DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2019.04.012

计入丝间接触的钢丝绳股轴向力学性能半解析法研究

张曼曼¹，陈原培²，孟凡明¹，龚宪生³

(1. 重庆大学 机械传动国家重点实验室，重庆，400044；

2. 重庆交通大学 交通运输学院，重庆，400074；

3. 重庆大学 机械工程学院，重庆，400044)

摘要：为研究计入丝间接触的钢丝绳股轴向力学性能，在计入泊松比效应和接触变形等影响下，建立轴向拉伸和扭转载荷下钢丝绳股数学模型，并使用半解析法(SAM)对该模型进行求解。在使用SAM时，利用共轭梯度法求解出丝间接触压力，利用快速傅里叶变换加快接触变形计算。对上述模型和方法的有效性进行证实。研究结果表明：采用SAM可实现考虑丝间接触的钢丝绳股轴向力学性能快速而准确的求解，且计算效率远比有限元仿真的高；在轴向拉伸过程中，芯丝比侧丝承受的拉伸载荷大；增大轴向扭转载荷会导致侧丝轴向应变，以及芯丝和侧丝间的接触压力、接触变形与接触半宽的增加；芯丝和侧丝间的接触以及侧丝的缩径，会导致侧丝轴线的螺旋半径略有减小。

关键词：轴向力学性能；丝间接触；钢丝绳股；半解析法；快速傅里叶变换

中图分类号：TH 123; TD 532              文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2019)04-0845-09

Study on axial mechanical performances of wire rope strand considering inter-wire contact based on semi-analytical method

ZHANG Manman¹, CHEN Yuanpei², MENG Fanming¹, GONG Xiansheng³

(1. The State Key Laboratory of Mechanical Transmission, Chongqing University, Chongqing 400044, China;

2. College of Traffic & Transportation, Chongqing Jiaotong University, Chongqing 400074, China;

3. College of Mechanical Engineering, Chongqing University, Chongqing 400044, China)

Abstract: To study the axial mechanical performances for wire rope strand considering inter-wire contact, the mathematical model of wire rope strand subjected to axial tension and torsion loads was established, into which the Poisson's ratio effect and inter-wire contact were incorporated, and the model was solved with semi-analytical method (SAM). The conjugate gradient method was used for analyzing the inter-wire contact pressure, and fast Fourier transform was employed to accelerate the solution of contact deformation. Meanwhile, the validity of the above model and method was verified. The results show that the central wire suffers from greater tension load than the outside wire during the axial tension process. The axial strain of the outside wire, contact pressure, contact deformation and half contact width between the central and outside wires increase with the increase of the torsion load during the axial torsion process. Moreover, the contact between the central and outside wires, and the transverse radial contraction of outside wires can lead to a slight decrease in the helix radius of the outside wire centerline.

Key words: axial mechanical performances; inter-wire contact; wire rope strand; semi-analytical method; fast Fourier transform

钢丝绳因具有良好的拉伸、扭转性能而被广泛应用于采矿、桥梁建设等工程领域。在长期轴向载荷作用下，钢丝绳会因承受较大的轴向变形而失效，甚至造成事故。因此，有必要对钢丝绳的轴向力学性能进行研究。USABIAGA等^[1-2]在忽略泊松比效应和丝间接触变形下，使用差分法研究了拉伸和扭转载荷下钢丝绳的轴向力学性能。KUMAR等^[3]基于Hertz弹性接触理论研究了承受轴向拉伸和扭转载荷作用的多层钢丝绳的接触应力，指出钢丝材料的弹性模量对丝间接触应力有很大影响。基于Hertz接触理论，GNANAVEL等^[4]的研究结果表明，随着施加的轴向载荷的增加，钢丝绳的丝间接触状态由耦合接触转变为芯丝-侧丝接触。XIANG等^[5]基于解析法的研究发现轴向拉伸和扭转载荷下钢丝绳的轴向应力与钢丝绳捻角正相关。曹国华等^[6]通过推导同层钢丝正好接触时的接触半径、间隙角和间隙率的表达式，研究发现随轴向载荷的增大，绳股的接触半径、间隙角和间隙率变化缓慢。PENG等^[7]对钢丝绳的滑动摩擦磨损进行试验研究，发现随着拉伸载荷的增加，稳态阶段钢丝绳间磨损深度线性增加。钢丝绳受载荷作用后必将引起丝间接触，进一步引起钢丝绳力学性能的变化，然而，上述研究均未考虑丝间接触变形对钢丝绳股轴向力学性能的影响。此外，也有学者采用有限元法对考虑丝间接触的钢丝绳轴向力学性能进行仿真研究。例如，WANG等^[8]的有限元分析表明，在拉伸过程中矿井提升用钢丝绳与摩擦片的动态接触区包括黏着区、滑移区和混合区。JIANG等^[9]对拉伸载荷作用下钢丝绳的丝间接触行为进行了有限元分析，发现丝间接触可以同时发生在芯丝和侧丝之间以及相邻侧丝之间。刘玉辉等^[10]采用有限元法对单捻钢丝绳丝间接触行为进行研究，发现钢丝间的接触状态会导致钢丝应力的等幅度周期性波动。在考虑轴向载荷作用下，CHEN等^[11]的有限元仿真结果表明，圆股的芯丝和侧丝间的最大接触压力比三角股的小，且圆股比三角股的应力分布均匀。对于钢丝绳的丝间接触问题，利用有限元法求解时往往非常耗时，且可能出现求解不收敛等问题。鉴于此，CHEN等^[12-13]采用半解析法(SAM)实现了弯曲载荷下钢丝绳的丝间接触状态和摩擦分析，然而，该研究未涉及到轴向载荷下钢丝绳的丝间接触行为分析。针对上述问题，本文作者综合考虑钢丝的泊松比效应和丝间接触变形等因素，以简单螺旋股为研究对象，建立钢丝绳股轴向力学模型。进一步采用SAM对该轴向力学模型进行求解，获得轴向拉伸和轴向扭转载荷对钢丝绳股轴向力学性能影响的规律，从而为轴向载荷作用下的钢丝绳的设计和选用提供理论依据。

1  理论建模

1.1  钢丝绳股基本参数

本研究所分析的是工程常用的简单螺旋股，其几何结构由半径为r₁的芯丝(钢丝)和缠绕于其上的6根半径为r₂的侧丝组成，如图1(a)所示。绳股承受轴向载荷F_z和扭转载荷M_z作用前后的侧丝轴线展开图，如图1(b)所示。其中：α变形前的侧丝螺旋角；r_h为变形前的侧丝螺旋半径，h，s和l分别为变形前的绳股长度、侧丝轴线长度和侧丝轴向投影弧长；上标“'”为变形后参数。

图1  承受轴向拉伸和扭转载荷的绳股几何特征

Fig. 1  Geometrical features of strand subjected to axial tension and torsion

承受轴向拉伸和扭转载荷作用后绳股的拉伸、扭转应变可分别表示为ε_t=(h'-h)/h和τ_t=△φ/h。其中，△φ为绳股两端面的相对转动角度。考虑钢丝的泊松比效应和芯丝-侧丝接触变形引起的扁平效应，绳股芯丝的轴向拉伸应变ξ₁=ε_t，而侧丝的轴向拉伸应变ξ₂为

       (1)

式中：A=r'_h/r_h；B=cotα+r_hτ_t。变形前后侧丝轴线的螺旋半径分别为r_h=r₁+r₂和r'_h=r'₁+r'₂-△₁-△₂，△₁和△₂分别为芯丝、侧丝的接触变形量。鉴于钢丝的泊松比效应对局部应力影响显著^[4]，故应计入泊松比效应，则变形后接触区的芯丝半径、侧丝半径分别为r'₁=r₁(1-v₁ξ₁)和r'₂=r₂(1-v₂ξ₂)，其中，v₁和v₂分别为芯丝和侧丝的泊松比。

螺旋角作为简单螺旋股的重要结构参数，其影响钢丝绳的承载能力和抗变形能力，在轴向载荷作用下，变形后的侧丝螺旋角为

          (2)

1.2  绳股侧丝的受力平衡方程

假设轴向载荷下的钢丝绳不受外部力矩作用，则绳股的侧丝受力情况如图2所示。其中：d_s为沿侧丝轴线方向的微弧长段；(t, n, b)为侧丝轴线在某截面处的局部坐标系，t，n和b分别为沿侧丝轴线的切向、法向和副法向方向；N，N'和T分别为侧丝法向、副法向和切向方向的作用力；G，G'和H分别为侧丝法向、副法向和切向方向的作用力矩；X，Y和Z分别为侧丝在法向、副法向和切向方向的外部线载荷。

图2  绳股侧丝受力情况

Fig. 2  Loads acting on outside wire of wire rope strand

在忽略很小的绳股芯丝和侧丝间摩擦力下^[14]，侧丝的受力可通过下列平衡方程组描述：

          (3)

          (4)

式中：κ'₂为绳股侧丝待求点变形后在副法线方向的曲率；τ'为该点的挠率。曲率和挠率取决于侧丝的轴向位置^[15]。假设钢丝受载后处于线弹性阶段，则侧丝所受的轴向拉力T=Eπ(r'₂)²ξ₂。其中：E为弹性模量；r'₂为变形后的侧丝半径。侧丝截面处所受的关于b轴的弯矩G'和截面扭矩H见文献[16]。

此外，钢丝绳在固定拉伸(即约束加载端的转动自由度)条件下所产生的扭矩M_z和自由拉伸条件下(即不约束加载端的转动自由度)所产生的扭转应变τ_t分别为：

         (5)

            (6)

式中：k_εε为沿z轴(如图2所示)的拉伸刚度矩阵分量；k_θθ为绕z轴的扭转刚度矩阵分量；k_εθ和k_θε为耦合刚度矩阵分量^[17]。

1.3  芯丝-侧丝接触建模

不考虑绳股相邻侧丝之间的接触，简单螺旋股的丝间接触情况如图3所示。其中：y'，z'和e'_z分别为o_2y，o_2z和芯丝轴线e_z在y_co_cz_c平面上的投影。施加轴向载荷前的芯丝-侧丝接触区为螺旋线，而受载后的接触区则变成半宽为b的狭长区域，接触半宽b可根据文献[14]进行确定。

图3  芯丝-侧丝间接触情况

Fig. 3  Contact between central wire and outside wire

由于沿接触半宽b方向(即o_cy_c方向)的尺寸很小，因此取沿接触线方向(即o_cz_c方向)的无穷小接触段d_s0进行研究。任意点(y_c, z_c)处的接触间隙h_c，可通过芯丝和侧丝间初始接触间隙h_i与总弹性变形u之和减去芯丝和侧丝间的相对位移u_r得到：

      (7)

初始接触间隙h_i的表达式可表示为

    (8)

其中：γ为e'_z与o_cz_c的夹角，γ=π/2-α'_c；η为o_cz_c与平面yo₂z的夹角，η=α'_c-α'，α'_c为变形后的接触线螺旋角，即

         (9)

作用在钢丝上的轴向载荷通过丝间接触压力来平衡，其表达式如下：

    (10)

其中：b为接触半宽；p(y_c, z_c)为丝间接触压力；X_c为丝间接触载荷。

在接触区，芯丝和侧丝之间的接触压力大于0 Pa，接触间隙为0 m，即

    (11)

式中：A_c为接触区域，反之，非接触区的接触压力为0 Pa，接触间隙大于0 m，即

    (12)

式(7)～(12)所示为芯丝-侧丝的接触求解模型，由于接触区面积远小于芯丝和侧丝的表面积，则可以利用Boussinesq公式计算出因丝间接触压力引起的总弹性变形^[18]。在使用SAM对芯丝-侧丝的接触模型进行求解过程中，基于快速傅里叶变换算法(FFT)实现弹性变形的快速计算，其计算公式为

             (13)

式中：符号“”表示丝间接触压力引起变形的二维离散傅里叶变换(DFT)；“IDFT”表示其逆变换。该弹性变形的影响系数可通过下式得到：

 (14)

式中：为Green函数，其表达式见文献[19]。

2  数值求解

使用SAM求解钢丝绳股轴向力学模型时，根据上述建立的接触模型，选取芯丝与侧丝接触线的计算域为{(x_c, y_c, z_c)|0≤x_c≤6b, -4b≤y_c≤4b, -3b≤z_c ≤3b}，将选取的区域离散为i_max×j_max×k_max个网格单元，保证每个网格为△x_c=6b/i_max，△y_c=8b/j_max和△z_c=6b/k_max。为保证求解的精确性，网格数i_max×j_max×k_max的取值为128×128×64，接触变形迭代的收敛精度ε_△为1.0×10^-4。

考虑泊松比效应和丝间接触变形的钢丝绳股轴向力学模型的求解流程如图4所示。求解过程中，首先假设绳股芯丝-侧丝间的总接触变形量为△^tril(初始值设为0)，根据式(1)和(2)计算侧丝的轴向应变及变形后的螺旋角，进一步计算出侧丝承受的轴向力、截面力等。然后基于上述计算对式(3)和(4)进行求解，得到芯丝-侧丝间的接触载荷。进一步通过式(11)和(12)，采用SAM对上述建立的接触模型进行求解，求解式(13)和(14)采用快速傅里叶变换算法(FFT)加快弹性变形的计算。基于共轭梯度法(CGM)可同时计算出接触压力和接触变形，若接触变形量△不收敛，则采用△^tril=△^tril+ω(△-△^tril)来修正接触变形量，其中松弛因子ω取0.5。

图4  钢丝绳股轴向力学模型求解流程

Fig. 4  Solution process of axial mechanical performances model for wire rope strand

3  模型验证

在相同的工况条件下，本研究与UTTING等^[20]的试验数据及GHOREISHI等^[17]的有限元(FEM)仿真进行3种不同螺旋角条件下的结果对比，以验证本研究考虑丝间接触的绳股轴向力学模型。对比时施加的边界条件为绳股的一端固定另一端施加轴向载荷F_z=40 kN，且绳股材料参数E=197.9 GPa，v=0.3，结构参数r₁=1.97 mm和r₂=1.865 mm，比较结果见图5。

图5  本模型计算结果与文献[17, 20]结果的对比

Fig. 5  Comparison of present model results with Refs.[17,20]

由图5(a)可知：本模型在固定拉伸条件下使用式(5)计算所得的扭矩M_z，以及本模型在自由拉伸下使用式(6)所得的端面扭转应变τ_t，均与文献[20]的相应试验数据及文献[17]的相应有限元(FEM)结果基本吻合。需要说明的是，上述试验^[20]中记录的微小扭转应变的影响和文献[17]的FEM仿真将丝间摩擦因数视为无穷大，而本研究忽略了丝间摩擦，故上述比较存在一定偏差。因此，上述所建立的绳股轴向力学模型可用于后续绳股轴向力学性能的分析。

在相同的工况条件下，参数E=188 GPa，v=0.3，r₁=1.97 mm，r₂=1.865 mm，α=78.2°时，使用SAM与本文作者通过有限元法(FEM)得到的在固定拉伸时绳股承受的轴向力(以下简称轴向力)进行对比，比较结果如图6所示。

图6  SAM与FEM计算的轴向力对比

Fig. 6  Comparison of calculated axial force of SAM and FEM

在相同的输入参数下，图7所示为绳股固定拉伸时SAM和FEM计算时间的对比。算例1为螺旋角α=71°与弹性模量E=210 GPa下的单次计算时间，算例2为5种不同螺旋角钢丝绳股(即α分别为71°，73°，75°，77°和79°)的计算总时间；算例3为5种不同钢丝弹性模量(即E分别为170，180，190，200和210 GPa)的计算总时间。由图7可知：在3种算例情况下，SAM的计算时间远小于FEM相应仿真时间。从图6和图7 可知：在保证计算结果准确的前提下，SAM的计算效率远高于FEM仿真的计算效率。

图7  SAM与FEM的计算时间的比较

Fig. 7  Comparison of calculating time of SAM and FEM

从图5～7可知：本研究所建立的钢丝绳股轴向力学模型和相应的SAM求解方法，能用于后续综合考虑泊松比效应和丝间接触影响的钢丝绳股轴向力学性能分析。

4  结果与讨论

采用与上述SAM相同的网格系统和收敛精度，在图1(a)所示的钢丝绳股一端固定另一端加载的情况下，运用SAM分别对轴向拉伸和扭转载荷作用下钢丝绳股的轴向力学性能和芯丝-侧丝的接触行为进行研究。

4.1  计入丝间接触影响

表1所示为拉伸(ε_t=0.2%)和扭转(τ_t=2 rad/m)载荷下计入/不计入丝间接触的计算结果对比。对比时，E=188 GPa，v=0.3，r₁=3.2 mm，r₂=3.0 mm和α=66°。计算结果表明：计入丝间接触的计算结果均小于不计入丝间接触结果；拉伸载荷下，计入/不计入丝间接触的侧丝轴向应变、绳股所受轴向力和扭矩相对误差分别为-8.86%，-7.15%和-9.94%；扭转载荷下，计入/不计入丝间接触的上述3类参数的相对误差分别为-9.67%，-9.47%和-7.37%。

综上可知，计入丝间接触对拉伸和扭转载荷下绳股的轴向力学性能有着不可忽略的影响，因此，下述分析将考虑丝间接触对绳股轴向力学性能的影响。

表1  计入/不计入丝间接触的计算结果对比

Table 1  Comparison of results with/without contact

4.2  轴向拉伸应变影响

图8所示为轴向拉伸应变(以下简称拉伸载荷)对侧丝螺旋角增量和螺旋半径增量的影响。由图8可见：侧丝螺旋角随拉伸载荷的增大而增加。

同时可以发现，侧丝螺旋半径会因拉伸载荷的增大而减小(即缩径)，这与文献[9]的FEM仿真结论一致。侧丝螺旋角增大是因为拉伸载荷下侧丝的捻距变大，同时由式(1)和(2)可得，随螺旋半径的减小，侧丝的螺旋角增大。拉伸过程中钢丝的泊松比效应导致侧丝发生缩径现象，同时芯丝与侧丝间存在接触变形，因此，侧丝轴线的螺旋半径略有减小。

图8  轴向拉伸应变对侧丝螺旋角增量和螺旋半径增量影响

Fig. 8  Influence of axial tensile strain on changes in helix angle and helix radius of outside wire

图9所示为轴向拉伸载荷对芯丝和侧丝轴向应变的影响。从图9可见：在所研究的拉伸载荷范围内，施加在绳股上的轴向拉伸载荷越大，引起的芯丝和侧丝拉伸应变越大。开始拉伸时，芯丝与绳股的轴向应变始终相等，而后随拉伸的进行，侧丝的轴向应变比芯丝的略小，这与ONUR^[21]在忽略钢丝的泊松比效应和丝间接触变形引起的扁平效应时的试验研究结论一致。侧丝的轴向应变为芯丝的72%。此外，从图8可知：侧丝的螺旋状结构与芯丝和侧丝之间的接触变形共同引起了芯丝的轴向应变大于侧丝的轴向应变，说明芯丝较侧丝承受了更大的拉伸载荷，因此，钢丝绳在服役时，芯丝相对于侧丝更易产生拉伸失效。

图9  轴向拉伸应变对钢丝轴向应变影响

Fig. 9  Influence of axial tensile strain on axial strain of wire

施加的拉伸应变引起的绳股承受的扭矩和轴向力(以下简称扭矩和轴向力)的变化如图10所示。在轴向拉伸过程中，固定绳股2个端面间的相对转动(τ_t=0 rad/m)会产生一定的扭矩。从图10可见：在给定的拉伸载荷范围内，增大施加在绳股上的轴向拉伸应变会导致扭矩和轴向力均增大。

图10  轴向拉伸应变对绳股扭矩和轴向力影响

Fig. 10  Influence of axial tensile strain on strand axial force and torque

图11所示为轴向拉伸载荷引起的丝间接触性能的改变。由图11(a)可见：随着拉伸载荷的增大，芯丝-侧丝最大接触变形和接触线载荷均增大。拉伸载荷越大，钢丝的扁平效应越明显。

由图11(b)可见：芯丝和侧丝之间的最大接触压力与接触半宽变化规律相同，均随拉伸载荷的增加而增大，虽然二者的斜率有所减小，但过大的轴向载荷可能会加快钢丝表面接触疲劳失效，进而降低钢丝绳的使用寿命。

4.3  轴向扭转应变影响

图12所示为轴向扭转应变(以下简称扭转载荷)对绳股芯丝和侧丝轴向应变的影响。从图12可知：随着扭转的进行，芯丝的轴向应变始终等于0(即ξ₁=0)，原因是加载扭转载荷的过程中本研究固定了绳股的长度。此外，较大的扭转载荷引起较大的侧丝轴向应变，这表明施加在绳股上的扭转载荷越大，侧丝发生拉伸失效的可能性越大。

图13所示为轴向扭转载荷对钢丝绳股侧丝螺旋半径和螺旋角增量的影响。从图13可见：随着扭转的进行，螺旋半径略有减小，这是芯丝和侧丝之间的接触引起的变形和侧丝被拉伸而产生的缩径导致的。

图11  轴向拉伸应变对芯丝-侧丝接触性能影响

Fig. 11  Effect of axial tensile strain on inter-wire contact performances

图12  轴向扭转应变对钢丝轴向应变影响

Fig. 12  Influence of axial torsional strain on axial strain of wire

此外，扭转载荷下侧丝螺旋角减小，这与拉伸载荷下的规律相反。从图12可知：扭转载荷对侧丝的轴向应变影响显著，扭转载荷使侧丝拉伸，而绳股长度不变，则侧丝的螺旋长度增加，进而引起侧丝螺旋角减小。

图13  轴向扭转应变对侧丝螺旋半径和螺旋角增量影响

Fig. 13  Influence of axial torsional strain on changes in helix angle and helix radius of outside wire

图14所示为施加的轴向扭转载荷引起的绳股承受的轴向力和扭矩的变化。从图14可见：在扭转载荷作用下，绳股的轴向力和扭矩均随扭转应变的增大而增加，这与拉伸载荷作用下的规律相同。

图14  轴向扭转应变对绳股轴向力和扭矩影响

Fig. 14  Influence of axial torsional strain on strand axial force and torque

图15所示为不同轴向扭转载荷下的钢丝绳股芯丝-侧丝接触性能。由图15(a)可见：随着施加在绳股上的轴向扭转应变增加，芯丝和侧丝间的接触线载荷和最大接触变形均增大。

由图15(b)可见：类似图11所示的轴向拉伸载荷下的变化规律，扭转载荷的增加会导致芯丝和侧丝间的接触半宽和最大接触压力均增大。虽然二者的斜率均随扭转载荷增加而逐渐减小，但过大的扭转载荷可能会加快钢丝表面接触疲劳失效。

图15  轴向扭转应变对芯丝-侧丝接触性能影响

Fig. 15  Effect of axial torsional strain on inter-wire contact performances

5  结论

1) 采用SAM可实现钢丝绳股轴向力学性能和芯丝-侧丝接触性能快速而准确的求解，且计算效率远高于FEM仿真的计算效率。

2) 在所研究的绳股参数下，计入/不计入丝间接触的计算结果的相对误差的绝对值均大于7%，因此，绳股轴向力学性能的研究应计入丝间接触的影响。

3) 轴向拉伸载荷下，侧丝的轴向应变为芯丝的72%，即芯丝比侧丝承受更大的拉伸载荷。轴向拉伸载荷越大，芯丝-侧丝间的接触变形和接触半宽越大。

4) 在轴向扭转过程中，侧丝的轴向应变随扭转载荷的增加而增大。扭转载荷的增大会导致芯丝-侧丝间的接触压力和接触半宽增加，侧丝螺旋角减小。

5) 在考虑钢丝的泊松比效应和丝间接触变形引起的扁平效应下，由于承受轴向载荷的侧丝发生缩径，以及芯丝和侧丝间的接触变形，侧丝轴线的螺旋半径略有减小。

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(编辑  杨幼平)

收稿日期：2018-06-01；修回日期：2018-09-25

基金项目(Foundation item)：国家重点基础研究发展规划(973计划)项目(2014CB49403)(Project(2014CB49403) supported by the National Basic Research Development Program (973 Program) of China)

通信作者：孟凡明，博士，教授，从事钢丝绳，内燃机动力学及摩擦学等研究; E-mail: fmmeng@cqu.edu.cn