多级量化输出反馈网络控制系统的估计器设计

刘鋆，谢林柏，黄昉

(江南大学 轻工过程先进控制教育部重点实验室 系统工程研究所，江苏 无锡，214122)

摘要：研究了基于多级量化输出反馈的离散时间网络控制系统的状态估计器的设计。首先，给出含有多个量化器的网络控制系统的模型以及估计器模型，通过对估计误差系统的方差矩阵进行渐近性和镇定性分析，得出相关结论。在此基础上，针对给出的系统模型设计了一个动态的状态估计器，以保证系统的估计误差最小。数字仿真实例检验了所设计的估计器的效果。

关键词：量化输出反馈；网络控制系统；估计器

中图分类号：TP275          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2011)S1-0333-06

Estimator design of networked control systems with multi-quantized output feedback

LIU Jun, XIE Lin-bo, HUANG Fang

(Institute of System Engineering, Key Laboratory of Advanced Process Control for Light Industry of Ministry of Education, Jiangnan University, Wuxi 214122, China)

Abstract: The estimator design of discrete-time networked control systems with multi-quantized output feedback is concerned. First, the system model and the estimate model of multi-quantized network control system with two quantizers are given, respectively. Then the asymptotic invariance of the covariance matrix about the estimation error system is studied, and some corresponding conclusions are obtained. The estimator error is made minimum by the designed state estimator. At last, a numerical example is given to illustrate the effectiveness of the estimator.

Key words: quantized output feedback; networked control systems; estimator

在经典控制系统中，信号是不经过任何处理直接进行传输的。然而在网络控制系统中，信息传输的速率以及信道容量通常是受到限制的。因此，在信号进入网络传输通道之前必须对其进行量化处理。这样不仅可以降低成本、减少信息量，而且便于系统的扩展和监控^[1-3]。但是，有些控制系统的状态信号不能直接得到，所以，采用状态估计器对系统状态进行检测就显得非常必要，尤其是基于信号量化的状态估计更是量化反馈控制系统中的关键部分。随着网络化的快速发展，量化估计问题也成为了网络控制系统中的一个重要部分^[4-7]，尤其是现代网络控制系统越来越复杂，通过估计器对整个网络进行监测评价是必然的发展趋势。这就需要状态估计器能够及时、准确的反应系统的状态值，这对于整个网络的稳定性和安全性有着重要意义。目前已经被许多学者所认识到，也得到了许多研究成果^[8-11]。

典型的量化器按所采用的量化方法分为2类：均匀量化器和对数量化器。通常对数量化器的效果优于均匀量化器的效果。本文采用对数量化器，它的量化步长能够随着输入的增大而增大，这就使得无论输入值的大小，对数量化器都能够对其进行准确估计，能够有较地减小量化误差，而且使得量化误差大致是恒定的。这是对数量化器得到广泛应用的一个非常重要的原因。采用对数量化器的另一个优点是其量化误差的传递是乘性关系而不是加性关系，而一些物理测量工具对误差的传递也是乘性关系的，当采用对数量化器对这些信号实施量化时能够将误差继续以乘性关系进行传递，这就能有效地降低因信号传递而造成的误差累加问题，保证信息的准确性和稳定性^[12-17]。为此，本文作者针对采用对数量化器的多级量化网络控制系统进行状态估计器的设计。首先给出估计误差系统的状态空间模型及结构，研究估计误差系统的协方差矩阵的收敛性，最后设计估计误差系统的最优状态估计器，并给出了数字仿真的实例。

1  问题的提出

本文研究如下形式的离散时间线性系统：

      (1)

其中：为状态向量；为控制输入向量；为输出向量；为过程噪声；为量测噪声；和是线性无关的白

噪声，其方差分别为和，并且对任何，它们与x₀都是线性无关的。x₀的初始值有界且状态不能直接得到。A，B₁，B₂和C是相应维数的矩阵；(A, B₁)可控且(C, A)可观。

本文采用的量化估计反馈网络控制系统由以下几部分组成：2个量化器Q₁和Q₂，对象和控制器，网络信道和估计器。量化估计反馈控制系统如图1所示，量化器如图2所示。

图1  系统结构图

Fig.1  System chart

图2  量化器示意图

Fig.2  Schematic diagram of quantizers

选择估计器：

  (2)

其中：为x(k)的估计值；为基于的的估计值；为估计增益使得A-LC稳定。控制律取为, 使得A+B₁K稳定。

定义状态估计误差为，令表示量化器Q₂的量化误差，则预测误差为：

其中：。结合预测误差表达式及控制律表示式可以得到估计误差系统方程为：

(3)

令 ，则式(3)为

   (4)

类似地，将控制律，代入式(1)得：

             (5)

由式(4)和式(5)可得整个闭环系统的状态空间模型为：

       (6)

其中： 为量化器Q₁的量化误差； 为量化器Q₂的量化误差。

2  收敛性分析

本文中采用如下形式的有限静态对数量化器

其中：表示量化密度；。表示量化的密集程度即步长。其输入输出特性如图3所示。

针对系统(2)由量化误差的定义 可将其改写为如下形式：

           (7)

其中：

，

并且具有如下性质。同样，式(6)也可写为：

      (8)

图3 量化器输入输出特性

Fig.3  Input-output features of quantizer

引理 1 估计误差e(k)，预测误差ε(k)以及量化误差d(k)它们的均值都为0。

引理2 如果动态估计误差系统(7)是二次稳定的，那么其系统(8)也是二次稳定的，并且存在一个矩阵，使得 成立，对任何不为0的都存在1个矩阵，使得：

成立。

定理1 如果系统(8)二次稳定，那么关于e(k)的协方差矩阵是有界的。

证明：假设引理2成立且存在如下形式，，其中是一个确定的常数，那么，可设Lyapunov 方程为如下形式，令，则：

可利用三角不等式，对上式进行变换，得：

其中：m₁，m₂和m₃为确定的系数；τ为任意标量，满足τ>0。通过递推可以得出如下结论：

由此可以得出协方差矩阵是有上界的。

由于量化器是一个非线性函数使得E(k)的计算比较复杂，因此，在量化水平不是特别小的情况下给出以下2个条件来减少计算量：

(1) 量化误差d(k)和d₂(k)与估计误差e(k)线性无关。

(2) 预测误差ε(k)是零均值的高斯噪声其方差为σ_ε。

从对数量化器方程可以看出量化误差d(k)受到μ₀的影响，但是，在ρ比较小时，这种影响可以被忽略。也就是说，对于给定的，和是近似相

等的。若给定一个后，是一个近似不变值，文献[9]中给出一个近似计算公式： 。

其中：；和分别为ε(k)和d(k)的方差。

定义e(k)的渐近协方差矩阵，在定理1 中已经给出E(k)有上界的。下面将给出关于e(k)的渐近协方差的计算。利用给出的2个条件和的近似计算公式，可以对E(k)进行近似估计：

        (9)

得到Lyapunov差分方程的一般形式：

定理2 如果系统(2)是二次稳定的，那么存在，并且是有界的.

证明：由文献[17]可知：存在1个矩阵 使得 成立，

其中：，因为，由此可以得到。

可将表示为， 。其中α为调节参数，并且存在一个足够大的α>0使得成立。这里，且

由此可以得出，即

            (10)

则可看作是的上界.

3  估计器增益L的设计

通过以上分析可知：要得到最优的估计效果，须使估计状态值等够准确的跟踪状态信号，就要保证估计误差取得最小值，也就是使取得最小值。下面讨论估计器增益L的设计。从式(10)可以看出：本文所设计的最优的L应该使得取最小值。

定理3： 当时，那么将取最小值，此时也是最小值。

证明：由

展开可得：

对上式进行配方运算同时利用给出的简化运算条件可以得到如下形式：

当时，取得最小值。此时，L使估计误差取最小值，也就是估计器能够准确地跟踪系统的状态信号，有利于对系统的监控。

4  仿真

本文给出一个数字仿真的例子来验证设计的估计器的应用效果，考虑如下的系统模型：

，采用极点配置的方法得到控制律

参数为。本文设计的估计器

增益，得到状态估计值以及估计误差值的仿真结果如图4~6所示。

从图4~6可以看出：本文设计的状态估计器能够准确的跟踪系统的状态值,在噪声存在的情况下也能够保证估计器误差始终在可允许范围内波动。

图 4  状态信号

Fig.4  State signal

图5  观测器信号

Fig.5  Observer signal

图6 观测误差信号

Fig.6  Observation error signal

5  结论

在网络控制系统的应用越来越广泛的现代，对网络监控的要求也越来越高，这就对状态估计器的准确性提出了更高的要求。本文针对基于输出反馈的多级量化网络控制系统进行了状态估计器的设计。首先，针对多级量化网络控制系统的估计误差的收敛特性进行了分析和研究，得到了估计误差的协方差的上界。接着，利用前文中的相关结论对系统的估计器进行了设计，主要思想是在系统稳定的前提下使得系统的状态估计误差为最小值。仿真实例表明：所设计的估计器能够有效地减小各种噪声以及量化误差带来的   影响。

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(编辑 杨幼平)

收稿日期：2011-04-15；修回日期：2011-06-15

基金项目：国家自然科学基金资助项目(60804013)；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(JUSRP21011)

通信作者：刘鋆 (1987-)，男，安徽池州人，硕士研究生，从事量化反馈控制等方面的研究；电话：15261579825；E-mail: evengold_lau@163.com