DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2016.04.033

非弹性结构随机地震反应及概率位移需求分析实用方法

尹犟¹，周先雁¹，易伟建²，陈伯望¹，段绍伟¹

 (1. 中南林业科技大学 土木工程与力学学院，湖南 长沙，410004；

2. 湖南大学 土木工程学院，湖南 长沙，410000)

摘要：探讨常规Pushover分析法的优劣，介绍改进后的模态Pushover分析法(即改进MPA法)。基于概率统计理论和Pushover分析法的基本思想，分别推导2种分析多自由度结构非弹性随机地震反应和概率位移需求的实用方法。方法Ⅰ采用常规POA方法将多自由度结构等效为单自由度体系，而方法Ⅱ则主要基于改进的 MPA法。研究结果表明：采用方法Ⅰ估计所得结构顶点位移需求概率接近Monte Carlo数值模拟结果，采用方法Ⅱ估计所得结构层间位移需求概率与概率IDA法的分析结果基本吻合。这2种方法具有准确、高效且便于操作的优点，与大量非线性时程分析为基础的数值方法相比，其复杂程度低，运算效率高。

关键词：非弹性结构；随机地震反应；概率地震需求；位移需求

中图分类号: TU311.3；TU375.4             文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2016)04-1338-08

Practical method for random seismic response and probabilistic displacement demand analysis of inelastic structures

YIN Jiang¹, ZHOU Xianyan¹, YI Weijian², CHEN Bowang¹, DUAN Shaowei¹

(1. College of Civil Engineering and Mechanics,

Central South University of Forestry and Technology, Changsha 410004, China;

2. College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410000, China)

Abstract: The benefits and limitations of conventional Pushover analysis(POA) method was studied, and the basic procedure of an improved modal pushover analysis (MPA) method was proposed. Based on probability statistical theory and the baisic principle of Pushover analysis method, two kinds of practical methods were proposed for analyzing random seismic response and probabilistic displacement demand of multi-degree-of-freedom inelastic systems. For the proposed methodⅠ, the multi-degree-freedom structure is equivalent to a single-degree-freedom system by using the conventional POA method. For the proposed method Ⅱ, the improved MPA method was used. The results show that the probabilistic demands of roof displacement obtained from proposed method Ⅰare very close to that from Monte Carlo method, and the probabilistic demands of inter-story drift derived from the proposed method II are basically close to those from the probabilistic IDA (incremental dynamic analysis) method. The recommended practical methods are accurate, efficient and easy to operate, and its complexity and calculation work are far less than those of numerical methods based on a large number of non-linear time-history analysis.

Key words: inelastic structures; random seismic response; probabilistic seismic demand; displacement demand

作为世界地震工程领域的权威研究机构，美国太平洋地震工程研究中心(PEER)认为^[2]，基于性能的抗震工程(performance-based seismic engineering，PBSE)理论应以概率可靠度为基础，其最终分析结果应表述为某个决策变量D_V超越某一期望值的概率。由于抗震工程领域存在众多不确定因素，决策变量D_V显然是1个随机变量。目前估计结构的随机地震反应可基于2类方法，即蒙特卡罗(Monte Carlo)数值模拟^[3]和随机振动理论。Monte Carlo数值模拟适用性广泛，但其分析效率很低。随机振动方法不需要重复进行繁琐的数值模拟，然而，目前这类方法大都用于分析线弹性结构的随机地震反应^[4-5]，仅在少数情况下适用于非线性结构体系^[6-7]，且其误差通常很难估计。与传统的抗震理念不同，PBSE理论更重视结构在强震作用下的最大非线性位移反应，即结构的位移需求^[9-11]。为此，本文作者将Pushover分析(Pushover analysis，POA)方法、随机振动理论、概率论以及数理统计方法有机地结合起来，在文献[1]的研究基础之上，建议几种高效而实用的方法，用于估计多自由度体系(MDOFS, multi-degree-of-freedom systems)结构在强震作用下的随机位移反应和概率位移需求。

1  改进的Pushover分析方法

确定MDOFS结构在强震下的非线性地震需求往往要借助于非线性动力时程分析，该方法建模复杂，运算成本高。近年来，出现一类确定结构非弹性地震响应的近似方法，即POA方法^[12-13]。这类方法计算简便且精度较高，在抗震领域得到广泛应用。

本文开发的实用概率方法借助POA方法的一些基本假定，将复杂MDOFS结构等效为1个单自由度体系SDOFS(single-degree-of-freedom system)，因而其准确性必然会受到POA方法自身精度的影响。研究表明^[14]，常规POA方法根据结构的一阶弹性振型确定水平加载模式和形状向量，主要适用于地震反应以一阶振型为主的结构。为扩大POA方法的应用范围，一些学者^[15-16]对其进行了改进，其中比较有代表性的是模态Pushover分析(MPA，modal Pushover analysis)方法^[17-18]和自适应Pushover分析 (APA，adaptive pushover analysis)方法^[19-20]。MPA方法可同时考虑结构多阶振型响应，显著提高了对结构顶点位移需求的估计精度，但对结构楼层或层间位移需求估计结果仍然偏低。APA方法要求在每一加载步之后对结构进行1次振型分析，并根据振型分析结果实时调整结构进入非线性状态之后的刚度矩阵和水平加载模式。该方法虽然精度很高，但其计算极繁琐，在实际工程中应用受到限制。毛建猛等^[21]分析了MPA方法和APA方法各自的优点和局限性，提出一种改进的MPA方法。该方法明显提高了对结构层间及楼层位移的估计精度，且计算工作量远比APA方法的小，是一种准确高效的POA方法。

综合考虑计算效率和准确性，开发实用概率方法主要基于常规POA和改进MPA方法进行SDOFS等效。与常规POA方法不同，改进MPA方法^[22]首先明确定义了结构屈服点，并以结构的屈服点为界，采用修正的振型(并非弹性振型)荷载模式分2个阶段对其进行Pushover分析。另外，改进MPA方法基于修正后的形状向量将多自由度结构等效为单自由度体系，并据此换算结构的楼层(或层间)位移。具体操作步骤如下。

1) 建立结构分析模型，确定结构各构件关键截面的弯矩-曲率恢复力模型。

2) 通过模态分析得到结构各项弹性动力特征参数(如基本周期T、质量矩阵M、一阶弹性振型向量Φ₁等)。

3) 按一阶弹性振型荷载模式Mψ₁，对结构逐级水平加载。每步加载完成后，判断各构件是否屈服，并据此修改各构件及结构的刚度矩阵。加载直至结构倒塌(整体刚度矩阵det|K|＜0)或到达某一极限状态，绘出结构的基底剪力-顶点位移关系曲线，并根据等能量原理将其理想化为双折线，见图1。定义图1中的转折点为结构屈服点，该点分别对应结构基底剪力屈服值和顶点位移屈服值。

4) 提取结构屈服点处的质量、阻尼和刚度矩阵，再次对结构进行振型分析，获取其前几阶屈服振型和振型参与系数。

图1  结构屈服

Fig. 1  Structural yield

5) 重新按修正的振型荷载模式Mψ_i对结构进行Pushover分析。首先取M_i为结构第i阶弹性振型，一旦结构达到屈服点，则将其修正为第i阶屈服振型，并继续加载直至结构破坏。绘出按修正振型荷载模式加载所得结构前几阶基底剪力-顶点位移关系曲线(Pushover能力曲线)。

6) 设置形状向量初始值为结构的前几阶弹性振型，根据式(1)将原结构等效为几个单自由度体系。

        (1)

式中：参数ü_g 为地面运动加速度时程；M_i^*，C_i^*，Q_i^*和q_i分别为第i阶等效单自由度体系的质量、阻尼、恢复力及位移，计算式为

M_i^*=ψ_i^TMI；C_i^*=Γ_iψ_i^TCψ_i；

Q_i^*=ψ_i^TQ；q_i=u_ti/(Γ_iψ_1i)            (2)

ψ_i为结构的第i阶弹性或屈服振型向量，其取值取决于结构是否进入屈服状态；I为单位向量；M，C和Q分别为MDOFS结构的楼层质量矩阵、瑞利阻尼矩阵、楼层恢复力向量；u_ti为第i阶结构顶点位移；φ_1i为第i阶结构顶点振型位移；Γ_i为第i阶振型参与系数，Γ_i=ψ_i^TMI/(ψ_i^TMψ_i)。

7) 根据非线性动力时程分析方法，确定前几阶等效单自由度体系的地震位移需求S_di= max|q_i|，并基于式(3)将S_di转换为多自由结构的第i阶顶点位移需求D_ti。根据事先设定的形状向量，计算结构第i阶振型楼层位移需求和层间位移需求，并采用SRSS方法估计结构顶点位移、楼层位移和层间位移需求。

    (3)

                (4)

式中：S_i和S分别为结构的第i阶地震效应和前几阶地震效应组合值。

8) 若估计所得结构顶点位移需求小于其屈服值，则结构仍处于弹性状态，无需修正步骤6)和7)的分析结果。若不满足上述条件，则需将形状向量ψ_i设定为结构的第i阶屈服振型，并返回步骤6)开始重新迭代。

2  结构随机地震反应分析实用方法

地震工程领域存在很多不确定因素(如地面运动的强度、持时及特征等)，这些因素都会对结构的随机地震反应产生影响，因此，结构的最大非弹性位移反应即结构的非弹性位移需求必然是1个随机变量。随机分析的核心任务是确定随机变量的前2阶统计量，即均值和方差，而结构的非弹性位移需求又是PBSE理论关注的重点，因此，开发的实用方法主要用于估计MDOFS结构非弹性位移需求的均值和方差。从理论上讲，结构地震反应的随机性不仅来源于地震动，而且与结构计算模型的不确定性有关，如结构质量、阻尼、刚度、强度等。由于这些因素的影响通常较小^[23-24]，本文仅考虑地震动随机性对结构位移需求的影响。

文献[1]基于一种改进的随机地震动模型确定了平稳化地震随机激励作用下SODFS位移需求S_dp的条件概率分布函数，其先决条件为我国GB 50011—2010“建筑抗震设计规范”规定的场地类别和地震分组。对上述概率分布函数求导即为S_dp的条件概率密度函数：

        (5)

式中：和分别为SDOFS非弹性位移需求和弹性加速度需求的条件概率密度函数，计算方法见文献[1]；S_dp，A_y和T分别为SDOFS的非弹性位移需求(随机变量)、屈服位移、特征周期；c为强度折减系数-延性系数 (R-μ关系)回归方程中的系数。确定了S_dp的条件概率密度函数后，运用数理统计方法即可求得S_dp的均值和标准差，

         (6)

     (7)

式中：m_dp和σ_dp分别为SDOFS弹塑性位移需求S_dp的均值和标准差。实际计算时，可以将连续的随机变量S_dp离散化，分成n个小区间，然后以求和代替积分进行数值计算。

考虑到真实的结构大都为多自由度体系(MDOFS)，而MDOFS结构的随机地震反应分析无论是理论分析还是计算均十分复杂。本文在文献[1]的研究成果基础上，结合常规POA方法和改进MPA方法，建议2种实用估计方法，用于准确、高效地估计MDOFS结构非弹性位移需求均值和标准差。

1) 建议方法Ⅰ：① 采用与结构第一阶弹性振型成比例的荷载模式，按常规POA方法对结构进行推覆分析；② 获得结构基底剪力-顶点位移关系曲线后，按弹性振型将原结构等效为一单自由度体系；③ 根据式(6)和式(7)计算等效SDOFS位移需求的均值和标准差，并按式(3)将其转换为MDOFS结构顶点位移需求的均值和标准差；④ 根据所选形状向量(一阶弹性振型)将结构顶点位移需求统计值折算为楼层或层间位移需求的统计值。

2) 建议方法Ⅱ：① 按改进MPA方法的操作步骤对结构进行推覆分析；② 获得结构基底剪力－顶点位移关系曲线后，按修正振型将原结构等效为单自由度体系；③ 根据式(6)和(7)计算等效SDOFS位移需求的均值和标准差，并按式(3)将其转换为MDOFS结构顶点位移需求的均值和标准差；④ 根据修正的形状向量(修正振型)将结构顶点位移需求统计值折算为楼层或层间位移需求的统计值。

3  结构概率位移需求实用估计方法

概率地震需求分析的主要任务是评估结构的地震需求参数P_ED在某一时间内超过一定限值p_ed的概率，属于PBSE理论框架中的核心组成部分。

     (8)

式中：O表示结构选址的先决条件，包含场地的位置、地质条件等因素；D表示结构设计方面的先决条件；I_M为地震动强度指标，受到地震动强度、特征及结构特性等因素的综合影响。为I_M的条件概率；为在给定O和D的先决条件下，P_ED超过限值p_ed的条件概率；为在给定I_M的先决条件下，P_ED超过限值p_ed的条件概率。式(8)所示概率方程的形式也是美国太平洋地震工程研究中心(PEER)推荐的表达方式。P_ED可以是局部参数，如构件的力和变形；也可以是全局参数，如结构的顶点、楼层或层间位移需求。

显然，地震需求参数P_ED是1个随机变量，其不确定性不仅来自于地震动，而且受到结构模型中众多不确定性因素的影响。由于结构模型的不确定性通常影响较小^[23-25]，本文研究不予考虑。

对于确定性的SDOFS，文献[1]确定了其位移需求的条件概率分布模型，其先决条件为GB 50011—2010“建筑抗震设计规范”规定的场地类别和地震分组，为

   (9)

式中: 为SDOFS非弹性位移需求的条件概率分布函数；为SDOFS弹性加速度需求的条件概率分布函数。无论是在给定强度的地震动作用下，还是在50 a设计基准期内，均可由式(9)计算SDOFS在某一超越概率下的位移需求。

考虑到真实的结构大都为MDOFS，且MDOFS结构概率地震需求分析的复杂程度远比单自由度体系的高。本文建议如下实用方法估计MDOFS结构的概率位移需求，即建议方法III。研究表明^[14]，虽然常规POA方法对结构楼层或层间位移需求的估计误差偏大，但该方法对结构顶点位移需求的估计精度尚可。由于本文算例仅涉及结构的顶点位移需求，为了简化分析，建议方法III基于常规POA方法对MDOFS结构进行等效，具体操作步骤如下。

1) 基于常规POA方法将MDOFS结构等效为1个SDOFS。

2) 对于一定的超越概率F，根据式(9)分2类情况估计等效SDOFS的位移需求S_dp。

① 对于地震动强度确定的情况，将式(9)右边的函数关系取为文献[1]中式(19)；

② 在50 a设计基准期内，将式(9)右边的函数关系取为极值Ⅱ型分布，见文献[1]。

求得超越概率为F的SDOFS位移需求S_dp后，根据改进MPA方法的操作步骤7)，即可将其还原至超越概率为F的MDOFS结构的顶点位移需求D_F。另一方面，将S_dp除以SDOFS屈服位移x_y便获得超越概率F对应的位移延性系数，即μ=S_dp/x_y。

3) 根据一阶弹性振型(即常规POA法的形状向量)，将D_F折算为超越概率为F的MDOFS结构楼层或层间位移需求。

综上所述，按上述步骤可以方便地确定任意超越概率F对应的MDOFS结构的顶点、楼层或层间位移需求。另一方面，逆序执行上述步骤亦可确定与一定位移或延性需求值相应的超越概率F。

为了评估建议方法III的估计精度，下面算例同时列出概率增量动力分析的结果以进行比对。增量动力分析(incremental dynamic analysis，IDA)方法在抗震工程领域得到了广泛运用^[25-26]。对于结构的概率地震需求分析，可采用如下方法建立概率IDA曲线：① 合理选择结构的关键地震需求参数P_ED即某种最大地震反应量，如最大顶点位移；② 合理选择某个参数作为地震动的强度指标I_M，如地面运动峰值加速度A_PG；③ 按地震动强度指标逐步增大地面运动加速度记录的强度，对结构进行动力时程分析确定每个地震动强度水平对应的P_ED；④ 绘出I_M和P_ED之间的关系曲线即为IDA曲线；⑤ 重复步骤①~④，并对所获大量离散IDA曲线进行统计分析，就能确定结构在任意超越概率F下的IDA曲线即概率IDA曲线。概率IDA方法是一种较精确的方法，但因其计算工作量十分庞大，实际应用受到限制。

4  算例分析

为评估本文建议实用方法的准确性，选择2个框架结构算例进行数值验证。

4.1  结构模型

结构I：3跨7层框架结构，8度抗震设防区(0.3g)、Ⅱ类场地(第2设计分组)。该框架单跨6 000 mm，底层层高4 200 mm，标准层层高3 600 mm。梁、柱混凝土为C30级，纵筋为HRB335级，箍筋为HPB300级，梁、柱截面及配筋参数见表1，楼面及屋面荷载布置见图2。

分别按常规POA 方法(弹性振型荷载模式)及改进MPA方法(修正振型荷载模式)对算例结构进行Pushover分析。图3所示为结构的一阶Pushover能力曲线。基于等能量原理^[19]将其理想化为双折线之后，可将原框架结构分别等效为如下2个单自由度体系。

等效SDOFSⅠ：屈服强度为564 kN，屈服位移为52 mm，振型参与系数参与系数为1.29，等效质量为430.800 t。

等效SDOFSⅡ：屈服强度为514 kN，屈服位移为47 mm，振型参与系数为1.38，等效质量为385.900 t。

结构Ⅱ：单层单跨框架结构，8度抗震设防(0.2g)，场地类别为Ⅱ类。将其成阻尼比为0.05的单自由度体系，等效质量为200.000 t，弹性周期为1.0 s，屈服强度为200 kN，采用双线性恢复力模型(屈服后刚度系数取0.05)。

4.2  本构关系及计算方法

采用纤维梁、柱单元模拟梁柱端部截面的弯矩-曲率(转角)非线性关系，指定钢筋及混凝土纤维的材料本构如下：1) 采用Kent-Park模型^[27-28]模拟梁端混凝土的应力-应变关系骨架曲线；2) 采用改进后的Kent-Park模型^[28-29](即Park模型)模拟柱端混凝土的应力-应变关系骨架曲线；3) 混凝土应力-应变滞回关系采用顶点导向型，见图4(a)；4)钢筋应力-应变骨架曲线采用弹性-强化型，滞回关系为双线性，见图4(b)。

结构的振型分析、Pushover分析及动力时程分析均采用美国南加州大学伯克利分校开发通用有限元分析程序OpenSees完成，动力时程分析的积分步长取为地面运动记录时间步长的1/4，采用Newmark方法进行数值计算。

自行编写Matlab程序完成等效SDOFS的非线性动力时程分析，其恢复力模型为双线性(屈服后刚度系数α=0.05)，见图4 (b)。

4.3  分析结果及讨论

4.3.1  随机地震反应分析

分别采用建议方法I，Ⅱ和Monte Carlo数值方法，对7层框架结构算例进行随机地震反应分析。分析中考虑2种情况: 工况1(8度罕遇地震作用下，A_PG=5 100 mm/s²)和工况2 (50 a设计基准期内)。数值模拟采用如下步骤进行。

图2  7层框架楼层受力简图

Fig. 2  Loading diagrams of 7-storey frame structure

表1  7层框架梁柱尺寸及配筋面积

Table 1  Geometrical properties and reinforcements schedule for beam and column of 7-storey frame

图3  7层框架1阶能力曲线

Fig. 3  1st order capacity curves of 7 storeys frame

工况 1：将所选Ⅱ类场地第2组共52条地面加速度记录(文献[1]中表2)，统一缩放至A_PG=5 100 mm/s²，逐条输入缩放后的加速度记录进行结构动力时程分析，统计分析全部时程分析结果即可得到算例结构最大位移反应(位移需求)的均值和标准差。

工况 2：由反函数法按极值Ⅱ型分布对A_PG进行1 000次随机抽样，将所选Ⅱ类场地第2组共52条地面加速度记录(文献[1]中表2)，统一缩放至每个A_PG抽样值；逐条输入缩放后的加速度记录进行结构动力时程分析，统计分析全部时程分析结果即可得到算例结构位移需求的均值和标准差。表2所示为数值方法和建议方法的计算结果。

由表2可知：建议方法Ⅰ对顶点位移需求的估计误差较小，未超过8%；但对层间位移需求标准差的估计误差却达20%左右，显得有些偏大。究其原因在于建议方法Ⅰ采用常规POA方法对MDOFS结构进行等效，而常规POA方法假定结构地震反应始终与一阶弹性振型相关，这种近似假定对于准确估计结构的顶点位移需求影响有限，但就估计结构的楼层或层间位

图4  混凝土和钢筋的材料本构

Fig. 4  Constitutive relationship of concrete and bare

表2  7层框架顶点位移需求和层间位移需求的统计参数

Table 2  Statistical parameters of roof displacement demands and inter-story drift demands for 7-story frame

移需求而言，其影响程度不容忽视。

与建议方法Ⅰ不同，建议方法Ⅱ基于改进MPA方法将MDOFS结构等效为SDOFS，在一定程度上考虑了结构屈服后动力特性的改变，显著提高了对于结构最大层间位移的估计精度(均值和标准差估计误差均能控制在10%左右)，完全可满足工程应用的需要。

4.3.2  概率位移需求分析

在每个地震动强度(A_PG)水平处，按建议方法III计算2个框架结构算例(结构Ⅰ和结构II )超越概率分别为2%，50%和98%的顶点位移需求，计算结果见图5中实线。与此同时，采用52条地面加速度记录(详见文献[1]中表2)分别对2个框架结构算例进行IDA分析，分析结果见图5中点划线。对全部点划线进行统计分析即为结构顶点位移需求的概率IDA曲线，见图5中虚线。图5所示计算结果表明：建议方法误差较小，其分析曲线与概率IDA曲线较吻合。

采用建议方法III计算50 a设计基准期内，2个框架结构算例顶点位移需求的概率分布函数。为验证本文方法的准确性，采用Monte Carlo数值方法对建议方法III的计算结果进行验证。具体实施步骤如下：1) 首先根据50 a设计基准期内A_PG的概率分布函数(极值II型)，由反函数法生成一组A_PG抽样数据(1 000个)；2) 将文献[1]表2中Ⅱ类场地第2组52条地面运动记录缩放至每个A_PG抽样值；3) 采用缩放后的每条地面运动记录对结构Ⅰ和结构Ⅱ进行动力时程分析，并对时程分析所得结构顶点位移需求进行统计分析获得其经验概率分布函数。研究结果表明：本文建议方法与Monte Carlo数值方法的分析结果较吻合，但计算工作量远比Monte Carlo数值模拟的工作量小。

图5  结构顶点位移需求的概率IDA曲线

Fig. 5  Probabilistic IDA curves of roof displacement demands for structures

5  结论

1) 常规POA方法对结构楼层和层间位移的估计误差偏大，但对于规则框架结构顶点位移的估计精度仍在工程许可的范围内。改进MPA方法以结构屈服作为分界，考虑结构屈服后动力特性的改变，分2阶段对结构进行推覆分析，对结构楼层及层间位移需求的估计精度大大提高，且计算工作量远比ASPA方法的小，是一种准确、高效的POA方法。

2) 基于SDOFS地震需求的概率分布函数和概率位移谱，结合POA方法和随机振动理论，建议2种用于估计MODFS结构随机地震反应的实用方法，该方法效率较高，精度满足工程运用的要求。

3) 建议一种估计非弹性MODFS结构概率位移需求的实用方法。该方法无需进行复杂的MODFS结构动力时程分析，完全采用解析方法基于理论模型估计非弹性MODFS结构的概率位移需求，估计结果和概率IDA法的分析结果较吻合，但复杂程度以及运算成本远比概率IDA方法的小。

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(编辑  陈灿华)

收稿日期：2015-04-10；修回日期：2015-06-12

基金项目(Foundation item)：国家林业公益性行业科研专项基金资助项目(201304504)；国家自然科学基金资助项目(51178175，51204215)；湖南省自然科学基金资助项目(13JJ5027)；教育部高等学校博士学科专项科研基金资助项目(20124321120006)(Project (201304504) supported by the National Forestry Science Research; Projects (51178175, 51204215) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (13JJ5027) supported by the Natural Science Foundation of Hunan Province; Project (20124321120006) supported by Research Fund for the Doctoral Program of Higher Education of China)

通信作者：周先雁，教授，从事工程抗震研究；E-mail：yinjiang2013@outlook.com