DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2018.01.028
复杂轴线拱结构实用解析解研究
胡常福1，何兵兵1，石萃佳1，任伟新2
(1. 华东交通大学 土木建筑学院，江西 南昌，330013；
2. 合肥工业大学 土木与水利工程学院，安徽 合肥，230009)
摘要：拱结构力学问题的解析解大多基于沿拱轴的曲线积分，当拱轴线为非圆弧线时该曲线积分往往没有闭合解析解。针对该问题，提出近似曲线积分方法，将精确弧长微分近似显示表达，用以得到拱结构力学问题的实用解析解。基于本文方法，以包含大量复杂曲线积分的新型拱轴线弹性常数表达式及主拱圈自重、桥面系自重作用时内力表达式为研究对象，推演得到其实用解析解，并以弹性常数精确曲线积分的数值解与内力的有限元解为精确解，验证本文方法的高精确性与实用性。研究结果表明：与常规方法将曲线积分简化为直线积分相比，本文方法能得到更高精度的实用解析解，各弹性常数表达式最大相对误差小于2%；与内力的有限元解相比，本文方法具有更通用的实用表达式，且内力的最大相对误差小于4%。
关键词：拱结构；实用解析解；弧长微分；近似曲线积分
中图分类号：U441 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2018)01-0217-09
Research on approximate analytical solution of arch structure with complex arch axis
HU Changfu1, HE Bingbing1, SHI Cuijia1, REN Weixin2
(1. School of Civil Engineering and Architecture, East China Jiaotong University, Nanchang 330013, China;
2. School of Civil Engineering and Water Conservancy, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)
Abstract: The curve integration along arch axis is a basic problem of analytical solution method in arch structure mechanics, and it has no closed form analytical solution when the arch axis is not an arc. An approximate curve integration method was proposed to solve this problem. It took approximate display arc-length differentiation to replace the complex exact one to obtain the practical closed form analytical solution of arch structure mechanics problem. Based on the proposed method, some practical analytical solutions were deduced, by studying arch structure elastic constant and main arch ring inner force under main arch ring and deck system dead load in a new complex axis arch structure, since it had a lot of complex curve integrations along arch axis in these mechanics problems. Numerical integration solution of elastic constant using exact arc-length differentiation and finite element solution of inner force were taken as exact solutions to verify high precision of the display result of proposed method. The results show that compared with the normal method which takes curve integration simplified to horizontal line integration, the proposed method can get higher precision approximate expression results, and the maximum relative error of all elastic constants is less than 2%; compared with finite element solution, the proposed method have more general approximate expression, and the maximum relative error of all inner force is less than 4%.
Key words: arch structure; approximate analytical solution; arc-length differentiation; approximate curve integration
拱结构是基本的桥梁结构型式之一，因力学性能优异，在国内外广泛使用[1]。在拱结构力学问题的解析解研究中，大多数使用了基于能量原理的方法，如弹性常数、内力分析、连拱问题中的虚功原理[2]，变形分析中的虚位移原理[3]、分枝点稳定[4]、跃越屈曲[5]与动力屈曲[6]中使用的能量方法以及自振分析中的能量守恒原理[7]等。在拱结构中应用这些能量方法时，都需要沿拱轴进行曲线积分。拱结构力学问题是否有解析解，建立在该曲线积分是否有显示解析解的基础之上。对于不同的拱轴线，求解曲线积分显示解析解的方法也各不相同。在圆弧拱中，由于曲率处处相等，弧长微分得以简化，沿拱轴的曲线积分就简化为以圆心角为变量的普通直线积分，因此，圆弧拱的各种力学问题均得到了显示解析解[2, 4, 6-8]。然而，圆弧线对应于等深度静水压力，与实际拱桥荷载型式相差较大，在实际拱桥工程中应用并不多。相反的是，使用最频繁的如抛物线、悬链线等非圆弧拱轴线，沿拱轴的曲线积分反而没有解析解。为解决这个问题，KOOLEE等[9]在抛物线拱的自振分析中，将直角坐标系下的抛物线弧长微分，转换为极坐标系下进行表达，希望达到像圆弧拱那样简便的普通直线积分，但最终仍采用了数值积分得出结果；WANG等[10]针对英国石拱桥承载力评估方法MEXE中的沿抛物线拱轴的曲线积分，将弧长微分简化为直线微分，进而使得沿抛物线拱轴的曲线积分简化为沿水平坐标轴的直线积分，虽得到了显示解，但在矢跨比较大的陡拱中误差增大[11]；BRADFORD等[3]在抛物线浅拱稳定问题中，将沿抛物线拱轴的曲线积分简化为沿水平坐标轴的直线积分，得到的结果仅适用于矢跨比较小的浅拱，其验证的算例矢跨比均小于1/10、验证的试验拱[12]矢跨比为1/18.8与1/25。YI等[13]在含有弹性支撑浅拱的振动分析中，采用了将曲线积分简化为直线积分的方法；MOON等[14]在抛物线浅拱的屈曲分析中，将沿拱轴的曲线积分简化为沿水平坐标轴的直线积分；我国拱桥手册[2]中，采用数值积分方法计算沿拱轴的曲线积分，并通过对结果进行列表，来解决沿拱轴曲线积分无法显示表达问题；胡常福等根据悬索线[15]弧长微分可显示表达的特点，得到了抛物线[16]、悬链线[17]拱轴曲线积分的实用解析解。由此可以看出：针对沿非圆弧拱轴曲线积分无法显示表达的问题，使用最广泛的方法是将其简化为沿水平坐标轴的直线积分，该方法虽简便但仅适用于浅拱，在陡拱中存在较大误差，求解沿非圆弧拱轴曲线积分的高精度显示解仍非常困难。针对该问题，本文作者提出近似曲线积分方法，将精确弧长微分近似显示化用以得到曲线积分的实用解析解，以沿新型复杂拱轴线[18]的曲线积分为研究对象，以包含大量曲线积分的弹性常数及主拱圈自重、桥面系自重作用下内力为研究内容，基于所提出的方法推演其实用解析解，并通过数值积分与有限元法结果，验证本文方法高精度性与显示表达式的特点。
1 复杂轴线精确弧长微分的显式近似
任伟新等[18]针对下承空腹式拱桥恒载的主要分布型式为桥面系自重与主拱圈自重，提出了一个新型的复杂拱轴线，如下式所示：
式中：y为拱轴坐标；x为距离拱顶的距离，以向右为正；
，a为悬索线拱形参数[15]，g为主拱圈单位长度自重，q为桥面系单位长度自重，L为跨径，f为矢高；yg为悬索线拱轴坐标，
，
为双曲余弦函数；
；yq为抛物线拱轴坐标，
。该拱轴线为2种线型的组合，其弧长微分也远比常规拱轴线复杂，如下式所示。
式中：
为双曲正弦函数。在此基础上进行沿拱轴的曲线积分，如下式所示：
式中：
为被积函数。该曲线积分是求解大多数力学问题解析解的基础，但其没有解析解。即使当
时，该积分退化为求解拱轴曲线弧长的表达式，也不能得到显示解析解。为得到实用结果，常规的方法是把该曲线积分简化为沿水平坐标轴的直线积分，如下式所示：
该直线积分与如式(3)所示的曲线积分结果相差巨大。例如，当时，2个积分就表现为曲线弧长与直线跨径的差别，如图1(a)所示。
图1 3种方法积分路径与弧长微分比较
Fig. 1 Integration path and arc-length differentiation comparison of three methods
为解决复杂拱轴曲线积分的高精度显示解析解问题，本文提出近似曲线积分方法，将复杂拱轴线的弧长微分进行近似为
，用以得到该曲线积分的实用显示解析解。那么，如式(3)所示的复杂拱轴曲线积分，将得到高精度的显示简化，如下式所示：
据式(5)所示的近似曲线积分能得到高精度的显示解析解，进而使得寻找复杂轴线拱结构力学问题的解析解成为可能。为展现该简化方法的高精度性，以L=30 m，
，
的组合线为例，将精确曲线积分、近似曲线积分与水平直线积分的积分路径与弧长微分进行比较，如图1所示。由图1(a)可以看出：近似曲线积分路径与精确曲线积分路径几乎没有差别，而水平直线积分路径则与之有明显差别，表现为拱轴弧长与水平跨径的差别。由图1(b)可以看出：近似曲线积分的弧长微分与精确曲线积分的弧长微分差别较小，而水平直线积分的弧长微分则与之相差较大。由此可见，式(5)所示的近似积分结果与精确积分结果误差较小。
在拱结构所有的力学问题的解析解中，弹性常数及内力分析包含的沿拱轴曲线积分数量最多。为此，以无铰拱、两铰拱的弹性常数表达式及桥面系自重、主拱圈自重作用下内力表达式为研究对象，展现近似曲线积分方法所具有的高精度显示解析解特点，进一步验证本文方法的有效性。
2 复杂轴线拱的弹性常数及内力实用解析解
2.1 弹性常数实用解析解
基于如式(5)所示的近似曲线积分方法，即可推演组合线两铰拱常变位弹性常数的实用解析解，如下式所示：
式中：
为两铰拱水平推力常变位；
为单位推力作用下基本结构的弯矩；
为主拱圈截面抗弯刚度。基于同样的方法，可得到两铰拱与无铰拱其他弹性常数的的实用解析解，见表1。
2.2 内力实用解析解
基于如式(5)所示的近似曲线积分方法，即可推演主拱圈自重作用下组合线两铰拱载变位的实用表达式，如下式所示：
表1 弹性常数实用解析解
Table 1 Approximate analytical solution of elastic constant
式中：
为主拱圈自重两铰拱载变位；
为主拱圈自重作用时基本结构的弯矩，
。基于同样方法，可得到两铰拱与无铰拱其他载变位的实用解析解，见表2。
综合表1与表2，即可求得两铰拱、无铰拱结构体系在主拱圈自重、桥面系自重荷载作用下的内力实用表达式，如表3所示。
表2 载变位实用解析解
Table 2 Approximate analytical solution of load deformation constant
表3 内力的实用解析解
Table 3 Approximate analytical solution of inner force
3 精度分析与算例验证
在以上的分析中，基于近似曲线积分方法，针对弹性常数与内力分析中所包含大量的复杂曲线积分，均得到了实用的解析解，表明本文方法在求解复杂拱轴曲线积分显示解方面的有效性。下面以弹性常数的数值积分解与内力的有限元解为精确解，来验证本文方法结果的高精度性。
3.1 弹性常数精度分析
为验证本文方法弹性常数实用解析解的精度，分别使用精确曲线积分数值积分方法、本文近似曲线积分方法与简化为水平直线积分的常规方法，来计算表1中各弹性常数在g/q=1时的数值，并以精确曲线积分的数值积分结果为精确解，比较本文方法与常规方法的精度，如表4所示。
由表1可以看出：随着矢跨比的变化，本文方法与精确曲线积分数值计算各弹性常数的结果均有一定程度的变化，而在将曲线积分简化为直线积分的常规方法中，出现了
，
和
的结果不随着矢跨比的变化而变化，明显违背了这几个弹性常数的基本物理意义；另外，常规方法中，，
和的绝对误差明显比本文方法的大。
由表2可以看出：随着矢跨比由1/3变化至1/10，各弹性常数中本文方法与常规方法的相对误差都减小，本文方法相对误差明显比常规方法的小；当矢跨比为1/10时，常规方法计算的各弹性常数最大相对误差为5.239 5%，最小相对误差为1.113 5%。而在同样的矢跨比中本文方法最大相对误差为0.029 1%，最小相对误差为0.004 8%，明显比常规方法更优；当矢跨比为1/3时，常规方法计算的各弹性常数最大相对误差为51.527 9%，最小相对误差为7.740 0%，表明在陡拱中常规方法已经不能使用，而在同样的矢跨比中本文方法最大相对误差为1.155 4%，最小相对误差为0.239 5%，显示了本文方法具有相当高的精度。
表4 3种方法弹性常数结果比较
Table 4 Comparison of three method results on elastic constant
表5 3种方法弹性常数相对误差比较
Table 5 Relative error comparison of three methods on elastic constant %
综合表1与表2可知：在各弹性常数的计算结果中，常规方法在陡拱中误差较大，而本文方法在陡拱与浅拱中均具有较高的精度，各弹性常数最大相对误差小于2%。
3.2 内力表达式算例验证
某跨径255 m的拱桥[19]，矢跨比为1/4，拱肋面积为0.77 m2，惯性矩为0.775 m4，弹性模量为201 GPa，材料容重为78.5 kN/m3，桥面系平均重力为1 208.9 kN/m，拱轴线为如式(1)所示的复杂拱轴线型。为验证本文方法内力实用表达式结果的精确性，分别使用有限元法及本文方法计算两铰拱与无铰拱2个结构体系，在主拱圈自重作用、桥面系自重作用时的结构内力，两者结果的比较如图2所示。
由图2可以看出：在主拱圈自重、桥面系自重2种荷载作用工况下，两铰拱、无铰拱两种结构体系的弯矩与轴力中，本文方法的计算结果与有限元结果均吻合较好。通过对内力的精度计算，本文方法轴力最大相对误差为3.62%，弯矩最大相对误差为3.30%，显示了本文方法具有较好的精度。同时，由弹性常数精度分析结果可知，本文方法在矢跨比大时误差会增加，而本算例矢跨比为1/4，已是实际拱桥的最大矢跨比。由此可知，本文方法在各种矢跨比情况下均与有限元结果吻合较好，且能保持较高的精度。
图2 主拱圈内力比较
Fig. 2 Comparison of main arch internal forces
4 结论
1) 通过概念分析、公式推演与精度分析可知，近似曲线积分方法可以用于求解复杂拱轴曲线积分的高精度实用解析解。
2) 基于近似曲线积分方法能得到复杂拱轴线下弹性常数的实用解析解，公式简洁且在陡拱下也保持了非常高的精度，各弹性常数最大相对误差不超过2%。
3) 基于近似曲线积分方法能得到复杂拱轴线下的内力实用解析解，公式简洁且与有限元解吻合较好，内力最大相对误差不超过4%。
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(编辑 杨幼平)
收稿日期：2017-01-09；修回日期：2017-03-16
基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51568020)；国家留学基金资助项目(201608360147)；江西省科技支撑计划项目(20141BBG70089) (Project(51568020) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(201608360147) supported by China Scholarship Council; Project(20141BBG70089) supported by Science and Technology Plan in Jiangxi Province)
通信作者：胡常福，博士，讲师，从事拱结构力学研究；E-mail: hcf@ecjtu.jx.cn
