边坡稳定可靠度替代模型分析

蔡宁^{1, 2}，赵明华¹

(1. 湖南大学 土木工程学院，湖南 长沙，410082；

2. 湖南工程职业技术学院 建筑工程系，湖南 长沙，410002)

摘要：首先对多项式响应面、BP神经网络、径向基函数及支持向量机这4种替代模型的基本理论、适用范围及构造程序进行具体分析；然后，针对BP神经网络、径向基函数及支持向量机这3种替代模型中训练样本不易获取的情况，引入拉丁超立方试验抽取样本数据，并通过相应替代模型构建边坡可靠度求解的稳定极限状态功能函数近似表达式；最后，通过工程实例对各模型的计算工作量及计算精度进行评估。研究结果表明：对于地层结构较简单、随机参数较少的边坡可采用多项式响应面替代模型，而对于地层结构复杂、功能函数具有较强非线性的边坡建议采用支持向量机替代模型，这可为边坡稳定可靠度替代模型的甄选与构建提供重要依据。

关键词：边坡工程；替代模型；可靠度指标；蒙特卡洛方法；拉丁超立方抽样

中图分类号：TU47          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2014)08-2851-06

Analysis of alternative model for slope stability reliability

CAI Ning^{1, 2}, ZHAO Minghua¹

(1. College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China;

2. Department of Architectural Engineering, Hunan Engineering Polytechnic, Changsha 410002, China)

Abstract: Four common alternative models for slope stability reliability analysis, i.e. polynomial response surface model, BP neural network, BF neural network and support vector machine, were systematically introduced, and the basic theory, application range and constructing program of these four alternative models were analyzed. In view of the situation that training sample of the latter three alternative models is not easy to get, Latin hypercube sampling (LHS) was introduced to extract sample data, and the approximate expression of the slope stability limit state function was constructed based on alternative models. Case studies were made to evaluate the calculation load and accuracy of these four alternative models. The results show that polynomial response surface model is applicable to the slope which has simple layer structure and less random parameters, and support vector machine is recommended for the slope which has complicated layer structure and strong nonlinear performance function, which can provide important basis for selection and construction of slope stability alternative models.

Key words: slope engineering; alternative model; reliability index; Monte Carlo method; Latin hypercube sampling

随着经济社会的飞速发展和工程建设的大力推进，边坡工程的可靠性问题越来越受到工程技术人员的重视。由于边坡系统是一个开放的高度非线性复杂动态系统，其稳定性受工程地质条件、水文地质因素等的综合影响，而这些影响因素中绝大部分具有随机性、模糊性及不确定性等特点，这给边坡稳定性分析带来了很大的困难。传统边坡稳定分析方法大体上可归纳为2类：确定性分析法和不确定性分析法。确定性分析法最有代表性的是以极限平衡理论为基础的安全系数法，由于该方法不能考虑不确定性因素对边坡稳定性带来的影响，所以，很难准确反映出边坡的实际工作状况。在不确定性分析方法中，最有代表性的是以概率统计为手段的可靠度分析法。可靠度分析法是根据已知的随机变量统计参数和概率分布模型以及给定的边坡稳定功能函数，估计边坡在规定条件下和规定时间内完成预定功能的概率^[1]。由于可靠度理论是建立在土体具有的抗力大于荷载效应的概率基础上进行设计和校核的，因此，其分析结果更符合客观实际^[2]。常用的可靠度分析方法有中心点法及蒙特卡罗法等，但这些方法均存在一些不足，如中心点法精度较低，蒙特卡罗模拟法尽管精度较高但计算量大。近年来，基于替代模型的可靠度分析方法越来越受到人们的重视，替代模型的本质是通过构造近似函数，将复杂的边坡稳定隐式功能函数显示化，这样可以大大降低可靠度求解的工作量，提高边坡稳定可靠度计算效率。常见的替代模型有多项式拟合响应面法、BP神经网络、径向基神经网络、遗传算法、支持向量机等。有研究者利用替代模型对边坡稳定可靠性进行分析，如：苏永华等^[3]利用响应面方法对边坡稳定可靠度进行了研究；张志增等^[4]用神经网络研究了边坡稳定可靠度；赵洪波^[5]采用支持向量机理论分析了边坡可靠性；刘思思等^[6]用自组织神经网络与遗传算法对边坡稳定性进行了分析。在此，本文作者选取边坡稳定可靠度分析中最典型的多项式拟合响应面、BP神经网络、径向基神经网络及支持向量机这4种替代模型进行对比研究，以期探究不同替代模型各自的特点及对边坡可靠度分析的影响，并为边坡稳定可靠度分析替代模型的构建与甄选提供理论依据及参考。

1  替代模型基本原理

不同的替代模型具有不同的自身特性，下面分别介绍各种替代模型的基本理论。

1.1  多项式响应面方法

多项式拟合的基本思想^[3]是：设计一系列变量值，每组变量值组成1个试验点，然后逐点进行结构稳定性计算得到对应的功能函数值，通过这些变量组和功能函数值来拟合1个具有明确表达式的函数。

对于含n个随机变量x₁，x₂，…，x_n的情形，已有的研究表明采用不含交叉项的二次多项式作为响应面解析表达式能够兼顾简单性、灵活性及计算效率与精度要求。常用的二次多项式形式为

           (1)

式中：a，b_i和d_i(i=1，2，…，n)为待定系数。对于每一组随机设计变量都对应一个响应，为了确定式(1)中a，b_i和d_i(i=1，2，…，n)共2n+1个未知参数，进行2n+1次试验即可求解式(1)。

文献[7]建议x_i用均值和标准差确定，即x_i=μ_i±fσ_i(其中：μ_i和σ_i为x_i的均值和方差；f代表倍数，一般取为3，对于正态随机变量，其值偏离均值超过3倍均方差的概率不大于0.13%^[8])。

1.2  BP神经网络拟合基本理论

BP神经网络(BPNN)是典型的多层前馈型网络，由输入层、隐含层和输出层构成，层和层之间多用全部连接方式，同一层单元之间不存在相互连接。BP神经网络的基本思路是通过网络输出误差的反馈，不断修改及调整网络的连接权值，从而使网络误差达到最小^[9]。

当输入输出参数呈高度非线性关系时，隐含层中常使用S形传输函数，最常用的S形传输函数有2种：

(1) 对数S形传输函数，其表达式为

               (2)

(2) 双曲正切S形函数，其表达式为

           (3)

令输入向量为x，期望输出为Z，则实际输出表达式为

             (4)

式中：f为标准传输函数；i和j分别为输入节点和隐含节点；w_ij为权重。

1.3  径向基神经网络拟合基本理论

径向基神经网络^[10](RBFNN)是一种局部逼近网络，它由输入层、隐含层和输出层构成的3层前向型神经网络。其用径向基函数作为激励函数，其输出层的激励函数是纯线性函数，对每个训练样本只需要对少量的权值和阀值进行修正，因此，可以大大提高其训练速度。

对于样本集(Y_i，z_i)(其中，i =1，…，N；Y_i为输入值，Y_i =(y_i1，y_i2，…，y_im)^T；z_i为输出值；N为样本点的个数；m为输入变量的维数)，输入值Y_i直接传递给隐含层，它经过隐含层的第k(k=1，2，…，L；L≤N)个激励函数后，当采用高斯函数作为激励函数时，

a_ik=exp[-(||Y_i -C_k||b⁽¹⁾)² ]           (5)

其中：C_k为激励函数f(·)的中心(为中心点或中心向量)；||Y_i-C_k||为Y_i和C_k间的欧氏距离；b⁽¹⁾为偏度，它表示激励函数对输入域的敏感性。

对于RBFNN网络，隐含层到输出层的映射是线性的，即

              (6)

其中：w_k(k=1，2，…，L)为权重系数，b⁽²⁾为偏度，它们可由最小二乘法求得。综合式(5)和(6)可得

     (7)

式(7)表示激励函数为高斯函数时，由RBFNN拟合的输入变量与输出变量间的函数表达式。

1.4  支持向量机拟合基本方法

支持向量机(SVM)理论基础是统计学习理论，SVM函数拟合方法的基本思想^[11]如下。

首先考虑用函数f(x)=ω·x+b拟合数据(x_i, y_i)(其中：i=1，2，…，n；x_i ∈R^d；y_i ∈R)。对于线性回归问题，其函数设为

f(x)=ω·x+b                (8)

其中：b为偏差。假设所有训练数据都可以在精度ε下无误差地用线性函数拟合，即

        (9)

引入Lagrange函数可解得：

             (10)

            (11)

式中：α_i和α_i ^*(i=1，2，…，n)为Lagrange乘数；α_i≥0，α_i ^*≥0。

通过计算可求得线性回归函数表达式：

   (12)

式中：K(·)为核函数。

对于非线性函数的拟合则是将拟合数据(x，y)中的输入量x通过映射F：Rⁿ→H映射到高维特征空间H中，利用函数f(x)=ω·Ф(x)+b拟合数据(x_i, y_i) (i=1，2，…，n)。在这里只考虑高维特征空间中的点积运算Ф(x_i)·Ф(x_j)，而不直接使用函数Ф(x)，将Ф(x_i)·Ф(x_j)的效能函数K(x_i, x_j)称为核函数。只要用核函数   K(x_i，x_j)替代式(12)中的内积运算就可以实现非线性函数拟合。按照与解线性拟合函数类似的方法，可得到非线性拟合函数表达式为

 (13)

2  基于替代模型的可靠度分析

替代模型的实质是通过构造近似函数，将复杂边坡稳定隐式功能函数显示化，并将便于计算的近似函数耦合到边坡可靠度求解之中。通过构造近似函数，可以大大降低边坡稳定可靠度求解的难度及工作量，提高边坡稳定可靠度计算效率。不同的替代模型具有不同的构造程序，下面分别介绍这各种替代模型的具体操作过程。

2.1  基于多项式响应面的可靠度分析实施过程

(1) 确定边坡基本随机参数及各参数的均值及标准差。

(2) 利用以及可得到2n+1组参数值；将所得参数值代入边坡稳定极限平衡法可得2n+1个函数值。

(3) 利用步骤2求解2n+1个函数值并代入

         (14)

解出待定系数a，b_i和d_i(i=1，2，…，n)，从而可得边坡稳定功能函数表达式。

(4) 利用JC法(国际结构安全委员会推荐可靠度计算方法^[1])求解x^*(K)和可靠度指标β^(K)(其中上标K表示第K步迭代)。

(5) 判断收敛条件^[3]，即

          (15)

是否满足，若不满足，则用插值法得到新的展开点：

  (16)

然后返回步骤(2)进行下一步迭代，直至收敛条件满足为止。

2.2  基于BPNN，RBFNN和SVM替代模型的可靠度分析

(1) 确定边坡基本随机参数及各参数的概率分布类型。

(2) 采用试验设计抽样生成一组训练样本，将训练样本代入边坡稳定极限平衡法，得到其相应的功能函数真实值。

(3) 建立替代模型。

1) BPNN替代模型。因边坡参数的输入输出呈高度的非线性关系，因而在隐含层中使用S形传输函数，按照式(4)可得边坡稳定极限状态近似功能函数：

             (17)

权重w_ij按误差反向传播方向，从输出节点开始返回到隐含层，按下式修正权重w_ij：

          (18)

其中：h为学习率，可参考文献[12]取值；t为迭代次数；δ_j为对应节点j的误差，按2种方式计算。

①  当连接输出层的权重学习(j为输出节点)时，

            (19)

② 对除此之外的权重学习(j为隐节点)，

            (20)

式中：k为对应于节点j的后一层的某个节点。

2) RBFNN替代模型。对于样本集(Y_i，z_i)(i =1，…，N，N为样本点的个数)，为兼顾计算工作量和计算精度，参照文献[13]，试验设计抽取30组样本点。输入值Y_i直接传递给隐含层，它经过隐含层，参照式(7)，可得边坡稳定极限功能函数表达式：

 (21)

3) SVM替代模型。同样通过实验设计抽取30组样本点，作为SVM替代模型的输入点。由于岩土地层结构复杂，边坡结构应属于非线性问题，所以，采用非线性拟合函数来替代边坡稳定极限状态功能函数，参照式(13)其表达式为

    (22)

(4) 使用建立的各替代模型结合蒙特卡洛(MC)模拟法求解失效概率，即根据边坡各参数的概率分布类型，随机产生一个大容量样本。对样本中的每一组参数用替代模型取代隐式功能函数求解功能函数拟合值，则失效概率P_f可由下式求解：

              (23)

式中：N_Z<0为MC模拟中功能函数拟合值小于0的次数；N_MC为MC模拟总次数。

3  可靠度分析样本参数的选取

构造边坡稳定替代模型。首先需要提供功能函数Z的训练样本。样本点的选择方法是决定计算工作量及计算精度的重要因素，而边坡工程稳定性分析中很难获得各参数的全部样本，这就需要借助试验设计方法来抽取各随机变量的样本数据。

试验设计既需要尽量减少试验次数，又要能获得尽量多的信息量。目前试验设计主要有全面设计、正交设计、均匀设计、拉丁超立方设计等。

拉丁超立方抽样(LHS)属于“充满空间”的分层抽样，是一种有效的用抽样值反映随机变量整体分布的方法，由McKay等^[14]提出。该方法不但能避免随机抽样大量反复的抽样工作，而且能使抽样值相对均匀地填满整个试验区间，使每个试验变量水平只使用1次。

基于以上特性，本文选取拉丁超立方试验设计抽取需要的样本，拉丁超立方试验抽样的具体实施见文献[15]。

4  工程实例分析

4.1  实例1

某均质边坡如图1所示，坡高H=5 m，坡比为1:2，土的重度γ=17.64 kN/m³。设土层的黏聚力c和内摩擦角φ为相互独立的正态随机变量，c和φ均值μ_c和μ_φ分别为μ_c=10 kPa，μ_φ=10°，变异系数均为0.15。采用本文方法对其进行可靠度分析时，取其极限状态功能函数Z=K-1=F(c, φ)-1(其中，K为边坡稳定安全系数，采用极限平衡法中较为严格的Morgenstern-Price法^[16]求解)。分别采用多项式响应面法、BPNN法、RBFNN法、SVM法对实例1边坡进行可靠度计算。在边坡的Morgenstern-Price法基础上直接进行MC法抽样时，将前、后2次抽样计算结果小于10^-3得到的值作为准精确解。各类方法计算结果及对比见表1。

图1  实例1边坡剖面图

Fig. 1  Geometry of slope for Example 1

4.2  实例2

选取文献[17]中的某复杂非均质边坡进行分析，该边坡如图2所示，坡高H=10 m，坡比为1:2，边坡包含3个土层。假设各土层中土体的重度相同，均为γ=19.5 kN/m³，各土层的黏聚力c和内摩擦角j为相互独立的正态随机变量，统计特性见表2。进行可靠度分析时，取其功能函数Z=K-1= F(c₁,φ₁,c₂, φ₂,c₃, φ₃)-1。

同样采用直接MC法求解的可靠度指标作为准精确解，利用本文各替代模型计算的边坡可靠度指标如表3所示。

从上述各替代模型分析的过程可以发现：与直接蒙特卡洛法相比，各替代模型的计算工作量大大减少，但计算精度基本能够满足实际工程需要。

构建SVM模型、RBFNN模型及BPNN模型计算量相当，而构建多项式模型的工作量大。而在各替代模型中，SVM模型的计算精度最高，其次为RBFNN模型和BPNN模型，精度最低的为多项式响应面模型。多项式模型的预测精度最低，这是拟合模型自身的特点所致，不过，由于该模型形式比较简单，计算工作量小，所以，可在精度要求不高的情况下使用。

表1  算例1计算结果对比

Table 1  Comparison of compulated results for Example 1

图2  实例2边坡剖面图

Fig. 2  Geometry of slope for Example 2

表2  实例2的随机变量统计特性

Table 2  Properties of stochastic variables of Example 2

表3  算例2计算结果对比

Table 3  Comparison of compulated results for Example 2

均质边坡各替代模型的计算精度比非均质边坡的计算精度高，所以，边坡结构越复杂，结构功能函数非线性程度越高，替代模型的计算精度会越低。

5  结论

(1) 分析了边坡稳定可靠度常用替代模型的构造程序、各自特性及适用范围，证实了替代模型在边坡稳定可靠度分析中的实用性及有效性。

(2) 基于多项式响应面替代模型的边坡可靠度计算精度最低，不过由于该模型形式简洁，建模易于实现，在边坡地层结构较简单、随机参数较少时可以采用此类模型；BPNN，RBFNN和SVM这3种替代模型建模过程均较复杂，但当求解复杂边坡稳定可靠度及结构功能函数具有较强非线性时其精度仍较高，其中SVM模型精度最高。

(3) 将拉丁超立方抽样方法引入BPNN，RBFNN和SVM这3种替代模型中抽取样本点，能使替代模型更好地表征边坡真实功能函数，不但可以保证各替代模型计算精度满足实际工程需要，而且可以大大降低计算工作量，提高计算效率。

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(编辑  陈灿华)

收稿日期：2013-08-25；修回日期：2013-10-10

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51278187)；湖南省教育厅项目(12C1025)

通信作者：蔡宁(1979-)，女，湖南长沙人，硕士，副教授，从事建筑与土木工程等方面的教学与研究；电话：13787071924；E-mail：apparition128@163.com