考虑拉压不同模量采空区顶板岩梁的损伤分析

王渭明¹，赵增辉^{2, 3}，王磊¹

(1. 山东科技大学 土建学院，山东 青岛，266590；

2. 矿山灾害预防控制省部共建国家重点实验室培育基地，山东 青岛，266590；

3. 山东科技大学 矿业与安全工程学院，山东 青岛，266590)

摘要：考虑拉、压弹性模量不等以及水平应力作用，引入Norton非线性应力应变关系及Kachanov损伤演化规律，建立了采空区顶板的蠕变损伤模型。定义弹性模量比例系数α及水平应力系数k_x表征弹性模量和轴向压力对蠕变损伤的影响，给定特定参数分析了断裂孕育时间、有效应力、有效高度、损伤因子等随α，k_x和材料参数m的变化规律。结果表明：随着α的增大，顶板中的拉应力降低，断裂孕育阶段延长，断裂前缘扩展速率减慢，并且拉应力区高度减小；水平应力减少了顶板横截面上的最大拉应力，延缓了顶板的宏观开裂时间，使顶板的破坏区变小，岩体拉压弹性模量的差异及硐室水平应力的作用对顶板的损伤特性影响很大，不可忽略。所得结论为有效抑制顶板岩梁的裂纹扩展，维护巷道顶板稳定提供了理论依据。

关键词：巷道顶板；不同拉压弹性模量；水平应力；蠕变损伤模型

中图分类号：TD 323           文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2014)03-0910-07

Damage analysis of upper roof beam with different modulus in mined-out area

WANG Weiming¹, ZHAO Zenghui^{2, 3}, WANG Lei¹

(1. College of Civil Engineering, Shandong University of Science and Technology, Qingdao 266590, China;

2. State Key Laboratory of Mining Disaster Prevention and Control Co-founded by Shandong Province and the Ministry of Science and Technology, Qingdao 266590, China;

3. School of Mining and Safety Engineering, Shandong University of Science and Technology, Qingdao 266590, China)

Abstract: Considering the different modulus in tension and compression and action of horizontal stress-field, creep damage model of roof of soft rock tunnel was established based on Norton nonlinear law and Kachanov’s damage evolution law. The effects of modulus difference and horizontal stress-field on the damage characteristics of tunnel roof were involved by definitions of modulus coefficient and horizontal stress coefficient k_x. The changes of damage incubation time, effective stress, effective height and damage factor with α, k_x and material parameter m were analyzed by given parameters. The results show that the height of tensile stress area and propagation rate of fracture front of tunnel roof decrease with the increasing of α. On the contrary, macroscopic cracking time is prolonged. Failure area of roof became smaller because of the decreasing of tensile stress under the effect of horizontal stress. Therefore, modulus difference and horizontal stress-field exert a great influence on damage characteristics of tunnel roof and cannot be ignored. The conclusions provide a theoretical basis for effectively inhibiting the crack propagation and maintaining stability of tunnel roof.

Key words: tunnel roof; different modulus in tension and compression; horizontal stress; creep damage model

巷道顶板往往由不同性质的岩层组成，位于最下层的关键层的移动和破坏控制着整个岩层的活动。现场实测数据证明从顶板来压、表面开裂、裂隙扩展到岩层断裂都将历经一定的时间^[1-3]，尤其是弱胶结砂质泥岩等软岩顶板，其破坏时效性更为显著。因此，巷道顶板岩层断裂是一个蠕变损伤演化的过程，并非瞬时完成^[4-6]。长期以来，为了了解顶板的破断规律，进行了大量的研究工作，范庆忠等^[7]对巷道和采场顶板岩梁的弯曲流变进行了实验研究，分析了流变条件下岩梁弯曲中性面位置的变化规律；刘东燕等^[8]将巷道上覆岩层简化为承受非均匀荷载的等效复合岩梁模型，讨论了岩层的层间剪切滑移；王志学等^[9-11]对采空区悬顶板梁模型进行了时间相关性的蠕变分析；崔继升等^[12]建立了损伤基础梁的地质力学模型，并分析了煤层老顶岩梁的极限破断矩和压力情况；许兴亮等^[13]数值模拟研究了巷道围岩外层关键岩梁与内层预应力承载结构的作用文献；卢国志等^[14]分析了影响岩梁周期裂断步距的因素。以上文献在岩梁的破坏时效性及损伤断裂方面取得了许多研究成果，但均未考虑岩体拉压弹性模量的差异以及水平应力的影响，本文作者将着重考虑岩体的不同拉压模量及水平应力作用，建立采空区顶板的蠕变损伤模型。

1  软岩巷道顶板的力学模型

将煤矿巷道顶板岩层简化为岩梁，承受自重应力和水平应力，其力学模型及弯矩分布如图1所示。q为岩梁上覆岩层产生的自重应力，假定水平应力均由自重产生，则水平应力系数k_x=μ/(1-μ)，轴向力F_N=k_x·q·A，其中A为岩梁的横截面面积。

图1  岩梁的力学模型及弯矩分布

Fig. 1  Model of rock beam and distribution of bending moment

拉压弹性模量的不同导致岩梁弯曲后中性轴位置不在横截面的对称轴上，如图2所示。设岩体的抗拉模量为E_t，抗压模量为E_c。若梁中的最大拉应力超过极限拉应力，则发生脆断，无蠕变产生。假定应力应变满足非线性Norton关系：

                (1)

式中：E为弹性模量；C，n为材料常数。

两端面固定端处取，因此损伤从此处开始，横截面应力分布见图2，以弯曲中性轴处建立xoy坐标系。

图2  岩梁横截面上的应力分布

Fig. 2  Stress distribution on cross section of rock beam

若只考虑弯曲，设岩梁的曲率为，梁的宽度为b，则梁上任一点的应变，代入式(1)得

                (2)

静力学关系如下：

    (3)

 (4)

由式(3)得

即

        (5)

定义弹性模量比例系数，则

，          (6)

式中：h₁和h₂分别为只考虑弯曲时受拉区和受压区的高度。若，则，退化为各向同性梁。由式(4)得：

       (7)

令，则

当岩梁受横向荷载和轴向压力时，将发生压弯组合变形，横向荷载使构件产生弯曲变形，轴向压力引起附加弯矩，使弯曲变形增大。由于岩梁的弯曲刚度较大，此处忽略轴向压力引起的附加弯矩。假设轴力对曲率没有影响，只影响中性轴的位置，轴向压力将使弯曲中性轴的位置向上偏移，设偏移量为y₀。

中性轴处应力为0，即

         (8)

由此得：

           (9)

故有效拉应力极值为

  (10)

式中：，。

可见岩梁的应力场为非均匀场，因此损伤场的变化也是非均匀的。

2  损伤演化方程

由于岩石抗拉强度低，所以岩梁受拉一侧处于微裂纹张开和扩展的变形过程，而受压一侧处于弹性压密阶段，因此假定岩梁只在拉应力下产生损伤。损伤演化方程采用Kachanov指数函数形式^[15]，设为

         (11)

其中：D为损伤因子；a和m为材料常数。初始时刻，将上式积分得到

     (12)

在断裂前缘上，损伤因子，记损伤前缘应力为，由式(12)得任意时刻t损伤前缘应满足方程

          (13)

3  岩梁的蠕变损伤模型

3.1  断裂孕育阶段

此阶段虽然受拉区有损伤累积，但尚未形成宏观开裂区，岩梁所承受的载荷可持续增加，直到梁的横截面上承受最大拉应力处开始开裂，称为潜在破损阶段。此阶段，。

将式(10)代入式(13)得：

   (14)

设在处，有，当时，在处发生断裂，由式(14)得断裂起始时间为

   (15)

式中：。

3.2  断裂发展阶段

此阶段损伤宏观开裂区形成并逐渐向下扩展，有效承载区和开裂区(已丧失承载能力)以断裂前缘为分界面。梁的有效承载高度将随损伤的发展而减小，从而有效承载面积也将减小，此阶段h＜h₀。

任意时刻，横截面上的最大有效拉应力为

      (16)

式中：t≥，为时刻损伤前缘在xoy坐标系中的位置。图3所示为任意时刻梁的截面高度与中性轴位置。由图3可知：

代入式(16)得：

 (17)

为方便分析，令，式(17)变为

   (18)

令

     (19)

则

     (20)

图3  任意时刻梁的截面高度与中性轴位置

Fig. 3  Changes of beam height and position of neutral axis

上式再次对时间t求导得：

     (21)

式中：。

解以上微分方程得：

      (22)

K为积分常数，上述方程的初始条件为：设t₀时刻出现损伤，梁的初始高度为h₀，即，代入式(20)得：

         (23)

将式(20)代入式(22)得：

       (24)

积分式(22)得：

    (25)

式中：为任意位置x处出现断裂时间。

  (26)

岩梁任一截面的弯矩方程为

      (27)

由式(25)及(27)可求任意截面x处损伤终止时间。

若最大有效拉应力＜0，损伤将停止发展。定义拉伸区高度，将式(6)和(9)代入得：

         (28)

4  数值分析

4.1  拉压不同模量对岩梁损伤的影响

利用t=t₀时的初始条件，采用数值方法即可对式(21)进行求解。参数取值见表1。

表1  数值分析参数取值

Table 1  Parameters for simulation

图4所示为初始断裂时间随弹性模量的变化。由图4可见：随着拉压模量比的增大，梁的受拉区高度减少(见式(6))，开裂时间t₀将延缓。

图4  初始断裂时间随弹性模量的变化

Fig. 4  Variation of initial fracture time t₀ with

定义无量纲有效应力，为最大有效应力，无量纲时间，为任意时刻。由式(28)可知：越大将使有效受拉高度减小，降低了最大有效拉应力，如图5所示。随着的增大而不断减小，而且变化幅度趋于减小。

图6所示为梁的有效高度损伤随弹性模量的变化，定义无量纲高度，为任意时刻的有效高度。可见梁的有效高度在出现宏观裂纹时刻t₀附近下降很快，随着宏观裂纹不断扩展，若增大使受压区增加，高度变化趋于稳定值，而不是完全断裂。

4.2  水平应力对岩梁损伤的影响

图7所示为拉伸区有效高度随水平应力系数的变化。水平应力即为岩梁的轴向荷载，将使梁的中性轴向上偏移。若水平应力系数k_x=0，轴向力F_N=0，中性轴偏移量y₀为0，受拉区高度最大，拉伸区有效高度损伤速度最快。若k_x＞0，受拉区高度明显减少，损伤速率变慢(见图7)。

图5  有效应力随弹性模量比例系数的变化

Fig. 5  Variations of effective stress with

图6  有效高度随弹性模量比例系数的变化

Fig. 6  Variations of effective height with

图7  拉伸区有效高度随水平应力系数的变化

Fig. 7  Variations of effective tensile height with k_x

图8所示为初始开裂时间随水平应力系数的变化。由于轴向压力减少了横截面上的最大拉应力，因此延缓了岩梁的宏观开裂时间，随着k_x的增大，轴向压力不断增大，初始开裂时间也不断增大(见图8)，如文献[16]所述，轴向压力将使梁的破坏区变小。

图8  初始开裂时间随水平应力系数的变化

Fig. 8  Variation of initial cracking time with k_x

4.3  损伤因子D随时间的变化分析

在断裂孕育阶段，损伤因子D随材料参数m的变化见图9。随着m的增大，损伤因子D随时间的增长速率加大，由于m≤0.05，由式(7)可知，损伤因子D随时间近似呈线性变化。

图9  损伤因子随参数m的变化

Fig. 9  Variations of damage factor with m

图10所示为m=0.4时，损伤因子D随弹性模量比例的变化。可见随着的增大，损伤因子增长速率不断减少，岩梁高度变化趋于稳定值。如上所述，m的取值将影响D-t曲线形状。

此外，随水平应力系数k_x的增大，D的增长速率逐渐减小，这是因为轴向压力增大使梁的初始开裂时间增大。

图10  损伤因子随弹性模量比的变化

Fig. 10  Variation of damage factor with

5  结论

(1) 拉、压模量不同导致巷道顶板受拉区高度随水平应力的衰减而增大；当岩梁受拉区由断裂孕育阶段发展到断裂扩展阶段时，断裂前缘会不断向受压区移动，且移动速率会不断加快，直到岩梁整体断裂。为了使岩梁两端保持足够水平约束力，目前最有效的施工措施是在巷道横断面顶板两端安装强力锚杆或锚索。这就从理论上说明了顶板锁角锚杆在抑制岩梁裂纹扩展、维护巷道顶板稳定起到的重要作用。

(2) 随着拉压模量比的增大，岩梁中的拉应力降低、断裂孕育阶段延长、断裂前缘扩展速率减慢、受拉区高度减小。这意味着提高岩梁的抗拉模量是抑制受拉区断裂扩展的有效途径。巷道开挖后，尤其是软岩巷道开挖后，立即进行锚固、挂网、喷浆，及时封闭围岩。喷射水泥砂浆注入围岩表面裂隙内提高了表层的整体性；锚杆(或锚索)加固提高了岩梁的整体刚度；挂(钢丝)网直接增强岩梁表面的抗张强度，相当于提高了岩梁的抗拉模量。可见，喷网锚支护能够有效地增强巷道围岩的抗拉模量，提高拉压模量比值。

(3) 增大拉压模量比，岩梁受压区增大，高度变化趋于稳定值，而不是完全断裂。

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(编辑  陈爱华)

收稿日期：2013-03-24；修回日期：2013-06-11

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51174128)；高等学校博士学科点专项科研基金资助项目(20123718110007)

通信作者：王渭明(1955-)，男，江西临川人，博士，教授，博士生导师，从事岩石力学与地下工程方面的研究；电话：0532-80681203；E-mail: wang@sdust.edu.cn