基于神经网络解卷积的脉冲响应函数提取
周凯，王晓东，叶庆卫，周宇
(宁波大学 信息科学与工程学院，浙江 宁波，315211)
摘要：在分析经典的脉冲响应信号时域法(相关系数法)的基础上，提出采用径向基网络进行脉冲响应信号提取，以增强噪声抵抗能力，使得在较强噪声情况下还能提取出较理想的脉冲响应信号。在径向基网络样本设计中，提出了对输入信号样本矩阵采用矩阵LU变换来提高网络的训练性能，LU分解也增强了网络的泛化能力。试验结果表明：基于径向基网络的脉冲响应信号提取在较强噪声环境下的表现优越于经典的时域法，并且算法时间也较快，能够适用于实际工程应用。
关键词：脉冲响应函数；广义逆；相关系数法；神经网络
中图分类号：TG146.2+1 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2011)S1-0067-05
Extraction of impulse response function based on deconvolution of neural network
ZHOU Kai, WANG Xiao-dong, YE Qing-wei, ZHOU Yu
(College of Information Science and Engineering, Ningbo University, Ningbo 315211, China)
Abstract: A method was proposed to extract the impulse response signal based on radial basis network in order to enhance capability of noise resistance and extract the desired one. In the sample design of RBF network, signal sample matrix was inputted to matrix LU to enhance the network training performance, and LU decomposition to improve the generalization ability. Simulation results show this proposed approach is superior to the classical time-domain method in very noisy environment and time consumption, which is capable of practical engineering application.
Key words: impulse response function; generalized inverse; correlation coefficient; neural network
脉冲响应函数的提取是振动信号模态分析理论的重要组成部分，许多算法(如SSI和ERA等)均以脉冲响应函数为基础进行模态参数提取[1]。虽然目前有部分算法采用直接分析振动响应信号的思路，但是，提取脉冲响应信号的输入输出系统分析具备更高精度、更稳定的分析结果，适用于在结构健康监测的高精度要求场合。提取脉冲响应信号的算法大致分成频域法、时域法和小波分解法三大类。文献[2]证明了小波分解法与时域法具有等价性，并提出采用伪逆矩阵方法来避免最小二乘法系数矩阵的奇异性。这种伪逆矩阵求解的时域法在低噪声强度下取得了出色的脉冲响应信号提取效果，有效地应用于多种实际振动检测工程，然而，一旦观测噪声(包括环境噪声、采集噪声等)和非线性振动效应较强，经典算法的提取精度将会急剧下降，导致提取出来的脉冲响应信号完全不可用[3-4]。针对这种情况，本文提出采用径向基网络解卷积的方法来提取脉冲响应信号。其中采用矩阵LU分解对系统输入样本矩阵进行了预分解，提高网络训练性能，增强了网络的泛化性能。经过大量的仿真试验发现，这种输入样本经LU分解的径向基网络具备较强的噪声 抵抗能力，也具备较快的训练速度，能够适用于实际振动检测工程。
1 经典的相关系数法原理[5]
振动系统在单位脉冲激励信号作用下的自由响应称为单位脉冲响应函数，简称脉冲响应。在一个因果时不变线性系统中，系统的输出y(t)表示为脉冲响应函数与输入的卷积，写成积分形式为：
(1)
假定采样时间间隔T很小，这样式(1)的积分可用矩形积分来逼近[6]，得到：
(2)
假定u(t)和y(t)均有n个采样点，将式(2)进一步展开成如下的方程组：
(3)
对式(3)进行化简整理，其可以简写为：
(4)
其中：H为系统的脉冲响应信号系数矩阵；U为输入信号组成的系数矩阵；Y为该因果时不变线性系统的响应信号矩阵。参考最小二乘法思路，将方程(4)两边右乘一个激励信号矩阵U的转置矩阵，得到：
(5)
当系统的输入信号存在较多的零值如脉冲信号等时，
容易成为奇异矩阵，要用到矩阵的广义 逆[2]，得到：
(6)
式(5)和(6)就是脉冲响应信号提取的时域法。为了增加算法的稳定程度和精确性，把式(3)进行扩展，采用矩阵伪逆的方式进行求解。对一条信号uk (u0, u1, …, un-1)和yk (y0, y1, …, yn-1)，由式(3)得：
(7)
对m条信号可以得到：
(8)
对式(8)可以简写为
(9)
由矩阵的伪逆得到：
(10)
2 径向基神经网络的设计和算法
在经典的时域法中，人们发现对噪声敏感，当噪声强度增大时，时域法的误差急剧增加导致该方法不可用。因此，本文引入径向基网络进行脉冲响应函数提取。径向基函数神经网络结构[7-8]如图1所示。图1中：P和Y分别为径向基网络的输入信号和输出信号；T为径向基网络的教师信号；P=(p1, p2, …, pn-1)T，为径向基网络的输入样本；T=(T1, T2, …, Tn-1)T，为径向基网络的教师信号。径向基网络由3层即输入层、隐含层和输出层组成。输入层仅仅起到传输信号的作用，隐含层节点一般由高斯核函数(径向基)作为核函数，输出层节点通常是简单的线性函数。隐节点的作用函数对输入信号将产生局部响应，即当输入信号靠近核函数的中央范围时，隐含层节点将产生较大的输出。具有学习速度快的优点。基函数采用高斯函数时，可表示为：
；i=1, 2, …, m (11)
式中：fi(p)为第i个隐层节点的输出；p为径向基网络的输入样本，p=ci表示第i
个隐层节点的高斯核函数的中心且与p具有相同的维数；
为高斯函数的方差；m为隐含层节点的个数。
图1 径向基高斯函数网络结构
Fig.1 Radial basis Gaussian function network
径向基神经网络的输出为隐含层节点输出的线性组合，有
; k=1, 2, …, m (12)
式中：yk为第k个输出层节点的输出；wik为隐含层到输出层的权值；m为输出层节点。
径向基神经网络学习算法需要求解的参数有3个：基函数中心、方差以及隐含层到输出层的权值。学习过程分为2个阶段：一是自组织学习阶段，此阶段为无导师学习过程，求解隐含层基函数的中心与方差；二是有导师学习阶段，这一阶段求隐含层到输出层之间的权值[7-8]。
为了提高网络训练的性能，把P进行LU分解。如果直接用P对网络训练，可能导致网络不稳定，提取出来误差较大。应对经典算法式(9)进行改造。
对P矩阵进行LU分解得：
P=LU (13)
HLU=T (14)
由广义逆得到：
(15)
训练网络时以下三角行矩阵L作为径向基网络的输入，以T*pinv(U)作为径向基网络的教师信号。
仿真时，由系统的激励信号uk (u0, u1, …, u127)通过解卷积运算，得到系统的输出信号为：yk (y0, y1, …, y127)，选取10组这样的训练样本。在MATLAB环境下，对网络进行训练，训练参数SPREAD值为16。
3 改进算法仿真测试
下面通过式(14)来进行算法的仿真计算。假设式(15)为理想的脉冲响应信号，t为[0, 1]区间上的均匀采样点，每条信号的采样点数为128，
(16)
式(15)是一个双模态时不变因果线性系统。采用高斯型脉冲激励输入信号uk仿真，N为训练用的样本数，设为 10，径向基网络的SPREAD值为16。
0U) (17)
由式(1)可以精确地计算出系统的输出响应信号，然后，把不同强度噪声信号与系统的激励信号和响应信号叠加，振动系统的信噪比RSN定义为：
(18)
其中：Wnoise(t, D)为强度为D的随机均匀分布噪声；w(t)为系统的激励信号。
然后，用冲击信号
对训练好的径向基网络进行测试，由式(17)得到网络的输出信号就是所求的脉冲响应函数。
(19)
网络训练的评估指标为训练好的网络输出yout与h(t)的均方误差。分别用基于神经网络解卷积的方法和时域法得到系统在不同噪声情况下的结果，如图2所示。图2中，横坐标为时间，其中图2(a1), (b1)和(c1)纵坐标为时域幅值，图2(a2)，(b2)和(c2)纵坐标为频域幅值。由文献[2]可知：由于频域法存在能量泄露，频率混叠及末端效应等现象导致用该方法得到的脉冲响应函数误差非常大，所以，在仿真图中没有给出频域法的仿真结果，但计算出不同强度噪声情况下用频域法得到的脉冲响应函数与理想的脉冲响应函数之间的均方误差。
图2显示出系统在不同输入信号信噪比情况下所得到的系统的仿真求解效果。其中：EMSw为神经网络法得到的系统脉冲响应函数与理想的脉冲响应函数的均方误差；EMSx为时域法得到的脉冲响应函数与理想的脉冲响应函数的均方误差。在信噪比RSN较高的情况下，例如RSN为64.842 7和26.947 9时，利用神经网络法和相关系数法求解的结果与理想的脉冲响应函数都具有较高的吻合度。但是，当系统在强噪声(信噪比 RSN为6.102 3)，采用神经网络法要比经典算法效果好，精度高，如图2(c1)和(c2)所示：EMSx=5.733 463，EMSw= 4.982 170。
图2 神经网络法在不同信噪比下的结果
Fig.2 Neural network results in different SNRs
4 结论
提出了采用径向基网络解卷积的方法来提取系统的脉冲响应信号。输入样本矩阵经过LU分解，把U矩阵通过伪逆矩阵的方式附加到输出样本矩阵上，这样网络学习时仅针对L矩阵进行。由LU分解可知：由于L矩阵是单位下三角矩阵，其主对角线上元素值均为1，这样可以提升网络学习速度，消除输入样本的二义性，具有较强的噪声抵抗能力。所以，在强噪声环境下，采用神经网络法要比经典的相关系数法效果好。
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(编辑 陈灿华)
收稿日期：2011-04-15；修回日期：2011-06-15
基金项目：国家自然科学基金资助项目(61071198)；浙江省教育厅基金资助项目(Y200908502)
通信作者：周凯(1985-)，男，安徽安庆人，硕士研究生，从事振动信号处理研究；电话：13586917561：E-mai: zkcome@126.com
