不同判别准则下的砂土地震液化势评价方法及应用对比

禹建兵，刘浪

(中南大学 资源与安全工程学院，湖南 长沙，410083)

摘要：借鉴统计学理论，提出采用不同判别准则的多元判别方法对砂土液化势进行识别。选取震级M、地面加速度最大值g_max、标准贯入击数N_63.5、比贯入阻力P_s、相对密实度D_r、平均粒径D₅₀、地下水位d_w这 7个实测指标作为砂土液化势预测的主要影响因子，搜集唐山大地震和广东三水等25组典型案例作为样本数据库，以其中20组数据作为训练样本，依据不同判别准则以及Bayes判别分析(BDA)和Fisher线性判别分析(FDA)方法，分别建立2个研究区砂土液化势的Bayes判别分析(BDA)判识模型和Fisher线性判别分析(FDA)判识模型，并利用该模型对另外5组砂土液化实例进行仿真测试。研究结果表明：BDA方法和FDA方法对这2个研究区测试样本的误判率分别为26%和28%，对学习样本的错判率分别为4%和5%，说明在唐山大地震和广东三水地区砂土液化势识别中，BDA法比FDA法判识准确性更高，适用性更强，可考虑在实际工程中推广。

关键词：砂土液化；Bayes判别分析法；Fisher判别分析法；预测

中图分类号：TU449            文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2013)09-3849-08

Two multiple discriminant methods to evaluate sand seismic siquefaction potential and its comparison

YU Jianbin, LIU Lang

(School of Resources and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

Abstract: Based on the statistical theory, the different criterion of multiple discriminant approach to identify the potential for sand liquefaction was presented. Seven measured indicators of soil liquefaction potential were selected as key impacting indicators to predict the main impact factor, including magnitude M, the maximum ground acceleration g_max, standard penetration blow count N_63.5, specific penetration resistance P_s, relative density D_r, average particle size of D₅₀ and water table d_w, were selected to predict the main impact factor, Firstly, 25 groups typical cases were collected from the Tangshan earthquake and Guangdong Sanshui area as sample database. Based on different criteria of Bayes discriminant analysis (BDA) and Fisher discriminant analysis (FDA) method, liquefaction potential BDA discriminating model and FDA discriminating model were established in two research areas, respectively, and the proposed models were used for the remaining samples of soil liquefaction simulation examples test. The results show that the test samples false positive rates obtained by BDA and FDA are 26% and 28%, respectively, and the false-positive rates samples are 4% and 5%, respectively. Thus, in the Tangshan earthquake and the liquefaction potential of Sanshui in Guangdong region recognition, BDA law discriminating method has higher accuracy and applicability than FDA, and can be considered to be used in the actual project.

Key words: sand liquefaction; Bayes discriminant analysis (BDA); Fisher discriminant analysis (FDA); prediction

砂土液化是指饱和松散砂土或黏聚力较弱的轻亚黏土在地震作用下产生急剧的状态改变和强度丧失，表现出类似液体性状的现象^[1]，它具有很大的危害性，常表现为喷水冒砂、地面沉陷或坍塌、诱发高速滑坡或地基失稳等现象。因此，砂土地震液化评判一直是地震工程、岩土工程以及自然灾害防治工程的一项重要基础性研究工作。自1964年美国阿拉斯加和日本新泻地震以来，国内外学者在砂土液化判别方面进行了大量的研究，已提出经验公式法、Seed简化分析法、临界加速度判别法、规范法、概率与统计方法、动力反应分析方法等多种砂土液化判别方法^[1-4]。目前，评判砂土液化广泛使用的动剪应力法和规范法等确定性方法都是基于经验和室内试验建立的，用平均值来描述液化等级风险将导致结果不准确。引入概率统计理论能克服这一缺陷，但该方法因模型构建假设、系统误差和信息不完整，所求的砂土液化概率与实际场地液化情况仍有差别。近年来，国内外学者对此进行了许多研究，将神经网络预测方法^[5-9]、模糊综合评判法^[10]、可靠性分析^[11]、可拓学^[12]、支持向量机^[13-14]、距离判别法^[15]、盲数理论^[16]等先进的计算理论与方法逐步引入砂土液化势评价。上述方法有其自身的特点，同时也存在一定的局限性，如：人工神经网络方法收敛速度慢、隐含层确定具有主观性；模糊综合评判法常要对各指标赋予不同的权重，会带有一定的主观性和随意性；距离判别法未考虑各样本先验概率及各指标权重；支持向量机方法的参数合理确定较难。此外，这些砂土评价模型都只进行了砂土液化是否可能的识别，没有对液化危害等级进行划分，且影响砂土液化的因素具有复杂性、多样性和非线性的特点，很难提出准确、通用的判别准则。如何建立一种多参数综合评价模型对砂土液化进行正确预测及抗震减灾具有重要意义。判别分析(discriminate analysis)是一种根据观测变量判断研究样本如何分类的多变量统计方法，它产生于20世纪30年代，近年来，在许多现代自然科学的各个分支和技术部门中得到广泛应用^[17-20]。而评价砂土地震液化等级对象由于具有随机性和模糊性以及不同条件下的可变性，其影响因素目前没有统一标准，部分明确指标其具体量值也难以确定。为此，本文作者在前人研究工作的基础上，借鉴统计判别分析的基本理论和方法，建立砂土地震液化势的Bayes识别模型和Fisher判别模型，并通过工程实例的分析比较，探讨了这2种判别模型在砂土地震液化势中的适宜性和准确性。

1  多元判别分析原理

判别分析是数据分类的一种常用有效方法^[17-18]。设有g类(本文g=4)，每类中有n₁, n₂, …, n_g组样本，每组样本有p个指标，记n=n₁+n₂+…+n_g。假设各组样本都是相互独立的正态随机变量，即

        (1)

其中：为第k类p个变量的数学期望；为相应于第k类的p个变量的协方差矩阵。

假定协方差矩阵。要判断现有1组待判样本应属于g类中的哪一类，常用的判别方法有Fisher判别和Bayes判别^[17-18]。

1.1  多总体的Bayes判别法

Bayes判别是一种概率型的判别分析方法，在分析过程开始时，需要获得各个类别的分布密度函数，同时也需要知道样本点属于各个类别的先验概率，总结出客观事物分类的规律性建立判别函数。而当分析过程结束时，计算每个样本点归属于某个类别的最大概率或最小错判损失，以确定各个样本点的预测类别归属^[17-18]。数学表示如下。

设要判别K类风险等级，其Bayes判别方程为

    (2)

其中：c为BDA判别系数；p_k为已知各液化势等级的先验分布概率；k=1, 2, …, K。

令各液化势等级类别V的概率密度函数为

    (3)

其中：和分别为液化势等级类别的均值向量和协方差矩阵；为的行列式；i=1, 2, …, k；为累积概率分布函数；为概率密度函数。

当时，可采用的联合无偏估计 ，其中。而在总体分布未知的条件下，利用样本的均值和协方差进行估计。

计算各液化势类别的概率密度函数在处的函数值，其贝叶斯判别准则为^[17-18]：(1) 将个体判为Y_k中最大的类；(2) 计算个体各液化势类别的后验概率，判为概率最大类。

设有k个m元总体：G₁, G₂, …, G_k(k＞2)，相应地先验概率为q₁, …, q_k(显然q_i＞0，q₁+q₂+…+q_k=1)。若有判别法D^*，使得D^*带来的平均损失g(D^*)达最小，即

，则称判别法符合贝叶斯判别法

准则；若先验分布概率r_i未知，可用如下2种方式确定^[17-18]：

(1) 令；

(2) 按训练集的样本比例匹配，有

      (4)

1.2  多总体的Fisher判别法

Fisher判别是依据方差分析原理建立的一种判别分析方法，其基本思路是：投影使得变换后的数据中同类别的点尽可能聚在一起，不同类别的点尽可能分离，以此达到分类的目的^{[17, 19-20]}。其数学描述如下。

设从总体分别抽取m元样本：

         (5)

令为m维空间任一向量，为X向量以a为法线方向上的投影。上述k个组中的m元数据投影后为

   (6)

每个总体的数据投影后均为一元数据。对这k组一元数据进行一元方差分析，其组间平方和为

      (7)

其中：和分别为的样本均值和总体样本均值；B为组间离差阵，并记

              (8)

合并的组内平方和为

      (9)

为确保解的唯一性，设u^TAu=1，考虑目标函数

         (10)

对式(10)求导得

   (11)

经整理得

            (12)

式中：u为最大特征值λ对应的特征向量，由此可以求出判别函数的系数，I为组内离差平方和与组间离差平方和的比值，解方程分别可求得γ-2个判别函数(γ=Min[(G-1)，k]，本文γ=4)，每个判别函数都有1个衡量其判别能力的指标即贡献率^[17-20]，在实际运用中，当累计贡献率P＞0.85即可。

对任意样本x，求判别函数为y_i=a_i^Tx，计算它与各液化势类别的马氏距离，判别规则为，则。

1.3  多元判别准则评价

判别方法的有效性表现在2个方面^{[17, 19-20]}：(1) 对已知分类的样本的回代判别正确率高；(2) 对于新样品的分类具有很高的判断正确率。为考察上述判别准则的优越性，采用回代估计法p_r计算各液化势误判率^{[17, 19-20]}：

          (13)

2  砂土液化势的多元判别模型及应用

2.1  确定砂土地震液化判别指标

进行判别分析的第1步是要确定影响因素，建立指标体系。而砂土液化的发生、发展是一个复杂的过程，其影响因素很多，随机性大，且各因素之间呈高度的非线性。参考有关砂土液化评判指标体系研究，大体可分为3类^{[7-9, 13, 15]}：(1) 砂土自身特性，如土的种类、颗粒组成、密实度等；(2) 土层埋深与地下水位；(3) 动荷条件，如地震烈度、持续时间等。建立路基砂土液化的灰熵评估模型时，还需考虑分析资料的易获性和代表性，选取震级M、地面加速度最大值g_max、标准贯入击数N_63.5、比贯入阻力P_s、相对密实度D_r、平均粒径D₅₀、地下水位d_w这7个特征参数指标作为多元判别评估指标。在确定评价等级分类方案时，根据前人研究成果并参考行业规范，将砂土液化势分为未液化(Ⅰ)、轻微液化(Ⅱ)、中等液化(Ⅲ)和严重液化(Ⅳ)共4个等级，分级标准描述见表1^[7-9]。

2.2  构造样本集并建立砂土液化势的多元判别模型

为了验证本文提出的基于不同判别准则的砂土液化势评价方法的有效性和实用性，从唐山大地震震害的文献资料和广东三水地区工程实例^{[7-8, 21]}来验证本文提出的模型的可行性和有效性，见表2。共搜集整理25组数据集，图 1所示为训练样本在各类别中各判别因子评价指标值对比结果，其中：框体代表各类别的中间50%的实测值的范围，它反映了组内变异性；黑色加粗线代表中位数，反映了数据集中趋势；细线代表四分位线；加号代表极值点或异常点；框体之间的距离反映了组间差异。在这些数据中，有5组未液化(Ⅰ)，6组轻微液化(Ⅱ)，8组中等液化(Ⅲ) 和6组严重液化(Ⅳ)，具体的液化结果见表2^{[6-7, 21]}。对其进一步分组：样本1~5号为第1组(G1)；样本6~10号为第2组(G2)；样本11~15号为第3组(G3)；样本16~20号为第4组(G4)；样本21~25号为第5组(G5)。从中选取任意一组为测试样本，其余为训练样本，则可得到5个判别模型，即G2—G3—G4—G5→G1为模型1 (M1)；G1—G3—G4—G5→G2为模型2 (M2)；G1—G2—G4—G5→G3为模型3 (M3)；G1—G2—G3—G5→G4为模型4 (M4)；G1—G2—G3—G4→G5为模型5 (M5)。因采取2种不同的判别准则，故共存在10个不同的多元判别分析模型。

表1  砂土液化势等级划分标准

Table 1  Rank division standard for sand liquefaction potential

表2  砂土液化势原始数据集

Table 2  Basic data of sand liquefaction potential

图1  砂土液化势原始数据箱线图

Fig.1  Boxplot of sand liquefaction potential of original data

首先，根据多元判别分析理论建立砂土地震液化势的Fisher判别分析模型。为方便描述，以模型5为例，前20组数据作为训练样本，根据多总体的Fisher判别原理对其进行学习，建立Fisher判别准则下的Fisher判别函数，见表3，对余下5组测试样本进行识别，其判别流程见图2。

表3  Fisher判别式函数系数

Table 3  Coefficients of Fisher discriminant function

图2  多元判别分析流程图

Fig.2  Flowchart of multivariate discriminant analysis

表4  Fisher判别函数附加特征值

Table 4  Additional characteristics values of Fisher discriminant function

表5  Fisher判别函数维尔克斯λ统计量

Table 5  Statistics values of Fisher discriminant function

Fisher 判别分析中，判别方程的解释量可以用其方差所占的比例来解释。从表4与表5可知：3个判别函数判别能力是显著的；第1判别函数对应特征值为35.102，方差贡献率(判别效率)为96.0%(＞85.0%)，即可解释样本绝大部分信息，且正则相关系数很高，为0.986；Lambda值很小，为0.010，卡方检验的Sig值为0( ＜＜0.05)，通过显著性检验，判别函数能很好地区分各类别。然而，仅利用此函数还不能完成全部样品的判别，而当联合运用3个判别函数来判别样本时，则可解释所有样本100%的信息，即当利用判别式(y₁)无法对样本属类作出明确判断时，可结合式(y₂)甚至式(y₃)来实现完全判断。为了考察砂土液化势的FDA判别模型的有效性和准确性，用建立的模型对20组训练样本数据逐一回判，并与其实际情况进行比较。图3所示为模型第一、第二判别函数分组的检验及预测情况。根据式(13)可得回判估计误判率p_r为0，正确率高；由图3 可见：Ⅰ~Ⅳ这4个类别分类预测性能良好，组内离散性小，组间距离大，证明所建立的FDA模型是稳定而且可靠的。然后，用该模型对剩下5组样本进行决策，准确率为80%。由此可见：FDA模型用于砂土液化势判别中高效并且稳健可靠，可投入实际使用。

图3  第一和第二判别函数分组简图

Fig.3  Figure of grouping using the first and second discriminant functions

然后，根据所确立的模型因子和基于Bayes判别分析建模所要求的基础数据，利用Bayes判别分析法的基本原理，将Ⅰ类、Ⅱ类、Ⅲ类和Ⅳ类砂土液化势作为4个总体，7种指标依序作为BDA模型的判别因子。根据各自样本数量确定先验概率P_l=6/20，P₂=12/20，P₃=8/20，P₄=9/20。利用20个学习样本进行训练，借助Matlab 软件编制相关数据分析程序，得到Bayes判别准则下的砂土地震液化势预报模型。根据Bayes判别准则确定各判别函数系数，见表6；各样本后验概率见表7。据表6和表7可判断各样本的归属，利用回代估计法进行检验。从表7可以看出：对20组训练样本，BDA判别结果与原有液化势类别完全一致，从而说明Bayes判别准则下的砂土液化评价模型的有效性和可行性。所以，将Bayes判别分析模型应用于砂土液化等级评价的判定中完全可行、高效可靠的，具有较高的实用价值。采用学习好的BDA模型对测试集5组样本进行实际验证，只有1组发生误判，正确率达76%。其他模型结果见表8。

表6  Bayes判别函数系数

Table 6  Coefficients of Bayes discriminant function

表7  BDA模型5各样本后验概率P

Table 7  Each samples of a posteriori probability P of BDA model 5

表8  不同砂土液化势的多元判别模型分类正确率评价结果对比

Table 8  Variety of developed multivariate discriminant analysis models for predicting sand liquefaction potential with correct classification rate

2.3  评价结果分析

在砂土液化势分类判别中，多元判别分析方法显示出强大的统计优势。利用Fisher判别准则和Bayes判别准则均取得较好的效果。不同砂土液化势的多元判别模型评价结果见表8。从表8可以看出：每种判别准则下的5个判别模型，回代估计率都很高，接近100%，对待判样本的推广判别效率基本在80%左右，在一定程度上满足工程实际需要；个别模型上BDA模型比FDA模型判别略有优势。比较以上2种判别法，很难从客观上作出孰优孰劣。本文作者认为使用哪个判别法需要根据实际问题作出选择。如当k个总体的均值向量共线性程度较高时，Fisher判别法比Bayes判别法简单，且Fisher判别法未对总体分布作特殊要求；而Fisher判别法的不足是它未考虑各总体出现概率，不能给出后验概率以及错判之后造成的损失，这恰好是Bayes判别法的优点。但需指出的是：当给定的先验概率不符合客观实际时，Bayes判别法也可能会导致错误的结论。综述以上结论，在一定条件下，这些判别法其实是等价的。

3  结论

(1) 根据难以取得大量砂土液化发生观测数据和重复多次观测的特点，选用允许使用小样本并可使用建立模型时的数据进行验证的多元判别分析原理，选取震级M、地面加速度最大值g_max、标准贯入击数N_63.5、比贯人阻力P_s、相对密实度D_r、平均粒径D₅₀、地下水位d_w这7个特征参数指标，根据不同判别准则，分别建立了砂土地震液化势预报的Bayes和Fisher识别模型。

(2) 本文所建立不同判别准则下的砂土液化势多元判别分析模型，计算方法简单，评价结果与实际结果较吻合，BDA方法略优于FDA模型。在考虑诸风险因素的情况下，应用判别分析可以更加充分地挖掘可用信息，降低错判率，为砂土液化势评价方法提供了一种实用的途径。

(3) 判别方法建立和验证都离不开液化原始资料，其适用性与可信度在很大程度上取决于原始资料的质量。本文主要通过已有的历史液化资料，在收集资料时尽量选择震级、地区范围更广的液化资料，使其更具有真实性、普遍性。在实际工程应用中，可根据具体情况，广泛收集工程实例资料，建立相应的样本数据库, 增强模型的识别能力。

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(编辑  陈灿华)

收稿日期：2012-07-10；修回日期：2012-09-22

基金项目：教育部博士学术新人基金资助项目(1343-76140000011)；国家自然科学基金资助项目(50774092)；全国优秀博士学位论文专项资金资助项目(200449)

通信作者：禹建兵(1973-)，男，湖南双峰人，博士研究生，副教授，高级工程师，从事土木工程施工研究；电话：13908475168；E-mail: 1255875562@qq.com