DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2015.05.041
基于改进随机地震动模型的概率反应谱
尹犟1，周先雁1，易伟建2，陈伯望1，段绍伟1
(1. 中南林业科技大学 土木工程与力学学院，湖南 长沙，410004；
2. 湖南大学 土木工程学院，湖南 长沙，410082)
摘要：结合我国现行抗震规范(GB 50011—2010)，给出一种改进随机地震动模型的相关参数。推导单自由度体系(SDOFS)弹性加速度需求的条件概率模型，进而建立弹性SDOFS的概率加速度需求谱以及概率位移需求谱。在此基础上，据强度折减系数R与延性系数μ之间的关系，确定SDOFS非弹性位移需求的条件概率分布函数，进而运用随机振动理论和概率方法，建立非弹性SDOFS在给定强度地震作用下及50 a设计基准期内的概率位移需求谱。从美国太平洋地震工程研究中心收集大量实测地震记录，基于大量SDOFS动力时程分析的统计结果，对本文方法所得的理论结果进行Monte Carlo数值验证。研究结果表明：该理论方法准确、合理，且计算效率高。
关键词：概率谱；非弹性位移；地震需求；条件概率分布；随机地震动模型
中图分类号：TU311.3；TU375.4 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2015)05-1876-10
Probability response spectrum based on improved stochastic model for earthquake ground motion
YIN Jiang1, ZHOU Xianyan1, YI Weijian2, CHEN Bowang1, DUAN Shaowei1
(1. College of Civil Engineering and Mechanics, Central South University of Forestry and Technology,
Changsha 410004, China;
2. College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)
Abstract: The parameters of an improved stochastic model for earthquake ground motion were determined according to current seismic code (GB 50011—2010),the conditional probability model of elastic acceleration demand was deduced for SDOF system, and the probability spectrum of displacement demand and acceleration demand were established. Considering the relationship between the strength reduction factor R and the ductility factor μ, the conditional probability distribution function was derived for non-linear displacement demand of SDOF system. Then according to the random vibration theory and probabilistic methods, the probability displacement spectrum was established for inelastic SDOF system under given earthquake intensity or in 50 years design reference period. Using the ground motion records collected from U.S. Pacific Earthquake Engineering Research Center, dynamic time-history analyses of SDOF system were carried out, and the statistical results of time-history analyses were compared with the theoretical solutions to verify their accuracy. The results show that the theoretical method is accurate, reasonable, and the efficiency in computation is high.
Key words: probability spectrum; non-elastic displacement; seismic demand; conditional probability distribution; stochastic model for earthquake ground motion
20世纪90年代美国学者首先提出了基于性能的抗震工程(performance-based seismic engineering, PBSE)这一全新理念，随后各国学者对其进行了研究[1-2]。作为世界地震工程领域的权威机构，美国太平洋地震工程研究中心(PEER)对PBSE理论进行了系统研究后指出，由于结构抗震领域存在众多不确定因素(如地震强度、结构反应等)，PBSE理论应以概率可靠度为基础[3]。与传统的抗震理念不同，PBSE理论非常重视结构在强震下的非弹性位移需求即结构的最大位移反应。在这一背景下，近年来各种非弹性位移谱已成为世界地震工程领域的研究热点[4-5]。Hatzigeorgiou[4]基于多组近场和远场地震记录，定量地研究了地震层序对单自由度体系延性需求谱的影响。Athanassiadou等[6]根据震级、震中距以及峰值地面加速度，将大量采自希腊的实测地面运动记录分为3组，验证了欧洲规范8中建议的弹性和非弹性位移设计谱，给出了位移设计谱修正系数的理论公式。吕西林等[7]研究了结构强度水平、周期、场地类别及设计分组等因素对结构延性需求的影响。Zhai等[8]研究了
效应对于等强度位移比谱的影响，发现效应的影响会随着延性系数的增大而越来越明显。然而，上述研究大都未结合当今PBSE理论的主流发展方向，即以概率可靠度理论为基础。易伟建等[9]建立了结构的随机延性需求谱，但其研究主要基于大量双线性单自由度体系的动力时程分析统计结果，无法与我国现行抗震规范GB 50011—2010(简称“抗震规范”)中给出的设计谱完全匹配。薛树则等[10]基于设计谱标定了Clough随机地震动模型中的相关参数，但仅研究了随机地震动模型本身及其参数，并未给出建立概率地震需求谱的相关方法。为此，本文作者结合我国现行抗震规范，确定一种改进随机地震动模型的相关参数，进而基于随机振动理论和概率方法，推导结构弹性及非弹性位移需求的条件概率分布函数，建立结构弹性及非弹性位移需求的条件概率谱。Monte Carlo数值验证结果表明：采用理论方法建立的位移需求概率谱与时程分析统计结果在0~6 s周期范围内吻合良好。
1 随机地震动模型的选择
抗震规范给出的设计谱来自于大量实测地震记录加速度反应谱的统计平均。从理论上讲，基于随机方法建立的加速度均值谱应与规范谱基本吻合。然而，研究[10-11]表明，基于经典随机地震动模型生成的加速度均值谱与规范谱并不能保持很好一致。为此，尹犟等[11]对经典随机地震动模型进行了改进，将谱适因子η(T)的概念引入其自功率谱密度函数表达式，力求能够在反应谱的每个周期点处对自功率谱密度函数进行调整，最终使按随机方法生成的加速度均值谱和规范谱保持一致。为充分说明改进随机地震动模型与抗震规范的适应性，本文列出部分基于改进模型建立的加速度均值谱建立方法[11-12]，并将其按地面加速度峰值APG进行规则化处理，见图1。为方便比较，图1同时列出规则化规范谱以及基于欧进萍等[13]建立的规则化加速度均值谱。
图1 采用随机方法建立的规则化(APG=1)加速度均值谱与规则化规范谱
Fig. 1 Normalized (APG=1) mean acceleration spectra derived from random method and seismic code
从图1可见：由于引入了谱适因子η(T)，基于改进随机地震动模型[11]建立的规则化加速度均值谱与规范谱在0~6 s周期范围内较吻合。为使本文理论研究成果和现行抗震规范之间保持良好的适应性，下面所推导的概率地震需求谱均建立在改进随机地震动模型[12]的基础之上，即
(1)
式中：
为平稳地面加速度时间历程ASG(t)的自功率谱密度函数；
为反映基岩特性的谱参数，可取为8π rad/s[11]；S0，
和
分别为谱强度因子(反映基岩地震动强弱程度)、地表覆土层阻尼比和卓越频率，取值见表1[11]；
为与结构特征周期T、场地类别、地震分组相关的谱适因子，为3次多项式。令=1，则式(1)即退化成欧进萍等[13]提出的平稳过滤有色噪声模型
：
(2)
式中：a1，b1，c1和d1为与结构特征周期T有关的系数。的具体取值见文献[11]。
2 弹性地震需求的条件概率分布及条件概率谱
线弹性单自由度体系(SDOFS)在平稳化地面加速度时程a(t)作用下的运动方程为
(3)
式中：
，
，U，
和
分别为线弹性SDOFS的阻尼比、特征频率、位移、速度和加速度。
由随机振动理论可知：
(4)
；
(5)
式中：
为SDOFS位移时变方差；
为SDOFS位移的演化谱密度函数；
为SDOFS平稳化地面运动加速度的功率谱密度函数；
为传递函数；h(t)为SDOFS的脉响函数。
根据动力学基本理论，小阻尼SDOFS加速度
与位移U(t)之间存在近似关系
，考虑到上述近似关系并由随机振动理论可知：
(6)
式中：
和
分别为SDOFS加速度和位移的时变方差。将式(6)代入式(4)，并在地震持时td范围内取平均可得:
(7)
式中：
为SDOFS的平稳化加速度方差；td为地震持续时间。地震引起的地面运动从严格意义上来讲是一种非平稳随机过程，为了简化分析，往往将其处理成平稳随机过程与1个和时间包络函数的乘积，即所谓均匀调制非平稳过程：
ANG(t)= g(t)ASG(t) (8)
式中：ANG(t)和ASG(t)分别为非平稳及平稳地面加速度时间历程；g(t)为时间包络函数，
(9)
ds为衰减系数；t1和t2分别为地震动平稳段起始时间和结束时间。上述参数与震级、震中距和场地条件相关，本文参照文献[11]的建议取值。
由随机振动理论可知，ANG(t)的方差
和ASG(t)的方差
之间存在如下关系：
(10)
定义平稳化地面加速度方差
为非平稳地面加速度方差在地震持时上的平均，即
(11)
(12)
式中：为平稳化地面加速度方差；M为平稳化系数，计算结果见表1。
由维纳-辛钦关系可知，平稳化地面加速度a(t)与平稳地面加速度ASG(t)的方差分别为
表1 改进随机地震动模型的参数
Table 1 Parameters of improved stochastic model for ground motion
(13)
式中：
和
分别为平稳化及平稳地面加速度随机过程的自功率谱密度函数。
综合考虑式(11)及式(13)可得
(14)
将式(5)，(14)和(1)依次代入式(7)，并变换积分顺序可得
(15)
式中：L为积分系数。对于小阻尼线性体系，L可参照文献[14]中的方法近似计算，即
(16)
考虑到式(6)近似关系，并由随机振动理论可知：
(17)
式中：
为SODFS的平稳化位移方差；为SODFS的加速度时变方差。
由随机极值理论[15]可知，线弹性SDOFS在平稳化地震随机激励a(t)作用下，其最大地震反应
的概率分布函数为
(18)
(19)
式中：和T分别为SDOFS的阻尼比、固有周期；
和分别为SDOFS的平稳地震反应
及最大地震反应；
；
和
分别为SDOFS地震反应及其时间导数的标准差；
为单边谱密度函数。
同理可知[14]，最大地震反应的均值
和方差
分别为
；
(20)
将SDOFS的地震反应取为位移U(t)或加速度，根据式(15)及式(17)求得
和之后，分别将其代入式(19)以替换该式右边的
，即可得到线弹性SDOFS加速度需求
及位移需求
的条件概率模型，其先决条件为抗震规范中给出的场地类型和设计地震分组。若先决条件确定，则可由该模型计算任意Sae和Sde对应的发生概率F；反之，亦可由该模型反算与任意发生概率F对应的Sae和Sde，即
(21)
在0~6 s周期范围内计算每个离散周期点Ti处的Sae(Ti)或Sde(Ti)，并将计算结果连成曲线即为给定条件的地震作用下线弹性SDOFS加速度需求或位移需求的条件概率谱Sae(T)和Sde(T)。图2仅列出了APG=1 m/s2时的部分计算结果。
3 非弹性位移需求条件概率谱
采用随机方法建立线弹性体系位移需求的条件概率谱，它对于求解结构在强震下的非弹性位移反应能力很弱。为此，本文作者力求建立与我国现行抗震规范相匹配的非弹性位移需求条件概率谱。
图2 线弹性单自由度体系加速度需求及位移需求的条件概率谱(APG=1 m/s2)
Fig. 2 Conditional probability spectra of acceleration and displacement demands for elastic SDOF system
参考规范要求制定表2所示阻尼比为5%的反应谱特征周期Tg分类分区表。Tg根据Vidic等[15]建议的公式计算，即
(22)
式中：APG和VPG分别为地面加速度和速度的峰值；系数ca为加速度控制区段的谱加速度与峰值地面加速度之比；系数cv为速度控制区段的谱速度与地面速度峰值之比，根据Vidic等[15]的研究成果，系数ca和cv可分别取为2.5和2.0。
从美国太平洋抗震研究中心的PEER强震数据库中收集大量实测地面运动加速度记录，并将收集到的实测地面运动加速度记录按表2进行归类，以便对按理论方法建立的概率谱进行数值验证。
本节未逐一列出表2中每一条地震记录的详细信息，如地震名、站台名、发震时间、地点、震中距、震源深度、峰值地面加速度、峰值地面速度等，具体见文献[12]。
3.1 非弹性位移需求的条件概率模型
有阻尼非弹性单自由度体系(SDOFS)在地面加速度作用下的运动方程为
(23)
式中：m和c分别为非弹性单自由度体系的质量和阻尼；x，
和
分别为体系的位移、速度和加速度；xg(t)为地面加速度时程；f(x)为恢复力函数。SDOFS的非弹性力恢复模型见图3。
求解式(23)所示动力方程可得SDOFS的非弹性位移需求Sdp及弹性地震力Fe。为使分析结果具有普遍意义，通常按照非弹性SDOFS的屈服位移xy以及屈服强度Fy进行归一化处理，得到2个量纲为1的参数
和R，即
；
(24)
式中：，xy，Sdp，R，Fe，Fy，Sae和Ay分别为SDOFS的延性系数、屈服位移、非弹性位移需求、强度折减系数、弹性地震力、屈服强度、弹性加速度需求、屈服加速度。
自20世纪70年代末以来，人们围绕R-μ-T关系进行了研究，取得一系列研究成果[7, 16-17]。Gillie等[16]
基于145条近场地面运动记录，分析了近场地震的 “震级”、“前方向性”等因素对强度折减系数R的影响，发现“前方向性”在周期T=0.5~3 s的范围内对R的影响较显著。Hatzigeorgiou[17]以100条地面加速度记录为输入，基于8 400个单自由度体系的非弹性时程分析结果，建议了由强度折减系数R确定单自由度体系延性需求μ的经验公式。该公式可考虑结构周期、场地条件、屈服后刚度以及黏性阻尼等因素的影响。吕西林等[7]基于641条地面加速度记录的时程分析统计结果，建议考虑场地类别和设计地震分组的R-μ-T关系回归公式。本文借鉴其研究成果，采用以下R-μ-T关系：
(25)
式中：c2为系数，
；a2和b2为回归系数，取值见文献[7]。
表2 各类地面加速度记录的数目及平均特征周期Tg
Table 2 Number and average characteristic period Tg of various classifications of ground acceleration records s
图3 SDOFS的非弹性恢复力模型
Fig. 3 Non-elastic restoration of SDOF system
由式(24)可知，结构的非弹性位移需求Sdp等于其屈服位移xy和延性系数的乘积，即：
。由结构动力学知识可知，SDOFS屈服位移和屈服加速度之间存在近似关系
。将xy表达式代入并联立式(24)和(25)可得
(26)
若强度折减系数R为常数，则在式(26)基础上，可得SDOFS非弹性位移需求的概率分布函数：
(27)
式中：
和
分别为SDOFS非弹性位移需求和弹性加速度需求的条件概率分布函数，其先决条件为抗震规范中给出的场地类型和设计地震分组。然而，式(27)仅具有理论意义，因为真实结构的屈服加速度Ay不可能与其弹性加速度需求Sae保持同比例变化，这意味着R=Sae/Ay实际上不可能为常数。对于确定性结构，其屈服强度Fy和屈服加速度Ay都是唯一确定的。在这种情况下，SDOFS非弹性位移需求的条件概率分布函数需要在式(26)的第2步等式的基础上进行推导，结果为
(28)
3.2 给定强度(APG)下SDOFS非弹性位移需求的条件概率谱
若地震动强度APG给定，则式(1)中的谱强度因子S0为定值。联立式(15)及式(19)即可确定Sae的条件概率分布函数及其统计参数。在此基础上，根据式(27)或式(28)即可计算任意非弹性位移Sdp对应的发生概率F。式(27)适用于强度折减系数R为常数的情况，而式(28)则适用于确定性的结构(屈服强度Ay为定值)。
另一方面，对于给定的发生概率F，亦可由式(27)或式(28)确定与之相应的非弹性位移Sdp。在每个离散的周期点Ti处计算Sdp(Ti)，并将计算结果连成曲线，即为给定条件下SDOFS的概率非弹性位移需求谱。图4所示为APG=1 m/s2、阻尼比为0.05时的计算结果。图4(a)所示对应于R为常数的情况，见式(27)；图4(b)所示对应Ay为定值的情况，见式(28)。
为检验上述理论方法的准确性，采用表2中Ⅱ类场地第2组共52条实测加速度记录对图4(b)所示理论结果进行数值验证。具体方法如下：将所有加速度记录统一缩放至APG=1 m/s2，以缩放后的每条记录为输入，对周期T=0~6 s、阻尼比=0.05、屈服加速度Ay=0.3 m/s2的SDOFS进行动力时程分析。在每个离散周期点Ti处对时程分析结果进行统计，计算某一超越概率对应的非弹性位移需求Sdp(Ti)，并将Sdp(Ti)连成曲线即为所求，见图4(b)。从图4(b)可见：对于确定性的结构，由理论方法建立的概率非弹性位移需求谱与时程分析统计结果较吻合。由于图4(a)对应的情况并无实际工程意义，本文不进行验证。
图4 给定强度地震作用下非弹性SDOFS位移需求的条件概率谱
Fig. 4 Conditional probability spectra for displacement demand of inelastic SDOFS under given earthquake intensity
3.3 50 a设计基准期内SDOFS非弹性位移需求的条件概率谱
SDOFS的弹性加速度需求Sae(T)可分解为峰值地面加速度APG和1个动力系数
的乘积。在50 a设计基准期内，APG和都是随机变量。APG的随机性来自于地震动强度的不确定性，而的随机性主要来自于地震动特征(如频谱、持时等)。地震工程学的一般观点[14]认为APG在设计基准期内服从极值Ⅱ型分布：
(29)
式中：FX(X)，CX(X)，VF和S分别为随机变量X的概率分布函数、超越概率、众值和形状系数。本文延用这一结论，并根据我国现行抗震规范中多遇、设防和罕遇(超越概率分别为63.2%，10.0%和2.0%~3.0%)三水准设防地震对应的APG，确定式(29)中的相关参数，见表3。
表3 地面运动加速度峰值APG的概率模型参数
Table 3 Parameters in probability model for peak acceleration of ground motion
如前所述，APG和的随机性分别来自完全不同的2个方面，不难判断APG和是2个相互独立的随机变量，因此，Sae在50 a设计基准期内的期望E(Sae)和方差D(Sae)可由下式计算：
(30)
(31)
式中：E(APG)和D(APG)分别为峰值地面加速度APG的均值和方差，可根据APG的概率密度函数(极值II型)以及表3所示概率模型参数，运用概率论方法确定，即
；
(32)
E(X)为随机变量X的均值；D(X)为随机变量X的方差；fx(X)为随机变量X的概率密度函数；
和
分别为动力放大系数的均值和方差，可令式(3)右边的地面运动加速度a(t)的峰值APG=1，然后根据式(20)计算。此时，需将式(20)右边的平稳化地震反应方差取为平稳化动力系数方差
。由随机振动理论可知，若令式(3)右边的地面运动加速度 a(t)的峰值APG=1，则根据式(15)计算所得的平稳化加速度方差即为。至此已完全确定式(30)和(31)右边的相关参数，据此可计算50 a设计基准期内SDOFS弹性加速度需求Sae的均值和方差。在此基础上，若进一步明确Sae的概率分布类型，即可完全确定其概率分布函数。研究表明[19-20]，确定性结构在设计基准期内的最大弹性地震作用服从极值Ⅱ型分布。对于质量确定的弹性SDOFS，这实际上意味着其加速度需求Sae服从极值Ⅱ型分布。本文对上述观点进行假设检验。具体方法如下：1) 根据不同的抗震设防烈度，按反函数法(极值Ⅱ型分布，参数见表3)对APG进行1 000次随机抽样；2)将表2中不同条件 (场地类别、设计分组)对应的各组地震记录逐一缩放至每个APG抽样值，并以此为输入对周期为0.1~6.0 s、阻尼为5%的SDOFS进行动力时程分析；3) 分析完成后，在每个周期点Ti处对SDOFS的弹性加速度需求Sae(Ti)进行置信度为0.05的KS检验。检验结果表明：在绝大多数情况下，Sae的确服从极值Ⅱ型分布，且其经验概率密度函数与理论模型较吻合。这里仅将列出部分比较结果，见图5。
图5 单自由度体系弹性加速度需求的条件概率密度函数
Fig. 5 Conditional probability density for elastic acceleration demand of SDOFS
至此已确定50 a设计基准期内Sae的条件概率模型，包括分布类型及参数。这样，根据式(27)或式(28)所示概率函数即可计算任意非弹性位移需求Sdp对应的发生概率F。式(27)适用于强度折减系数R为常数的情况，式(28)适用于确定性的结构(屈服强度Ay为定值)。另一方面，对于给定的发生概率F，也可由式(27)或式(28)确定与之相应的Sdp。在每个离散的周期点Ti处计算Sdp(Ti)，并将计算结果连成曲线即为50 a设计基准期内SDOFS非弹性位移需求的条件概率谱，其先决条件为抗震规范中给出的场地类型和设计地震分组。图6所示为8度抗震设防、Ⅱ类场地、第2设计分组、阻尼比为0.05时的计算结果，其中，图6(a)所示对应的条件为常数强度折减系数R，图6(b)所示对应的条件为定值屈服加速度Ay。
图6 50 a设计基准期内SDOFS非弹性位移需求的条件概率谱
Fig. 6 Conditional probability spectra for inelastic displacement demand of SDOFS in 50 years design reference period
为检验上述理论方法的准确性，采用表2中Ⅱ类场地第2组实测加速度记录对图6(b)所示理论结果进行Monte Carlo数值验证。具体方法如下：根据50 a设计基准期内APG的概率分布函数(极值Ⅱ型)由反函数法生成一组APG抽样数据，随后将所选分组中每条地震记录缩放至每个APG抽样值。采用缩放后的地震记录对周期T=0.1~6.0 s、阻尼比=0.05、屈服加速度Ay=0.3 m/s2的SDOFS进行动力时程分析，并在每个周期点Ti处对时程分析结果进行统计，进而得到某一超越概率下非弹性位移需求的条件概率谱，见图6(b)。显然，在50 a设计基准期内，超越概率分别为10%，50%和90%的SDOFS非弹性位移需求呈非对称分布。由理论方法得到的条件概率谱合理地体现了这种偏态分布特征，且与时程分析统计结果较吻合。
4 结论
1) 现行抗震规范中的设计谱取自大量实际加速度反应谱的统计平均。从理论上讲，采用随机方法建立的均值谱应与之基本吻合。本文将谱适因子引入随机地震动模型的自功率谱密度函数，以设计谱为均值意义上的基准，标定了改进随机地震动模型中的相关参数，并以此为基础确定了SDOFS弹性加速度需求的条件概率模型，进而建立了弹性加速度需求的条件概率谱(其先决条件为抗震规范中给出的场地类别和设计地震分组)。
2) 从非弹性SDOFS强度折减系数和延性系数之间的关系(即R-μ-T关系)出发，基于概率方法和结构动力学理论，通过间接方法确定了SDOFS非弹性位移需求Sdp的概率分布函数。分2种情况建立了SDOFS在给定强度地震作用下，以及50 a设计基准期内的非弹性位移需求条件概率谱(其先决条件为抗震规范中给出的场地类别和设计地震分组)。
3) 参照现行抗震规范中的相关规定，根据不同的场地类别和地震分组制定特征周期分区表。从美国太平洋抗震研究中心PEER的强震数据库中收集大量实测地面运动加速度记录，并将其按照特征周期分区表归类。以归类后的实测记录为输入，对SDOFS弹性加速度需求Sae进行置信度为0.05的KS检验，确定多数情况下Sae服从极值Ⅱ型分布。
4) 以归类后的实测地面运动加速度记录为输入，基于大量SDOFS动力时程分析的统计结果，采用Monte Carlo数值方法建立了SDOFS非弹性位移需求的条件概率谱(超越概率分别为10%，50%和90%)，并将其与本文理论方法所得的结果进行比较。理论方法所需计算工作量远比Monte Carlo数值模拟的计算工作量小，但这2种方法的计算结果十分接近，本文理论方法准确、合理且计算效率很高。
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(编辑 陈灿华)
收稿日期：2014-06-10；修回日期：2014-08-12
基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51178175，51274258)；湖南省自然科学基金资助项目(13JJ5027)；高等学校博士学科点专项科研基金资助项目(20124321120006)；长沙市科技计划项目(21597) (Projects(51178175, 51274258) supported by the National Science Foundation of China); (Project(13JJ5027) supported by the Natural Science Foundation of Hunan Province; Project(20124321120006) supported by Research Fund for the Doctoral Program of Higher Education of China; Project(21597) supported by Science and Technology Program of Changsha)
通信作者：周先雁，教授，从事工程抗震研究；E-mail: yinjiang2013@outlook.com
