斜拉桥单梁-多索模型的非线性振动
孟 新 田
(湖南城市学院 土木工程学院，湖南 益阳，413000)
摘 要：建立斜拉桥的单梁-多索力学模型，考虑其初始垂度、大位移而引起的几何非线性因素的影响，同时考虑拉索与桥面连接条件和边界条件的影响，通过Hamilton原理建立单梁-多索的面内非线性振动方程。利用Galerkin方法将非线性偏微分方程转化为关于时间的二阶常微分方程组，以单梁-双索为算例，在桥面对拉索的参数激励条件下，利用Runge-Kutta法对拉索之间的相互作用进行数值分析。研究结果表明：当2根索的频率比约为1时，索与索之间通过桥面运动产生能量传递，可使拉索的大幅振动更加强烈。
关键词：索；斜拉桥；非线性振动；索-梁结构；参数共振
中图分类号：O322；U448.27 文献标识码：A 文章编号：1672-7207(2009)03-0839-06
Multi-cable stayed beam model and nonlinear vibration analysis of cable-stayed bridge
MENG Xin-tian
(College of Civil Engineering, Hunan City University, Yiyang 413000, China)
Abstract: Multi-cable stayed beam model of cable stayed bridge was established. Based on Hamilton’s principle, the in-plane nonlinear governing equations of cables and beam were derived, in which the static sag and the geometric nonlinearity of the cable were considered and the simple connection condition and boundary condition of the cable and deck were taken into account. Furthermore, Galerkin’s method was used to convert the partial differential equations into the ordinary differential equations, and the Runge-Kutta method was introduced to solve the equations. The numerical results of two cables stayed beam structure show that energy transfer between cables by movement of deck exists and may lead to larger vibration of cables on the condition that the lower natural frequencies of cables are close to each other.
Key words: cable; cable stayed bridge; nonlinear vibration; cable-stayed beam structure; parametric resonance
斜拉索是斜拉桥等大跨度结构中非常重要的受力构件，它承受了结构中的绝大部分载荷。斜拉索具有柔度大、质量小和阻尼低等特点，因此，在载荷作用下极易发生各种形式的振动。1988年3月，比利时Ben Ahin桥的9根拉索发生了振幅达1 m以上的振 动。同年10月，Wander桥也出现了类似现象[1]。针对以上这些拉索大幅振动的现象，国内外学者对斜拉索的振动特性进行了大量的研究。Simpson等[2-3]运用线性振动理论研究拉索振动问题；Matsumoto等[4]研究了桥面的竖向振动引起的参数振动；亢战等[5]应用单个质量块分别模拟连续系统的拉索和梁，并将拉索振动问题简化为1个二自由度的非线性振动系统，并对其参数振进行了研究；Gattulli等[6-7]研究了索-梁组合结构中索和梁的非线性内共振；汪至刚等[8-9]提出了索-梁组合结构的弦-质量块模型；赵跃宇等[10-13]建立了索-梁组合结构的运动控制方程，分析了其可能存在的内共振情形，研究了索-梁、索-拱组合结构中拉索的1/2亚谐波共振，建立了双索-质量块模型；康厚军[14]研究了弯斜拉桥中拉索非线性动力学特性。这些研究主要集中在拉索的风-雨激振、拉索的参数振 动、拉索的动力学模型等方面，而对拉索之间的相互作用问题的研究较少。斜拉桥是多索系统，全桥各拉索的振动频率可能非常接近，拉索之间本身可能存在倍频关系，因此，索与索之间的相互影响应该不能忽略[13]。为此，本文作者在已有研究成果的基础上，鉴于塔以受压为主，且两边对称受力，其对拉索的动力特性影响相对于梁来说较小，不考虑塔对拉索的影 响，建立单梁-双索模型，较文献[13]中建立的双索-质量块模型更为准确，可以计算任意距离的2根拉索的振动情况。通过对该模型的理论研究和数值分析，结果表明斜拉桥中邻近索通过桥面振动产生间接耦合，的确存在相互作用，可能存在安全隐患，在设计时应引起重视。
1 单梁-多索模型的运动方程
为研究斜拉桥的索与梁、索与索之间的耦合振动问题，将斜拉桥施工阶段与成桥后的结构简化为图1所示的单梁-多索模型。该模型可同时考虑桥面振动对索的影响以及索与索之间的相互影响，忽略塔对索动力学特性的影响。用直角坐标系Oi-xi-yi描述索的运动，忽略梁的轴向变形影响，但考虑拉索索力对梁的影响。用坐标系O-w-z描述梁在竖直面内的运动。图1中，di为第i根拉索的跨中初始垂度；li和θi分别为第i根索的跨长和索与铅垂方向的夹角；ui和vi分别为第i根索的纵向和横向位移；w为梁的横向位移；lb为梁长。梁的一端固定，索的一端铰接，另一端与梁耦合。为研究方便又能体现问题本质，对索与梁进行如下基本假设：
a. 不考虑索和梁的材料非线性；
b. 索在重力作用下垂度曲线近似为抛物线；
c. 忽略索的抗扭刚度、抗弯刚度及抗剪刚度；
d. 拉索的本构关系服从胡克定律，并且各点受力均匀。
(a) 静态构形；(b) 动态构形
图1 单梁-多索组合结构构形
Fig.1 Multi-cable stayed beam structure configurations
取Lagrange应变
为：
利用Hamilton原理可以得到单梁-多索组合结构运动微分方程：
式(2)~(4)表现出以下特点：张拉力
为时变系数，依赖于初始张拉力与拉索目前的动应力，这样能即时将拉索振动对梁的振动的影响表现出来，从而通过影响梁的动力学特性，使其改变对其他拉索的激励条件，实现拉索之间的相互影响；拉索的面内轴向位移与横向位移耦合以及拉索位移与梁的位移耦合都非常明显，即使不考虑非线性的影响，它们之间的耦合也非常显著。
2 离散模型
弹性拉索纵向变形远小于其横向变形，且在只考虑拉索的低阶横向振动模态时，横向振动模态和纵向振动模态不存在相互作用[11]，因此，忽略拉索的纵向惯性力
和动应力对轴向运动的影响。则式(2)可改写为：
将式(7)代入式(3)，则拉索面内竖向运动微分方程为：
考虑桥面梁与拉索的边界条件，假设拉索的一阶振动模态为[14]：
考虑2根索的作用，即i=2。将式(9)和(10)代入式(4)和(8)，进行Galerkin积分，可得到单梁双索的面内横向振动的运动微分方程(引入粘性阻尼
)：
b1~b7的表达式与a1~a7的表达式相似，只需将下标1改为2即可。式(11)~(13)即为单梁双索组合结构的离散模型。可以看出，2根拉索与桥面均有非常强烈的耦合，并且拉索与梁均存在二次和三次非线性项，其非线性特性不可忽视。另外，2根拉索分别与梁耦合，表明拉索与拉索之间的耦合作用是通过与梁的相互作用产生的。
为了考虑拉索对梁固有频率的影响，将拉索对梁的作用考虑为弹性支承，参考文献[15]，将
取为：
可用边界条件
和
的频率方程(即特征方程)给定，求出
与
的关系表达式，从而和
可由式(14)代入
后联立求出。
3 数值分析
由于涉及多根拉索和梁的相互作用，故使用非线性动力学中常用的近似解法求解相当困难，本文使用Runge-Kutta数值积分方法进行求解，将式(11)~(13)的3个微分方程写成6个一阶微分方程，然后，用Runge-Kutta数值积分法直接计算求解，由于采用定步长方法很难给定合适的步长，故选用5阶变步长自适应方法。
本文所取拉索的参数如下，E=2.0×1011 Pa，A1=0.008 3 m2，m1=80 kg/m，ρ1=7 500 kg/m3，l1=400 m，θ1=30?，P1=3×106 N，A2=0.008 3 m2，m2=80 kg/m，ρ2= 7 500 kg/m3，l2=420 m，θ2=20?，P2=3.2×106 N，2根索的初始距离为48 m。梁的主要参数为：l=400 m，z1=346 m，z2=394 m，A=0.15 m2，I=3.486 m4，E= 2.1×1011 Pa，考虑参强激励问题，使得
，同时满足
。
图2所示为2根索在无阻尼时的时间历程图。从图2可以看出，2根拉索之间存在明显的类似于耦合振动的部分，当索1振幅增大时，索2振幅减小，说明桥面上的各拉索特别是固有频率相近的拉索之间存在能量传递过程，能量传递通过桥面梁进行。若存在多根拉索向1根拉索传递能量，则很可能会使其中1根拉索产生更大幅度的振动，从而使拉索产生破坏，给桥梁安全埋下隐患。
(a) 索1；(b) 索2
(q1[0]=0.01, q2[0]=0.1, q[0]=0.1)
图2 无阻尼时2根索的时间历程
Fig.2 Time history of two different cables without damp
图3所示为增加阻尼后，2根拉索的时间历程 图。2根索的阻尼
0.000 1。图3所示为2根索还未完全稳定的瞬时状态，可以看出在阻尼的作用下，两索的振动幅度比无阻尼时的瞬态幅度大幅度减小。其原因在于增加阻尼提高了拉索发生大幅振动所需的频率范围，在同样的频率激励下，其激励频率有所减小。从图3还可以看出，2根拉索的振动仍然是存在强烈耦合的，同时也存在能量交换，达到稳定状态以后，2根拉索的相位仍然相差
。由此说明拉索的相互作用在参数振动中是不可忽略的，仅研究1根拉索与梁的作用，相当于仅研究了索的面内振动问题，而没有考虑面外振动，是不全面的。
(a) 索1；(b) 索2
(q1[0]=0.01, q2[0]=0.1, q[0]=0.1)
图3 阻尼为0.000 1时2根索的时间历程
Fig.3 Time history of two different cables with damp of 0.000 1
图4所示为相距60 m的2根相同拉索达到稳定前的时间历程图。从图4可以看出，这2根相同拉索在不同位置时，同样存在耦合振动。关键在于2根拉索的频率相近，且以相同的频率进行激励。另外，从图4还可以看出，2根拉索的幅值不同，索2的幅值大于索1的幅值，这是由于桥面各处对拉索的激励幅值不同，拉索稳定振动的幅值也不一样，这与其他学者对1根拉索的研究结论一致。其中，也可能包括相互作用后能量集中，比1根拉索在无其他拉索传递能量时的振幅更大。这有待于进行进一步对比研究。
(a) 索1；(b) 索2
图4 相距60 m的2根相同拉索的时间历程图
Fig.4 Time history of two uniform cables with distance of 60 m
图5所示为在桥面与长索发生参数共振时，短索与长索的时间历程图，其中，索1为短索，索2为长索。改变拉索1在桥面上的作用位置和参数，索2所在位置和参数不变，使2根索在桥面上的距离为 197 m，桥面梁与索2产生参数共振。从图5可以看出，索2发生大幅度振动，由于索1的频率远离桥面1/2倍频率，故未产生大幅度振动，只是有微幅振动。由此说明，只有各索间频率具有一定关系，且与桥面存在参数共振时，索与索之间的相互作用才表现出来。这与工程实际结果较为吻合，说明本文理论可为工程非线性设计提供参考。
1—索1；2—索2
图5 短索与长索的时间历程
Fig.5 Time history of short and long cables
4 结 论
a. 在大跨度斜拉桥中，由于各拉索之间存在频率相近或倍频关系，同时，这些拉索与桥面也存在倍频关系，致使桥面振动对拉索产生参数激励，从而使拉索产生大幅度振动。
b. 由于斜拉桥中邻近拉索的长度和张拉力非常接近，导致邻近索的频率非常接近，当拉索在与桥面发生参数共振时，索与索通过桥面产生间接耦合振动，进行能量交换，可能使拉索振幅进一步增加，给桥面造成安全隐患。
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收稿日期：2009-01-20；修回日期：2009-04-10
基金项目：湖南省自然科学基金资助项目(07JJ3100)
通信作者：孟新田(1969-)，男，湖南益阳人，副教授，从事土木工程研究；电话：0737-4628311；E-mail: mxttm@163.com
