DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2018.02.019

考虑节理影响的岩体非线性流变模型

曹平，黄磊，陈瑜，周科平，邓红卫

(中南大学 资源与安全工程学院，湖南 长沙，410083)

摘要：为研究节理岩体蠕变全过程，引入非线性黏性元件和节理裂隙塑性体，并将其与传统的伯格斯模型串联，得到一种新的复合流变模型。推导该模型一维和三维蠕变本构方程，并运用该复合模型及传统伯格斯模型分别对岩石试样蠕变实验全过程曲线进行辨识，得到模型的各项蠕变参数。研究结果表明：复合流变模型对试验数据的拟合结果明显优于传统伯格斯模型的拟合结果。该模型不仅能充分反映岩石试样的初期蠕变和稳定蠕变过程，而且能很好地描述加速蠕变过程，同时又能体现节理裂隙对蠕变的影响。

关键词：岩石力学；复合流变模型；加速蠕变；节理裂隙；蠕变参数

中图分类号：TU45             文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2018)02-0401-06

Nonlinear rheological model of rock considering the effects of joints

CAO Ping, HUANG Lei, CHEN Yu, ZHOU Keping, DENG Hongwei

(School of Resource and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

Abstract: To study the whole creep process of jointed rock, nonlinear viscous element and joint fissures plastic body were introduced, and then combined with classical Burgers model in series to gain a new composite creep model. 1D and 3D creep constitutive equation of the composite creep model were deduced. By using the composite creep model and the classical Burgers model to fit with the whole process of rock specimen creep curve, creep parameters of the models were derived. The results show that the composite creep model produces better fitting results than the classical Burgers model. It can not only fully reflect the early and steady creep process, but also well present the accelerating creep process of the rock specimen. Meanwhile, it can also reflect the influence of joint fissures on creep.

Key words: rock mechanics; the composite creep model; accelerating creep; joint fissures; creep parameters

岩体流变理论研究的是岩石或岩体在外力、水、温度、地质特征及施工扰动等各种环境、地质与工程因素作用下，岩体材料、结构与时间相关的力学行为、本构关系、失稳与破坏规律。在岩石工程中，大多数失稳现象都与岩石的流变特性有关。岩石常常因受到外荷载长期的恒定作用而最终失稳，从而引发工程事故的发生，因此，对岩石流变力学特性的理论研究一直受到人们的重视。目前，已有一套较为完整的理论系统来表述岩石的流变特性，即通过基本变形元件(弹簧、阻尼器和摩擦元件)的不同串并联组合模型来建立岩石的流变本构方程，常见的有麦克斯韦模型、开尔文模型、伯格斯模型、宾汉姆模型、西原模型等^[1]，国内外研究者也对此进行了大量的研究^[2-5]。然而，这些传统的流变模型只能描述岩石的稳态蠕变，而不能描述加速蠕变过程，因此，具有一定的局限性。随着岩体工程规模的不断扩大和深部采矿的迅速发展，为保证工程的安全性，就需要能更好地反映岩石真实流变过程的新流变模型，因此，人们对流变理论的研究进入了非线性阶段。目前，人们对于非线性流变理论的研究已经取得了不少成果，如：康永刚等^[6-7]用分数单元代替伯格斯模型中并联的黏壶，建立分数伯格斯模型，用来描述岩石的加速蠕变；宋勇军等^[8-9]将含分数阶微积分的软体元件与弹簧元件串联，结合幂函数黏塑性体，提出一种新的四元件非线性黏弹塑性流变模型；曹树刚等^[10]将黏滞系数视作随时间变化的变量，改进了西原模型；徐卫亚等^[11-13]提出一种非线性黏塑性体(NVPB模型)，并将其与五元件线性黏弹性流变模型串联起来，从而建立一种新的岩石非线性黏弹塑性流变模型；ZHOU等^[14]将传统西原模型中的2个线性黏壶均以非线性黏壶替代，并建立其微分形式的本构方程；BOUKHAROV等^[15]提出用应力触发的虎克体与应力触发的非线性黏性元件组合而成的模型来描述加速蠕变。尽管人们在非线性流变方面取得了很大进展，但对一些问题的研究还不够深入，如对节理岩体流变特性的研究还较少。节理岩体作为岩石工程中的常见研究对象，其强度、变形和破坏等特征直接影响到工程的稳定性，而这些特征往往体现出与时间的相关性，因此，节理岩体流变特性的研究对岩石工程具有重大意义。本文作者在伯格斯模型的基础上，提出一种新的流变模型，用于描述岩石的加速蠕变过程，体现节理对岩石流变的影响。

1  新模型的建立

1.1  伯格斯模型

传统伯格斯模型由虎克体、黏性体及黏弹性体组成，如图1所示。其中：σ为该模型的总应力；E₀为弹性模量；E₁为黏性模量；η₁和η₂分别为黏壶的黏滞系数。该模型可以很好地模拟当应力小于屈服应力时岩石的流变特性，但不能描述岩石的加速蠕变。

图1  伯格斯模型

Fig. 1  Burgers model

1.2  非线性黏性元件

为描述岩石的加速蠕变过程，现引入1个非线性黏性元件^[16]，如图2所示。其中：η_nl为非线性黏性元件的黏滞系数。该元件具有应变触发特性，即当应变ε小于ε_a(即岩石结束稳态蠕变而开始进入加速蠕变时对应的应变)时，该元件呈现刚体的性质，而当应变大于ε_a时，该元件开始发挥作用。定义该非线性黏性元件的本构关系为

           (1)

其中：ε_nl为该元件进入加速蠕变后的应变。

图2  非线性黏性元件及其蠕变曲线

Fig. 2  Nonlinear viscous component and its creep curve

1.3  节理裂隙塑性体

节理岩石中由于有大量微裂隙的存在，故其在受压时存在一个微裂隙闭合的阶段，该阶段在宏观上表现为岩石的塑性变形。夏才初^[17]的研究结果表明：当实验所加荷载达到某一特定值(应力门槛值)时，岩石试件因微裂隙闭合而产生的塑性变形开始显现，而后随荷载增加而逐渐增加，最终趋于稳定。为描述这种岩石蠕变过程中因节理微裂隙闭合而产生的塑性变形，现引入裂隙塑性体元件^[18]，其结构如图3所示。其中：隙裂性体由2条曲率按回旋线变化的单位长度等截面悬臂梁组成，2条梁相连于0曲率处，荷载作用于梁的末端，两梁之间的间隙随所加应力σ的增大而减小，当应力趋于无穷大时，间隙趋于0，此时，应变达到最大ε_L，对应的应力为σ_L，此裂隙塑性体的本构关系为

            (2)

或

           (3)

将该裂隙体与圣维南体并联，用圣维南体的屈服强度σ_s代替裂隙体的应力门槛值，如图4所示。

图3  裂隙塑性体及其本构曲线

Fig. 3  Fissures plastic body and its constitutive curve

图4  新型裂隙塑性体

Fig. 4  New fissures plastic body

1.4  节理岩体复合流变模型的建立

将非线性黏性元件、裂隙塑性体与传统伯格斯模型串联形成复合流变模型，以描述节理岩体的蠕变过程，如图5所示。

图5  复合流变模型

Fig. 5  Composite creep model

当σ＜σ_s时，非线性黏性元件表现为刚体，节理裂隙塑性体也未达到其应力门槛值，故均不发挥作用，此时复合流变模型退化为传统伯格斯模型，其一维本构方程为

  (4)

蠕变方程为

      (5)

当σ≥σ_s，ε＜ε_a时，裂隙塑性体开始发生塑性变形，而非线性黏性元件仍表现为刚体，此时复合流变模型为传统伯格斯模型与裂隙塑性体的串联，由串、并联关系可得

式中：σ和ε分别为流变模型的总应力和总应变量；，，和分别为虎克体、黏性体、黏弹性体、裂隙塑性体的应变(应力)；E和η分别为相应元件的弹性系数和黏性系数。

对上述各式进行Laplace变换，整理后再进行Laplace逆变换，可得在σ≥σ_s，ε＜ε_a条件下该流变模型的本构方程为

           (7)

由串、并联关系，并引入边界条件t=0，σ=σ₀，可得模型的蠕变方程为

          (8)

当σ≥σ_s，ε≥ε_a时，非线性黏性元件开始发挥作用，此时复合流变模型为传统伯格斯模型、裂隙塑性体以及非线性黏性元件串联而成的模型。

先单独看非线性黏性元件，施加恒定荷载σ=σ₀，当ε≥ε_a时，由

               (9)

可得

              (10)

对式(10)进行积分，并由初始条件t=t_a(即岩石开始进入加速蠕变阶段对应的时刻)，ε_nl=0可得该黏性元件的蠕变方程为

             (11)

式中：

          (12)

再由各元件之间的串联关系可得复合流变模型的蠕变方程：

      (13)

2  复合模型的三维蠕变本构关系

在实际工程中，岩石一般都处于复杂的三维应力作用下，而在室内试验中也一般采用三轴压缩试验机进行岩石强度的测定，因此，建立岩石在三维应力作用下的蠕变本构关系具有重要的工程意义。

该复合流变模型可以看成是由虎克体、黏性体、黏弹性体、裂隙塑性体和非线性黏性体5部分串联而成，在三维应力作用下，模型的总应变可以表示为

        (14)

式中：，，，和分别为虎克体、黏性体、黏弹性体、裂隙塑性体和非线性黏性体的应变张量。

对于虎克体，由广义虎克定律可知，虎克体的三维本构关系为

        (15)

式中：e_ij，S_ij，ε_ii和σ_ii分别为应变偏量、应力偏量、应变和应力第一不变量的张量形式；G₀和K分别为弹性剪切模量和弹性体积模量。

由此可得虎克体的应变为

         (16)

式中：为平均应力；为单位张量。

对于黏性体，在一维应力下，其本构方程为

                (17)

进而可得其蠕变方程为

                (18)

三维情况下的应变可表示为

              (19)

对于黏弹性体，假设该黏弹性体的体积变化是弹性的，其蠕变主要体现在剪切变形上，由此可知其三维本构关系为

     (20)

对于裂隙塑性体，将一维情况下的应变推广到三维状态下可得

         (21)

对于非线性黏性体，由于在室内的单轴或三轴压缩蠕变试验中，试样在进入加速蠕变阶段时大都体现在轴向变形急剧增大，因此，在三维应力状态下，可以选择第一主应力σ₁₁与屈服强度σ_a的关系来判断非线性黏性体是否发生应变，当σ₁₁≥σ_a时，非线性黏性体开始触发，试样开始进入加速蠕变阶段。由此，三维状态下非线性黏性体的本构关系可以表示为

        (22)

将式(14)~(21)代入式(13)，可得三维应力状态下该复合模型的蠕变方程为

    (23)

3  实验数据拟合与验证分析

本文作者根据文献[19]中的实验数据，对复合流变模型的蠕变方程进行拟合，以验证该模型描述节理岩石蠕变全过程的合理性。将软弱节理矿岩试样加工成直径×高度为50 mm×100 mm的标准圆柱形试件，利用剪切流变仪进行蠕变试验。加载方式为循环加卸载，从小到大依次逐级施加荷载，荷载作用时间由试件应变率确定。当试件轴向应变在48 h内小于0.01 mm时，可认为其达到稳定状态，完全卸载，卸载后记录其应变恢复；当试件在24 h内无应变恢复时再施加下一级荷载，依此类推，直至试件破坏为止。本文着重体现蠕变过程中的加速蠕变阶段，故引用最高级荷载时的蠕变数据，此时荷载为33.8 MPa。

图6所示为岩石试样在实验过程中的轴向应变-时间曲线。由图6可知试样的蠕变过程分为3个阶段：0~t₁时间段为初期蠕变阶段，t₁~t_a为稳定蠕变阶段，t_a之后为加速蠕变阶段。t₁=12.4 h，t_a=190 h，t_a所对应的应变可以看成是非线性黏性元件的应变触发值ε_a，ε_a=9.92 mm。

图6  岩石试样轴向应变-时间曲线

Fig. 6  Axial strain-time curve of rock specimen

根据复合模型的蠕变方程以及试样应变-时间曲线，可将上述曲线分为2个部分：0~t_a时段曲线为第1部分，t_a之后的加速蠕变曲线为第2部分。对于第1部分曲线，对式(8)采用非线性最小二乘法，可以确定蠕变参数E₀，E₁，η₁和η₂。对于第2部分曲线，将确定好的E₀，E₁，η₁和η₂及裂隙塑性体元件的流变阈值参数^[20]σ_s=4.05 MPa，σ_L=56.80 MPa和ε_L=3.351 mm代入式(13)，并对其进行非线性最小二乘法可得蠕变参数η_nl。以上拟合过程可利用Origin软件中自带程序完成。

表1所示为复合模型对岩石试样蠕变曲线辨识的所有蠕变参数。图7所示为复合模型对岩石试样蠕变过程曲线的拟合结果。由图7可知：传统伯格斯模型能较好地拟合稳定蠕变阶段，但在拟合初期蠕变阶段出现很大的偏差，尤其是在初始应变处，拟合值明显低于试验值，这是因为试件中含有节理裂隙，在受压瞬间产生瞬时塑性变形，而传统伯格斯模型中并没有能描述这种因节理裂隙而造成的瞬时塑性变形的元件，同时，传统伯格斯模型的拟合曲线中也并没有体现出加速蠕变阶段。而复合流变模型结果与实验结果吻合良好，不仅能够充分反映岩石的初期和稳定蠕变过程，而且能描述加速蠕变过程，同时，又能体现节理裂隙对蠕变的影响。

表1  复合流变模型参数

Table 1  Parameters of composite creep model

图7  复合流变模型与伯格斯模型拟合曲线对比

Fig. 7  Comparison between fitting curves of composite creep model and Burgers model

4  结论

1) 引入1个非线性黏性元件，并将其与传统伯格斯模型串联，形成改进的伯格斯模型，以描述岩石蠕变的全过程。

2) 引入一种节理裂隙闭合体，用闭合体在外力作用下的变形来描述岩石中因节理裂隙闭合而引起的宏观上的塑性变形，将其与改进的伯格斯模型串联，形成新的复合流变模型，并推导出该模型在一维和三维应力状态下的蠕变本构方程。

3) 新的复合流变模型的拟合结果明显优于传统伯格斯模型的拟合结果，不仅能充分反映岩石蠕变过程中的初期蠕变、稳态蠕变，而且能很好地描述加速蠕变，同时，也能体现节理裂隙对岩石蠕变的影响。

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(编辑  伍锦花)

收稿日期：2017-03-21；修回日期：2017-05-30

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(11772358，51604299，51774323，51274249)；湖南省研究生科研创新项目(CX2012B069)；中国博士后科学基金资助项目(2016M600636)；中南大学博士后科学基金资助项目(2017)；国家重点研发计划项目(2016YFC0600706) (Projects(11772358, 51604299, 51774323, 51274249) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(CX2012B069) supported by the Postgraduate Innovative Research Project of Hunan Province; Project(2016M600636) supported by China Postdoctoral Science Foundation; Project(2017) supported by Central South University Postdoctoral Science Foundation; Project (2016YFC0600706) supported by the National key Research and Development Program)

通信作者：曹平，博士，教授，博士生导师，从事岩石力学与工程领域的教学和科学研究工作；E-mail: pcao_csu@sohu.com