DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2016.02.039

基于混沌分形理论的滚动轴承微小故障诊断

张忠云¹，吴建德^{1, 2}，马军¹，王晓东^{1, 2}

(1. 昆明理工大学 信息工程与自动化学院，云南 昆明，650500；

2. 云南省矿物管道输送工程技术研究中心，云南 昆明，650500)

摘要：为提取轴承微小故障的故障特征，提出一种基于混沌分形理论的滚动轴承故障诊断方法。通过计算滚动轴承振动信号的最大Lyapunov指数，进行轴承运动的混沌识别；然后，对具有混沌特性的振动信号，计算关联维数和盒维数作为故障诊断的状态特征量。当关联维数不能明显区别轴承故障时，利用关联维数与盒维数相结合的方法判别故障；最后，选取滚动轴承滚动体、内圈、外圈存在微小故障和较明显故障以及正常状态7种工况的振动信号进行实验。研究结果表明：该方法能准确提取故障特征并完成滚动轴承的微小故障诊断。该方法为滚动轴承故障诊断提供了新的有效途径。

关键词：滚动轴承；微小故障诊断；Lyapunov指数；关联维数；盒维数

中图分类号：N941.7             文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2016)02-0640-07

Slight fault diagnosis for rolling bearing based on chaos and fractal theory

ZHANG Zhongyun¹, WU Jiande^{1, 2}, MA Jun¹, WANG Xiaodong^{1, 2}

(1. Faculty of Information Engineering and Automation,

Kunming University of Science and Technology, Kunming 650500, China;

2. Engineering Research Center for Mineral Pipeline Transportation YN, Kunming 650500, China)

Abstract: In order to extract the fault features of bearing slight fault, a new fault diagnosis method for rolling bearing based on chaos and fractal theory was put forward. Firstly, the largest lyapunov exponent of rolling bearing vibration signal was calculated to identify whether the bearing running gets in chaotic or not. Then, the correlation dimension and box dimension of the chaotic signal were calculated as the state character for fault diagnosis. When the correlation dimension can’t obviously separate bearing faults, the box dimension is used to combine with it for fault diagnosis. Finally, the inner ring, outer ring and rolling element signal of bearing in slight fault, serious fault and the normal state signal in total 7 kinds of conditions were selected to do the experiments. The experimental results show that the method can accurately extract fault feature and complete slight fault diagnosis of rolling bearing. The proposed method provides a new effective approach to the fault diagnosis of rolling bearing.

Key words: rolling bearing; slight fault diagnosis; the largest Lyapunov exponent; correlation dimension; box dimension

滚动轴承是旋转机械中最重要且最易发生故障的部件之一，轴承缺陷或损伤将影响设备正常运行，甚至造成严重事故。因此滚动轴承故障诊断至关重要^[1]。对滚动轴承振动信号进行故障特征提取是故障诊断的关键，但轴承的运行过程是一个复杂且非平稳的动态过程，其振动信号受传输路径和噪声等影响，表现出明显的非线性和非平稳性，大大增加了轴承故障诊断的难度，尤其是微小故障诊断。本文所指微小故障是指处于早期阶段的故障或弱故障，症状不明显^[2-3]。混沌分形理论对非线性信号具有很好的表示能力，在非线性数字信号特征提取中得到广泛应用。顾晓辉等^[4-6]将混沌理论用于滚动轴承故障判别；李兆飞^[7]以滚动轴承为例，研究了振动故障的分形特征提取方法。此外，一些学者还将混沌与分形用于气阀、齿轮、柴油机等的故障诊断，均取得了好的效果^[8-10]。虽然许多学者已将混沌分形理论用于振动信号分析，但从所查阅的文献来看，大多数学者只是利用混沌分形的特征参数去分析信号，对于微弱故障振动信号的特征提取并没有详细阐述与分析。为此，本文作者提出一种基于混沌分形理论的滚动轴承微小故障特征提取方法。通过计算所采集的滚动轴承振动信号的最大Lyapunov指数，判别信号的混沌特性；其次，对具有混沌特性的振动信号，计算关联维数和盒维数作为故障诊断的状态特征。对于微小故障的振动信号，关联维数无法明显区分时，利用盒维数加以佐证，从而判别故障。最后，选取滚动轴承滚动体、内圈、外圈存在微小故障和较明显故障以及正常状态7种工况的振动信号进行实验。

1  混沌与分形理论

混沌是由于确定性系统对初始条件的敏感而产生的不可预测性^[11]，可将其用于系统振动信号的非线性特征分析，揭示系统运动的本质。分形与混沌具有密切关系，混沌运动经长时间演变后，最终表现为奇怪吸引子形态，也就是分形^[12-13]，因而可利用分形维数定量描述具有混沌特性的振动信号。

1.1  最大Lyapunov指数

Lyapunov指数研究的是初始2个无限靠近的点随时间分离的情况^[14]。它在混沌系统研究中占有重要地位，可用来判断系统是否混沌。

假设系统的Jacobi矩阵处处存在，若在t₀时刻给定系统一个小的扰动量ΔX(t₀)，而在t时刻系统的扰动变为ΔX(t)，则Lyapunov指数定义为

          (1)

在1个n维的相空间中，由于扰动在n个方向上都有所变化，因此，系统有n个Lyapunov指数。计算出系统的最大Lyapunov指数λ′，当λ′＞0时，系统对应为混沌运动；当λ′＜0时，系统对应为周期运动；当λ′=0时，系统对应为周期运动或拟周期运动。

1.2  G-P算法计算关联维数

GRASSBERGER与PROCACCIA在“嵌入定理”和重构相空间理论的基础上，提出了一种由时间序列数据求其动力系统吸引子的关联维数法即G-P算法。步骤^[15]如下。

 设有一实测时间序列为{X_k}(k=1，2，…，N，N)为采样数，采用延迟坐标法将时间序列扩充到m维欧式空间R^m中，得到观测序列的新集合，元素记为

， n=1，2，…，N_m              (2)

其中：τ为时延参数；m为嵌入维数；N_m=N-(m-1)为重构向量的个数。

从式(2)中任取一个参考点X_i，计算其他点到它的距离，计算公式如下：

；

j=1，2，…，N_m                      (3)

重复上述过程，则可得到所有的点间距。

给定一临界距离r(r为一充分小的数)，检查有多少点对(X_i，X_j)之间的距离小于r，并把距离小于r的“点对”在所有“点对”中所占的比例记为

；

i，j=1，2，…，N_m             (4)

式中：C_m(r)为吸引子的关联积分；H(s)为Heaviside函数，

              (5)

选取适当r，则关联维数D_m表示如下：

           (6)

因此，若绘制双对数曲线图lnC_m(r)-lnr，确定图中一段近似直线的部分为无标度区，并用最小二乘法对无标度区间进行线性拟合，拟合得到的直线斜率即为所求的关联维数D_m。

1.3  关联维数参数确定

相空间重构过程中，时延参数τ、嵌入维数m以及标度r的选取都对准确求取关联维数起着重要作用，选取都应“适中”。

1) 时延参数τ。τ选取过大，则任意两相邻坐标相关性差，重构的时间序列不能反映系统整体信息；τ过小则会使系统信息不易显露，且造成数据冗余。本文采用的是自相关函数法，即取自相关函数第1次下降到最初值的1-1/e时的延迟时间为最佳τ。

2) 嵌入维数m。根据Takens的嵌入维数定理^[16]，嵌入维数m必须满足：m＞2m₀+1。其中，m₀为原状态空间吸引子所处空间的维数。本文选取m采用的是观察法，即通过逐渐增大m，计算相应关联维数，直到几个相邻关联维数差值在给定范围内变化，则认为此时关联维数达饱和，相应的m为合适的嵌入维数。

3) 标度r。r选取过大会使任何一对向量都发生“关联”，过小则又导致任何一对向量都不发生“关联”。所以，选取的r应大于“向量对”的最小距离，小于“向量对”的最大距离。

1.4  盒维数

基于“覆盖”思想的定义方式：设X是实平面集Rⁿ的非空有界子集，记N(X，δ)表示最大直径为δ且能覆盖X集合的最少个数，则X的盒维数定义为

        (7)

2  混沌分形理论的滚动轴承微小故障诊断

滚动轴承的微小故障诊断首先是对振动信号进行混沌识别，然后对具有混沌特性的振动信号进行分形分析，采用关联维数与盒维数作为故障诊断的状态特征，以准确诊断滚动轴承的微小故障。具体步骤如下：

1) 对振动信号进行混沌识别，计算轴承各状态振动信号的最大Lyapunov指数，若最大Lyapunov指数大于零，则对应为混沌运动；

2) 对具有混沌特性的振动信号采用G-P算法计算其关联维数，分别得到轴承各状态振动信号的关联维数值，作为轴承故障诊断的状态特征；

3) 当关联维数不能明显区别轴承的故障时，进一步计算振动信号盒维数，利用关联维数与盒维数相结合的方法判别故障，以实现滚动轴承的微小故障诊断。流程如图1所示。

图1  基于混沌分形理论的滚动轴承微小故障诊断过程

Fig. 1  Process of slight fault diagnosis for rolling bearing based on chaos and fractal theory

3  滚动轴承故障诊断试验

为了验证所提方法的有效性，采用美国Case Western Reserve University电气工程实验室的滚动轴承实验数据进行验证^[17]。其详细实验参数如下：选取的滚动轴承型号为6205-2RSJEMSKF，加速度传感器安装在电机驱动端，电机转速为1 797 r/min(即转动频率为29.95 Hz)，采样频率为12 kHz，选取数据点数为1 200。分别选取了滚动轴承的正常信号、滚动体故障、外圈故障和内圈故障振动信号进行实验分析，每种故障分别选取故障直径为0.017 78和0.053 34 cm进行试验分析。

3.1  振动信号的混沌特性识别

滚动轴承正常状态、滚动体故障、内圈和外圈故障振动信号在不同故障程度下的时域波形如图2所示。

对滚动轴承振动信号(7种工况)进行混沌识别，应用第2节的Lyapunov指数算法分别计算4种状态下不同程度故障的最大Lyapunov指数。图3所示为滚动轴承为正常状态时的Lyapunov指数随着延迟时间的变化。

表1所示为滚动轴承各种工作状态的最大Lyapunov指数。由表1可看出：滚动轴承正常状态及各故障状态振动信号的最大Lyapunov指数均为正数，从而可以确定这些信号均为混沌信号。因此，可用分形维数对滚动轴承的振动信号进行定量分析。

图2  滚动轴承7种工况振动信号的时域波形

Fig. 2  Time-domain waveform of rolling bearing vibration signal in 7 kinds of state

图3  滚动轴承正常状态的最大Lyapunov指数

Fig. 3  Largest lyapunov exponent of bearing in normal

3.2  滚动轴承分形分析

根据1.1节所述G-P算法计算7种工况下的关联维数。计算过程中，时延参数τ的选取采用自相关函数法，得到正常状态及故障状态下的τ分别取3和2最佳；文中标度r取35(最少为20)，因此每条双对数曲线描的点数为35；逐渐增大嵌入维数m(m从3开始，依次递增6)，得到滚动轴承各状态下的关联积分图lnC(r)-lnr如图4~6所示。

表1  滚动轴承各种工作状态的最大Lyapunov指数

Table 1  Largest Lyapunov exponent of rolling bearing in all kinds of working state

图4  轴承正常状态时lnC(r)-lnr关系曲线

Fig. 4  lnC(r)-lnr curve of rolling bearing in normal

图5  轴承故障直径为0.017 78 cm时各状态的lnC(r)-lnr关系曲线

Fig. 5  lnC(r)-lnr curve of rolling bearing in fault state(the fault diameter is 0.017 78 cm)

图6  轴承故障直径为0.053 34 cm时各状态的lnC(r)-lnr关系曲线

Fig. 6  ln C(r)-lnr curve of rolling bearing in fault state (the fault diameter is 0.053 34 cm)

图7所示为轴承不同程度故障时关联维数随嵌入维数变化。由图7可看出：滚动轴承正常状态的关联维数最大，与故障状态区分明显；对于微小故障(故障直径为0.017 78 cm)，其滚动体故障与内圈故障的关联维数较相近，分别为3.082 9和2.960 5。原因为微小故障时，故障冲击还不明显，加之这2种故障状态存在相似的背景噪声，故关联维数接近；而对于较明显的故障(故障直径为0.053 34 cm)，其故障冲击已较明显，故4种状态的关联维数具有明显差别。为对微小故障下的滚动体故障、内圈故障进行准确区分，进一步计算盒维数对2种状态的关联维数诊断结果加以佐证。

图8所示为盒维数拟合图。针对故障直径为  0.017 78 cm时轴承滚动体故障和内圈故障，画出其盒维数对数坐标，利用三折线拟合法使分段拟合的直线残差平方和最小，选取线性较好的一段无标度区(图8)进行拟合，所得拟合直线的斜率即为二者的盒维数。

由图8看出：对于滚动轴承的微小故障(故障直径为0.01778cm)，其滚动体故障与内圈故障的盒维数分别为1.738 9和1.634 9，具有一定区别，结合二者的关联维数，即可将这2种故障准确区分开来。

从故障直径为0.017 78 cm的故障数据库中任意提取两组振动信号作为待识别信号。首先对2组振动信号进行混沌识别，其最大Lyapunov均大于0，具有混沌特性；其次，分别计算它们的关联维数，表2所示为待识别信号的关联维数随嵌入维数的变化结果(嵌入维数m从3开始增大，依次递增3)。

图7  轴承不同程度故障时关联维数随嵌入维数变化

Fig. 7  Changes of correlation dimension with embedding dimension in different fault degree

图8  盒维数拟合图

Fig. 8  Fitting chart of box dimension

表2  待识别振动信号在不同嵌入维数下的关联维数

Table 2  Correlation dimension of signals for recognition in different embedding dimensions

由表2可看出：第1个待识别信号的关联维数约为2.598 3，与外圈故障的相近，经检验为外圈故障；第2个待识别信号的关联维数约为3.079 8，可能为滚动体故障或内圈故障，进一步计算其盒维数为1.734 2，二者结合即可判定该信号为滚动体故障信号，经检验结果正确。

4  结论

1) 滚动轴承各状态振动信号的最大Lyapunov指数均大于0，说明滚动轴承的运动对应为混沌运动，可用分形对其混沌吸引子进行定量描述。

2) 关联维数作为滚动轴承故障诊断的特征量，对于较明显的故障其值具有明显可分性，达到故障诊断的目的；但对于微小故障，轴承滚动体故障与内圈故障特征值差别较小。

3) 为对滚动轴承微小故障进行准确诊断，采用盒维数结合关联维数的方法加以佐证，提高了轴承故障诊断的有效性及准确性。该方法的提出为滚动轴承微小故障诊断提供了新的有效途径。

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(编辑  陈爱华)

收稿日期：2015-02-13；修回日期：2015-04-20

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51169007)；云南省科技计划项目(2013DH034，2012CA022，2011CI017)(Project (51169007) supported by the National Natural Science Foundation of China; Projects (2013DH034, 2012CA022, 2011CI017) supported by the Science & Research Program of Yunnan Province)

通信作者：吴建德，博士，教授，从事旋转机械设备故障诊断研究；E-mail：wjiande@foxmail.com