DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2015.02.016
带铰弹性开环多体臂架变位姿固有频率算法
任武1, 2，吴运新1, 2，张赵威1, 2，曾谊晖1, 2
(1. 中南大学 高性能复杂制造国家重点实验室，湖南 长沙，410083；
2. 中南大学 机电工程学院，湖南 长沙，410083)
摘要：针对多体泵车臂架作业中频繁位姿变换固有频率不易求解的问题，采用多体传递矩阵法建立四节臂架动力学模型，模型分为A和B 2个子系统，子系统A为第1节臂、支座油缸连接，子系统B为后3节臂、油缸连接。加入液压驱动油缸两端铰弹性的影响，进行整体模型封装分析4种常用位姿的固有频率，并在已有臂架实验台上进行实验验证。研究结果表明：采用多体传递矩阵法求解变位姿多体系统臂架固有频率避免了传统方法中重新设定计算的步骤，4种位姿加入铰弹性的固有频率均比理想铰降低且更接近实测值，为此类机械的变位姿频率计算和整车实时振动控制提供参考。
关键词：多体；臂架；铰弹性；传递矩阵法；振动；固有频率
中图分类号：TU646 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2015)02-0485-06
Multibody open-loop mobile concrete pump boom with joint elasticity multi posture natural frequency algorithm
REN Wu1, 2, WU Yunxin1, 2, ZHANG Zhaowei1, 2, ZENG Yihui1, 2
(1. State Key Laboratory of High Performance Complex Manufacturing, Central South University, Changsha 410083, China;
2. School of Mechanical and Electrical Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)
Abstract: In order to calculate the different postures natural frequencies of multibody mobile concrete pump truck boom, the transfer matrix method was adopted. Then a four-boom equivalent mechanical model was established. The model was divided into sub-system A and B. The sub-system A was linked to the first boom, standoffs and its hydraulic cylinder. The sub-system B was linked to the other three booms and cylinders. The revolute joint elasticity of the boom cylinder connection was also considered. After packaging the two sub-systems, the frequencies of four common postures were solved, and an experiment was carried out on a test rig. The results show that it is not necessary to reset the parameters and resolve in different posture frequency calculations by transfer matrix method. At the same time, the frequencies considering joints elasticity are smaller than those of ideal joints and are closer to the test ones. All of these provide reference for natural frequency calculation and real-time monitoring for mobile truck booms.
Key words: multibody; boom; joint elasticity; transfer matrix method; vibration; natural frequency
泵车臂架是典型的多体开环机械臂，目前最长的臂架已经到达101 m。大范围运动高柔度特征使其在低频工作时受到较大的振动，同时，臂架位姿的频繁变换导致固有频率不断变化，给设计分析带来不便。现有研究中，Cazzulani等[1]研究了泵车臂架加末端质量块的臂架振动固有频率变化。Liu等[2]建立了大范围运动刚柔双臂理想铰非线性运动方程，分析了臂的振动特性。刘杰等[3]分析了某泵车臂架多刚体模型并对多柔体臂架末端位移进行了探讨。王斌华等[4]研究了脉动和常速流混凝土对臂架振动频率的影响。贺尚红等[5-7]建立适用于机电液耦合系统频域的通用传递矩阵，提供一种更方便的仿真方法。Li等[8-9]建立了液压缸驱动柔性臂动力学模型并进行末端位移控制仿真。芮筱亭等[10]提出离散传递矩阵法并应用于自行火炮等多体武器系统动力学工程实例分析和频率求解。Flores[11]分析了旋转铰碰撞摩擦原理，建立了曲柄滑块运动仿真模型。白争锋等[12-14]研究了连杆机构运动副碰撞动力学特性，并进行了实验研究。Dupac等[15]分析了平面柔体连杆机构的弹性影响，指出弹性影响在此类机构动力学研究中不应忽视。大范围变姿态机械臂如混凝土泵车臂架的研究，通常将铰当成理想铰来分析，忽略了铰弹性碰撞的影响。本文作者以多体开环臂架为研究对象，利用传递矩阵法建立其多体模型和铰弹性模型，快速计算出其位姿变换时的固有频率，并通过臂架实验台验证模型的正确性和计算方法的合理性。
1 铰弹性碰撞理论和参数选取
Lankarani-Nikravesh模型是改进的Hertz接触模型[11]，如式(1)所示：
(1)
其中：
(2)
(3)
(4)
Fn为接触碰撞力；K为接触物体的刚度系数，可根据Goldsmith碰撞实验得出；δ为穿透深度；C为接触碰撞阻尼系数；
为接触碰撞相对速度；σn为销轴铰接系数；υ和E分别为材料泊松比和弹性模量，根据文献[13]，n取1.5；Ri为销轴半径，Rj(j=1，2，3，4)分别为四节臂销的半径；ce为恢复系数，取0.9；
为撞击点的初始相对速度。υ，E，Ri和Rj取值见表1。
表1 销轴套筒材料与结构参数
Table 1 Pin and bushing material structure property
2 带铰弹性臂架动力学模型
2.1 数学模型
多体开环臂架从根部算起主要由臂、连杆以及液压驱动油缸组成，几节臂架由多个六连杆串联而成，根据连接类型将臂架系统划分成2种子结构以提高建模效率如图1所示。
臂架的2种子结构分别是体元件和铰元件，这些元件传递矩阵依照连接关系进行初步组装得到各自子结构传递方程和传递矩阵，然后将2种子结构再封装成总传递方程和总传递矩阵，最后利用边界条件得到该系统的动力学特性。模型中臂架等效为弹性梁元件，连杆、油缸及活塞杆等效为刚体元件，旋转铰等效为弹簧阻尼系统，其刚度系数按式(2)计算，液压油等效为一定刚度的弹簧元件。忽略臂架左右扭转的影响，四节臂简化为欧拉-伯努利梁，假定臂架低速运动以忽略离心加速度和科氏加速度的影响，定义各连接点状态矢量为
(5)
在模态坐标系下，式(5)中X, Y为线位移；Qz为角位移；Mz为内力矩；Qx和Qy为内力。
图1 臂架系统子结构划分
Fig. 1 Sub-structure diagram of mobile concrete truck boom
2.2 子结构的传递矩阵
臂架结构划分成子结构A和子结构B，其中结构A包括第1节臂、支座、驱动油缸以及液压油缸两端连接旋转铰；结构B又分为3个亚结构，包括后3节臂结构和相应液压缸两端旋转铰，如图2和图3所示。
图2 子结构A连接
Fig. 2 Connection of sub-structure A
子结构A中定义0为其输入端，8为其输出端，1，3和5为刚体元件，2，4和6为平面弹簧连接弹性单元，其中6为弹性铰，7为等截面欧拉-伯努利梁元件，根据传递矩阵法得到各元件的传递矩阵Ui, 将0~8元件结合可得到子结构A的传递方程：
(6)
1，7和6连接处的位移和受力关系如下：
(7)
由式(6)和式(7)可得：
(8)
转化矩阵E1~E3分别为：
(9)
子结构A的传递方程如下：
(10)
子结构A的传递矩阵UA以及状态矢量ZA为：
(11)
图3 子结构B连接
Fig. 3 Connection of sub-structure B
子结构B中0为其输入端，12为其输出端，2，3，6，8，10和11为刚体元件，5，7和9元件为平面弹簧铰连接元件，1和4元件为等截面欧拉-伯努利梁元件，推导方式与结构A的类似，根据各元件之间的连接关系得到子结构B的传递矩阵UB及其状态矢量ZB如下：
(12)
其中：O为零矩阵；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
(13)
2.3 总传递矩阵
混凝土泵车臂架总装系统由子结构A和子结构B中3个部分串联而成，其中子结构A的Z7，8与子结构B的Z0，1和 Z0，5形成连接点，子结构Bi的Z4，12与其串联的子结构Bi+1的Z0，1和 Z0，5形成新的连接点，根据连接点的位移和受力关系可以得到臂架总传递方程：
(14)
(15)
；
；
；
(16)
其中：Uall臂架系统总传递矩阵；Zall为总特征矢量。
由边界条件可得结构A和B边界状态矢量，其中子结构A边界状态矢量为
(17)
非末端子结构B(编号记为i)状态矢量为
(18)
末端子结构B(编号记为N)状态矢量如式(19)所示，由边界条件可将Zall中的零元素(共计21项)去掉剩下的状态矢量记为
，同时在Uall中去除Zall零元素对应的列，记为
。当N=4时，所得的中含有105项未知元素，为105阶方阵，得到特征方程如式(20)所示。
(19)
(20)
由于泵车臂架实际中需要频繁位姿变换，为计算其任意姿态的固有频率，需重新修改总传递矩阵，模型中传递矩阵的连接方式不变，仅元件的角度改变。各元件的变化角度由臂架的位姿角通过几何解析获得或者预设，然后由式(21)将传递矩阵进行转角坐标变换，计算新姿态下的传递矩阵以及传递方程，从而得到臂架任意姿态的任意阶固有频率fk(θ1，θ2，θ3，θ4) (k=1，2，…)，其中θi为各臂架相对水平面的角度。
(21)
式中：H-f和Hf为坐标转换矩阵；Ui为初状态元件传递矩阵；
为期望姿态下的元件传递矩阵。
在Matlab中编写相应的程序求解，泵车臂架为四节臂，总长13 m，结构参数见表2。预置有解区间用二分法逼近计算满足式(20), 容差范围(容差为-1×10-7~1×10-7)的ω采用Newmark-β积分法得到，仿真时间28 s，在此时间内完成从水平工况到楼顶工况的变换，步长0.03 s，得到臂架常用工况下的固有频率。
3 臂架多位姿固有频率仿真分析和实验
3.1 位姿选取
根据臂架经常用的姿态，仿真和实验中选定如图4所示的4种姿态进行计算。
仿真中首先研究不考虑旋转铰弹性影响的固有频率，然后加上液压缸和臂连接的旋转铰弹性影响，由于臂架一般是低频影响较大，因此，主要考察第一阶固有频率的变化，分别计算2种不同模型相应姿态的第1阶固有频率。
3.2 实验研究
为了验证多体系统传递矩阵法建模的正确性，利用现有的总长13 m四节臂臂架实验台、Dewesoft信号采集仪、三轴加速度传感器进行实验研究，臂架材料为Q345B，主要结构参数见表2。
图4 臂架常见位姿
Fig. 4 Common postures of booms
表2 臂架模型主要参数
Table 2 Main parameters of each boom
3.3 仿真和实验结果分析
根据仿真分析和实验结果计算出2种模型几种特殊位姿的第1阶固有频率见表3。
由表3可见：4种位姿对比中考虑铰弹性影响和不考虑铰弹性影响模型的位姿中都是水平姿态的振动频率最低，说明水平工况是柔性影响最大的工况，也是工作最恶劣的工况；楼顶工况振动频率最高；面墙和地基工况介于两者之间；各个位姿中理想铰模型的固有频率相对于加铰弹性影响模型的固有频率都偏大，说明铰弹性影响的加入减小了机构的固有频率，使得臂架体现出更大的柔性，同时，考虑铰弹性影响的模型的频率更接近于实测值，证明了文中计算铰弹性影响的必要性和正确性。
表3 固有频率数值计算结果和实测值对比
Table 3 Comparison between natural frequency numerical results and test values Hz
4 结论
1) 利用传递矩阵法建立臂架整体模型求解系统固有频率，实现了理想铰和带铰弹性的多体开环变位姿臂架批量频率仿真，对需要不断变换位姿的结构非常适用，避免了传统方法重新设定参数计算的步骤，适合工程应用。
2) 带铰弹性模型的仿真值更接近测试值，特别是水平工况更能体现臂架的柔性影响，为此类机构频率计算提供帮助。
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(编辑 赵俊)
收稿日期：2014-03-16；修回日期：2014-07-10
基金项目(Foundation item)：国家高技术研究发展计划(863计划)项目(2008AA042802)；安徽省高等学校省级自然科学研究重点项目(KJ2013A141)；湖南省自然科学基金资助项目(11JJ3059)(Project (2008AA042802) supported by the National High-Tech Research and Development Program (863 Program); Project (KJ2013A141) supported by the Natural Science Key Project of Anhui Provincial Universities; Project (11JJ3059) supported by the National Science Foundation of Hunan Province)
通信作者：吴运新，博士，教授，博士生导师，从事机械结构动力学、机电控制、冶金机械研究；E-mail：renwu88@126.com
