变论域模糊控制器的万能逼近性及其逼近条件
龙祖强1,2，梁昔明2，阎纲2
(1. 衡阳师范学院 物理与电子信息科学系, 湖南 衡阳 421008；
2. 中南大学 信息科学与工程学院, 湖南 长沙 410083)
摘要：通过一组非线性伸缩因子实时地调节论域，变论域模糊控制器显著减少初始规则的数量，在期望控制点有效地提高控制精度。首先，证明这类模糊控制器的逼近误差具有收敛性，从而证明它在整个时域上是一种万能逼近器，即它能以任意精度逼近紧集上的任意非线性实函数；并指出它是一种二阶精度的逼近器；在预定精度条件下，给出它作为逼近器的充分条件。最后，通过1个数值实例验证变论域模糊控制器逼近非线性函数的实际效果。研究结果表明：逼近精度完全满足给定的要求，相对常规模糊控制器，变论域模糊控制器的逼近精度提高87.4%。
关键词：模糊控制器；变论域；万能逼近器；充分逼近条件
中图分类号：TP13 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2012)08-3046-07
Universal approximation properties of fuzzy controllers with variable universe of discourse and their approximation conditions
LONG Zu-qiang1,2, LIANG Xi-ming2, YAN Gang2
(1. Department of Physics and Electronics Information Science, Hengyang Normal University, Hengyang 421008, China;
2. School of Information Science and Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)
Abstract: By tuning universe of discourse online using a set of contraction-expansion nonlinear factors, the amount of initial rules was reduced greatly on fuzzy controllers with variable universe of discourse, and the control accuracy was improved significantly at the control points of expectation. First, the approximation error of these fuzzy controllers was proved to be convergent, which suggested that they were universal approximators in the whole time domain. At the same time, they were pointed out to be approximators with second order accuracy. Next, a sufficient condition was given to use these fuzzy controllers as approximators under the prearranged accuracy. Finally, a numerical example was also given to illustrate the real effect of these fuzzy controllers on the approximation of nonlinear functions. The results show that the given requirements are met fully, and that fuzzy controllers based on variable universe of discourse increases by 87.4%, compared with conventional fuzzy controllers on approximation accuracy.
Key words: fuzzy controllers; variable universe of discourse; universal approximators; sufficient approximation condition
在设计模糊控制器时经常遇到2个问题，即如何获得满意的控制精度和如何减少规则数目以降低控制算法的复杂性。导致模糊控制器精度不高的主要原因是缺乏积分环节和规则数量有限。为此，很多研究者提出一些相应的解决方案。其中，变论域模糊控制方法就是其中一种非常有效的方法。李洪兴[1]针对模糊控制器正式提出变论域模糊控制思想，并具体地提出单输入单输出变论域自适应模糊控制算法和双输入单输出变论域自适应模糊控制算法[2-3]。所谓变论域模糊控制器，就是通过一组非线性伸缩因子在线地调节论域，使论域划分在期望控制点附近变得非常精细的一类自适应模糊控制器。Li等[4]用这种方法分别取得4级倒立摆仿真控制的成功，并取得实物控制的成功，获得较好的控制效果。4级倒立摆是世界公认的控制难题，该研究成果得到控制界的广泛关注。实践证明：模糊控制器的设计难点主要在于获取一个合理规则库。常规方法一般是通过询问有经验的操作者或该领域专家来实现。然而，李洪兴[1-2]认为，变论域模糊控制器使用简单的论域划分即可达到高精度的控制效果(例如划分为2~3模糊集)，它不需要精明的领域专家知识，只需要知道模糊规则的大致变化趋势即可。因此，这种控制器既可避免上述麻烦的询问工作，又可大幅降低所需规则数量。至于变论域模糊控制器可以使用简单的论域划分的原因，李洪兴[1-2]主要是从分析的角度进行了讨论，但并没有经过严格的数学证明。因此，一些学者对这种控制器的优点还存在怀疑。众所周知，BP神经网络之所以获得广泛应用，其核心原因就是有研究者证明BP网络是万能逼近器。这从理论上解除人们对BP网络逼近能力的怀疑。受此启发，模糊系统的研究者也对这方面进行了研究，并取得一些成果。例如，Wang等[5-11]研究各种类型模糊系统的逼近性质。模糊控制器是一种常见的模糊系统。若模糊控制器具有万能逼近性，则它能以任意精度逼近任意非线性实函数。若把目标函数看作最优控制器的控制律，则模糊控制器具有达到最优控制器的能力。Ying等[12-17]讨论一些模糊逼近器的逼近条件，为论域的划分提供一些解决方案。但是，以上这些研究成果均是针对静态论域模糊系统的，不适用于动态模糊系统。变论域模糊控制器作为一种动态论域模糊系统，有必要讨论它的万能逼近性，并给出论域划分的方法，以便为设计工作提供理论依据。
1 变论域模糊控制器的结构
设模糊控制器的采样步k=0，1，2，…，第k步的输入变量记为
，输出变量记为yk，输入论域记为
，输出论域记为
，并称U0为初始输入论域，V0为初始输出论域。又设模糊规则库如下：
R(j)：若x1为A1j且x2为A2j且
且xnj为Anj，则y为Bj(j=1，2，…，m)
令k时刻的模糊集Aij记为
(i=1，2，…，n)，k时刻的模糊集Bj记为
。根据文献 [18]，若采用单值模糊器，乘积推理和中心平均解模糊方法，模糊控制器: 
可表示为：
(1)
其中：
为模糊集上的三角形隶属度函数，
为的中心(即
取最大值的对应点)。另外，输入论域
和输出论域Vk分别取为：
(2)
(3)
其中：Ei和Y均为正参数；
和
分别为论域和Vk上的伸缩因子。如何确定和见文献[1-2]。在本文中，和取如下形式：
(4)
(5)
其中：0＜τ＜1，σ为充分小的正数。设置σ的目的是保证
的除数有意义(因为
和yk均有可能为0)。通过的作用，输入论域可随的减小而收缩，可随增大而膨胀。这种变化过程如图1所示。当然，输出论域Vk亦可随yk的减小或增大而进行相应地的收缩或膨胀。
在k时刻，由式(2)和(4)可知：
(6)
于是，
，故可得：
(7)
图1 论域的压缩与膨胀
Fig. 1 Contraction and expansion of universe
因为为的中心，所以，
(8)
将式(7)和(8)代入(1)式后，则变论域模糊控制器可表达为：
(9)
在图1中，当减小时，必定变窄。因为上的模糊集合个数m保持不变，所以，的形状也必定变窄。这种变化过程如图1所示。这就相当于在=0 (期望点)附近的模糊划分变得密集。然而，总规则数N=m×n保持不变。若用相同多的规则作用于一个较小
(相对而言)上，就相当于在期望点附近规则数量增加。并且
越接近期望点，这种增加的效果越显著。对于输出论域Vk亦可达到相同的效果。这种规则的在线生成可降低对初始规则数量的要求，因而对设计工作非常有利。
2 逼近误差的收敛性
已知模糊控制器逼近性质方面的研究对模糊论域的划分具有重要意义。讨论模糊控制器的万能逼近性质实质上是讨论它的逼近潜能，即看它是否具备以任意精度逼近最优控制器的能力。变论域模糊控制器在整个时域上表现为一种动态论域模糊系统，但是，在每个采样步内，和保持不变，它仍应该视为一种静态论域模糊系统。在采样步内，本文讨论的变论域模糊控制器与文献[5]讨论的基于模糊基函数的模糊控制器是相同的，并且文献[5]已经证明它是一种万能逼近器。因此，若要证明形如式(9)的变论域模糊控制器在整个时域上是万能逼近器，则只要证明它的逼近误差具有收敛性即可。为此，先给出如下 引理。
引理1 假设g(xk)是二次可微的连续实函数。若以下2个条件成立：
(1) 初始输入模糊集
是标准的、一致的、完整的[8]，并且
(10)
(2) 初始输出模糊集
(j=1，2，…，m)的中心
满足：
(11)
则：
(12)
其中：
，f(xk)是形如式(9)的变论域模糊控制器。
证明 先定义如下一组算子：
(13)
于是，
进一步，得：
(14)
由式(11)得：
(15)
由式(13)式得：
(16)
由式(15)可得：
(17)
又有：
根据文献[19]单变量线性插值结论，有
同理，
于是，
证毕。
由于式(10)的条件容易满足，形如图1的模糊集即可使之成立。在式(11)中，g(xk)是已知的目标函数，
和是必须给定的一组伸缩因子，
是形如图1所示模糊集的中心。因此，变论域模糊控制器的设计参数(j=1，2，…，m)完全可以通过式(11)确定。
另外，由式(12)可知，形如式(9)的变论域模糊控制器是一个具有二阶精度的逼近器。当给定精度ε→0，则必须hi→0。但是，hi→0则意味着所需规则数量为无穷大。这在实际工作中是无法实现的。因此，在选取精度ε，必须在逼近精度与规则数量之间取得折中。
定理1 对于任意采样步k=0，1，2，…，记εk= 
。若
，则
(18)
其中：σ是一个充分小的正参数(见式(4)和(5))。
证明：根据引理1可得：
(19)
由式(4)，有：
，i=0，1，2，…，n
当，可得：
(20)
于是，式(18)立即可得。
证毕。
定理1表明变论域模糊控制器的逼近误差是收敛的。这是因为σ是1个充分小的正数，
和hi 均是有限数，
也是一个充分小的正数。因此，当xk接近平衡点时，变论域模糊控制器的逼近精度相当高。只要σ取得足够小，逼近精度就会收敛到足够高。这从函数逼近的角度解释变论域模糊控制器具有高精度的原因。
3 充分条件
前面已证明变论域模糊控制器是在整个时域上是万能逼近器。但是，这个结论只能说明变论域模糊控制器具备以任意精度逼近任意连续实函数的能力，并没有讨论以下问题：如果给定一个已知的非线性函数g(x)和精度ε，那么，如何划分论域以满足精度ε有待研究，这个问题通常称为寻找模糊控制器作为逼近器的充分条件。因为充分条件能够指导论域的划分，可避免传统方法凭主观臆断划分论域的弊端，所以，解决这个问题比证明万能逼近性更有意义。
定理2 假设初始论域
，且论域边界满足
(i=0，1，2，…，n)，输入模糊集
的中心
(j=1，2，…，m)均匀地分布于
。若给定逼近精度ε，则存在形如式(9)的变论域模糊控制器使
，输入论域划分数为
(21)
其中：int为取整函数。
证明 首先，定义hi=。
因为论域被平均划分，所以可得：
令h=h1，于是，有M=U/h。
为保证给定的精度ε，根据引理1，M应该满足：
(22)
根据式(4)和边界条件，易得
(k=1，2，3，…)。所以，式(21)是成立的充分条件。
证毕。
对于MISO模糊控制器，每个变量对应的模糊集合数等于其论域划分数M加1。若记所需规则数为mr，则mr=(M+1)n，n为输入变量个数。
式(21)作为逼近器的充分条件，它具有保守性，即用此方法得到的实际逼近精度要高于给定精度ε。若系统渐近稳定，则可知当系统进入稳态后，有
，那么，
。因此，在系统平衡点邻域内，实际逼近精度要远高于给定精度ε。
4 数值实例
在论域U=[-3.64，3.64]上设计一个变论域模糊控制器f(xk)以逼近函数
(23)
使其精度ε=0.2，即
。
对于函数g(xk)，有
根据式(21)，可取M=13，即当U被划分为14个模糊集合时，ε=0.2成立。于是，取-3.64，-3.08，-2.52，-1.96，1.40，-0.84，-0.28，0.28，0.84，1.40，1.96，2.52，3.08和3.64作为输入模糊集
的中心，相应的隶属函数定义如下：
取伸缩因子
由式(10)和(12)可得变论域模糊控制器表达式为：
(24)
在上述条件下，若令
，则可得一种静态论域模糊控制器，它的表达式为：
(25)
并令误差函数
，
，通过计算机数值模拟，得到函数g，f1和f2曲线如图2所示，h1和h2的曲线如图3所示。
图2 函数g，f1和f2的曲线对比
Fig.2 Curve contrast of g, f1 and f2
图3 误差函数h1和h2的曲线对比
Fig.3 Curve contrast of h1 and h2
由图2和3可见：f1和f2在整个论域U=[-3.64，3.64]上均满足给定的精度ε=0.2，但是，f1比f2更逼近目标函数g。在平衡点(x=0)附近，f1式的优势特别明显，可看到f1与g重叠，这说明逼近误差在平衡点收敛于0。因此，若把g(xk)看作某最优控制器的控制律，则变论域模糊控制器在平衡点附近可完全等效于这个最优控制器，而论域固定的传统模糊控制器不能达到这个效果。另外，图3表明变论域模糊控制器在整个论域上的实际逼近精度约为0.095，常规模糊控制器的实际逼近精度约为0.178，前者比后者高出87.4%。因为给定精度ε=0.2，以上数据验证式(21)确实是一个充分条件，即定理2具有保守性。
5 结论
(1) 证明变论域模糊控制器的逼近误差是收敛的，从而得出它在整个时域上是一种万能逼近器的结论。这个结论表明变论域模糊控制器具备以任意精度逼近最优控制器的能力。
(2) 给出变论域模糊控制器作为逼近器的充分条件。根据此充分条件，可得到各个论域的模糊划分数。由模糊划分数则可得出模糊集合数和所需规则数。
参考文献：
[1] 李洪兴. Fuzzy控制的本质与一类高精度Fuzzy控制器的设计[J]. 控制理论与应用, 1997, 14(6): 868-872.
LI Hong-xing. Essence of fuzzy control in mathematics and design on a class of high-accuracy fuzzy controller[J]. Control Theory & Applications, 1997, 14(6): 868-876.
[2] 李洪兴. 变论域自适应模糊控制器[J]. 中国科学: E辑, 1999, 29(1): 32-42.
LI Hong-xing. Adaptive fuzzy control based on variable universe[J]. Science in China: Series E, 1999, 29(1): 32-42.
[3] 李洪兴, 苗志宏, 王加银. 非线性系统的变论域稳定自适应模糊控制[J]. 中国科学: E辑, 2002, 32(2): 211-223.
LI Hong-xing, MIAO Zhi-hong, WANG Jia-yin. Variable universe stable adaptive fuzzy control of nonlinear system[J]. Science in China: Series E, 2002, 32(2): 211-223.
[4] LI Hong-xing, MIAO Zhi-hong, WANG Jia-yin. Variable universe adaptive fuzzy control on the quadruple inverted pendulum[J]. Science in China (Series E), 2002, 45(2): 213-224.
[5] WANG Li-xin, Mendel M. Fuzzy basis functions, universal approximation, and orthogonal least-squares learning[J]. IEEE Transactions on Neural Networks, 1992, 3(5): 807-814.
[6] ZENG Xiao-jun, Singh M G. Approximation theory of fuzzy systems- MIMO case[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 1995, 3(2): 219-235.
[7] LI Yong-ming, SHI Zong-ke, LI Zhi-hui Approximation theory of fuzzy systems based upon genuine many-valued implications-MIMO cases[J]. Fuzzy Sets and Systems, 2002, 130(2): 159-174.
[8] Castro J L. Fuzzy logic controllers are universal approximators[J]. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, 1995, 25(4): 629-635.
[9] Yeh C T. Weighted trapezoidal and triangular approximations of fuzzy numbers[J]. Fuzzy Sets and Systems, 2009, 160(21): 3059-3079.
[10] Mohiuddine S A. Some new results on approximation in fuzzy 2-normed spaces[J]. Mathematical and Computer Modeling, 2011, 53(5/6): 574-580.
[11] WANG Jiang, SI Wen-jie, LI Hui-yan. Robust ISS-satisficing variable universe indirect fuzzy control for chaotic systems[J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2009, 39(1): 28-38.
[12] YING Hao, DING Yong-sheng, LI Shao-kuan, et al. Comparison of necessary conditions for typical Takagi-Sugeno and Mamdani fuzzy systems as universal approximators[J]. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics Part A, 1999, 29(5): 508-514.
[13] LI De-chao, SHI Zhong-ke, LI Yong-ming. Sufficient and necessary conditions for Boolean fuzzy systems as universal approximators[J]. Information Sciences, 2008, 178(2): 414-424.
[14] LIU Pu-yin, LI Hong-xing. Hierarchical TS fuzzy system and its universal approximation[J]. Information Sciences, 2005, 169(3/4): 279-303.
[15] YING Hao. Sufficient conditions on general fuzzy systems as function approximators[J]. Automatica, 1994, 30(3): 521-525.
[16] YING Hao. Sufficient conditions on uniform approximation of multivariate functions by general Takagi-Sugeno fuzzy systems with linear rule consequents[J]. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics Part A, 1998, 28(4): 515-520.
[17] ZENG Ke, ZhANG Nai-yao, XU Wen-li. Comparative study on sufficient conditions for Takagi-Sugeno fuzzy systems as universal approximators[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2000, 8(6): 773-780.
[18] 王立新. 模糊系统与模糊控制教程[M]. 北京: 清华大学出版社, 2003: 91-96.
WANG Li-xin. A course in fuzzy systems and control[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2003: 91-96.
[19] Powell M J D. Approximation theory and methods[M]. New York: Cambridge University Press, 1981: 245-246.
(编辑 邓履翔)
收稿日期：2011-09-29；修回日期：2011-12-20
基金项目：国家自然科学基金资助项目(61074069)；湖南省科技计划项目(2011FJ309)；衡阳师范学院科学基金启动项目(11B40)
通信作者：龙祖强(1974-)，男，湖南湘乡人，副教授，博士，从事模糊系统理论及应用研究；电话：13723840306；E-mail：dragon51@126.com
