粒子通过管道的尺寸效应

蒋 礼¹, 周孑民²

(1.中南大学 物理科学与技术学院, 湖南 长沙, 410083;
2.中南大学 能源与动力工程学院, 湖南 长沙, 410083)

摘要: 研究粒子和管道的特征长度, 分析粒子穿过管道的过程, 以探讨粒子与管道相互作用的尺度效应。 在此过程中, 采用粒子覆盖管道截面和粒子填充管道空间的方法, 推导出截面覆盖度和管道体积填充度的关系式, 计算球形粒子通过圆形管道的相关参数。 研究结果表明: 当管口直径D略小于粒子直径d的2倍时, 截面覆盖度最小为25%; 当管口直径大于粒子直径的2倍后, 覆盖度有大有小, 但总的趋势是,随着粒子的直径减小,覆盖度增加; D/d的数量级为10²时, 覆盖度为86.5%, 但当D/d的数量级为10⁵时, 覆盖度仍小于90%; 在D/d→∞时, 覆盖度趋向于1; 体积填充度与面积覆盖度具有相似的变化趋势; 管口的倒角效应随着D/d的变化而变化, D/d越小, 管口的倒角效应越明显。
关键词: 粒子; 管道; 特征尺度; 尺度效应
中图分类号:TK124 文献标识码:A 文章编号: 1672-7207(2005)03-0422-04

Size effects for particles passing through ducts

JIANG Li¹, ZHOU Jie-min²

(1.School of Physics Science and Technology, Central South University, Changsha 410083, China;
2.School of Energy and Power Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

Abstract: The nature length of particles and ducts was described, and particles through ducts were analyzed in order to study the size effects of the mutual relations between particles and ducts when particles passed through ducts. In such processes, the relations of covering ratio and filler ratio were defined, and the formulas of internal cutting cover were deduced. The special case of ball particles through cycle ducts was calculated. The results show that the minium covering ratio is 25% when the caliber is a little less than the double diameter of particles (d). The covering ratio rises and falls after the caliber (D) is more than the double diameter of particles, but the general tendency of covering ratio increases with the decrease of the diameter of particles, and when D/d is equal to 10², the covering ratio is 86.5%; when D/d is equal to 10⁵ , the covering ratio is less than 90%; when D/d→∞, the ratio tends towards 1. The tendency of covering ratio of filling in the ducts′ space with particles is similar to that of covering ratio of the duct in the section. The down-horn effect of caliber changes with D/d, i.e. the smaller D/d, the more obvious the down-horn effect of caliber.
Key words: particles; duct; size of nature; size effect

当今微米/纳米尺度的物理现象、微电子机械系统、“纳米器件”、微尺度传热和流体运动等越来越引起人们广泛的关注。 在微尺度研究领域, 尺度效应是一个非常重要的概念^[1-9]。在此, 作者对粒子通过管道的过程进行分析, 描述粒子和管道的特征长度, 讨论粒子通过管道时两者特征尺度之间的相互关系, 探讨粒子与管道相互作用的尺度效应。

1 粒子的特征长度

粒子运动到一个口径一定的管道处, 被阻止粒子通过管道的长度称为特征长度, 这种运动状态发生改变的效应称为尺度效应。 按照这个定义, 不同形状的粒子有不同的特征长度, 且同种粒子会有多个特征长度。
1.1 球形粒子

球形粒子的几何特征长度为其直径d。 若d大于管口的特征长度, 则粒子就不能通过该管道。 由于球形粒子具有球对称性, 因此, 球形粒子只有1个特征长度。 粒子通过管道时, 若管道口径D>d, 则粒子完全顺畅地通过管道; 若D〈d, 则粒子完全不通过管道。
1.2 立方体粒子

立方体粒子的边长为a, 正方形的斜边长为,立方体斜边长为。 它有3个特征长度, 其中,最大的为, 最小的为a。 当管道口径 时, 立方体顺利地通过管道, 可自由转动, 叫完全通过管道; 当时, 立方体粒子可通过管道, 但受到了限制, 它不能绕过中心的正方形斜边转动; 当时, 立方体粒子也能通过管道, 但受到的限制更多, 它只能平动。 上述2种情况叫不完全通过管道。 当D〈a时, 立方体粒子不能通过管道, 叫完全不通过管道。
1.3 长方体粒子

长方体粒子长为l, 宽为w, 高为h, 还有3条斜边,长度分别为L_lw, L_lh和L_wh, 共有6个特征长度(假定w>h): L_lw, L_lh, l, L_wh, w, h。当D>L_lw时, 粒子完全通过管道; 当h〈D〈L_lw时, 粒子不完全通过管道; 当D〈h时, 粒子完全不通过管道。
1.4 圆柱体粒子

圆柱体粒子有2个几何特征值: 半径r和柱高h (其中,h>2r)。 此外, 还有斜边,长度为。 特征长度有3个, 最大的为, 最小的为2r。 粒子通过管道时, 若, 则粒子完全顺畅地通过管道; 若, 则粒子不完全通过管道; 若D〈2r, 粒子完全不通过管道。
1.5 旋转椭球粒子

旋转椭球粒子有2个几何特征长度参数: 长半轴a, 短半轴b。 当粒子通过管道时, 若D>2a, 则粒子完全顺畅地通过管道; 若2b〈D〈2a, 则粒子不完全通过管道;若D〈2b, 则粒子完全不通过管道。
1.6 椭球粒子

椭球粒子有3个半轴值, 分别为A_x, A_y和A_z, 它有3个特征长度: 2A_x , 2A_y 和2A_z 。 当粒子通过管道时, 若A_z〈A_y〈A_x, 2A_x〈D, 则粒子完全顺畅地通过管道; 若2A_z〈D〈2A_x, 则粒子不完全通过管道; 若D〈2A_z, 则粒子完全不通过管道。
1.7 任意形状的粒子

它的特征长度和特征长度的个数要视具体情况而定, 但总可以找到最大特征长度L_max和最小特征长度L_min。 当粒子通过管道时, 若D>L_max, 则粒子完全顺畅地通过管道; 若L_min〈D〈L_max, 则粒子不完全通过管道; 若D〈L_min, 则粒子完全不通过管道。

完全通过管道与完全不通过管道是共同的状态, 不完全通过管道的情况随着粒子的形状不同而不同。 这里分析的粒子是空间粒子, 即是从三维角度来看待粒子的, 若维数降低, 粒子的特征长度和特征长度数都会变化。 一般地, 线粒子的特征长度数只有1个, 面粒子的特征长度数比线粒子的多, 但比体粒子的少。

2 管道特征长度

在粒子通过管道这一事件中, 管道特征长度是实现该事件的另一个重要因素。 这里所指的管道为截面积恒定的管道, 管口(即管道的截面)的形状和管径是影响粒子运动的关键因素。 阻止粒子通过管道口的特征长度叫管道的特征长度。 由此可见, 不同形状的管道有不同的特征长度, 其特征长度的个数也不同。 但管道的特征长度总数比粒子的特征长度总数少, 因为管口是二维的。

a. 圆形管口只有1个特征长度, 即管口的直径D, 它是最简单的管口。

b. 正方形管口的边长为a, 正方形的斜边为, 其特征长度有2个:a和。

c. 长方形管口的长为l,宽为w, 长方形的斜边为, 其特征长度数有3个: l, w,。

d. 椭圆形管口的长半轴为a, 短半轴为b, 它有2个特征长度:2a和2b。

e. 任意形状管口的特征长度和特征长度数不定, 要视具体情况而定。

3 粒子通过管道的尺度效应

把粒子通过管道的情况视为理想情况, 即略去粒子间的相互作用和粒子与管道间的相互作用。 粒子的运动是最基本的运动(粒子的质心轨迹平行于管壁, 粒子可绕过质心的轴转动)。 粒子要通过管口, 而管口阻止粒子通过,粒子能否通过管口的关键在于粒子与管口的配合, 合配则通, 失配则止。 在不同尺度下, 二者合配程度不同,其尺度效应也就不同。
3.1 管口的特征长度远大于粒子的特征长度时的尺度效应

当管口几何特征长度D远大于粒子的几何特征长度d时, d/D→0 。 对于粒子, 通过管口粒子的形状不是制约其通行的因素。 在这种情况下, 常常略去粒子的形状和大小, 粒子被视为质点。 对于管口, 其形状不会影响粒子的通行, 但会影响粒子的流量。 粒子数很多, 它们通过管口时被看成是连续通过。 如在标准状况下, 空气分子的有效直径为0.1 mm^[10]。从宏观看, 反映的规律和特性是大量粒子统计平均的结果。
3.2 圆形管口的特征长度与粒子的特征长度可比时的尺度效应

当圆形管口的特征长度与粒子的特征长度可比时, 为了讨论方便, 设管口几何直径为D, 粒子的几何直径为d, 有下式成立: d/D=c(其中: c为一个不为零的数, 它的取值范围为0〈c〈1)。 此时, 对于粒子, 通过管口粒子的形状是制约其通行的因素。 在这种情况下, 粒子的形状和大小都必须予以考虑, 粒子不能视为质点。 对于管口, 不但形状和大小会影响粒子的通行, 而且会影响粒子的流量。 粒子个数不是很多, 它们通过管口的形态被看成是不连续的。 下面分析粒子通过管口时, 粒子覆盖管口的情况。 若粒子的直径等于管口的直径, 则1个粒子就把管口盖住, 该粒子可以通过管道;当管口的直径d〈D〈2d时, 也只能通过1个粒子; 当管口直径D=2d时, 管口截面允许通过2个粒子。 当管口允许同时通过3个粒子时, 以粒子沿管口边缘截面覆盖, 可得如下关系式:
D=d(1+cosα)。(1)
其中:α为多边形圆心角的一半。 考虑管口平面被粒子覆盖, 设该种粒子的个数为N(d), 表示粒子实际覆盖管口的粒子数; 管口面积与粒子面积之比为; N(d)与M(D, d)之比表示管口截面覆盖度^[10],用A(N, M)表示, 有:

A(N,M)的取值情况为:当D=d时, 其值为1, 当时, 其值也为1, 但意义完全不同, 前者是1个粒子覆盖管口, 而后者是许多粒子覆盖管口; 当0〈d/D〈1时, A(N,M)的取值在0.5到1之间。 计算数据如表1所示。

由表1可看出:当管口直径为粒子直径的2倍时,覆盖度最小; 管口直径大于粒子直径的2倍后, 覆盖度有变化, 但总的趋势是随着粒子直径的减小, 覆盖度趋向于1; D/d的数量级为10²时, 覆盖度只有86.5%; 而D/d的数量级为10⁵时, 覆盖度还不到90%。

依此类推, 考虑管道的体填充度, 设管口的管径为D, 长为L, 粒子的直径为d, N_v(d)为粒子实际填充管道的数, M_v(D,d)为管道体积与粒子体积的比值,则

管道的体填充度为^{[11, 12]}:

当粒子的直径d与管口直径D可比时, V(N_v,M_v)〈1; 当D=d, L=d时, V(N_v,M_v)=2/3。

当d极小时, 有:

V(N_v,M_v)体填充率的变化趋势与A(N,M)面覆盖度的变化趋势相似。

对于非球形粒子和不同形状粒子的混合等情形, 其特征长度可采用统计平均的方法处理。

表 1   D/d与N(d), M(D, d)和A(N, M)之间的关系
Table 1   Relationship between D/d and N(d), M(D, d), A(N, M)

3.3 管口的导引效应

当粒子的特征尺度与管口的特征尺度可比时, 处在粒子通过管道的不完全通过状态。 粒子不完全通过管道的阻碍程度依赖于c的变化:当c减小时, 管口对粒子的阻碍减小;当c增大时,管口对粒子的阻碍随着c的增加而变大。因此,在实践中,当粒子的特征尺度与管口的特征尺度可比时,使加工管口具有一定的倒角,以有效地减小管口对粒子的阻碍,提高粒子通过管道的程度。这种管口的倒角效应也随着c的变化而变化:c越小,倒角效应越明显。在制作微器件时,需重视和注意这一点。

4 结 论

a. 据粒子的特征长度与管道特征长度, 粒子通过管道的类型有3种:有完全通过, 不完全通过和完全不通过。

b. d/D→0时,A(N,M)=1,V(N_v,M_v)=1。当0〈d/D〈1时, A(N,M)的取值为0.5~1.0, 最小值为0.5; V(N_v,M_v)的取值为2/3~1。

c. 0〈d/D〈1时, 管口对粒子的阻碍随着d/D的增加而变大。 粒子通过管道时,管口倒角减阻作用显著。

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收稿日期: 2004-07-06

基金项目:国家自然科学基金资助项目(50376076)

作者简介:蒋 礼(1957-), 男, 湖南岳阳人, 教授, 博士研究生, 从事电子器件的介观物理尺度效应和热安全可靠性研究

论文联系人: 蒋 礼, 男, 教授, 博士研究生; 电话: 0731-8836424(O); E-mail: Jl806.student@sina.com