DOI： 10.11817/j.issn.1672-7207.2020.07.019

斜坡地基桩前土抗力的应变楔模型修正

彭文哲,赵明华,杨超炜,刘亚楠

（湖南大学 岩土工程研究所，湖南 长沙，410082）

摘要:针对斜坡地基桥梁基桩承载特性，引入斜坡地基水平极限承载力模型及平地应变楔模型，提出适用于斜坡地基桩前土抗力计算分析的桩前土楔模型，包括上部土楔及下部修正应变楔2部分。根据不同的土体强度发挥程度，提出桩前土楔的3个发展阶段。讨论下部修正应变楔与平地地基应变楔的区别，并基于静力平衡方程，推导上部土楔提供的土抗力随深度变化的计算公式。研究结果表明：桩前土楔模型地基土抗力计算结果与模型试验及工程实例的数值模拟结果均较吻合，可用于合理预测斜坡地基桩前土抗力；当桩顶水平荷载增大时，应变楔深度增大，应变楔层数也不断增加；内摩擦角发挥值不断增大，近似呈非线性增大，增大速度逐渐变慢。

关键词:桥梁工程；桩前土抗力；斜坡地基；应变楔；水平受荷桩

中图分类号:TU473      文献标志码:A              开放科学(资源服务)标识码(OSID)

文章编号:1672-7207（2020）07-1936-10

Modification of strain wedge model for soil resistance in front of piles in sloping ground

PENG　Wenzhe, ZHAO　Minghua, YANG　Chaowei, LIU　Yanan

(Institute of Geotechnical Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)

Abstract: Considering the behavior of piles in sloping ground, a soil wedge model was proposed to evaluate the soil resistance in front of piles in sloping ground by developing the strain wedge technique in level ground and employing the model for lateral ultimate bearing capacity in sloping ground. The soil wedge model consisted of two parts, i. e. upper soil wedge and lower modified strain wedge. Three development stages of the soil wedge on the basis of the exerting extent of the soil strength were proposed. The calculation formula for soil resistance along with depth in the upper soil wedge was derived based on the equilibrium equation,while the difference between the lower modified strain wedge technique and the strain wedge technique in level ground was discussed. The results show that the calculation results obtained by the proposed model are well consonant with the model test results and the numerical results for an engineering project. It is reasonable to predict the soil resistance in front of piles in sloping ground by the suggested model. The depth and layers of strain wedge increase with the increase of the lateral loads atop the pile, the fan angle nonlinearly increases, and the growth rate slows down gradually.

Key words: bridge engineering; soil resistance in front of piles; sloping ground; strain wedge; laterally loaded piles

桩基础被广泛应用于公路桥梁或半路半桥的建设，以减少桥面(路面)不均匀沉降，但桥梁桩基不可避免地承受车辆制动引起的水平荷载。此外，对山区的桥梁桩基^[1-2]设计必须考虑陡坡效应即桩前土抗力的折减效应。对斜坡地基水平受荷桩的桩前土抗力的研究具有较强的理论价值和实用价值。目前，桩前土抗力最常用的理论分析方法主要有弹性地基反力法(BEF, beam on elastic foundation method)、地基土抗力p-水平位移y曲线法及应变楔方法(strain wedge technique)^[3-9]。应变楔方法不依赖基于现场试验的经验参数，是一维BEF法在三维空间的拓展，不但可以考虑土体的连续性，而且可以考虑桩顶约束条件、桩身材料、截面形状及抗弯刚度等基桩特性。NORRIS^[3]提出应变楔的概念，并假定基桩产生线性变形，将其用于分析水平受荷桩的桩前土抗力分布形式；ASHOUR等^[4-5]将应变楔方法用于分析成层土中水平受荷单桩及群桩的受力特性；李忠诚等^[6-7]对应变楔方法进行了应用或修正；XU等^[8]采用Duncan-Chang模型而非Mohr-Coulomb模型描述应变楔中的应力-应变关系；杨晓峰等^[9]引入双曲线描述砂土的应力-应变关系，研究基桩的非线性变形情况(本文亦可考虑基桩非线性变形)。然而，以上研究方法均针对平地上水平受荷桩进行分析，难以完全适用于斜坡地基桩前土抗力的分析。与平地地基相比，斜坡地基上的桩前土抗力需考虑折减效应，常用的折减方法一般是基于试验及数值模拟对平地上的地基反力系数^[10-13](国内)或p-y曲线^[14-18](国外)进行一定折减。杨明辉^[10]认为斜坡地基一定深度内土体仅能提供有限的抗力，在外力荷载作用下，边坡极不稳定，因而，应对桩前土抗力进行一定程度折减或者忽略。我国JTG D63—2007^[11]建议斜坡地基条件下地基比例系数m应取相应平地地基m的一半；刘兹胜等^[12]基于室内模型试验，提出了不同斜坡坡度下地基反力系数的修正公式；尹平保等^[13]通过斜坡地基上刚性桩水平载荷模型试验，研究了斜坡的空间效应。MEZAZIGH等^[14]通过离心试验，探究了土体性质及边坡坡度对干砂中p-y曲线的影响。此后，基于足尺水平载荷试验，MIRZOYAN等^[15-16]提出了相对于平地地基桩前土抗力的折减系数，以量化边坡中p-y曲线的折减效应。CHAE等^[17]基于原型及模型试验，通过三维弹塑性有限元法分析了砂质边坡对桩前土抗力的折减效应；LIYANAPATHIRANA等^[18]基于离心试验，通过三维有限元方法研究了斜坡地基中退化的p-y曲线。目前，人们对斜坡地基桩前土抗力的理论方法研究较少，GABR等^[19]基于静力平衡条件推导了无黏性土与黏性土的斜坡地基上刚性墩水平承载力的理论解，但并不完全适用于柔性桩(或半柔性桩)。为此，本文作者提出一种分析斜坡地基桩前土抗力的理论分析方法，其思路为：1) 借鉴斜坡地基水平极限承载力模型^[19]，对平地地基应变楔模型^[3-9]进行改进，提出斜坡地基桩前土体的三维土楔模型，并将其考虑为3个发展阶段，以对应不同的水平荷载情况；2) 将三维土楔模型分为上、下两部分，针对不同的应力边界条件，分别提出对应计算方法；3) 在推导上部土楔的桩前土抗力计算公式的同时，讨论斜坡地基下部修正应变楔与平地地基应变楔的区别，并通过模型试验及工程实例进行验证；4) 基于本文理论方法，分析斜坡地基桩前土抗力的影响因素，以期完善斜坡地基上桩基设计的理论研究。

1 斜坡地基桩前土楔模型

图1及图2所示分别为平地地基应变楔模型及修正后的斜坡地基桩前土楔模型。

图1　平地地基应变楔模型

Fig. 1　Strain wedge model in level ground

图2　斜坡地基桩前土楔

Fig. 2　Soil wedge in front of piles in sloping ground

图1及图2中：h为应变楔深度；z_i为土层深度；D为方桩边长或圆桩截面内接正方形边长；φ_m为应变楔伞角；β_m为应变楔底角(β_m=45°+φ_m/2)；θ为边坡坡角。

如图2所示，以B₀C₀所在水平面为界，将斜坡地基桩前土楔分为2部分，即上部土楔(B₀C₀水平面以上)及下部修正应变楔(B₀C₀水平面以下)。其中，下部修正应变楔的土抗力计算方法及应力-应变关系与平地地基应变楔模型相同^[3-9]。本文讨论下部修正应变楔与平地地基应变楔的区别。

在讨论下部修正应变楔时，仍引入应力水平(SL, stress level)表征应变楔中土体强度的发挥程度^[3]；讨论上部土楔时，引入摩擦因数发挥值α_SL表征上部土楔土体强度发挥程度。基于此，进行如下假定。

1) 上部土楔在位移方向没有水平支撑，使各土层满足受力平衡的抗力主要由土层上、下表面摩擦力之差、侧向摩擦力及桩侧剪应力组成；上、下表面摩擦力与上部土体重力、摩擦因数及α_SL呈线性相关；侧向摩擦力与正压力、摩擦因数及α_SL呈线性相关，并认为正压力可近似取静止土压力^[19]。

2) 下部修正应变楔的桩前土抗力计算方法与平地地基应变楔模型的主要区别在于：考虑应变楔土体应力状态时，需将上部土体自重折算成均布荷载q(见图3(b)及图3(c))。

3) 斜坡地基桩前土楔存在如下3个发展阶段(见图3)：当水平荷载较小时，只有一定深度内的上部土楔发挥作用，下部尚未形成应变楔(图3(a))；随着水平荷载逐渐增大，下部形成应变楔，且应变楔深度随着荷载增大而增大(图3(b))；当水平荷载增大至某一值时，上部土楔土体强度完全发挥，应变楔深度继续增大，桩前土体会出现多层应变楔(图3(c))。ASHOUR等^[5]考虑成层地基中土体性质的变化对应变楔模型进行分层，在不同土体分界面处分层，而斜坡地基中出现的多层应变楔通过几何关系划分在应变楔底面与坡面相交处分层，如图3(c)所示。图3中：Z₀和Z₁分别为各层下部修正应变楔顶面到桩顶的垂直距离；Y₀为下部修正应变楔与坡面相交线到基桩的水平距离；γ为桩周土体重度；q为上部土体自重折算出的均布荷载。

图3　斜坡地基桩前土楔的3个发展阶段

Fig. 3　Three development stages of soil wedge in front of piles in sloping ground

4) 对于下部修正应变楔，采用的土体破坏准则为Mohr-Coulomb准则，黏聚力将在计算内摩擦角发挥值时予以考虑^[20]，见图4；对于上部土楔，不单独考虑其内摩擦角及黏聚力，而是视斜坡土质情况，引入摩擦因数μ^[21]。图4中，c和φ分别为土体黏聚力及内摩擦角；c_m为图4(a)中内摩擦角未充分发挥时抗剪强度包络线与竖轴交点处的黏聚力；σ_v0及σ′_v0分别为最小主应力及对应的有效应力；Δu为孔隙水压力。

2 桩前土抗力计算

图4　摩尔库仑破坏准则及内摩擦角发挥值φ_m

Fig. 4　Mohr-Coulomb failure criterion and mobilized effective friction angle φ_m

2.1　下部修正应变楔

下部修正应变楔的受力分析如图5所示，其中，dz为各土层厚度，σ_vi为第i层土的竖向应力，Δσ_i为水平应力增量。

图5　下部修正应变楔受力分析

Fig. 5　Force analysis for modified lower strain wedge

各土层的应力状态见图6，下部修正应变楔任意土层i均满足平衡方程式(1)。需注意的是，图6中φ_m实际为桩侧压力扩散角，因应变楔方法假定其与内摩擦角发挥值在数值上相等，故二者均采用φ_m来表示。

图6　各土层的应力状态

Fig. 6　Stress state of sublayers

(1)

式中：p(z_i)为z_i深度处的桩前土抗力；L_i为土层i的应变楔边界BC的长度，可根据应变楔的三维几何关系求得；τ为桩侧剪应力^[8]；S₁和S₂为桩形系数，当桩界面为方形时，S₁和S₂均为1.0，当桩截面为圆形时，S₁和S₂分别为0.75和0.50^[22]。

Δσ_i与其深度z_i及内摩擦角发挥值φ_m有关：

(2)

竖向应力σ_vi的计算需要分情况讨论：1) 仅有1层应变楔(第二阶段)；2) 出现多层应变楔(第三阶段)。

在第一种情况下，σ_vi的计算公式为

(3)

在第二种情况下，σ_vi的计算公式为

(4)

式中：Z_i及Z_i-1分别为深度z_i对应楔层的顶部及底部深度。

为便于计算式(1)中非极限状态下桩侧剪应力τ，NORRIS等^[3-9]给出如下计算式：

(5)

式中：φ_s和C_s分别为桩-土界面摩擦角及黏聚力。当桩周土体为砂土时，选用式(5)中第一个公式计算；当桩周土体为一般黏性土时，选用式(5)中第二个公式计算。

2.2　上部土楔

采用水平条分法分析上部土楔的受力情况，如图7所示。图7中，τ(z_i)为土层i的下表面摩擦力，τ(z_i-1)为土层i的上表面摩擦力。

图7　上部土楔

Fig. 7　Upper soil wedge

2.2.1　上、下表面摩擦力　

自桩顶至B₀C₀面，取深度z_i处土层分析其上下表面摩擦力，如图8所示。

图8　上、下表面摩擦力

Fig. 8　Frictions of upper and lower surfaces

基于假定3)，深度z_i处土层上表面摩擦力合力V_iU可写为

(6)

式中：μ为摩擦因数，可根据斜坡土质情况取值^[21]；摩擦因数发挥值α_SL在0~1之间取值(当α_SL=0，表明土体尚未承受荷载；当α_SL=1，表明上部土楔处于极限平衡状态)。同理，深度z_i处土层下表面摩擦力合力V_iD可写为

(7)

2.2.2　侧向摩擦力　

上部土楔的侧向摩擦力τ₁及桩侧剪应力τ如图9所示。其中，为上部土楔侧面的法向应力。

图9　侧向摩擦力及桩侧剪应力

Fig. 9　Side friction in upper soil wedge and pile side friction

基于假定4)，可推导上部土楔中i层土的侧向摩擦力τ_i1及法向摩擦力σ_i1为：

(8)

(9)

式中：K₀为静止土压力系数。结合式(8)及式(9)，可推导侧向摩擦力合力V_i1为

(10)

2.2.3　桩侧剪应力　

桩侧剪应力合力V_i2为^[4-7]

(11)

2.2.4　上部土楔桩前土抗力的确定　

由假定2) 可知，上部土楔桩前土抗力p_i主要由土层上、下表面摩擦力之差、侧向摩擦力及桩侧剪应力组成，即

(12)

将式(6)，(7)，(10)和(11)代入式(12)，略去二阶微分，可简化得

(13)

考虑到桩前土抗力沿桩身分布是连续的，故摩擦因数发挥值α_SL可通过联立式(1)和式(13)求解：

(14)

式中：Z_n-1为下部修正应变楔与上部土楔的分界面所处深度；n为应变楔层数；p(Z_n-1)_lower为通过下部修正应变楔计算得到的Z_n-1处桩前土抗力；p_{n-1, upper}为通过上部土楔计算得到的Z_n-1处桩前土抗力。

3 算例验证

3.1　模型试验

为验证本文理论的正确性，引入BEGUM等^[23]的模型试验。模型实验尺寸如图10所示。模型桩为的铝合金管桩，外径为25.4 mm，壁厚为1.00 mm，桩身入土深度6.87 m，高出地面0.75 m；砂土为中密状态(密实度D_r=45%)。采用有限元软件ABAQUS分别建立水平地面及斜坡(1V:2H，即斜坡垂直方向投影长度与水平方向长度之比为1:2)这2种情况下的三维模型。桩体混凝土采用线弹性模型模拟，土体采用Mohr-Coulomb弹塑性模型模拟。网格划分时，桩体与土体均采用C3D8R单元模拟，桩土摩擦因数取tan(0.75φ)。桩土基本参数如表1所示。

图11所示为水平地面及斜坡(1V:2H)这2种情况下的水平荷载-桩顶位移曲线。

由图11可知：本文有限元分析得出的桩顶水平位移变化曲线及本文理论计算值与模型试验实测值具有相同的变化趋势，且吻合较好，说明采用本文有限元分析方法及斜坡地基修正应变楔模型分析斜坡地基水平受荷桩是可行的。

图10　模型试验尺寸

Fig. 10　Dimensions of model test

表1　模型试验桩-土基本参数

Table 1　Parameters of the soil and piles in model test

图11　模型试验实测值与ABAQUS及本文模型计算值对比

Fig. 11　Comparison of measured value and predicted results from ABAQUS and the proposed model

3.2　数值验证

为进一步验证本文理论的合理性，引入湖南省张花(张家界—花垣)高速公路泗溪河一桥某岸坡基桩建立数值模型进行验证。基桩所处边坡坡度为40°~50°，该基桩底部嵌入稳定基岩，上覆土体为碎石、卵石及强风化—中风化砂岩。根据尹平保等^[13]提供的模型试验尺寸及相似比建立对应的三维有限元分析模型，如图12所示。基本参数如下：桩径D=2 m，桩长L=18 m，考虑嵌入稳定基岩段长度为3.6 m，边坡坡度取为45°。桩体混凝土采用线弹性模拟，土体采用Mohr-Coulomb模型模拟，网格划分时，桩体与土体均采用C3D8R单元模拟，桩土摩擦因数取tan(0.75φ)。建模时采用的桩土基本参数如表2所示。

图12　原型试验示意图

Fig. 12　Schematic diagrams of prototype test

表2　桩土基本参数

Table 2　Parameters of soil and pile

本文拟通过桩顶水平位移来简化区分桩前土楔的发展阶段，根据有限元模拟结果，桩顶承受的水平荷载如下：较小荷载为50，75，100和125 kN，对应桩顶水平位移小于1 mm；较大荷载为200，400，600，800和1 000 kN，对应桩顶水平位移为1~10 mm。

根据前面推导公式，计算不同水平荷载H的斜坡地基桩前土抗力，将本文理论计算结果与有限元模型模拟值进行对比，对比结果分别如图13和图14所示。

图13　较小水平荷载下数值模拟值与本文理论计算值对比

Fig. 13　Comparisons of the predicted results calculated by ABAQUS and the suggested model under small lateral loads

图14　较大水平荷载下数值模拟值与本文理论计算值对比

Fig. 14　Comparisons of the predicted results calculated by ABAQUS and the suggested model under large lateral loads

由图13可知：当水平荷载较小时，数值模型中一定深度内的斜坡地基土抗力与本文计算值较吻合，与图3(a)中第一阶段的计算模型计算结果相符。

由图14可知：当水平荷载较大时，由本文土楔模型试算得出的桩前土抗力与有限元计算值具有相同的变化趋势，且吻合程度较高；同时，随着水平荷载增大，应变楔深度不断增大。由图14及桩-坡几何位置可知：当荷载由200 kN增加到1 000 kN时，应变楔层数也不断增加；当荷载为1 000 kN时，已出现4层应变楔，与第二和第三阶段的计算模型相符，说明本文计算模型用于分析斜坡地基桩前土抗力是合理的。综上可知，通过桩顶水平位移简化区分桩前土楔的发展阶段是可行的。

4 影响因素分析

上部土楔摩擦因数发挥值α_SL及下部修正应变楔内摩擦角发挥值φ_m随桩顶水平荷载的变化趋势见图15和图16。其中，图15所示为第一阶段的上部土楔摩擦因数发挥值α_SL的变化趋势，图16所示为第二、三阶段的下部修正应变楔内摩擦角发挥值φ_m的变化趋势。

图15　摩擦因数发挥值α_SL与水平荷载H的关系

Fig. 15　Relationship between extent of friction coefficient α_SL and lateral loads H

图16　内摩擦角发挥值φ_m与水平荷载H的关系

Fig. 16　Relationship between extent of internal friction angle φ_m and lateral loads H

由图15可知：随着水平荷载H不断增大，摩擦因数发挥值α_SL也随之增大，近似呈非线性增大，增大速度逐渐加快。其主要是：上部土楔没有侧向支撑，在水平荷载作用下易处于不稳定状态。

由图16可知：随着水平荷载H不断增大，斜坡地基桩前土抗力在不断增大的同时，内摩擦角发挥值φ_m不断增大，近似呈非线性增大，增长速度逐渐变慢。其原因主要是：下部修正应变楔有坡体支撑，水平荷载在增大的同时，应变楔深度增大，参与发挥作用的土体增多。

为在后续研究中，不必通过数值模拟或理论计算便可以直接预估摩擦因数发挥值α_SL和内摩擦角发挥值φ_m的参考值，以期为桩土参数相似的同类工程下土抗力的确定提供参考。本文通过对图15和图16进行拟合，以定量分析内摩擦因素挥发值和内摩擦角发挥值两者与水平荷载H的关系。

摩擦因数发挥值α_SL与水平荷载H之间的拟合关系如下：

  (15)

内摩擦角发挥值φ_m与水平荷载H之间的拟合关系如下：

   (16)

式(15)及(16)中，H的适用范围分别为0~200 kN与200~1 000 kN。通过综合考虑以上拟合公式，可在桩土参数相似的同类工程下预估摩擦因数发挥值α_SL和内摩擦角发挥值φ_m的参考值。

5 结论

1) 斜坡地基上水平受荷桩的三维土楔模型，可以考虑为3个发展阶段；通过修正应变楔理论，提出了适用于斜坡地基的应变楔计算方法，并引入模型试验及工程实例，分别验证了本文有限元分析及理论计算模型的合理性。

2) 在桩前土楔发展的第一阶段，水平荷载H不断增大，摩擦因数发挥值α_SL近似呈非线性增大。在第二和第三阶段，内摩擦角发挥值φ_m近似呈非线性增大。

3) 为在后续研究中，不必通过数值模拟或理论计算而可以直接预估摩擦因数发挥值α_SL和内摩擦角发挥值φ_m的参考值，通过拟合曲线二者与水平荷载H的关系，可为桩土参数相似的同类工程下土抗力的确定提供参考。

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（编辑 陈灿华）

收稿日期： 2019 -09 -22; 修回日期： 2019 -11 -11

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51478178, 51908208) (Projects(51478178, 51908208) supported by the National Natural Science Foundation of China)

通信作者：赵明华，博士，教授，从事桩基础及软土地基处理研究；E-mail:mhzhaohd@21cn.com