文章编号：1004-0609(2007)09-1447-06

基于三剪屈服准则的空间轴对称特征线场理论及其应用

胡小荣

(南昌大学 建筑工程学院，南昌 330031)

摘  要：基于三剪屈服准则建立了有重材料的空间轴对称特征线场理论，其特点是：在描述空间轴对称三向应力作用下的材料屈服特性时，三剪屈服准则较Mohr-Coulomb屈服准则能反映中间主应力对材料屈服的影响，并且该准则还可用一个表达式来精确表达工程中常用的Mohr-Coulomb屈服准则、Tresca屈服准则和Mises屈服准则，从而提高准则对材料的适用范围；在描述材料塑性区内的应力状态时，摒弃了以往基于Mohr-Coulomb屈服准则必须采用的Haar-Von Karman完全塑性假设，通过引入中间主应力参数来表达不同材料可能具有的不同塑性区应力状态，并且Haar-Von Karman完全塑性假设仅为其特例。另外，利用该特征线场理论研究了竖井井壁压力的计算问题并与传统方法做了比较。结果表明：该方法能更好地反映井周岩土屈服特性及塑性区应力状态对井壁压力的影响。

关键词：三剪屈服准则；空间轴对称线场理论；井壁压力

中图分类号：TU4　　     文献标识码：A

Axisymmetric characteristics line theory based on triple shear unified yield criterion and its applications

HU Xiao-rong

(1. School of Civil Engineering and Architecture, Nanchang University, Nanchang 330031, China)

Abstract: The axisymmetric characteristics line theory for weight materials was established based on the triple shear unified yield criterion. The main features are as follows: in describing the yield properties for materials under axisymmetric three dimensional stress states, the triple shear unified yield criterion used here can reflect the intermediate principal stress effects on the yield characteristics for materials compared with the Mohr-Coulomb yield criterion used before, and can be suitable to more kinds of materials because the common used criteria such as the Mohr-Coulomb failure criterion, the Tresca yield criterion and the Von Mises yield criterion can be expressed accurately with its only one equation. In describing the stress states in plastic zone, the Haar-Von Karman plasticity hypothesis based on the Mohr-Coulomb yield criterion is neglected through introducing the intermediate principal stress parameter to express the different stress states in plastic zones for different materials. This method can also take the Haar-Von Karman plasticity hypothesis as one of its special cases. As an example, pressures acting on the shaft wall were researched using the new axisymmetric characteristics line theory and results were compared with the traditional method. The results show that the proposed method gives a better description to the pressures acting on shafts influenced by yield properties for rock and/or soil round the shafts and the stress states in plastic zones.

Key words: triple shear unified yield criterion; unified axisymmetric characteristics line theory; pressure acting on shaft wall

现有的空间轴对称特征线(滑移线)场理论是基于Mohr-Coulomb屈服准则和Haar-Von Karman完全塑性假设建立起来的^[1]。由于空间轴对称问题需要同时考虑材料所受的三向应力作用，而Mohr-Coulomb屈服准则本身并不能反映中间主应力的影响，故需要引入Haar-Von Karman完全塑性假设(σ₂=σ₁或σ₂=σ₃)。Hill^[2]认为Haar-Von Karman完全塑性假设与实际并不相符，俞茂宏^[3]通过有限元计算也得出了与Hill相同的结论并认为材料塑性区内的中间主应力值基本上接近最大及最小主应力值之和的一半，即σ₂≈(σ₁+σ₃)/2。另外，大量实验已经表明，有些金属材料(如铸铁)、混凝土、岩土等的屈服与中间主应力有关^[3?10]。因此，在建立空间轴对称特征线场理论时，解决上述问题的有效途径就是：1) 在描述空间轴对称三向应力作用下的材料屈服特性时，采用一个能同时反映3个主应力作用的材料屈服准则以代替Mohr-Coulomb屈服准则；2) 在描述材料塑性区内的应力状态时，摒弃以往基于Mohr-Coulomb屈服准则必须采用的Haar-Von Karman完全塑性假设。俞茂宏等^[11?12]采用双剪统一屈服准则并通过引入中间主应力参数来描述材料塑性区内应力状态的方法对该问题作了研究，提出了无重材料的双剪统一空间轴对称特征线场理论，但双剪统一屈服准则存在双重破坏角现象^[13]。针对屈服准则这一问题，胡小荣等^[14?15]通过考虑十二面体单元主剪面上3个主剪面应力对的共同作用，提出了一个三剪屈服准则。其特点是该准则的表达式只有一个，同样可通过改变准则中的参数b就能达到用一个准则来精确表达工程中常用的Mohr-Coulomb屈服准则(当b=0、α＜1时)、Tresca屈服准则(当b=0、α=1时)和Mises屈服准则(当b=1/3、α=1时)的目的。另外，该准则还能反映材料屈服特征的非线性，与双剪双参数统一屈服准则相比，也不会存在双重破坏角问题。本文作者基于该屈服准则并沿用文献[11?12]中提出的中间主应力参数方法，提出了有重材料的空间轴对称特征线场理论。另外，作为一个研究算例，将该理论应用于竖井井壁压力计算问题，并与传统的基于Mohr-Coulomb屈服准则和Haar-Von Karman完全塑性假设所得结果作了比较。

1  三剪屈服准则

基于剪切破坏机理提出的材料三剪屈服准则 为^[14?15]

胡小荣等^[14?15]通过分析认为，当0≤b≤时，该屈服准则为外凸型，否则为非外凸型。

式(1)用材料的内聚力C₀和内摩擦角表示则为

由式(1)和(2)可知，当b=0时，三剪屈服准则蜕化为Mohr-Coulomb屈服准则。由于三剪屈服准则本身采用一个表达式即可表示现有的一些屈服准则，因而提高了其对材料的适用范围。

2  有重材料的空间轴对称特征线场理论

2.1  空间轴对称问题的三剪屈服准则表达式

对于空间轴对称问题，由于材料塑性区内仅存在应力分量σ_r、σ_θ、σ_z和τ_rz，且σ₂=σ_θ ^{[1, 11?12]}。为了能更好地描述不同材料可能具有的不同塑性区应力状态，可通过如下引入中间主应力参数的方法来实现^[14?15]：

由式(3)可知：当m=0时，σ₂=σ₃；当m=2时，σ₂=σ₁。2种情况均对应Haar-Von Karman完全塑性假设。当m=1时，σ₂=(σ₁+σ₃)/2，与文献[3]中的有限元计算结论一致。中间主应力参数m的引入，不仅可方便地表达不同材料可能具有的不同塑性区应力状态，而且还使Haar-Von Karman完全塑性假设成为其特例。令

将式(5)代入式(2)可得空间轴对称问题的三剪屈服准则表达式：

由式(7)、(8)可知，当m=0和m=2时，三剪屈服准则退化为Mohr-Coulomb屈服准则。

2.2  有重材料的空间轴对称特征线场理论

采用图1所示圆柱坐标系和材料自重γ方向时，空间轴对称问题的平衡方程为

图1  圆柱坐标系和材料自重γ方向

Fig.1  Cylindrical coordinate system and direction of γ

将式(6)代入式(9)并根据式(7)得空间轴对称特征线场微分方程为

式(10)的特征线方程为

图2所示为过子午面内点的特征线。

图2  过子午面内点的特征线

Fig.2  Characteristic curves of α and β for point in meridian plane

式(10)的随体坐标S_α、S_β形式为

3　 在竖井井壁压力计算中的应用

3.1  竖井井壁压力计算方法

在采矿等岩土工程中，竖井井壁围岩处于三向应力状态。井壁压力随井深变化的理论计算主要有2种基本方法^{[1, 17]}：1) 基于挡土墙主动土压力计算的方法；2) 基于空间轴对称特征线(滑移线)场理论求解的方法。文献[1]中采用第二种方法并基于Mohr-Coulomb屈服准则和Harr-Von Karman完全塑性假设：σ₂＝σ_θ＝σ₁ (对应于m=2)，给出了一个竖井井壁压力计算式。

为获得解析解，本文中除了摒弃文献[1]中所采用的Mohr-Coulomb屈服准则和Harr-Von Karman完全塑性假设外，仍沿用了其中的其它假定条件，如认为井深较浅并忽略岩土对井壁的摩擦作用。这时，计算井壁压力时可将井壁岩土在r?z平面内的特征线当作两组平行直线处理，如图3所示。此时有，。由式(13)得：

图3  竖井井壁压力计算图

Fig.3  Scheme of pressure acting on shaft wall

如果令m=2，由式(7)、(8)、(17)、(21)可得出与文[1]中完全相同的井壁压力计算式。

3.2  计算实例

计算实例采用如下岩土力学参数：C₀=10 kPa，φ₀=20?，γ=26 kN/m³，q=5 kN/m²，井筒半径为R₀=2 m。表1和图4列出了m=0、m=1和m=2 3种典型情况下所得的井壁压力p_n随井深h变化的计算结果。

表1  井壁压力p_n的计算结果

Table 1  Results of pressure p_n acting on shaft wall (kPa)

图4  井壁压力的计算结果

Fig.4  Results of pressures acting on shaft wall

由表1和图4可知：1) 井壁压力随井深的变化是非线性的；2) 塑性区内的应力状态对计算结果有较大影响；3) 采用传统的基于Mohr-Coulomb屈服准则和Haar-Von Karman完全塑性假设可能会引起较大的计算误差，例如，采用σ₂=σ₃ (m=0)假设就有可能过高估计井壁压力，而采用σ₂=σ₁ (m=2)假设则又有可能过低估计井壁压力，从而影响井筒支护设计的合理性。

4  结论

1) 在描述空间轴对称三向应力作用下的材料屈服特性时，采用了能反映材料屈服特性中间主应力效应的三剪屈服准则，由于该准则表达的是一个屈服准则系列，因而可适用于不同的材料。

2) 在描述材料塑性区内的应力状态时，摒弃了以往基于Mohr-Coulomb屈服准则必须采用的Haar-Von Karman完全塑性假设，通过引入中间主应力参数不仅可方便地表达不同材料可能具有的不同塑性区应力状态，而且还使Harr-Von Karman完全塑性假设成为其特例。

3) 所建立的空间轴对称特征线场理论以及作为研究实例得到的竖井井壁压力计算式适用性更广，并且以往基于Mohr-Coulomb屈服准则和Haar-Von Karman完全塑性假设所建立的空间轴对称特征线场理论及其以此为基础得到的竖井井壁压力计算式均为本文结果的特例。

4) 塑性区内的应力状态对井壁压力的计算结果有较大影响，传统的基于Mohr-Coulomb屈服准则和Haar-Von Karman完全塑性假设的计算方法可能会引起较大误差，从而影响井筒支护设计的合理性。

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基金项目：江西省教育厅科技资助项目(200749)

收稿日期：2006-10-25；修订日期：2007-06-19

通讯作者：胡小荣，教授，博士；电话：13077967939; E-mail: huxiaorong@ncu.edu.cn

(编辑　李向群)