文章编号：1004-0609(2015)-11-3026-07

电磁场作用下中铝合金熔体流动的混沌特征的仿真与分析

刘  政¹，张嘉艺²，余昭福²

(1. 江西理工大学 机电工程学院，赣州 341000；

2. 江西理工大学 材料科学与工程学院，赣州 341000)

摘  要：为探明铝合金熔体在电磁场作用下的流动特征，利用Fluent软件模拟电磁场作用下铝熔体中微粒的流动轨迹，计算这些流动轨迹的混沌特征参数：最大Lyapunov指数及Kolmogorov熵。并根据不同电磁频率搅拌下铝合金熔体中微粒的运动轨迹，对其进行混沌特征判断及分析。结果表明：铝合金熔体在电磁场作用下的流动具有混沌特征；电磁频率为5、15和30 Hz时，在铝合金熔体中都发生了混沌对流，其最大Lyapunov指数都大于0，且其Kolmogorov熵随着电磁频率增大而迅速增加，说明其系统内混沌程度越大，信息损失量也越大。

关键词：铝合金熔体；Lyapunov指数；Kolmogorov熵；混沌对流；电磁场

中图分类号：TG292；TP391.9　　     文献标志码：A

Simulation and analysis on chaotic characteristic of flow in Al alloy melt under electromagnetic field

LIU Zheng¹, ZHANG Jia-yi², YU Zhao-fu²

(1. School of Mechanical and Electronic Engineering, Jiangxi University of Science and Technology, Ganzhou 341000, China;

2. School of Materials Science and Engineering, Jiangxi University of Science and Technology, Ganzhou 341000, China)

Abstract: In order to find out the flow features of Al alloy melt under the electromagnetic field，the trajectories of the particle in Al alloy melt was simulated by the computational fluid dynamics software Fluent, and the chaotic characteristic parameters such as max Lyapunov exponent and Kolmogorov entropy were calculated, and they were used to characterize the trajectories of three groups. The chaotic characters on the flow trajectories of Al alloy melt were judged and analyzed according to the trajectories of the particle in the melt under the electromagnetic field. The results show that there is chaotic character for flow in Al alloy melt under electromagnetic field. Chaotic advection happens in the melt at different frequencies such as 5, 15 and 30 Hz. The maximum Lyapunov exponents are beyond 0. And Kolmogorov entropy increases rapidly with increasing the frequencies, indicating that its system has more degree of chaos and more information loss.

Key words: Al alloy melt; Lyapunov exponent; Kolmogorov entropy; chaotic advection; electromagnetic field

在合金的凝固过程中，熔体流动所起的作用已有不少研究^[1-6]，凝固前沿的熔体流动通过影响固液界面处的热质分布和结晶动力学，从而对凝固组织的形态、成分和晶体缺陷产生影响。而且合金熔体的流动是凝固过程中一种不可避免的现象，也是影响其综合性能的重要因素之一。为了利用熔体流动对凝固显微组织进行有效预测和调控，人们在合金凝固的研究和生产中使用了各种外场，其中电磁场技术是在合金凝固前或凝固过程中对合金熔体施加电磁场，利用合金和电磁场的相互作用，改善其凝固组织^[7]。

电磁场作用下的金属凝固是一个非平衡过程，传统的金属凝固理论可能不完全适应，还须不断探索新的理论及研究方法进行完善。铝合金中的添加元素或细化剂(如AlTiB、RE、Zr、Na)等是否能够实现强化、净化、细化等功效，与它们在合金熔体中的分布不无关系。以往的研究表明^[8-9]，在熔体中，特别是固液共存状态下，溶质元素的扩散迁移将受到熔体流动特性的影响，继而影响到合金的凝固组织^[10]。因此，控制溶质在熔体中的传输、扩散与分布对合金制品的最终性能极为重要。

目前，由于凝固理论的不完善与研究手段的欠缺，人们对于合金处于固液共存、高黏性状态下的流动规律及其溶质传输的认识与控制，还受到一些限制。20世纪80年代初期，AREF^[11]提出了混沌对流的概念，并用来强化粘稠流体中的混合、传质与传热。后来混沌对流的理论与技术在化学工程中率先获得应用^[12-13]，有实验研究表明，混沌混合可以有效改变搅拌器内流体混合效果^[14-15]。因此，引入混沌理论探索合金熔体流场中溶质扩散、分布规律，达到控制合金凝固组织具有十分重要的意义。

在混沌理论中，表征系统动力学混沌特性的3个特征量：维数、Lyapunov指数、Kolmogorov熵。为今后进一步探究铝合金熔体在电磁场作用下流动的特性，更好地调控熔体流动对合金中溶质传输、扩散与分布的影响，继而对合金凝固组织的影响，本文作者先用CFD-Fluent流体力学软件模拟电磁场中铝熔液微粒运动轨迹，再在Matlab平台上分析计算运动轨迹的Lyapunov指数以及Kolmogorov熵值，并对其变化规律进行混沌判断描述及分析，揭示半固态合金熔体在电磁场作用下流体的混沌特征，并对今后从非线性科学的角度表明合金熔体流动对凝固组织影响的演变打下基础。

1  Fluent模拟

将盛铝熔液的容器(坩埚)简画成圆柱体(半径3 cm，高12 cm)，所研究的电磁场内的流体为A356铝熔液，其液态密度为2630 kg/m³，动力黏度为1.2×10^-5 Pa·s，热导系数为161 W/m，比热为880 J/kg；而该合金的液相线温度与固相线温度分别为615.6 ℃(888.6 K)和576.1 ℃(849.1 K)。电磁场为交变场，其电磁场频率分别设置为5、15和30 Hz。搅拌时间均为5 s。熔体浇注初始温度参数设置为923 K(即650 ℃)。选用标准k-ε湍流模型。磁场强度通过加载MHD磁场模块导入，已知磁场强度公式为H=NL/L_e，N为线圈匝数(实验所用为3个对极的电磁搅拌器，匝数为9)；L为电流强度；L_e为样品有效磁路长度(横截面直径为6 cm)，可知磁场频率不同，励磁电流也不同，在频率为5 Hz时，电流强度L=0.425 A，磁场强度H=63.75 A/m；在频率为15 Hz时，磁场强度H=191.25 A/m；频率为30 Hz时，磁场强度H=382.8 A/m。可知随着磁场频率增加，磁场强度也随着增加。众所周知，金属熔体在坩埚内会产生很大的温度梯度，甚至接近坩埚壁会形成树枝晶，所产生的温度场分布及不同频率引起的温度场变化是不同的，但不影响其合金熔体微粒的运动且模拟搅拌时间仅为5 s，合金熔体降温较小，还可以保持液态而进行充分的流动，并不会影响设置的边界条件。所以壁面采用黏性流动壁面Wall界面来模拟其滑移壁面，其动量方程、湍动能方程和湍动能耗散率均采用二阶迎风差分格式，采用SIMPLEC算法。实验采用3组对比模拟实验，以其不同的频率作为比较对象，每组随机模拟2个相近微粒坐标的运动轨迹，分别标记为A(A₁，A₂)、B(B₁，B₂)、C(C₁，C₂)，如表1所列。

将其运动轨迹导入Matlab中更加直观地显示(如图1~3所示)。

从图1中可以明显看出，在频率为5 Hz时，熔体内微粒A、B和C在凝固系统中受施加的电磁场均发生不规则三维流动。随着频率的增大其他条件不变的情况下，在频率为15 Hz下，熔体内微粒A、B和C做较图1更复杂的湍流运动，如图2所示。随着电磁频率进一步地增大，意味着电磁场对合金熔体的扰动加剧，熔体流速加快，湍动越明显，其中的微粒运动轨迹越复杂多变，如图3中A、B和C微粒轨迹所示。

表1  A、B和C的起始坐标

Table 1  Starting coordinate positions of A, B and C

图1  A、B和C在频率为5 Hz时的运动轨迹

Fig. 1  Trajectories of A, B and C at frequency of 5 Hz

图2  A、B和C在频率为15 Hz时的运动轨迹

Fig. 2  Trajectories of A, B and C at frequency of 15 Hz

图3  A、B和C在频率为30 Hz时运动轨迹

Fig. 3  Trajectories of A, B and C at frequency of 30 Hz

2  Lyapunov指数及计算分析

2.1  Lyapunov指数

首先，Lyapunov指数是针对系统的轨道而言的。混沌运动基本特点是运动对初始条件极其敏感，两个极为靠近的初始坐标产生的运动轨迹，随着时间的演变而分离，Lyapunov就是表征这个现象的特征量。Lyapunov指数是检验系统的有序或混沌状态的重要依据，而正的Lyapunov指数是刻画混沌系统的主要特征。从最大Lyapunov指数^[16-17]大于0可以判断出：无论初始两条轨迹线多接近，随着时间的演变会成指数增长而无法预测，这就是混沌现象。在一个n维的动力系统中，以x₀为中心的一个很小n维球体，随着时间演变，球体将变为一个近似椭圆球体，该球面成为n维椭球面。在球的直径x₀趋向于0的情况，映像与椭球相同的时间趋于无穷大。在迭代椭球的轴长增加倍数的长期平均值，其对数成为Lyapunov指数。那么相对应Lyapunov指数λ₀一般按Lyapunov指数大小排列，即λ₁≥λ₂≥…≥λ_n。一般对单变量的时间序列进行空间重构，然后用分析法和轨道跟踪法来提取系统的Lyapunov指数。

Lyapunov指数对混沌初始条件敏感，其吸引子的特征有：1) 任何吸引子，都至少有一个负的Lyapunov指数；2) 稳态运动或者周期运动都不可能有正的Lyapunov指数；3) 对于任何混沌运动系统，都至少有一个正的Lyapunov指数。

WOLF等^[18]提出基于相平面和相体积演化来计算Lyapunov指数，此方法成为Wolf法，此法计算结果不易受拓扑复杂性(如Lorenz吸引子)影响，所以Wolf法在计算最大Lyapunov指数来判断分析混沌特性运用广泛。

设混沌时间序列{x₁，x₂，x₃，…，x_n}，嵌入维数m，时间τ，重构相空间为

Y(t_i)=(x(t_i)+x(t_i+τ)，…，x(t_i+(m-1) τ)),

i=1，2，…，n-(m-1)τ                    (1)

式中：t_i为发生混沌时间；n为自然数。当重构相空间后，根据混沌吸引子分离特性，即用Wolf法计算最大Lyapunov指数。

取相空间初始点Y(t₀)，设初始点近邻点Y₀(t₀)，它们之间间距为L(t₀)，从初始时刻追踪两点的时间演化，直至t₁点时两点距离超过规定值ε，有

L′(t₁)=|Y(t₁)-Y₀(t₁)|＞ε，ε＞0                    (2)

式中：L′(t₁)为Y(t₁)和Y₀(t₁)之间的间距；Y(t₁)为t₁时的相空间点，Y₀(t₁)为Y(t₁)的近邻点。再在Y(t₁)临近处找随意点Y₁(t₁)，保证Y(t₁)和Y₁(t₁)两点间距小于规定值ε，有

L(t₁)=|Y(t₁)-Y₁(t₁)|＜ε，ε＞0                     (3)

为了使L′(t₁)与L(t₁)夹角θ尽量小，反复重复式(2)和(3)过程，直到Y(t)到达时间序列终点；W为总迭代次数；t₀为初始迭代所用时间；t_W为迭代次数W所用时间，所以最大Lyapunov指数λ_max为

                    (4)

2.2  最大Lyapunov指数计算与分析

对测单变量的时间序列计算系统的Lyapunov指数，有Wolf算法和Jacobian算法。Wolf算法对计算最大Lyapunov指数简单。利用所编程的Wolf算法对其最大Lyapunov指数进行计算，结果如图4所示。对于A、B和C坐标微粒轨迹不同频率下的最大Lyapunov指数，如表2所列。

从表2可以看出：在相同运动时间下，A，B和C在不同频率下得到的最大Lyapunov指数不同，并有一个共同特点都大于0，且最大指数值均在2~3之间。从Wolf算法中最大Lyapunov指数判断，得知在频率5、15和30 Hz下，每组对应的系统轨迹都有混沌解，即每组微粒在运动中发生了混沌流动，有混沌特性。从图4可以看出，A、B和C在不同频率下，最大Lyapunov指数的变化趋势。所选B组，不同频率对应的最大Lyapunov指数都较其他两组大；C组在不同频率下对应的最大Lyapunov指数也比A组值大。无论在所选的频率范围内，最大Lyapunov指数分布由大到小依次为：B、C、A。但从目前研究情况来看，仅能从最大Lyapunov指数判断其是否有混沌特性，并不能单从最大Lyapunov指数的大小来判断混沌程度大小，可从K熵来判断。

表2  A、B和C微粒轨迹在不同频率、相同运动时间的最大Lyapunov指数

Table 2  The max Lyapunov exponents of A,B and C particle trajectories at the same time but different frequencies

图4  A，B和C在不同频率、相同运动时间下对应的最大Lyapunov指数变化趋势图

Fig. 4  Maximum Lyapunov exponents trend chart of A, B and C particle trajectories at the same time but different frequencies

3  Kolmogorov熵及计算分析

3.1  Kolmogorov熵

熵是物质系统的状态的丰富程度，或称为复杂程度。热力学定义的熵是在能量空间分布均匀性的特征量，分布越均匀，无序度越大，熵值越大；相反地，分布越不均匀，有序度越高，熵值越小。所以一般认为熵是状态的度量标尺。每一个正Lyapunov指数就代表该方向信息的损失，那么有多个正Lyapunov指数时，涉及了另外一个Lyapunov指数相关的量，即Kolmogorov熵(K熵)^[19-21]，它是刻画混沌的另一个重要的特征，它可以用来区分规则运动、混沌运动和随机运动。在不同的运动系统中，K熵数值是不同的。在规则周期运动中，K熵为0；在混沌运动中，K熵大于0，且K熵越大，系统混沌程度越大，信息损失量越大；在随机运动中，K熵趋于无穷。在混沌运动中：K熵大于0，K熵越大意味着信息量的损失越大；对于规则运动：K熵等于0；在随机运动中：系统不可预测，故K→∞，K熵实际上代表总的信息流率。GAO等^[22]采用CFD模拟计算了偏心搅拌的流场行为变化，发现偏心结构的搅拌槽能够破坏系统的周期性和对称性，从而诱发混沌；BRIONGOS等^[23]通过分析三维流化床的表面自由波动维数和K熵，并通过计算分析K熵对流化床流型的敏感性。杨世锡等^[24]将K熵引入故障诊断中来辨别故障类别及严重程度。杨春振等^[25]在运用K熵研究双支腿流化床颗粒交换时，得到颗粒团簇交换方式促使系统更加混沌。尽管K熵研究比较广泛，但在电磁搅拌器内研究熔体混沌流动应用还是比较少。

考虑一个n维动态系统，假设状态空间分为一个个边长为l的n维正方体盒子，对空间一个吸引子和一条落在吸引域中的轨道x(t)，若D(i₁，i₂，i₃，…，i_m)是x(τ)落在盒i₁中，x(2p)落在盒i₂中，…，x(mτ)落在盒i_mτ中的联合概率，即Kolmogorov熵定义为

    (5)

从时间序列来计算K熵一般有两种方法：最大似然算法^[26]和关联积分算法。其中最大似然算法相对简单，计算结果没有二义性。已知对数似然函数L(k)为

   (6)

式中：(b₁，b₂，…，b_m)为样本；M是抽取样本独立的点。求解其最大值就是有要得到样本概率最大k值。得到L(k)值，必须使

                    (7)

从式(7)可得到K熵的最大似然值

                  (8)

3.2  K熵计算与分析

运用最大似然算法进行Matlab编程，求其A，B和C的K熵值，如表3所列。为了方便直观研究其规律，作出K熵趋势图，如图5所示。

表3  A、B和C微粒轨迹在不同频率、相同运动时间下的K熵值

Table 3  Kolmogorov entropies of A, B and C particle trajectories at same time but different frequencies

图5  A、B和C微粒轨迹在不同频率、相同运动时间下的K熵值变化趋势图

Fig. 5  Kolmogorov entropy trend chart of A, B and C particle trajectories at same time but different frequencies

从表3可以看出，无论在5、15还是30 Hz下的轨迹K熵都远远大于0，可见在运动系统中发生了混沌现象且混沌程度较大。从图5可看出，3条曲线随着频率的变大，K熵迅速增。加在5 Hz时，3条轨迹对应的K熵都大于500小于1000，由大到小的顺序为：C的K熵、B的K熵、A的K熵，由此可见在此频率下，C的微粒轨迹K熵最大，混沌程度更大。在15 Hz时，3组微粒轨迹K熵比在5 Hz的时，大了一个数量级。在30 Hz时，K熵比在15 Hz时大了几个倍数，可见频率增大，直接影响运动系统的混沌程度。在电磁场旋转时，熔体每一处产生感应电动势，感应电动势使熔体产生电流，感应电流和和旋转电磁场相互作用使熔体受到Lorenz力，所以使熔体内每个微粒产生复杂的三维混沌流动。在低频率情况下，电磁搅拌功率小，且搅拌速度也低，故使凝固系统中混沌程度不高，随着频率的增加，搅拌速度和功率也增大，使得熔体微粒流动加快，使系统混沌特性更加明显。K熵也是关联Lyapunov指数的一个量，为正Lyapunov指数之和^[27]。Lyapunov指数正比于信息量的损失，而每一个正Lyapunov指数意味着该方向的信息损失。所以可以看出，K熵越大，说明信息损失越大，系统更加混沌。从表3及图5可以明显看出，K熵最大的对应的是30 Hz时的B微粒轨迹，而K熵最小的是5 Hz时的A微粒轨迹，由于每个熔体内微粒的位置不同，合金凝固时所受Lorenz力的径向与切向力也不同，故使熔体内微粒运动轨迹不同，对应的K熵也不同。可见混沌不仅受单一变量的影响，且对初始条件位置也敏感。

综上所述，在本实验范围内，不仅从Lyapunov指数还是Kolmogorov熵的计算中都可以得知在施加电磁搅拌下的铝熔液内部存在混沌对流，而且直接体现混沌对流所产生的影响还需从合金凝固组织的观察分析中获取：是否混沌程度为一定值时，其凝固组织形貌达到最佳，其晶粒越细小圆整；或是否混沌程度越大，其凝固组织形貌而越优；或是相反，这都直接影响混沌特征量和凝固形貌之间的关联。受电磁搅拌的合金熔体中的微粒运动看似无规则，实则其混沌特征量的值暗含着其内部的规律性。然而用CFD-Fluent流体力学软件及混沌特征量来研究电磁场作用下的合金凝固组织形貌在国内外来说是极少的，所以今后还需大量开展实验工作来分析和验证此研究。

4  结论

1) 在相同时间不同频率下，A、B和C 3组运动轨迹的最大Lyapunov指数都大于0，值均分布在2~3之间，证明有混沌解，发生混沌运动。B组轨迹在不同频率对应的最大Lyapunov指数都较其他两组的大，在3个不同频率下，最大Lyapunov指数由大到小依次为B、C、A。

2) 在频率5、15和30 Hz下，其运动轨迹的K熵都远大于0。且随着频率增大，K熵迅速倍增。在5 Hz时，A组微粒轨迹K熵最小；在30 Hz时，C组微粒轨迹K熵达到最大，说明其混沌程度最大，混沌不仅受频率影响，而且对初始条件坐标也敏感。

3) 本研究表明，在一定频率电磁场的扰动下，铝合金熔体中可以产生混沌流动。K熵可用于表征电磁搅拌内熔体混沌流动的特征，可为混沌理论调控流场结构提供新的方法。

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(编辑  王  超)

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51361012)；江西省自然科学基金资助项目(20114bab206014，20142bab206012)；江西省教育厅科技落地计划项目(KJLD12070)；江西省教育厅科技项目(GJJ2014407)

收稿日期：2015-03-26；修订日期：2015-06-14

通信作者：刘  政，教授，博士；电话：0797-8312428；E-mail：liukk66@163.com