷大时，固有频率取得极大值。

对于大头固定、小头自由的变截面杆，据式(21)和式(23)，当m趋向于无穷大时，轴向振动第i阶固有频率极大值，扭转振动第i阶固有频率极大值。

对于大头固定、小头受有弹性支承变截面杆件，据式(31)，当m趋向于无穷大时，轴向振动第i阶固有频率极大值。同样可以得到扭转振动第i阶固有频率极大值。

(3) 对于同样参数的变截面杆，大头固定、小头自由的变截面杆轴向和扭转振动的固有频率小于大头固定、小头受有弹性支承的轴向和扭转振动的固有频率。这是因为后者小头增加了约束，使得杆件刚度变大。

(4) 对于大头固定、小头受有弹性支承变截面杆件，当kl/(EA₀)(或kl/(GI_p0))较小时，其轴向(或扭转)振动固有频率随着kl/(EA₀)(或kl/(GI_p0))变大而急剧变大；当kl/(EA₀) (或kl/(GI_p0))较大时，随着kl/(EA₀)（或kl/(GI_p0)的变大，轴向(或扭转)振动固有频率变化渐趋平缓。由式(31)可知：当kl/(EA₀)(或kl/(GI_p0))趋向于无

穷大时，固有频率取得极大值，即与两端固定的杆件固有频率相同。

5  结论

(1) 利用本文方法可以得到各种边界条件的变截面杆轴向和扭转振动固有频率解析表达式，由该式可以分析形状参变量β和m等各种因素对固有频率的影响：变截面杆轴向和扭转振动的固有频率随β和m变化规律是相同的；随着β增大，固有频率变小；随着m增大，固有频率增大。

(2) 大头固定、小头受有弹性支承变截面杆件，其轴向(或扭转)振动固有频率变化随kl/(EA₀)(或kl/(GI_p0))增大而增大，向两端固定支承的杆件轴向(或扭转)振动固有频率(或)逼近。当kl/(EA₀)(或kl/(GI_p0))较小时，轴向(或扭转)振动固有频率变化更显著。

(3) 根据变截面杆件轴向(或扭转)振动固有频率随形状参变量β和m的变化规律，可以得到轴向(或扭转)振动固有频率的极值，如大头固定、小头自由的变截面杆，有极小值(或)和极大值(或)。

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(编辑  陈灿华)

收稿日期：2013-05-10；修回日期：2013-07-21

基金项目：湖南省“十二五”重点建设学科(机械设计及理论)资助项目(湘教发2011[76])

通信作者：邓志恒(1963-)，男，湖南邵东人，教授，博士生导师，从事结构抗震性能的研究；电话：0771-3232894；E-mail: dengzh@gxu.edu.cn