DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2016.01.032

地震砂土液化判别的灰色关联-逐步分析耦合模型

李波^{1, 2}，苏经宇¹，马东辉¹，王威¹

(1. 北京工业大学 抗震减灾研究所，北京，100124；

2. 中国建筑科学研究院 地基基础研究所，北京，100013)

摘要：通过分析灰色关联模型和逐步判别模型在单独进行砂土液化等级判别时所体现的优点及存在的问题，建立以两者为基础的耦合判别模型。利用实际样本结果，选取震级M、地面加速度最大值g_max、比贯入阻力P_s、标准贯入击数N_63.5、平均粒径D₅₀、相对密实度D_r、地下水位d_w共7个实测数据作为砂土液化判别因子，对该模型进行验证。研究结果表明：BP神经网络、灰色关联分析、逐步判别分析这3种方法对样本的判别准确率分别为60%，80%和60%，耦合模型的判别准确率为100%。与单独使用2种基础模型相比，耦合模型的判别结果与实际结果更加吻合，表明该方法具有较高的准确性和良好的实用性。

关键词：砂土液化；灰色关联分析；逐步判别分析；耦合判别模型

中图分类号：TU441       文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2016)01-0232-07

Coupling model based on grey relational analysis and stepwise discriminant analysis for seismic liquefaction discrimination of sandy soil

LI Bo^{1, 2}, SU Jingyu¹, MA Donghui¹, WANG Wei¹

(1. Institute of Earthquake Resistance and Disaster Reduction, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China;

2. Institute of Foundation Engineering China Academy of Building Research, Beijing 100013, China)

Abstract: The advantages and disadvantages of grey relational model and stepwise discriminant model were analyzed when both of them were used alone for evaluation of seismic liquefaction of sandy soil, and coupling model was established based on both models. Seven sets of factors (magnitude M, the maximum ground acceleration g_max, specific penetration resistance P_s, standard penetration blow count N_63.5, average particle size of D₅₀, relative density D_r, water table d_w) were selected for model verification. The results show that the accuracy of BP neural network model, grey relational model and stepwise discriminant model are 60%, 80% and 60%, respectively. The accuracy of coupling model is 100%, it indicates that the discriminant results are more compatible with the actual results compared with one analysis method alone, and that the coupling model has high accuracy and good practicability.

Key words: liquefaction of sandy soil; grey relational analysis; stepwise discriminant analysis; coupling discriminant model

砂土液化是指饱和砂土在动力荷载作用下，因丧失抗剪强度而致使砂砾处于悬浮状态的现象。砂土液化可以引起建筑物和基础工程的失稳破坏，造成巨大经济损失和人员伤亡^[1]，因此，砂土液化判别一直以来都是地震工程领域的重点研究问题之一，目前，广泛应用于砂土液化判别的方法是规范法和动剪应力法。这2种评价方法都是以室内试验数据为基础，并且属于确定性方法，因此，试验误差往往会导致评价结果出现错误。为克服这一缺陷，近年来国内外学者将模糊综合评判法^[2-3]、神经网络方法^[4-7]、盲数理论^[8]、支持向量机^[9-10]等先进的计算理论引入到砂土液化判别中。这些判别方法虽然将砂土液化过程以动态形式描述，但由于理论不完善，在单独使用时仍存在一些问题，使得结果的准确性无法保证，如：模糊评判法在权值确定中存在主观性，神经网络方法收敛速度较慢，并且计算结果不稳定等。因此，建立一种可以准确预测砂土液化危害等级的多参数综合评价模型对预防地震液化灾害具有重要意义。针对砂土液化判别中存在的问题特点，本文作者选取灰色关联方法和逐步判别方法为基础，建立耦合式砂土地震液化危害等级判别模型，并通过实例对耦合模型与传统方法的判别结果进行对比分析。

1  耦合模型原理

1.1  基础模型原理及存在的问题

灰色关联分析的基本思想是以各因素的样本数据为依据，通过待选方案与设定的理想方案之间的关联度大小来判断待选方案的优劣程度^[11]。关联度越大，则表示待选方案越接近于理想方案；反之，则表示该待选方案偏离于理想方案。灰色关联分析更着重于对一个系统发展变化态势提供量化的度量，更适合于动态历程分析。但是，由于灰色关联分析是一种基于定性分析基础上的定量分析方法，因此，当应用于砂土液化等级的判别时，该方法的判别结果容易受到参考样本个体类型划分的影响，并且在分析过程中，该方法需要对各项指标的最优解进行确认，存在较强的主观性。故当待判样本的液化等级与个别参考样本关联度较大，但又与整体关联趋势相违背时，就容易导致误判^[12-14]。

逐步判别分析的基本思想是通过判别显著性的评判和比较，将判别能力强的变量引入到判别函数中，同时，剔除掉判别能力较弱的变量，并且对每一步引入和剔除都进行假设检验，最终保留住显著性最强的少数变量^[15-16]。与普通的判别方法相比，逐步判别分析具有计算量小、准确率高的优点，但在判别砂土液化等级过程中，不同类型的训练样本组合会影响变量的筛选，出现多个结果虽然后验概率较高，但判别类型不一致的现象，从而无法准确判定液化危害等级。

1.2  耦合模型判别思路

将灰色关联和逐步判别2种分析模型进行耦合。其基本思路是：首先，对待判样本和参考样本进行灰色关联分析；然后，根据关联度将参考样本对应的砂土液化等级进行排序，对参与判别的砂土液化等级进行筛选；最后，输入待判样本和参考样本数据，通过逐步判别分析计算出最终判别结果。这种耦合模型的实质是先通过灰色关联分析明确参与逐步判别的液化类型范围，再将相关性较弱的砂土液化类型消除，最终通过逐步判别分析筛选决定性变量。

2  耦合判别模型的构建

在建立耦合模型之前，先进行以下定义：未知类型待判样本序列已知类型样本序列，(i=1, 2, 3, …, M)，其中，M为已知类型样本数量。

2.1  灰色关联分析模型

灰色关联分析中以计算待判样本与参考样本的关联度为主要目标，需经过以下几个步骤。

1) 在对已有问题分析的基础上，确定参考数列和比较数列。

2) 对原始数列的量纲一化处理，得到可以进行比较的数据列。

3) 计算关联系数。参考数列和比较数列的关联系数可通过以下公式表示：

      (1)

其中：为分辨系数，一般在0~1之间取值，越小，分辨力越大。

     (2)

和分别为在不同时刻2个层次的最小差值和最大差值。

4) 关联度计算。为了便于比较，通常将分散的关联系数以平均值的形式表达，即为关联度，其表示为

               (3)

r_i越大，表明参考数列与比较数列的发展趋势越接近。

5) 关联度排序。将参考数列与比较数列的关联度进行排序，得出关联序列。

2.2  判别类型筛选

通过计算可以得出与中各数列的关联度，而中各样本的分组类型已知，因此，根据关联序列可以得到的类型关联排序数列G₀。将进入逐步判别分析的类型变量定义为d_G，且d_G≥2。d_G的确定方式按下列步骤：首先计算与关联度的算术平均值r_p，计算公式为

                 (4)

将关联排序数列G₀中大于r_p的类型引入逐步判别分析，该类型数量值即为d_G，其余的类型均剔除。当由此计算出的d_G＜2时，应取d_G=2。

通过上述方法可以得到筛选之后的类型序列G_p。根据该序列，筛选出中相应类型所对应的样本，组成新数列X_j(k)，j=(1, 2, 3, …, N)，并将与引入逐步判别分析，从而确定的判定  类型。

2.3  逐步判别分析

经过类型筛选后，类型序列G_p所对应的类型数量为G，现需对X₀进行G组判别，每组有个已知类型样本，因此，已知类型的样本总数为。通过以下步骤对样本进行逐步判别。

1) 设经过类别筛选后的原始数据为，计算各组数据平均值、总平均值、组内离差矩阵W和总离差矩阵T。

2) 逐步选入或剔除变量。设已进行l步计算，选入g个变量x_i1，x_i2，…, x_ig，此时已有和，在第l+1步中应首先计算全部变量的判别能力，包括对未入选变量和已入选变量的计算。

未入选变量为

，i≠i₁, i₂, …, i_g         (5)

已入选变量为

，i= i₁, i₂, …, i_g        (6)

其次，判断已入选变量是否应被剔除，相应的x_r为判别能力最低者，应进行剔除x_r的F检验，公式为

  (7)

若x_r判别能力不显著，则将该变量剔除，若显著，则进入下一步计算。此外，还应考察新选入变量，选出判别能力最强的变量x_r并进行检验，计算式为

        (8)

若x_r的判别能力显著，则对和进行变换，若不显著，则重复上述步骤，直至所有的显著性变量都被引入为止，判别过程结束。

3) 计算判别系数。若变量筛选在第l步结束，且已入选的变量为x_i1，x_i2，…, x_ig，则应按下述步骤进行计算。

① 根据计算判别系数，计算式为

i=i₁, i₂, …, i_g               (9)

 (10)

其中：r=1, 2, …, k；为在r类中入选变量x_ig的均值；q_r为先验概率。

② 对已选入变量进行显著性检验。采用对总体G的判别效果进行检验，根据对应的F近似式对已选入的变量进行显著性检验，对任意2组l和f的判别计算如下：

        (11)

式中：为组l和f间的马氏距离，若＞，则表示2个组l和f的判别效果较好。

4) 判别分类。若对r个变量的判别效果显著，则可通过以下判别函数对待判样本中任意个体x(x₁, x₂, …, x_r)进行逐个判别归类。

     (12)

若，则应把x归为第h组，然后计算其后验概率，计算式为

             (13)

3  实例验证

3.1  判别指标的选取

影响砂土液化的因素较多，并且各影响因素之间存在显著的非线性关系。本文通过对砂土液化的作用机理研究，并结合数据资料的代表性和易获性，从3个方面共选取7个参数作为砂土液化的判别指标，这些参数^[12]包括：

1) 描述动荷条件的参数，即震级M、地面加速度最大值g_max。

2) 描述砂土自身特性的参数，即比贯入阻力P_s、标准贯入击数N_63.5、平均粒径D₅₀、相对密实度D_r。

3) 描述土层埋藏环境的参数，即地下水位d_w。

同时参考行业规范，将砂土液化等级分为无液化(Ⅰ)、轻微液化(Ⅱ)、中等液化(Ⅲ)和严重液化(Ⅳ) 4个等级^[8]。

3.2  数据准备

本研究选择广东省三水地区工程实例和唐山大地震震害中共25组调查数据作为样本数据，其中x1~x5为待判样本，其余20组数据为判别模型的参考样本，相关参数如表1^[1]所示。

3.3  模型的构建与计算

3.3.1  灰色关联分析

本文取关联系数=0.4。对x1~x5与1~20号数据分别进行关联度计算，得到相应的砂土液化等级关联度排序，计算结果如表2所示。

3.3.2  筛选判别类型

待判样本与参考样本之间的关联度计算完成后，进行判别类型的筛选。本文选取关联度的算术平均值r_p作为类型筛选关联度的阈值。以待判样本x1为例，表3中与之对应的关联度算术平均值r_p为0.631 1，因此，在x1的关联度排序数列G₀₁中，关联度大于  0.631 1的类型将被引入下一步逐步判别分析中，其余的类型将被舍弃。通过该方法得到x1的判别类型为Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ。同理，可以对x2~x5样本的判别类型进行筛选，计算结果如表3所示。

3.3.3  逐步判别分析

样本的判别类型经筛选后，与样本相关性较强的液化等级已确定，可以进行逐步判别分析。以x1为例说明，将M(u₁)，g_max(u₂)，P_s(u₃)，N_63.5(u₄)，D₅₀(u₅)，D_r(u₆)和d_w(u₇)作为输入变量，相关类型Ⅰ(V₁)，Ⅱ(V₂)和Ⅲ(V₃)作为输出变量，选取1~20号样本中液化等级为以上3种的数据进行计算，建立逐步判别模型并给定显著水平=0.05。经过逐步判别分析后，选定M(u₁)和N_63.5(u₄)作为分类变量建立判别函数。

表1  砂土液化原始数据

Table 1  Basic data of sand liquefaction

V₁=+3.898 u₁+0.046 u₄-13.700=6.885

V₂=+2.448 u₁+0.8 u₄-11.697=5.081

V₃=+0.399 u₁+1.473 u₄-14.446=-0.921

由计算结果可看出V₁最大，因此，确定样本x1的砂土液化类型为Ⅰ类，后验概率为0.858 3。同理，完成其余待判样本的液化类型判别，判别结果如表4所示。

表2  待判样本的关联度排序结果

Table 2  Grey relational analysis results of samples

表3  待判样本的类型筛选结果

Table 3  Group screening results of discriminant analysis

表4  逐步判别分析结果

Table 4  Results of stepwise discriminant analysis

3.4  验证分析

本文分别采用BP神经网络法、灰色关联理论和逐步判别分析方法对样本的砂土液化等级进行判别，并与耦合模型分析结果进行对比，对比结果如表5  所示。

表5  判别结果的对比与验证

Table 5  Contrast and verification of discriminant results

从表5可以看出：灰色关联分析的判别准确率为80%，逐步判别分析与BP神经网络法的准确率均为60%，本文采用的耦合判别模型准确率为100%。

使用BP神经网络方法判别时结果具有不确定性和随机性，不能保证每一次运算都可以得到较好的判别结果。

在单独使用灰色关联方法判别时，样本x3出现了误判，分析原因可知，由于该方法在判别时需要对各项指标的最优值进行现行确认，主观性较强，从而使判别结果受到了最大关联度的干扰，在无液化(Ⅰ)和轻微液化(Ⅱ) 2个等级之间出现了误判。单独使用逐步判别方法时，选取1~20号数据作为训练样本建立计算模型，并采用多组判别类型组合作为输出变量。以x2为例，从判别结果中得可以看出，在所有对x2误判的判别函数中，都引入了P_s作为判别变量，所对应的训练样本均包括轻微液化(Ⅱ)的样本数据，说明类型为轻微液化(Ⅱ)的样本对x2的逐步判别中起到了干扰作用。

本文采用耦合模型的判别结果与实际砂土液化等级完全一致，该模型通过对待判样本和参考样本进行灰色关联分析和类别筛选，选出具有较强相关类型的样本数据进行逐步判别分析。单独使用灰色关联模型和逐步判别模型时，分别在样本x3和x2出现了误判，而使用耦合模型时，这2组样本判别结果的后验概率也相对较低，通过对判别结果的分析可以得出：一方面，这2组样本数据所对应的实际场地的砂土液化程度介于无液化(Ⅰ)和轻微液化(Ⅱ) 2个等级之间，但更倾向于判别所得到的液化等级；另一方面，说明该耦合模型在判别过程中既消除了相关性较弱因素的影响，又保证了参考数据所反映出的变化态势和各判别指标对判别作用的显著性，从而在保证计算结果的准确性的基础上提高了计算效率。

4  结论

1) 本文通过分析灰色关联方法和逐步判别方法的优缺点以及在砂土液化判别中存在的问题，提出了以两者为基础的耦合式判别模型。该模型可以削弱因单一依靠最大关联度和判别变量而对判别结果造成的不良影响，提高了砂土液化等级的判别效率和准确性。

2) 本研究选取震级、地面加速度最大值、比贯入阻力、标准贯入击数、平均粒径、相对密实度、地下水位7个实测数据作为砂土液化判别指标，但在实际工程中，数据资料的准确性和代表性会受到一定的影响，因此，可根据不同的区域特性建立针对性更强的样本数据库，从而提高判别模型的适用性。此外，砂土液化过程的机理极其复杂，对判别因子的选取上有待于进一步研究。

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(编辑  罗金花)

收稿日期：2015-01-10；修回日期：2015-03-10

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51208017)；国家“十二五”科技支撑计划项目(2011BAJ08B05)；PICC灾害研究基金资助项目(2013D32)；北京工业大学博士科研启动基金项目资助(012000543114515) (Project(51208017) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(2011BAJ08B05) supported by the National Science and Technology Pillar Program during the 12th “Five-year” Plan Period; Project(2013D32) supported by PICC Disaster Research)

通信作者：李波，工程师，从事岩土工程研究；E-mail: cooleeboo@163.com