黏弹性阻尼器滞回曲线及特征参数的相似准则
周颖，龚顺明，吕西林
(同济大学 土木工程防灾国家重点实验室，上海，200092)
摘要：对不同尺寸、不同温度的黏弹性阻尼器滞回曲线的力和位移相似关系进行研究和推导，并得出黏弹性阻尼器储能刚度、耗能、等效阻尼等特征参数的相似关系。然后利用3种不同尺寸的黏弹性阻尼器，对试样VE40×40在不同温度下、试样VE100×100和VE400×400在不同应变下进行性能测试，验证上述相似准则的正确性。研究结果表明：基于此相似准则，只要通过试验获取黏弹性阻尼器中一种尺寸阻尼器的滞回曲线及其温度相关性，就可以容易地获得同种材料、其他各种尺寸阻尼器在不同温度下的滞回曲线及特征参数。提出的黏弹性阻尼器相似准则可以使此类阻尼器方便地应用于各类研究及工程设计中。
关键词：消能减震；黏弹性阻尼器；滞回曲线；相似准则
中图分类号：TU352.1 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2014)12-4317-08
Similarity of hysteretic loops and characteristic parameters of viscoelastic dampers
ZHOU Ying, GONG Shunming, LU Xilin
(State Key Laboratory of Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)
Abstract: The similarity relations of force and deformation of hysteretic loops of VE dampers with various sizes at different temperatures were derived, and then those of characteristic parameters such as storage stiffness, energy dissipation and equivalent damping coefficient were obtained consequently. Three different sizes of VE dampers were involved in the validation tests of the similarity relations. Specimens VE40×40 were tested at various temperatures, and specimens VE400×400 and VE100×100 were tested under various strains to verify the proposed similarity relations. Based on the similarity relations, if the hysteretic loop and temperature dependency of one size of VE dampers are obtained through test, then hysteretic loops of different sizes of dampers can be derived easily. From the similarity relations, VE dampers can be conveniently used in related research and engineering design.
Key words: energy dissipation; viscoelastic damper; hysteretic loop; similarity relation
地震是一种突发性强、破坏性大的自然灾害，其与其他自然灾害如风灾、火灾等的显著区别在于，几乎所有的人员伤亡和经济损失都与工程结构的破坏密切相关，因而工程结构的抗震设计显得尤为重要。抗震设计的目的就是让结构在地震作用下造成尽可能小的破坏，从而保护人们生命和财产安全。传统的抗震设计是通过增强结构本身的性能来存储和消耗地震能量，比如提高结构的强度、刚度和延性等，这样势必会消耗大量的建筑材料增加建造成本，同时抗震效果有限，越来越不能适应现在的复杂、不规则或超高层建筑结构。随着人类经济和技术的发展，新的抗震理念不断被提出。土木工程振动控制的概念是1972年由Yao[1]提出，之后各种被动控制、主动控制、半主动控制和混合控制的技术被应用在结构抗震领域[2-3]。其中黏弹性阻尼器就是一种典型的被动控制装置，它是通过黏弹性材料的剪切滞回耗能起到提高结构的阻尼和减小结构的地震或风振响应的目的。黏弹性材料滞回曲线饱满，耗能减震能力非常强[4-6]。不同于金属阻尼器和摩擦阻尼器，其在小震情况下也能耗能，并且具有安装简单、造价低廉、性能优良等特点。除了可以应用于建筑结构外它还可以应用在隧道、桥梁、输电塔等结构当中[7-9]，具有广泛的工程应用前景。黏弹性阻尼器的滞回曲线指的是其力和位移的关系曲线，反映阻尼器的恢复力在地震或风振过程中的变化规则，能够全面地反映阻尼器的各项性能，例如其刚度、阻尼、损耗因子及耗能能力等。本文作者研究了不同尺寸、不同温度、相同材料的黏弹性阻尼器滞回曲线和参数的相似准则，并进行了试验验证。提出的相似准则使此类阻尼器方便地用于各类研究及结构减震设计当中。
1 力学模型
图1所示为黏弹性阻尼器典型的力-位移滞回曲线。其中：u0为阻尼器的最大位移；F0为阻尼器的最大阻尼力；F1为最大位移u0处的阻尼力；F2为零位移处的阻尼力。
图1 黏弹性阻尼器典型滞回曲线
Fig. 1 Typical hysteretic loop of viscoelastic damper
黏弹性材料性能可以用储能剪切模量G′、耗能剪切模量G″和损耗因子η表征[11]，如下式所示：
(1)
(2)
(3)
式中：n为黏弹性材料层数；A和h分别为黏弹性材料层的剪切面积和厚度；u0为阻尼器的剪切位移幅值。
黏弹性阻尼器常用的特征参数有储能刚度K1、等效刚度K2、每圈耗能Wd和等效阻尼Ce，计算式如下：
(4)
(5)
(6)
(7)
2 相似关系推导
2.1 相似条件
由于黏弹性阻尼器的性能受频率和变形幅值的影响，并且这种频率相关性和幅值相关性在不同的尺寸下并非完全一致，所以黏弹性阻尼器滞回曲线的相似应该是在相同频率和应变的条件下而言。
2.2 滞回曲线的相似准则
原型阻尼器和模型阻尼器在相同的频率和应变条件下，设原型阻尼器和模型阻尼器最大剪应变
相同，即
(上标m表示模型阻尼器，上标p表示原型阻尼器)。要将温度Tp下的原型阻尼器的滞回曲线通过相似准则转换为温度Tm下的模型阻尼器的滞回曲线，分2步进行：第1步，将温度Tp下的原型阻尼器的滞回曲线通过相似准则转换为温度Tp下的模型阻尼器的滞回曲线，第2步，将温度Tp下的模型阻尼器的滞回曲线转换为温度Tm下的滞回曲线。
2.2.1 位移相似系数
为了保证原型阻尼器和模型阻尼器的最大剪切应变相同，位移相似系数按下式选取：
(8)
2.2.2 阻尼力相似系数
首先将温度Tp下的原型阻尼器的滞回曲线通过相似准则转换为温度Tp下的模型阻尼器的滞回曲线。在相同的温度下，黏弹性材料的性能是相同的，即原型阻尼器和模型阻尼器的储能剪切模量和耗能剪切模量G′和G″是相同的，那么它们的损耗因子η也相同。
黏弹性阻尼器的恢复力模型广泛采用Kelvin模型，其力-位移关系为
(9)
假设在简谐荷载作用下黏弹性阻尼器的位移为
(其中ω为激励频率，φ为相位角)，将其代入式(9)中，得
(10)
在任意时刻t，原型阻尼器位移
，模型阻尼器位移
，于是有
(11)
即有
(12)
表示将温度Tp下的原型阻尼器的滞回曲线转换为温度Tp下的模型阻尼器的滞回曲线的力相似系数。
2.2.3 考虑温度相关性
黏弹性材料的温度相关性与尺寸无关，是材料的一种固有属性。一般来讲，黏弹性阻尼器的温度相关性可以用阻尼力的温度相关性来表征，即同一阻尼器在不同温度下的滞回曲线是具有相似关系的，不同温度下的滞回曲线可以通过对阻尼力进行缩放来相互转换，即通过阻尼力相似系数来实现，后文将会对该结论进行验证并阐述其适用性。
简便起见，取某种尺寸的阻尼器的最大阻尼力
作为温度相关性的因变量，自变量是温度T，那么阻尼器的温度相关性可以表示为
。所以将模型阻尼器在温度Tp下的滞回曲线转化为温度Tm下的滞回曲线，只需要将阻尼力乘以一个力相似系数
即可，如下式所示：
(13)
由于黏弹性材料的温度相关性与尺寸无关，故式(13)中的比值虽是针对某种尺寸的阻尼器，但是在不同尺寸的阻尼器中该比值是相等的。
显然，要将温度Tp下的原型阻尼器的滞回曲线通过相似准则转换为温度Tm下的模型阻尼器的滞回曲线，其力相似系数应如式(14)所示。
(14)
式(8)与式(14)分别确定了阻尼器的位移和阻尼力的相似系数，就可以将原型阻尼器的滞回曲线转换为模型阻尼器的滞回曲线。
2.3 特征参数的相似系数
有了模型阻尼器的力-位移曲线，可以计算出其特征参数，模型阻尼器的特征参数与原型阻尼器的相似系数为
(15)
(16)
(17)
3 相似关系的试验验证
本试验采用的黏弹性阻尼器有3种不同的尺寸，其黏弹性材料均相同，均由日本某阻尼器公司生产。阻尼器具体尺寸如表1所示。
表1 黏弹性阻尼器尺寸
Table 1 Sizes of viscoelastic dampers
3.1 温度相关性试验
本部分试验在日本某橡胶工业公司进行[12]，因为温度相关性能与试件的尺寸无关，属于材料的固有属性，所以采用了小尺寸试件VE40×40试验。在装置上同时使用2个试件进行单轴剪切试验，试件尺寸及试验装置如图2所示。
图2 试件VE40×40尺寸及试验装置
Fig. 2 Dimension and testing facility of VE40×40
分别在-20，0，10，20，30，40和60 ℃的温度条件下，对试件进行4个循环的反复加载试验，采用位移控制方式加载，输入正弦波形，频率为0.1 Hz，阻尼器的变形幅值为±8 mm，最大应变为100%。由于试验中使用了2个试件，因此测得的水平力除以2才是单个试件的水平力，取第3圈时的滞回曲线作为基准，所得不同温度下第3圈单个试件的滞回曲线如图3所示。
试验得到了VE40×40在不同温度下的最大阻尼力
(表2)，使用曲线拟合得到最大阻尼力与温度t的相关性表达式，如下式所示：
(18)
式中：的单位为kN，t的单位为℃。
曲线拟合结果如表2和图4所示，由此可以看出拟合效果良好，因此，式(18)可以作为该黏弹性阻尼器的最大阻尼力的温度相关性表达式。
黏弹性阻尼器的温度相关性可以用阻尼力的温度相关性来表征，即同一阻尼器在不同温度下的滞回曲线可以通过对阻尼力进行缩放来相互转换，即通过阻尼力相似系数来实现。本文对此进行验证，以20 ℃为基准温度，将其他温度下的滞回曲线的力乘以相似系数转换为20 ℃下的滞回曲线，为20 ℃下最大阻尼力与该温度下最大阻尼力的比值，计算式如下：
(19)
将不同温度下按式(19)计算得到的滞回曲线绘制在同一张图中，如图5所示。可以看出：所得曲线相差很小，特别是在0 ℃以上时，各条曲线几乎重合。因此，验证了同一阻尼器在不同温度下的滞回曲线可以通过阻尼力相似系数来实现。
图3 试件VE40×40在不同温度下滞回曲线
Fig. 3 Hysteretic loops of VE40×40 at various temperatures
表2 试验测得不同温度下最大阻尼力与曲线拟合值对比
Table 2 Comparison of measured maximum forces and their curve fitting values at various temperatures
图4 最大阻尼力的温度相关性曲线拟合
Fig. 4 Curves fitting of temperature dependence of maximum forces
图5 VE40×40在不同温度下的滞回曲线转化为20 ℃下的滞回曲线对比
Fig. 5 Comparisons of hysteretic loops of VE40×40 at 20 ℃ and those converted at various temperatures
根据式(1)~(3)中
，
和
的表达式可知：某种尺寸的阻尼器的
和
仅仅分别和F1，F2相关，根据上述试验数据，在不同温度t1和t2下存在如式(20)和式(21)的近似关系式。
(20)
(21)
而，和的温度相关性是与尺寸无关的，于是有：
(22)
(23)
需要指出的是：式(20)~(23)是根据试验数据得出的近似关系式，具有较高精度，特别是在温度大于0 ℃时，因此可以使用式(13)考虑滞回曲线的温度相关性。它的适用范围是损耗因子与温度相关性不明显的黏弹性材料，而大量的试验也表明：相当部分的黏弹性材料的损耗因子受温度的影响不明显[10,12-13]，故本文考虑温度相关性的方法具有较广泛的适用性。如果损耗因子受温度影响明显，那么不同尺寸的黏弹性阻尼器的滞回曲线只能在相同温度下才具有相似性，特征参数只能在进行过试验的温度点上进行相似转换，使用的方法类似。
3.2 相似准则的试验验证
本部分试验采用的试件为VE400×400[14]和VE100×100 2种，分别在同济大学土木工程防灾国家重点实验室和力学实验中心进行，在装置上对单个试件进行单轴剪切试验，试验装置分别如图6和7所示。
用位移控制方式加载，输入正弦波形，频率为0.1 Hz，阻尼器的最大应变在50%~350%之间变化，试验室室温见表3。每次加载5个循环，测量试件的水平(竖向)力和水平(竖向)位移获取阻尼器的滞回曲线，取第3圈时的滞回曲线作为基准，所得2种试件在不同应变下第3圈滞回曲线如图8所示。
图6 试件VE400×400试验装置
Fig. 6 Testing facility of VE400×400
图7 试件VE100×100试验装置
Fig. 7 Testing facility of VE100×100
根据式(8)和(14)，位移相似系数取Su=1/3，阻尼力相似系数中的
，和SF的取值如表3所示。
通过Su和SF这2个相似系数就可以将VE400×400的试验滞回曲线转换为VE100×100对应温度下的滞回曲线，将转换所得滞回曲线(以下简称“转换滞回曲线”)与试验所得滞回曲线(以下简称“试验滞回曲线”)在不同应变下对比如图9所示。
由上述对比结果可知：VE400×400的转换滞回曲线与试验滞回曲线吻合，说明使用上述相似准则可以较准确地获得不同尺寸在不同温度下的滞回曲线，由此验证了本文提出的相似准则的正确性。
从图9可以看出：转换滞回曲线要略小于试验滞回曲线，这是因为VE100×100的尺寸较小，由于尺寸效应，试验测得的滞回曲线的面积要略大于由大尺寸阻尼器滞回曲线通过相似转换过来的滞回曲线的面积，所以在实际应用当中，可以略微调整损耗因子以考虑尺寸效应的影响。
图8 VE400×400和VE100×100在不同应变下滞回曲线
Fig. 8 Hysteretic loops of VE400×400 and VE100×100 under various strains
表3 试验室室温及
与SF取值
Table 3 Temperatures of laboratories and and SF
随着应变的增加，试验滞回曲线与转换滞回曲线的吻合程度越来越好，这是因为大应变情形下，小尺寸阻尼器中钢板对黏弹性材料的箍套作用不再具有明显优势，黏弹性材料内部细微缺陷彻底暴露，也就是说，随着应变增加，尺寸效应的影响降低。
4 结论与展望
1) 不同尺寸、不同温度、相同材料的黏弹性阻尼器在相同频率和应变条件下，滞回曲线和参数存在明确的相似关系。得到黏弹性阻尼器的位移和力的相似关系及特征参数的相似关系。通过这些相似准则，就可以将原型阻尼器的滞回曲线转换为模型阻尼器的滞回曲线。
2) 通过3种不同尺寸的黏弹性阻尼器在不同温度、不同应变情况下性能试验，验证了滞回曲线和特征参数相似关系的正确性。
3) 由于尺寸效应的影响，小尺寸阻尼器的实际滞回曲线的面积会比通过大尺寸阻尼器转换过来的滞回曲线的面积略大。所以在实际应用当中，可以略微调整损耗因子以考虑尺寸效应的影响。
4) 对于相同的黏弹性材料，不同的剪切面积、厚度和层数的一系列阻尼器，只要通过试验获取其中一种阻尼器的滞回曲线，应用本文提出的相似准则就可以获得其他各种阻尼器的滞回曲线。基于本文提出的相似准则，可使黏弹性阻尼器方便地应用于结构分析与设计时进行不同尺寸黏弹性阻尼器的对比和选取，或者在编制黏弹性阻尼器位置和参数优化算法中实现不同尺寸阻尼器的滞回曲线和参数的程序化。
图9 不同应变下VE100×100的试验滞回曲线与转换滞回曲线对比
Fig. 9 Comparisons between experimental hysteretic loops of VE100×100 and converted hysteretic loops of VE100×100 under various strains
5) 今后将进一步研究基于此相似准则的带黏弹性阻尼器结构实用设计方法等。
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(编辑 陈爱华)
收稿日期：2014-02-08；修回日期：2014-05-24
基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金项目资助(51322803，51261120377)；上海市青年科技启明星项目(13QA1403700)(Project (51322803, 51261120377) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (13QA1403700) supported by Shanghai Rising-Star Program)
通信作者：周颖(1978-)，女，甘肃古浪人，博士，研究员，博士生导师，从事工程结构抗震、高层建筑抗震、动力试验方法与技术研究；电话：021-65985374；E-mail：yingzhou@tongji.edu.cn
