喷浆机械手时间最优与脉动最优轨迹规划

曹中一，王鹤，吴万荣，谢海军

(中南大学 机电工程学院，湖南 长沙，410083)

摘要：为提高喷浆机械手的作业效率，减小机械手的振动，基于三次样条函数插值法，提出一种用于机械手的最优轨迹规划方法，对喷浆机械手轨迹进行规划。采用加权系数法定义目标函数，同时考虑关节速度、加速度、脉动以及动作时间等约束条件，使机械手运动过程中的动作时间和脉动在某种程度上达到综合最优。采用序列二次规划算法求解最优运动的时间，规划出满足要求的最优轨迹。研究结果表明：采用此方法对喷浆机械手进行轨迹规划是合理的和有效的；该方法可以解决时间最优轨迹脉动较大和脉动最优轨迹动作时间过长的问题，为非线性约束条件下机械手时间与脉动综合最优轨迹规划问题提供了一种解决方案。

关键词：喷浆机械手；时间最优与脉动最优；轨迹规划；运动学约束；动作时间约束

中图分类号：TP242             文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2013)01-0114-08

Time-jerk optimal trajectory planning of shotcrete manipulators

CAO Zhongyi, WANG He, WU Wanrong, XIE Haijun

(School of Mechanical and Electronical Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

Abstract: In order to optimize the productivity of shotcrete manipulators and reduce the vibration, based on cubic spline function interpolation, a method used for optimal trajectory planning of manipulators was proposed. Trajectory planning of shotcrete manipulators was finished by using this method. The objective function defined by weighted coefficient was used as a weighted balance of traveling time and jerk of the manipulators. Kinematic constraints of joint velocities, accelerations, jerks, and traveling time were taken into account, so as to make the traveling time and jerk of manipulator in the movement process achieve the comprehensive optimum in some degree. Traveling time was solved by using sequential quadratic programming strategy, then time-jerk optimal trajectories which satisfy nonlinear kinematic constraints were planned. The results show that plan trajectory of shotcrete manipulators by using this method is reasonable and effective. This method can solve the problem that jerk of time-optimal trajectory is larger and action time of jerk-optimal trajectory is too long, and it also provides a solution to the problem of manipulator’s time-jerk optimal trajectory planning under the nonlinear constraints.

Key words: shotcrete manipulators; time-jerk optimal; trajectory planning; kinematical constraints; traveling time constraints

喷浆机械手广泛应用于需要喷浆支护的工程中，特别是铁路公路隧道、水利水电建设、地铁、矿山巷道和各种地下建筑等的施工与支护^[1]。轨迹规划是机械手轨迹控制的基础，其性能对机械手的工作效率、运动平稳性有重要意义。合理的轨迹规划可以减小机械手的振动、保证关节的使用寿命以及轨迹精度^[2-5]。为了提高机械手工作效率，时间最优轨迹规划成为轨迹优化的重要方向^[6-10]，其任务是根据给定的路径点规划出通过这些点并满足边界约束条件的时间最短运动轨迹。为了减小机械手振动，提高轨迹跟踪精度，人们对脉动最优轨迹规划进行了研究^[11-14]，其中：Behzadipour等^[6-10]仅从优化机械手动作时间的角度进行轨迹规划研究，规划出的轨迹脉动通常在最大值附近，不利于减小机械手的振动；Huang等^[11-13]从脉动最优的角度规划机械手的轨迹，但未限制机械手的最大动作时间，规划出的轨迹工作时间过长，大大降低机械手的作业效率；刘松国等^[14]虽然限定了机械手的动作时间，但也仅对脉动优化一方面孤立地进行研究。在此，本文作者使用加权系数法定义目标函数，包括2部分：机械手的动作时间和轨迹脉动函数。通过对这2部分进行优化，得到喷浆机械手动作时间和脉动综合达到最优的轨迹。同时，考虑关节运动学约束和动作时间约束，解决优化动作时间时轨迹脉动较大和优化脉动时动作时间过长的问题。

1  喷浆机械手轨迹描述

喷浆机械手的结构如图1所示。该喷浆机械手具有8个自由度，分别为机械臂整体转动、大臂仰俯、大臂伸缩、小臂支撑臂仰俯、小臂摆动、小臂伸缩、喷射头转动、喷枪摆动等。工作时，小臂支撑臂仰俯和大臂仰俯联动，使小臂保持水平；机械臂整体转动和小臂摆动联动，使小臂始终平行受喷面。

图1  喷浆机械手实物图

Fig.1  Photo of spray manipulator

根据喷浆工艺要求，在工作时，喷枪垂直于受喷面并与受喷面保持合适的距离，运动轨迹如图2所示。在喷浆过程中喷枪的运动过程为：喷枪初始位置处于A点，开始工作后，喷枪一边刷动，一边从A点沿水平方向运动到设定位置B点，喷枪竖直向上抬升20 cm到达C点，再向相反方向平移到达D点，按此过程依次进行，直至喷浆结束为止。

图2  喷枪运动轨迹

Fig.2  Trajectory of spray gun

喷枪水平运动时间由单位时间内的排料量和喷层的厚度决定，因此，喷枪水平运动的轨迹是确定的，只需对喷枪的竖直运动进行最优轨迹规划。根据机械手的结构设计，在喷浆过程中，大臂仰俯与伸缩联合运动使大臂末端的运动轨迹为1条垂直于地面的直线，可以使喷枪垂直升降，实现图2所示轨迹的竖直段。喷浆机械手轨迹中每个竖直段的轨迹规划方法都相同，为此，本文只选择BC段对其运动最优轨迹规划进行研究。

2  最优轨迹规划问题描述

2.1  三次样条函数插值轨迹

本文研究最优轨迹规划的前提是几何路径已经给出。将任务空间轨迹离散化，通过运动学逆运算，得到与任务空间轨迹对应的关节空间位置序列，用三次多项式曲线依次连接这些位置序列点就可以得到机械手的关节轨迹。

对于机械手关节j(j=1, 2, …, N)，定义t₁, t₂, …, t_n为时间点序列，为对应的关节位置序列，为2个连续时间点之间的间隔，为机械手的运动时间，为时间间隔h_i所对应关节空间轨迹曲线，可以通过逆运动学运算得到。由于关节的轨迹、速度以及加速度均连续，因此，令为浮动点，使得时间变量具有足够自由度。在初始时刻t ₁和终止时刻t_n，关节的速度与加速度均为0。

在三次样条函数插值法中，加速度在每个时间间隔中都是线性的，因此，可以定义加速度为

 (1)

对式(1)积分和求导可以得到关节的轨迹，速度和脉动分别为：

 (2)

     (3)

         (4)

由式(1)~(4)可知：关节的位置、速度、加速度以及脉动的表达式含有n-2个未知量，分别为t₂, t₃, …, t_n-1时的加速度。

由式(2)和(3)以及加速度和速度的连续性可得：

 (5)

由式(1)~(3)可得浮动点和为：

           (6)

        (7)

联立式(5)~(7)可得：

(8)

由于i=2, 3, …, n-1，式(8)含有n-2个方程，其矩阵形式为：

                (9)

其中：

；

；；

c₂, c₃, …, c_n-1表示式(9)等号右边的部分，系数矩阵B为对角占优矩阵，因此，式(9)通过追赶法可以求得唯一解。

2.2  目标函数

在文献[15]中，PIAZZI等设定机械手动作时间，利用目标函数研究脉动最优轨迹规划。本文在研究最优轨迹规划时不需要预先设定机械手的动作时间，参考文献[15]，定义目标函数为

 (10)

其中：N为关节数目；t_f为机械手的动作时间；K_T为时间加权系数；K_J为脉动加权系数，且K_T+K_J=1；为弹性系数。在目标函数中，脉动函数和动作时间通常有数量级上的差别，会导致动作时间的作用被削弱，因此，引入弹性系数平衡二者作用。

在三次样条函数插值法中，脉动在每个时间间隔内都是定值，将式(4)代入式(10)可得：

(11)

其中：。

2.3  约束条件

(1) 速度约束。速度为二次多项式，速度在时间间隔内取得的最大值的点为t_i和t_i+1或者是的点，因此，速度约束可以转化为：

j=1, 2, …, N; i=1, 2, …, n-1        (12)

计算得到式(10)中，，分别为：

(2) 加速度约束。加速度在每个时间间隔内都是线性的，其最大值只能在时间点t₂, t₃, …, t_n-1得到。因此，加速度约束可以转化为：

；j=1, 2, …, N; i=1, 2, …, n-1        (13)

(3) 脉动约束。由式(4)，脉动约束可以转化为：

；j=1, 2, …, N; i=1, 2, …, n-1        (14)

(4) 动作时间约束t≤T_m。机械手的动作时间为，因此，动作时间约束可以转化为

              (15)

式(11)~(15)都是以时间间隔为变量的表达式，可以得到非线性约束最优化问题的标准形式为：

(16)

式中：j=1, 2, …, N; i=1, 2, …, n-1。

采用式(16)可以将运动学动作时间约束下最优轨迹规划问题转化为非线性约束条件下求解时间间隔h_i最优解的问题。

3  非线性约束最优化问题求解

初始值的选择对优化结果有很大影响，合理地确定初始值是求解非线性约束最优化问题的关键^[16]。

对于关节j，时间间隔h_i(i=1, 2, …, n-1)必须满足，因此，时间间隔h_i有下界，为。其下界值不一定能够满足运动学约束，将h_i扩大k倍以满足运动学约束条件，即，此时，机器人的运动时间变为原来的k倍，即，时间间隔由变为。

在式(1)~(4)中，用，和分别代替原来的t_i，t_i+1和h _i，可得如下关系式：

         (17)

由式(17)可知：将h_i扩大k倍后，关节轨迹保持不变，速度、加速度以及脉动幅度分别变为原来的1/k，1/k²和1/k³。令：

，

根据k₁，k₂和k₃确定时间间隔矢量的初始值，可以提高寻优算法的搜索效率。

令，在求解非线性约束最优化问题时可取时间间隔矢量的初始值为：。

初始值确定后，采用序列二次规划(SQP)算法求解式(15)所描述的非线性约束最优化问题。构造拉格朗日函数为：

其中：，为拉格朗日乘子；，为引入3N个松弛变量后的等式约束。当拉格朗日函数的梯度,根据K-T条件；为非线性优化问题的解。

通过拟牛顿法得到序列二次规划算法的第k个二次规划子问题：

其中：H为拉格朗日函数的Hessian矩阵的近似表达式。逐次求解二次规划问题，可以使机械手最优轨迹的时间间隔矢量收敛到最优值。

4  机械手轨迹规划仿真

喷浆机械手各连杆的尺寸如图3所示，其中大臂仰俯关节为关节1，大臂伸缩关节为关节2。喷枪竖直运动的启动点为B(4 000, 8 000, 3 000)，停止点为C(4 000, 8 000, 3 200)。

图3  喷浆机械手结构简图

Fig.3  Schematic of spray manipulator

将BC段轨迹离散处理后，经过逆运动学运算得到喷浆机械手关节1和关节2的关节位置序列如表1所示(由于位置序列q₂和q₅为浮动点，故表1中未列出其值)。关节的运动学约束如表2所示。

设置机械手的动作时间约束为t≤8 s。令弹性系数=0.001，加权系数如下：K_T为1.0，0.8，0.5，0.2，0；K_J为0，0.2，0.5，0.8和1.0。

表1  关节位置序列

Table 1 Values of joints’via-point

表2  关节运动学约束

Table 2 Kinematic limits of joints

分别对这5种取值情况进行优化，得到结果如表3所示。由表3可知：随着时间加权系数K_T从1到0逐渐减小，机械手的动作时间从最优时间约为3.87 s逐渐增大到约束值8.00 s；脉动函数从13 929.00逐渐减小到最优值322.73。

当K_T=0，K_J=1时，目标函数只含有脉动函数。在不考虑动作时间约束的情况下优化得到的时间间隔矢量的优化结果为(4.620 3 6.676 3 2.748 7 7.943 6 5.494 8)，此时，机械手动作时间约为27.48 s，约为考虑动作时间约束时的3.5倍。由此可见：在关节运动学约束的基础上增加动作时间约束可以解决优化脉动时机械手动作时间过长的问题。

当K_T为1.0，0.5和0时，对关节1和关节2轨迹规划进行仿真，仿真结果分别如图4和图5所示。

图4和图5中：曲线1为时间最优轨迹，曲线2为同等考虑动作时间和脉动的综合最优轨迹，曲线3为脉动最优轨迹。由图4和图5可知：机械手启动和停止时，关节1和关节2的速度和加速度值均为０；机械手在动作过程中，关节的速度、加速度以及脉动均在约束范围内，满足规划要求。

在图5(d)中，关节2时间最优轨迹的脉动达到约束边界值60 mm/s³，在同等考虑动作时间和脉动进行最优轨迹规划后关节2的脉动降为了原来的1/2左右。由此可见：用加权系数法定义目标函数，同时考虑脉动和动作时间进行优化，可以解决优化动作时间时脉动较大的问题，有利于减小机械手的振动，延长机械手的使用寿命。

表3  轨迹优化结果

Table 3 Results of trajectory optimization

图4  关节1最优轨迹

Fig.4  Time-jerk optimal trajectory of joint 1

图5  关节2最优轨迹

Fig.5  Time-jerk optimal trajectory of joint 2

机械手的轨迹精度和关节脉动有密切关系，关节脉动越小则机械手的轨迹精度越高^[17]。在时间最优轨迹中，关节的脉动最大，此时，机械手的轨迹精度最低，误差最大，故本文只研究时间最优轨迹的轨迹误差情况。用喷枪跟踪笛卡儿空间中设定的竖直路径，在考虑机械手系统误差的情况下，仿真得到基础坐标系X，Y和Z轴方向的跟踪情况如图6所示。

从图6可见：当喷枪竖直向上运动时，在X轴上的坐标位置4.000 0~4.001 0 m内，在Y轴上的坐标位置8.000 0~8.001 0 m内，误差均不超过1 mm，完全满足工作要求。

由表3可知：当K_T从0.5减小到0时，脉动函数值从2 183.2降为322.73，下降幅度约为K_T从1减小到0.5时的1/6，对减小脉动意义不大；而动作时间由5.458 1s增加到约束值8 s，增加幅度约为K_T从1减小到0.5时的1.5倍，工作效率降低较多。由图4可知：当K_T=K_J=0.5时，机械手的关节最大脉动约为约束值的1/2，完全满足脉动优化的要求。综合考虑时间和脉动优化，加权系数K_T=K_J=0.5为喷浆机械手最优轨迹规划的最佳取值。

图6  喷枪轨迹跟踪情况

Fig.6  Spray gun tracking path

5  结论

(1) 提出了一种时间最优与脉动最优轨迹规划方法。采用此方法可以规划出满足关节运动学和动作时间约束的喷浆机械手最优轨迹，而且轨迹误差在允许范围内。

(2) 对轨迹进行规划时，利用加权系数法定义目标函数，并且引入弹性系数平衡了动作时间和脉动函数的作用，进行优化后得到动作时间和脉动综合最优轨迹，通过分析得到加权系数的最佳取值。

(3) 本文在设定约束条件时，在关节运动学约束的基础上增加了动作时间约束，解决了脉动最优轨迹动作时间过长的问题。

(4) 所提出的方法可以推广应用于其他类型机械手的分析。

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(编辑  陈灿华)

收稿日期：2011-10-27；修回日期：2011-12-20

基金项目：湖南省科技重大专项(2010FJ1002)

通信作者：曹中一(1955-)，男，湖南长沙人，研究员，从事工程机械及液压控制理论研究；电话：13517483516；E-mail: zhongyi@csu.edu.cn