DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2019.02.017
阶段嗣后充填采场结构参数的多目标多属性优化
兰明，刘志祥，李夕兵
(中南大学 资源与安全工程学院，湖南 长沙，410083)
摘要：为确定某金矿阶段嗣后充填采场最优开采参数，采用弹性厚板理论，分析不同跨度下顶柱厚度与最大拉应力的关系；结合矿山实际开采条件，通过中心复合试验设计及数值模拟计算得到不同结构参数下的力学响应；构建最大拉应力、最大压应力和最大竖向位移的二阶响应面模型，研究各响应量之间的关系；通过多目标优化及多属性决策的方法最终实现采场结构参数的综合优化。研究结果表明：顶柱最小厚度为4.00 m；矿柱跨度及顶柱厚度对采场力学响应产生显著影响，采场最优开采尺寸是矿房跨度为29.90 m，矿柱跨度为31.40 m，顶柱厚度为5.24 m。
关键词：嗣后充填采场；结构参数；数值分析；响应面法；多目标优化；理想点法
中图分类号：TD853 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2019)02-0375-09
Multi-objective optimization and multi-attribute decision making on structural parameters of stage backfilling stope
LAN Ming, LIU Zhixiang, LI Xibing
(School of Resources and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)
Abstract: In order to determine the optimum dimensions of the stage backfilling stope of a gold mine, the relationship between the roof thickness and the maximum tensile stress under different spans was analyzed by using the elastic thick plate theory. With consideration of the actual mining conditions of the mine, the mechanical responses under different structural parameters were obtained by means of the central composite test design and the numerical simulation. In addition, the second order response surface models of the maximum tensile stress, the maximum compressive stress and the maximum vertical displacement were performed to investigate the relationship among each response. Finally, the comprehensive optimization of stope structural parameters was realized with the multi-objective optimization and the multi-attribute decision making method. The results show that the minimum roof thickness is 4.00 m. The pillar span and roof thickness have significant impact on the mechanical response. The optimal parameters are determined as follows: the scheme of chamber span is 29.90 m, the pillar span is 34.10 m and the roof thickness is 5.24 m.
Key words: stage backfilling stope; structure parameters; numerical analysis; response surface method; multi-objective optimization; ideal point method
随着硬岩金属矿山往深部不断推进，开采技术条件及环境发生改变，浅部开采方法难以适用于矿山后续的深部开采[1]。国内某黄金矿山所采用的浅部采矿方法为上向进路充填法，当开采至-470 m中段左右时，该方法已难以满足现有的生产要求。为提高生产效率、节约成本及确保安全等，该矿山尝试采用中深孔落矿阶段嗣后充填法并结合上向进路法进行采场试验。采场进行嗣后充填后，采空区及顶柱暴露面积过大或者暴露时间过长均将带来安全隐患，为确保试验采场的有序开采，需确定合理的采场结构参数[2]。数值模拟方法[3-4]是研究采场结构的一种重要手段，它能够有效地提高设计效率，减少现场试验所带来的成本，适用性强。刘钦等[5-7]以单一响应为目标对采场参数进行优化，通过计算得到了采场最佳参数，然而，将不同的响应作为待优化目标，不同优化结果之间极有可能是互相矛盾的，单目标优化容易造成最优解不稳定。多目标优化[8-10]在很大程度上能够克服单目标优化的不足。MARLER等[11]认为，单目标优化由于目标函数单一，存在唯一最优解，而多目标优化的结果是获得一系列可行解，这些可行解在理论上均可认为是有效的，只是在工程应用上对于决策者来说实用价值不大，如何在众多可行解中合理地选择理想方案是多目标优化所面临的难题。一些研究者提出将多属性决策方法如模糊数学、层次分析法及TOPSIS法等作为采矿方法的优选[12-13]，较好地解决了采矿方法的优选问题。为此，本文作者针对现存采场结构参数优化方法的不足，以国内某金矿中深孔分段崩矿阶段嗣后充填采场为研究对象，首先通过厚板理论确定合理的采场结构参数范围，以此为基础，设计采场结构参数的正交试验方案，对不同方案下采场开挖进行数值模拟试验；其次，建立不同参数与其力学响应之间的响应面模型，采用遗传算法进行多目标优化，获得相应的可行解；最后，基于多属性决策的理想点法，综合考虑各可行解(结构参数)及其力学响应，优选出采场最佳结构参数，以此指导矿山的安全高效开采。
1 工程概况及结构参数方案选择
1.1 工程概况
某矿V号矿体为设计范围内主要矿体，赋存于+85~-650 m水平，主要走向为5°~15°，自北向西倾斜，-470 m中段以上即将开采完毕；-470~-510 m为主要开采中段，该中段内矿体较规整，平均厚度为 12.5 m，平均倾角为55°；围岩中等稳固，普氏系数f为4~9。根据矿山的开采技术条件及现状，-470 m中段及其以下矿体变厚，为大规模开采创造了条件。
借鉴中厚矿体中深孔爆破开采相关经验，采用中深孔落矿阶段嗣后充填法对试验采场进行开采，采场布置见图1：采场沿矿体走向布置，由矿房及矿柱构成，回采阶段高度为40.0 m，宽度为12.5 m。采场上覆为120.0 m高充填体，因此，需留有一定厚度顶柱。脉内靠近下盘附近布置中深孔凿岩巷道，以切割天井作为首次爆破自由面及补偿空间，自上而下分层进行中深孔爆破，底部布置无底柱堑沟出矿结构，采用铲运机出矿。两侧矿房回采完毕后，对空区进行嗣后充填，然后回收矿柱。
图1 试验采场布置示意图
Fig. 1 Schematic diagram of test stope
1.2 基于厚板理论的开采参数选择
采用中深孔嗣后充填法开采。在采场充填前，顶柱存在着一定的暴露时间，此时，采场稳定性主要由顶柱的受力状态决定。国内外许多研究者将弹性薄板理论应用于顶柱受力分析，但深部采场顶柱多数不符合弹性薄板的适用条件，顶柱的厚跨比一般较大，弹性薄板理论难以保证分析结果的可靠性，在这种情况下，采用厚板理论进行分析更符合工程实际。
将采场顶柱简化为矩形板，设顶柱长边边长为a，短边边长为b，板厚度为H，顶柱矿岩弹性模量为E，泊松比为v，密度为ρ，抗拉强度为σt，其力学模型如图2所示。
按照Vlasov厚板理论[14]，简支矩形厚板的平衡微分方程为
(1)
式中：
，为顶柱的抗弯刚度；
和
分别为板在xz和yz截面的转角；
；
为拉普拉斯算子；w为顶柱的扰度；G为顶柱的剪切模量；H为顶柱的厚度。板在x和y方向的力矩分别为
(2)
在考虑边界扭矩及剪应变的情况下，板的边界条件为
(3)
对板的挠度、转角位移函数和载荷(包括上覆充填体及顶柱自重)进行三角级数展开：
(4)
联立式(1)和(4)得系数Amn，Bmn，Cmn和qmn，近似取m=n=1，代入式(2)求得力矩的表达式为
(5)
由式(5)可知：Mx和My在x=a/4及y=b/4处取得最大值，不失一般性，可令Mxmax=Mymax，则厚板将在下表面出现最大拉应力为
(6)
当顶柱受力弯曲过程中最大拉应力超过其抗拉强度时，可认为发生弯曲破坏，因此，式(6)可作为顶柱破坏的判据。根据工程实际，该采场顶柱宽度为矿体厚度，即b=12.5 m，矿岩密度ρ=2 810 kg/m3，上覆充填体密度ρ0=1 670 kg/m3，泊松比v=0.28，矿岩抗拉强度为2.34 MPa。按相关经验，取安全系数为2，顶柱跨度范围设为25~35 m，当顶柱厚度为3~8 m时，通过计算可以获得不同跨度下顶柱厚度与最大拉应力的关系曲线，见图3。
图2 顶柱受力示意图
Fig. 2 Force diagram of roof
图3 不同跨度下采场顶柱与最大拉应力关系
Fig. 3 Relationship between stope roof and the maximum in different spans
从图3可以看出：当厚度超过4 m时，在25~35 m跨度范围内，顶柱最大拉应力均未超过矿岩的抗拉强度，因此，从安全角度考虑，在采场顶柱为4~8 m时，在采场跨度25~35 m范围内进行结构参数优化是可 行的。
2 数值模拟试验及目标函数拟合
2.1 数值计算模型
为研究不同参数对采场稳定性影响，对模型进行适当简化后，取矿体平均厚度为12.5 m，采场阶段高度为40.0 m，矿体倾角为55°，上覆充填体高度为 120.0 m。采场分为矿房及矿柱采场，两侧矿房开采充填完毕后进行矿柱开采。通过岩体工程地质调查、上下盘围岩取样测试及充填体强度试验，经过工程强度折减后获得数值模拟所需的岩体力学参数，见表1。原岩应力包括岩体自重应力及构造应力，通过现场测量及地应力的回归分析，获得沿矿体走向应力σhmax、垂直矿体走向应力σhmin以及竖直方向应力σz随着深度Z的变化规律如下：
(7)
根据圣维南原理，数值分析广泛采用3~5倍开挖半径作为模型边界，本文模型长×宽×高取为300 m×160 m×200 m，见图4。为获得采场开挖后最大拉应力、最大压应力、最大竖向位移等力学响应，取矿房及矿柱跨度分别为20.0，25.0和35.0 m，顶柱厚度分别为4.0，6.0和8.0 m，根据中心复合试验设计原理，共设计15个试验点进行数值模拟分析，结果见表2。
图4 有限元分析模型
Fig. 4 Analysis model of finite element
2.2 数值计算结果
从表2可看出：综合各方案，采场最大压应力在16.12~19.75 MPa之间，最大拉应力在1.11~1.79 MPa之间，最大竖向位移在4.44×10-2~5.29×10-2 m之间。表2中方案14采场开采后的最小主应力见图5。从图5可见：顶柱中部易出现较大拉应力，最大值为1.682 MPa，未超过矿岩抗拉强度2.340 MPa，采场处于稳定状态。方案14最大竖向位移见图6。从图6可以看出：上、下盘越靠近空区位移越大，顶柱位移较大，最大竖向位移出现在靠近上盘处。总体来说，表2中各方案的力学响应均在合理的安全范围内，采场未发生破坏。
图5 方案14最小主应力
Fig. 5 The minimum principal stress of scheme 14
图6 方案14最大竖向位移
Fig. 6 Maximum vertical displacement of scheme 14
表1 岩体力学参数
Table 1 Mechanical parameters of rock mass
表2 各方案力学响应指标比较结果
Table 2 Comparison results of mechanical response indexed of different schemes
2.3 响应面法拟合目标函数
通过响应面法建立矿房跨度、矿柱跨度和顶柱厚度与采场最大压应力、最大拉应力及最大竖向位移之间的非线性映射关系，采用具有相互作用的二阶响应面法[15]，其表达式为
(8)
式中：
为响应近似函数；xi为随机变量；a0，ai，aii和aij(i，j=1，2，…，n)为待定系数。利用Matlab拟合得到响应面的函数表达为：
(9)
(10)
(11)
式(9)~(11)中3个响应面函数拟合程度见图7，相应的复相关系数R2分别为0.980 2，0.998 8和0.995 9，由此可见各模型总体拟合度和可靠性均较高。各模型显著性水平P见表3。P反映了参数的显著性[16]P＞0.050 0表示该因素影响不显著，0.000 1≤P≤0.050 0表示该因素影响比较显著，P＜0.000 1表示该因素影响极其显著。
为了更加直观反映单因素对各响应的影响，分别对矿房跨度、矿柱跨度及顶柱厚度进行归一化处理。在分析其中1个因素对某一响应的影响时，保持其他2个因素为均值0.5。最大压应力随不同因素变化曲线见图8(a)，可见最大压应力随3个因素增大均呈先减小后增大的趋势，而当顶柱厚度大于5.2 m(归一化值为0.3)时，对最大压应力影响极明显。
图7 不同响应量预测值与实际值对比
Fig. 7 Comparison between predicted and measured values of different response variables
表3 各模型显著性水平P
Table 3 Significance level P of each model
图8 不同响应量单因素影响分析
Fig. 8 Effect analysis of single factor on different response variables
最大拉应力随不同因素的变化规律见图8(b)。从图8(b)可见：随着3个因素增加，最大拉应力分别在3个因素的均值附近(即表2中方案8的采场参数值)时达到极小值；此外，矿柱跨度和顶柱厚度对最大拉应力产生显著影响。
最大竖向应力随不同因素的变化规律见图8(c)。从8(c)可见：最大竖向位移随着矿柱跨度增大而增大，随着顶柱厚度增大而减小；矿柱跨度变化对最大竖向位移几乎没影响；矿柱跨度和顶柱厚度对最大竖向位移影响较显著，矿柱跨度增大使得最大竖向位移急剧增加；顶柱厚度增大有利于减小采场最大竖向位移。
3 结构参数多目标多属性优化
3.1 结构参数多目标优化的Pareto解
采场结构参数优化应该基于在保证安全的前提下，力学响应最小化的原则。但一般来说，各结构参数与不同力学响应之间存在非线性关系，同时满足各个目标函数的最优解几乎不存在。LIN等[17-20]提出利用Pareto最优的概念解决多目标优化问题，其中，Pareto解的定义为：对于多目标优化问题，
(12)
x1，x2∈Rn，对所有目标函数均有fi(x1)≤fi(x2)，且存在fi(x1)＜fi(x2)(其中，i=1，2，…，n)，则解x1支配x2，记为x1＞x2。若Rn中不存在解x和y使得y＞x，则x为Rn中的非支配解，这样的解就是Pareto最优解。Pareto最优解往往以集合的形式出现，其构成的子空间为Pareto前沿面。
基于以上原则，采用多目标遗传算法对式(9)~(11)在矿房、矿柱跨度25~35 m以及顶柱厚度4~8 m范围内进行参数寻优。遗传算法初始参数为：种群数量n=30；最大进化代数Piter=500；交叉概率Pc=0.9；变异概率Pm=0.1。经过121次迭代，获得采场参数多目标优化问题的Pareto最优解集与其对应力学响应值，见表4。通过式(13)对表4中Pareto解对应的响应值进行归一化处理得到Pareto二维前沿面，如图9所示。
(13)
从表4及图9可以看出：所求得的可行解集完全符合Pareto非劣解的定义，这也验证了对于采场结构参数的多目标优化问题，获得单一最优解是不现实的，有必要对这些可行解进行进一步优选。
图9 Pareto二维前沿面
Fig. 9 Pareto front of two-dimension
表4 Pareto最优解集及其力学响应
Table 4 Pareto optimal solution set and its mechanical response
3.2 基于多属性优选的结构参数确定
对于中深孔嗣后充填采场来说，矿房跨度、矿柱跨度及顶柱厚度往往与生产效益有密切关系，而力学响应对应开采安全性。一方面，跨度越大，采场一次出矿量增大，顶柱厚度越小，矿石损失越小，增大跨度及减小顶柱厚度能提高采场生产效率，减小矿石损失；另一方面，随着开挖进行，采场受力及变形情况须保持在安全稳定范围内，这在一定程度上与增大跨度、减小顶柱厚度是相矛盾的。故为了确定合理的结构参数，应兼顾这2个方面因素的影响。理想点法(TOPSIS)是通过计算评价对象与理想目标之间的接近程度，实现多目标决策分析的一种常用方法。基于理想点综合评价法，对表4中各参数方案进行优选，其实现步骤如下[21-23]。
1) 建立初始评价矩阵。将表4中矿房、矿柱跨度及顶柱厚度即x1，x2和x3作为经济指标，采场最大压应力、最大拉应力及最大竖向位移即Y1，Y2和Y3作为安全指标，由此构建初始评价矩阵为
(14)
式中：Ai为初选方案的指标向量集，i=11。
2) 规范化评价矩阵。在评价矩阵式(14)中，矿房、矿柱跨度(x1i和x2i)为效益型指标，其值越大越好；其余各指标为成本型指标，其值越小越好。对矩阵A进行归一化处理后得到新的评价矩阵B：
(15)
3) 评价指标权重的确定。采用AHP及熵权法的主客观的组合赋权方法，获得各指标的组合权重W=(0.039，0.125，0.67，0.033，0.107，0.028)。
4) 确定加权标准化后归一化矩阵
的正、负理想解分别为
(16)
5) 方案贴近度计算。分别计算评价对象到正、负理想解的欧式距离，其计算公式如下：
(17)
则Zi与理想解的贴近度T为
(18)
式(19)中Ti在区间[0，1]内，其值越大，表示越贴近理想解。
6) 结构参数的确定。经过式(17)~(18)计算得到表4中各方案的贴近度如图10所示。
图10 各方案贴近度
Fig. 10 Similarity degrees of each scheme
从图10可以看出：表4中方案6在所有方案中的贴近度最高，达0.97。综合考虑安全性及经济性的影响，最终确定如下采场最佳开采参数：矿房跨度为29.90 m，矿柱跨度为31.43 m，顶柱厚度为5.24 m。
4 结论
1) 采用Vlasov厚板理论分析了顶柱的力学特性，得到了不同跨度下顶柱厚度与最大拉应力的关系，确定矿房、矿柱跨度在25~35 m范围内，顶柱最小厚度为4.00 m。
2) 顶柱底部中间处易产生较高拉应力及竖向位移，上、下盘靠近空区附近易出现较大变形，采场最大压应力为19.750 MPa，最大拉应力为1.682 MPa，最大竖向位移为5.28 cm，采场处于稳定状态。
3) 矿柱跨度及顶柱厚度对采场最大压应力、最大拉应力及最大竖向位移产生显著影响。
4) 通过多目标优化将产生一系列的Pareto非劣解，基于多目标决策的TOPSIS法综合考虑结构参数与力学响应的作用，经各方案优劣度排序获得最优贴近度为0.97。确定采场最佳开采尺寸如下：矿房跨度为29.90 m，矿柱跨度为31.43 m，顶柱厚度为5.24 m。
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(编辑 陈灿华)
收稿日期：2018-03-05；修回日期：2018-05-21
基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金重点资助项目(41630642)；国家自然科学基金资助项目(51674288)；湖南省研究生科研创新项目(CX2016B052)(Project(41630642) supported by the National Natural Science Key Foundation of China; Project(51674288) supported by the National Natural Science Foundation of China；Project(CX2016B052) supported by the Graduate Research Innovation Program of Hunan Province)
通信作者：刘志祥，博士生导师，从事金属矿山开采及灾害防控技术研究；E-mail：CSU_LM@163.com
