基于多重分形理论的滑坡地表监测位移分析

桂蕾，殷坤龙

(中国地质大学(武汉) 工程学院，湖北 武汉，430074)

摘要：基于滑坡地表位移监测数据，运用多重分形理论中的广义关联维计算方法，分析滑坡变形演化过程中所表现出的多重分形特征。首先，从具有蠕变特性的滑坡的理想演化过程出发，构造简化函数，探明不同变形阶段滑坡位移的多重分形特征及其变化规律，其次，结合滑坡实例，验证运用滑坡累积位移曲线的多重分形特征来判别滑坡的变形阶段和稳定性状态的可行性。研究结果表明：对于蠕变型滑坡，状态越稳定，其相应累积位移曲线的多重分维值均值越大，反之，多重分维值均值越小，且滑坡进入加速变形前期，此多重分维值分布会伴随出现突变点；蠕变型滑坡累积位移多重分维值能够作为表征滑坡变形趋势及稳定性状态的特征量，为该类型的滑坡局部稳定性评价及预测提供依据。

关键词：多重分形；滑坡；GPS监测

中图分类号：P642.22                文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2014)11-3908-07

Analysis of landslide surface monitoring displacement based on multi-fractal theory

GUI Lei, YIN Kunlong

(Faculty of Engineering, China University of Geosciences (Wuhan), Wuhan 430074, China)

Abstract: According to the landslides surface displacement monitoring data, the multi-fractal characteristics of landslide deformation evolution were analyzed using correlation dimension method based on the multi-fractal theory. Firstly, the ideal deformation evolution process of creep moving landslide was studied, and different functions were simplified to represent the displacement curve of different landslide deformation stages. Secondly, based on the analysis of real landslide samples, the acceptance of using the multi fractal characteristics of landslide displacement as a proxy to estimate landslide deform stage and stability was proved. The results show that for creep moving landslide, the more stable the landslide is, the higher the multi fractal dimension of cumulative displacement curve will be obtained, and usually before an accelerate deformation stage of this kind of landslide, there will be a turning point of its multi fractal dimension distribution. In addition, for creep landslide, multi fractal dimension can be adopted as a proxy to represent the local deforms situation and stability of this kind of landslide, which is meaningful for the assessment and prediction of landslide local stability.

Key words: multi-fractal; landslide; GPS monitoring

根据全国地质灾害通报显示，2012年，全国共发生地质灾害14 322起，其中滑坡灾害占总灾害数的76%。滑坡因其多发性和频发性，时刻威胁着灾害易发区人民生命及财产安全。为了降低滑坡灾害所造成的经济损失及人员伤亡，国内外学者在探明滑坡触发机理及运动过程方面做了大量的研究工作。滑坡地表监测是获取滑坡位移变形数据的有效手段和研究基础。2000年，Gili等^[1]全面介绍了GPS监测的基本原理、监测方法、监测精度及其在滑坡监测中的应用。随着更先进的技术的研发，如SAR监测技术^[2-3]，获得的滑坡地表变形数据的精度不断提高。但受地理条件及经济条件的限制，GPS监测依然是目前最常用的滑坡地表位移监测手段之一。一直以来，滑坡地表变形演化过程因其具有复杂的非线性特征^[4]，其诱发因素的分析及潜在运动趋势的预测都是研究的热点和难点。分形理论是由法国数学家Mandelbrot创立，用以研究从局部到整体，在形态、功能和信息等方面，具有统计意义上的相似性的几何对象^[5-6]。该理论在分析复杂的非线性系统方面取得了良好的效果。近年来，该理论在研究滑坡位移趋势方面也受到了部分学者的关注，例如，郑明新等^[7]分析了滑坡演化过程中滑坡变形曲线的分维特征，并首次提出了滑坡大滑分维预报公式；贺可强等^[8]基于分形理论R/S分析方法，运用非线性分形参数对堆积层滑坡演化趋势及规律进行了评价与预测。但是，由于滑坡位移演化过程的复杂性和多样性，滑坡位移监测数据分形特征的研究仍处于定性和个例分析阶段，缺乏结合滑坡变形演化过程的深入解释。同时，工程中，蠕变型滑坡因其变形缓慢，多表现为局部变形、整体稳定的状态，其变形阶段常表现出间歇性和往复性的特征，运用传统的剖面计算方法不足以反映滑坡的局部稳定性，因此，对这类滑坡局部稳定性的判断和预测往往十分困难。本文作者基于多重分形理论，首先针对蠕变型滑坡的理想变形演化模型，探讨滑坡地表监测位移累积变化曲线的分形特征及其分维值演化规律，以期得到该类滑坡变形演化过程中多重分维值变化特征与滑坡变形演化状态的对应关系。其次，以三峡库区万州区三期应急监测点，向家坪滑坡和四方碑滑坡为例，验证利用滑坡地表累积位移曲线的多重分维值表征滑坡的变形演化状态的可行性，为滑坡局部稳定性评价及预测提供依据。

1  多重分形原理及计算方法

自然界中大多数的图形复杂且不规则，普通的欧式几何描述的是具有整数维的对象，如点、线、面、体，而分形描述的是具有非整数维形式的几何对象，它的价值在于它在极端有序和真正混沌之间提供了一种中间的可能^[6]。维数通常作为一个特征量来描述一个几何对象的特征。对于简单的分形，用一个分形维数就可以描述它的特征，但是对于现实中的复杂分形，它们往往由多个层次组成，每个层次上都具有不同的统计特征，则需要利用多个分形维数，甚至无限多个，才能描述这个对象，这种分形即称为多重分形。滑坡是一个复杂的不确定性系统，其地表变形演化受多重因素的影响^[9]，如：地质环境，地形条件，水文环境，外部诱发因素，等。这些因素的共同作用，使得滑坡变形演化的累积位移具有了多层次性。因此，本文选择基于多重分形理论来分析滑坡地表监测累积位移的分形特征。

多重分形维数计算采用广义关联维法^{[6, 9]}，对于N个滑坡累积位移监测数据，首先需定义其局部密度函数。

         (1)

             (2)

式中：i, j=1, 2, …, N；N为滑坡累积位移监测数据的个数；x_i，x_j分别为第i个和第j个滑坡累积位移监测值；为一个测量单位，取值介于计算区段滑坡累积位移监测值最大值与最小值之间。为局部密度函数，表示所得点对中距离小于的点对数占总点对数的比例。

其次，定义广义关联积分。

           (3)

式中：q为一系列整数，取。q≤1时，反应的是分布中概率比较小(或稀疏)的相对监测位移的性质，而q＞1时，反映的是概率高(或稠密)的相对监测位移的性质。为获取有效的信息量，这里仅考虑q＞1的情况。

最后，令，拟合直线的斜率，即求得多重分形维数。

本次计算基于Matlab自编多重分形算法函数，进行重复迭代计算，实现直线拟合，从而获得多重分形维数D_q。

2  滑坡位移演化的多重分形特征

由于滑坡的发育条件和作用因素相当复杂，对滑坡位移演化特征的研究不仅要考虑滑坡的分类，还要考虑滑坡的发育过程和阶段。因为各学者所考虑的角度和研究的目的不同，对滑坡发育阶段的分类也有所差异，如，刘广润等^[10]将新生性滑坡和复活性滑坡按其发育阶段划分为孕育阶段、滑动阶段和滑后阶段，并将滑动阶段又细分为蠕滑阶段、匀滑阶段、加速阶段、破坏阶段等。王恭先等^[11]将滑坡发育分为4个阶段，即局部失稳的蠕动挤压阶段，整体失稳缓慢滑动阶段，加速滑动与剧滑破坏阶段和滑后暂时稳定或永久稳定阶段。许强等^[12]分析总结了具有蠕变特点的滑坡的累积位移-时间曲线，指出该类滑坡的变形曲线具有4个阶段的变形特征：初始变形阶段，等速变形阶段，加速变形阶段和临滑阶段。此处，结合本文的研究对象(向家坪滑坡和四方碑滑坡)的地表位移变形特征，即，滑坡发生局部变形，坡体滑裂面尚未整体贯通，具有蠕变特征，本文将依据许强等^[12]总结的具有蠕变特点的滑坡的累积位移-时间曲线，分别按照滑坡变形演化的4个阶段，来探讨滑坡位移演化的多重分形特征。考虑到受监测条件限制，滑坡地表沉降的GPS监测往往误差较大，这里只分析滑坡地表水平累积位移的多重分形特征。

滑坡变形演化阶段示意图如图1所示。根据分形理论中的相似性原理，将滑坡演化的各阶段累积位移变形曲线作如下假设，并建立理想简化计算模型：

1) 初始变形阶段可等效为函数分布，且a＞1，x＞1；

2) 等速变形阶段可等效为函数分布，且k＞0，x＞0；

3) 加速变形阶段和临滑阶段可分别等效为和函数分布，且k₂＞k₁＞1，x＞0。

图1  滑坡变形演化阶段示意图^[12]

Fig. 1  Evolution scheme of deformation phases of landslide ^[12]

依据等效的简化函数，运用同组数据x计算这4个滑坡变形阶段所对应的多重分维值，结果如表1所示。1) 按照蠕变型滑坡初始、等速、加速、临滑的理想化变形过程，基于同组数据x的计算结果，对比滑坡各变形阶段的多重分维值均值，随着滑坡变形阶段的发展，呈先增大再减小的趋势，且在等速阶段其值最大，初始阶段和加速阶段次之，临滑阶段其值最小。2) 针对变形过程的具体阶段进行分析，在初始变形、加速变形和临滑变形阶段，多重分维值D_q的分布随q的增加而逐渐降低；而在等速变形阶段，其多重分维值D_q的分布出现拐点，呈随q的增加先减小再增大，即，D₂＞…＞D_n＜D_n+1＜…。3) 基于同组数据x，滑坡在初始变形阶段和等速变形阶段，改变简化分布函数的参数值(a或k)，多重分维值D_q计算结果相同，而在加速和临滑阶段，幂指数k越大，其计算所得多重分维值D_q越小。这一现象与郑明新等^{[7, 9]}发现的滑坡进入加速变形阶段后分维值逐渐降低的滑坡累积位移分形特征相一致，说明简化函数假设合理。

表1  滑坡累积位移简化函数分布曲线的多重分维值

Table 1  Multiple fractal dimension of cumulative displacement of landslide based on simplify function

基于以上假设和分析，可以认为具有蠕变特性的滑坡，其变形演化的理想过程所表现出来的滑坡多重分形特征和其变形演化状态的关系是：当滑坡处于变形初期时，其多重分维值均值D_ave较大，随着变形阶段的发展，在滑坡发生剧烈变形前，即等速变形阶段，其多重分维值均值D_ave依然较大，同时伴随着多重分维值D_q随q的增加出现拐点。其后，当滑坡一旦表征出明显的加速变形特征，其多重分维值均值D_ave将随着滑坡变形状态的加剧而逐渐降低。 简而言之，滑坡状态越稳定，其多重分维值均值越大，滑坡状态越不稳定，其多重分维值均值越小，且滑坡进入加速变形前期伴随有多重分维值D_q随q变化的突变点。

以上是基于理想简化函数来等效蠕变型滑坡变形演化的4个阶段，而对于工程中所获取的监测资料，大多数具有蠕变特点的滑坡，往往表现出间歇性和往复性的变形特征，从而形成不规则的滑坡累积位移曲线。为了证明上述所得滑坡变形多重分形特征和其变形演化状态关系的正确性和实用性，下面将通过类比的方法，结合滑坡实例，验证运用滑坡累积位移曲线多重分形特征，判别滑坡的变形阶段和稳定性状态的可行性。

3  实例分析

以三峡库区万州区三期应急监测点，向家坪滑坡和四方碑滑坡为例，进行滑坡位移演化的多重分形特征研究。滑坡地表位移监测资料来源于重庆市万州区国土局环境监测站，所引用的数据为2007-01—2009-11期间GPS监测点所采集的滑坡地表水平位移。通过整理滑坡地表位移GPS监测数据，选择记录良好，滑坡变形较为明显的监测点数据进行本次分析。为了探讨滑坡地表水平累积位移的多重分形特征与其变形演化状态的对应关系，将地表监测位移数据以自然年为单位进行分组计算。

3.1  向家坪滑坡

3.1.1  滑坡概况

向家坪滑坡为三峡库区三期应急监测点，发育于重庆市万州区长江右岸斜坡，如图2所示。滑坡边界特征明显，左右两侧以冲沟为界，前临长江，剪出口位于长江库水位以下，后部以出露的基岩为界。该滑坡总面积约44万m²，体积约880万m³，前缘高程约113 m，后缘高程约335 m，滑体长约800 m，宽约550 m，坡度11°~15°，主滑方向为317°。该滑坡滑体物质结构松散，由第四系残坡积成因的粉质黏土夹碎块石组成。滑带物质以黏土为主，含少量砂岩、泥岩碎屑，遇水易软化。滑床为侏罗系中统上沙溪庙组砂岩、泥岩不等厚互层组成。

该滑坡1998年曾发生过一次明显滑动，形成长约200 m的裂缝；2003年，受三峡库区蓄水影响，变形加剧，部分房屋墙体开裂；2004年发生局部滑动；并据2009年监测报告显示，滑坡前部和中部出现地裂缝，但整体尚未出现明显变形现象。综合判断，认为至2009年，滑坡处于局部变形的不稳定状态，具有蠕变特征，适用于本文的模型分析。

3.1.2  滑坡水平累积位移多重分形特征

向家坪滑坡GPS1，GPS4，GPS5和GPS7号监测点处滑坡变形较小，GPS9号监测桩受滑坡变形影响已严重倾斜，故本次计算选用GPS2，GPS3，GPS6和GPS8号监测点的监测数据，图3所示为向家坪滑坡所选监测点水平累积位移-时间曲线。

图2  向家坪滑坡平面图

Fig. 2  Plan of Xiangjiaping landslide

图3  向家坪滑坡水平累积位移曲线

Fig. 3  Horizontal cumulative displacement curve of Xiangjiaping landslide

向家坪滑坡水平累积位移多重分维特征如表2所示。基于前述假设模型分析所得结论，分析各点的多重分形特征随时间的变化趋势，以多重分维值D_q的分布形式及多重分维值均值D_ave作为参量。向家坪滑坡水平累积位移多重分形特征主要表现为：

2007—2009年，GPS2点和GPS8点的多重分维值均值D_ave先增大后减小，虽然2007年GPS2点和2009年GPS8点的D_ave较小，但均未表现出多重分维值D_q分布的突变点，相反，GPS8点于2008年表现出了多重分维值D_q分布逐渐增大，其D_ave较大的特征。因此，认为GPS2和GPS8监测点滑坡状态相对稳定，应处于初始变形阶段。此外，如图2所示，GPS2和GPS8监测点均位于滑坡中部，靠近滑坡两侧边界，所处地形较为相似，且3年间，2点处水平累积位移也较为接近，GPS2点水平累积位移为69.9 mm，GPS8点为54.6 mm，故而两点处分形特征及变形状态应较为相似。

GPS3点的D_ave随时间逐渐减小，表明此点处的滑坡变形随着时间推移，变形不断加剧，稳定性逐年降低。同时，GPS3点多重分维值D_q于2007年及2009年2次出现突变点，说明该点靠近滑坡前缘，高程低于175 m，受三峡库水位蓄水影响的变形特征，即，三峡库水于2007年第1次抬升至156 m，于2009年第1次抬升至172 m。

2007—2008年，GPS6点处的D_ave减小，且其多重分维值D_q于2007年出现突变点，表明2007年该点稳定性较差，2008—2009年该点D_ave增大，且未伴随其多重分维值D_q的突变，表明该点尚处于初始变形阶段，稳定性状态相对稳定。

对比各监测点的水平累积位移验证上述分析的正确性。2007年，GPS3和GPS6号监测点的水平累积位移分别为46.86 mm和43.42 mm，其他各点水平累积位移均小于35 mm，说明，GPS3号和GPS6号点处变形确实较滑坡其他部位严重，与两点出现多重分维突变特征推断一致。2008年，GPS8号监测点多重分维值均值D_ave较大，表明该点滑坡变形状态相对稳定，与图3对比，2008年GPS8点处滑坡累积位移小于5 mm，故基于其多重分形特征的推断合理。2009年，GPS3号监测点出现了多重分维值变化的拐点，且其D_ave较小，说明该点处滑坡位移变形有进一步加剧发展的趋势，与图3对比，2009年GPS3号监测点处已明显表现出了较大变形，与基于多重分析特征的分析相一致。

综上所述，认为此滑坡的多重分形特征能够反映其位移变化规律，并根据以上分析结果，认为该滑坡处于局部不稳定状态，滑坡前部，除右侧(GPS9)处已发生严重变形外，前缘左部(GPS3)变形最为明显，且有加速变形的趋势，滑坡中部(GPS2，GPS6和GPS8)变形相对较小，从其累积位移变化曲线及其多重分形特征来看，应处于初始蠕变阶段，滑坡后缘(GPS1，GPS4，GPS5和GPS7)变形状态不明显，呈相对稳定状态。

表2  向家坪滑坡水平累积位移多重分维特征

Table 2  Multi fractal characteristics of cumulative displacement of Xiangjiaping landslide

3.2  四方碑滑坡

3.2.1  滑坡概况

四方碑滑坡也为峡库区三期应急监测点，位于重庆市万州区长江左岸斜坡(图4)。滑坡前临长江，后缘基岩出露，滑坡左侧为小型冲沟，右侧边界不明显。该滑坡总面积约36.12万m²，体积约903万m³，前缘高程约110 m，后缘高程约325 m，滑体长约840 m，宽约430 m，坡度13°~20°，主滑方向为160°。该滑坡滑体物质结构松散，由第四系崩坡积成因的粉质黏土夹碎块石组成。滑带物质以黏土为主，含少量砂岩、泥岩碎屑，遇水易软化。滑床为侏罗系中统上沙溪庙组砂岩、泥岩不等厚互层组成。

图4  四方碑滑坡平面图

Fig. 4  Plan of Sifangbei landslide

该滑坡2001年曾发生较为明显的变形，滑坡后缘产生拉裂缝，部分房屋墙体开裂。据2009年监测报告显示，滑坡局部变形仍在发展，稳定性较差。综合判断，可以认为至2009年该滑坡也具有蠕变特征，适用于本文的模型分析。

3.2.2  滑坡水平累积位移多重分形特征

四方碑滑坡GPS1号监测点处滑坡变形不明显，选择GPS2和GPS3号监测点的监测数据进行分析计算，图5所示为四方碑滑坡所选监测点水平累积位移-时间曲线。

四方碑滑坡水平累积位移多重分维特征如表3所示。由表3可知：2007—2009年，GPS2号点处，其多重分维值均值D_ave表现为先减小再增大的变化特征，2007年，其多重分维值D_q分布出现突变点，说明，2007—2008年，GPS2点处滑坡稳定性状态降低，但随至2009年，该处稳定性得到恢复，变形减小。结合其水平累积位移-时间曲线对比验证，如图5所示，该点滑坡水平累积位移在2007年最大，2008年和2009年逐年降低，可见，基于该点多重分形特征的推断合理。

与GPS2号监测点相同，2007年，GPS3号监测点处滑坡累积位移的多重分维值D_q表现出突变的特征，但不同的是，2007—2009年，GPS3点多重分维值均值D_ave表现为先增大后减小，表明该点处滑坡变形从初始变形向加速变形不断发展，2009年表现出较小的D_ave，综合判断该点处滑坡变形强烈，状态不稳定。对比滑坡水平累积位移随时间的变化情况，3年间GPS3点处滑坡位移较大，变形明显，稳定性差，与上述基于多重分维值的推断一致。

综上所述，四方碑滑坡的多重分形特征能够反映其位移变化规律，该滑坡后部(GPS1和GPS2点)处于相对稳定状态，中前部(GPS3)处于不稳定状态，滑坡有进一步加速变形破坏的趋势。

图5  四方碑滑坡水平累积位移曲线

Fig. 5  Horizontal cumulative displacement curves of Sifangbei landslide

表3  四方碑滑坡水平累积位移多重分维特征

Table 3  Multi fractal characteristics of cumulative displacement of Sifangbei landslide

通过上述2个实例分析可以认为，基于前述蠕变型滑坡理想化演化过程所表现出的多重分形特征分析实际工程中蠕变型滑坡的变形状态及局部稳定性，方法可行。滑坡累积位移存在多重分形现象，其多重分维值能够作为表征滑坡变形趋势及稳定性状态的特征量，为该类型的滑坡局部稳定性评价及预测提供依据。但是，应当指出，由于实际工程中的滑坡受内外多方面因素影响，变形复杂且存在个体差异，滑坡临滑判据的研究仍然是重点和难点，单从多重分形的角度分析滑坡的局部变形状态仍存在局限性，因此，在实际工程中，可以以滑坡累积位移多重分形特征为参考依据，结合滑坡稳定性，破坏概率及可靠度计算，综合判断滑坡的局部稳定状态。

4  结论

1) 滑坡位移演化系统具有不确定和复杂性，滑坡地表位移受多重因素影响，表现出多层次性，其水平累积位移分布曲线具有多重分形特征，用多重分形理论分析滑坡的变形演化过程，方法可行，结果可靠。

2) 具有蠕变特性的滑坡，其理想累积位移变化曲线具有如下多重分形特征：基于同组数据x的计算结果，随着滑坡变形阶段的发展，经历初始变形、等速变形、加速变形和临滑阶段，其多重分维值均值先增大后减小；在滑坡进入加速变形前，其多重分维值表现出突变的特征；滑坡在加速变形阶段，加速变形越剧烈，其多重分维值越小。滑坡向不稳定状态发展，表现出多重分维值降维的特征。滑坡状态越稳定，其多重分维值均值越大，滑坡状态越不稳定，其多重分维值均值越小。

3) 受多重因素影响，工程监测中的滑坡水平累积位移-时间曲线具有多层次性，依据具有蠕变特点的理想化滑坡演化模型的多重分形特征及规律，从多重分形理论的角度分析滑坡实例，结合监测资料对比，说明滑坡的累积位移变形曲线具有多重分形特征，且其多重分形特征可以用于判断滑坡局部变形趋势及稳定性状态，为该类型的滑坡局部稳定性评价及预测提供依据。

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(编辑  赵俊)

收稿日期：2013-10-20；修回日期：2014-01-13

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金委员会科学部主任基金资助项目(41240023)；国家自然科学基金青年科学基金资助项目(41101515)； 中国地质调查局项目(1212011220173) (Project(41240023) supported by the National Natural Science Foundation of China for Department Director; Project(41101515) supported by the National Natural Science Foundation of China for Young Scholar; Project(1212011220173) supported by China Geological Survey)

通信作者：殷坤龙(1963-)，男，安徽马鞍山人，教授，博士生导师，从事地质灾害预测预报及其风险评价研究；电话：13476213048；E-mail: yinkl@126.com