深埋隧道围岩滑移面验证及稳定性分析

郭子红^{1, 2}，刘新荣¹，舒志乐¹

(1. 重庆大学 土木工程学院，重庆，400045；

2. 四川农业大学 城乡建设学院，四川 都江堰，611830)

摘要：为了采用安全系数分析深埋圆形盾构隧道稳定性，以隧道围岩弹塑性区域的应力分布为基础，采用变分方法验证围岩滑移面的分布形态。将围岩简化为理想弹塑性材料，结合弹塑性区域应变分布获得围岩极限塑性半径。基于Mohr-Coulomb准则，选取隧道安全系数为极限塑性半径内沿隧道滑移面围岩的抗剪强度与剪切力之比，获得以安全系数为隧道稳定性指标的分析方法。通过算例分析得出极限应变与屈服应变比值、围岩力学参数和支护参数与隧道相对塑性半径和安全系数的关系。研究结果表明：增加围岩内聚力、内摩擦角及支护压力能有效抑制隧道塑性区半径发展与提高隧道安全系数；围岩变形协调能力越好，整体越稳定。

关键词：深埋隧道；隧道滑移面；极限塑性半径；变分方法；安全系数

中图分类号：U415         文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2012)01-0315-07

Verification of deep tunnel rock mass sliding surface and stability analysis

GUO Zi-hong^{1, 2}, LIU Xin-rong¹, SHU Zhi-le¹

(1. College of Civil Engineering, Chongqing University, Chongqing, 400045, China;

2. College of Urban and Rural Construction, Sichuan Agricultural University, Dujiangyan 611830, China)

Abstract: In order to analyze deep circular shield tunnel’s stability with safety factor, on the basis of stress distribution in the rock mass, rock mass sliding surface was verified with the variational method. On the assumption that rock mass was elastic-perfectly plastic material, rock mass critical radius came out in plastic zone. With Mohr-Coulomb criterion, tunnel safety factor was defined as equalling the ratio of shear resistance to shear force on the rock mass sliding surface in the critical plastic zone. Safety factor serves as stability index and tunnel stability quantificational analysis was realized. The influences of the ratio of critical strain to yield strain, rock mass mechanics parameter and support parameter on the tunnel plastic radius and safety factor were analyzed. The results show that enhancing rock mass cohesion, friction angel and support are able to restrain the development of tunnel plastic zone, can enhance tunnel safety factor, rock mass’ deformation compatibility is better, and tunnel is more stable.

Key words: deep tunnel; tunnel sliding surface; critical radius of plastic range; variational method; safety factor

修建隧道作为一种对地下空间开发与利用的手段被广泛应用于公路、铁路和地铁等工程的建设中。对隧道工程的研究也受到高度关注，采用的手段有模型试验^[1]、数值模拟^[2]等；对有软弱结构面^[3-4]、开挖方法^[5]、支护方式^[6]、应力膨胀^[7-8]及火灾^[9]等对隧道稳定性影响和隧道营运过程中出现紧急情况时的安全性进行了研究^[10-11]。隧道围岩及结构在修建过程和运营过程中的安全性倍受人们关注，怎样较好地进行隧道稳定性分析是工程界最关注的问题之一。以安全系数作为一种稳定性分析指标被普遍应用于边坡工程的分析，但该方法很少应用于隧道稳定性分析^[12-14]。隧道工程中围岩的变形规律常被用于隧道的安全性评价，且能较好地反映隧道的稳定性。而围岩的变形与其应力场和塑性区的发展密切相关，怎样将这三者与隧道安全系数联系起来对隧道进行稳定性分析是非常有意义的。在此，本文作者基于弹塑性理论阐述深埋圆形盾构隧道围岩的应力、应变和塑性区分布状态，采用变分方法对隧道围岩滑移面的分布状态进行验证。将围岩简化为理想弹塑性材料，根据围岩塑性区变形特征获得隧道围岩的极限塑性区半径。结合隧道滑移面、极限塑性区半径和摩尔—库仑(Mohr-Coulomb)屈服准则获得隧道稳定性指标——安全系数，以此为基础分析围岩力学参数和支护参数对隧道稳定性的影响。

1  圆形隧道弹塑性区域应力分布

1.1  隧道弹性区应力分布

埋深大于隧道半径的20倍时，忽略隧道影响范围(3~5倍半径)内岩石的自重应力，与原问题的误差不超过10% ^[15]。假设隧道处于静水压力状态，在不考虑围岩自重应力的情况下，隧道的受力情况为轴对称的平面应变问题。如图1所示，在静水压力P和支护力P₀作用下，由于结构与荷载都是对称的，其塑性区首先从内圆开始发展，弹塑性区交界的地方应是1个圆，其中a为隧道半径，r₀为塑性区半径。弹性区域内平面轴对称问题的应力分布只与r有关，与极角θ无关，参考极坐标条件下的应力函数关系，选取应力函数。

图1  深埋隧道受力模型

Fig.1  Bearing force model of deep tunnel

其应力函数应满足以下相容方程^[15]：

通过上式可获得应力函数的通解为：

式中：A，B，C和D为待定系数。假定弹性区与塑性区交界处径向应力为P₁，由应力函数与应力的关系和图1中的边界条件可得，围岩弹性区内的应力分布为：

           (1)

1.2  塑性区隧道应力分布

在塑性区域内，与同样为第一主应力和第三主应力^[16]，塑性区微单元的受力如图2所示。由此建立平衡方程：

整理并略去高阶无穷小量后得：

             (2)

图2  塑性区应力分布

Fig.2  Stress distribution in plastic zone

根据Mohr-Coulomb屈服准则将式(2)整理得：

式中：。积分后根据应力边界条件得出：

      (3)

         (4)

2  采用变分法对围岩内部滑移面论证

以X轴正方向与隧道相交处为滑动面起点，θ为逆时针方向的夹角条件下，如图3所示。

图3  深埋隧道滑移面分析模型

Fig.3  Analyzing model of deep tunnel’s sliding surface

由于围岩切向应力与径向应力都为主应力可得沿滑移面上应力表达式为：

       (5)

式中：是滑移面法线方向与径向应力的夹角。围岩服从Mohr-Coulomb屈服准则，取区域隧道围岩滑移面进行分析。统一Mohr-Coulomb屈服准则与弹性力学中应力的正负号后，选取泛函为滑移面上抗剪强度与剪切力之比，即

         (6)

把斜面上的正应力和剪应力表达式代入式(6)并化简得：

其边界条件为：；。根据以上结果选取满足边界条件的基函数为：

            (7)

将式(7)代入泛函T整理可得：

令泛函，当T接近于1时，两者求极值所得r的表达式相同。又由于在塑性区围岩沿滑移面r的抗剪强度与抗剪力相等，为了便于分析，采用求T₁的极值求解r。

泛函T₁以端为可动端，根据可动边界的变分问题必须满足，其中 ，整理得：

解得。由于，可得：，即

把上式代入式(7)，化简后得：

    (8)

从式(8)可看出：采用变分方法获得围岩滑移面表达式为对数螺旋线，与文献[17]中的结论一致。以=0°为起点获得不同内摩擦角的2组滑移面如图4所示。可见：隧道滑移面随内摩擦角φ的减小而不断远离隧道中心。

图4  隧道滑移面与内摩擦角φ的关系

Fig.4  Relationship between sliding surface and friction angle

3  隧道极限塑性区半径分析

简化围岩为理想弹塑性材料，其应力-应变关系如图5所示。可见：当应力增至B点时，围岩达到屈服；从B点到C点应变增加，应力为常数(强度不变)；C点之后围岩破坏。

图5  围岩力学特性简化

Fig.5  Simplifying rock mass mechanics characteristic

在弹塑性区相交处(r=r₀)径向和切向应力既是弹塑性区共同的应力状态，结合弹塑性区的应力表达式可得：

     (9)

式(9)表明塑性半径r₀与隧道内径a、静水压力P和支护压力P₀的关系。

r₀＜a时，隧道没有屈服区域；r₀=a时，隧道塑性区即将发展，临近静水压力P_C

弹性区和塑性区交界处径向与切向的位移和应变为：

    (10)

式中：＞，所以切向应变最大。在塑性区域内假定围岩为不可压缩体，即塑性区域内变形前与变形后体积相等得：

式中：为半径等于r₀处的径向位移；u_a为半径等于a处的径向位移。和u _a相对于r₀和a都为无穷小量，忽略高阶无穷小量并整理后得：

              (11)

塑性区的切向应变及其关系：

          (12)

结合图5中的理想弹塑性模型，当，时，塑性区半径r₀达到极限塑性区半径r_0max：

           (13)

4  隧道安全系数的定义与影响因素

4.1  隧道安全系数分析

围岩服从Mohr-Coulomb准则，表明围岩破坏是剪切破，选取围岩一定区域内沿滑移面的抗剪切力与剪切力的比值为安全系数是可行的。为简化分析，假定围岩为理想弹塑性材料，确定出围岩极限塑性区半径为r_0max。当实际塑性区半径r₀与r_0max相等，此时围岩最大应变等于极限应变，此时围岩处于极限平衡状态，沿隧道滑移面的抗剪切力等于剪切力，即此时的安全系数应等于1；当实际塑性区半径r₀＜r_0max，塑性区域a~r₀处于临界状态，弹性区域r₀~r_0max是隧道围岩的安全储备区。为此定义隧道安全系数F_s为a~r_0max范围内沿隧道滑移面的抗剪切力与剪切力的比值。

      (14)

结合隧道围岩的滑移面、塑性区、应力与应变分布整理出分析隧道安全系数的流程如图6所示。

图6  分析流程图

Fig.6  Analyzing flow chart

4.2  围岩力学参数与支护参数对隧道屈服半径和安全系数的影响

以独立双车道隧道(r₀=6 m)为例，分析围岩内聚力、内摩擦角、极限应变与屈服应变比值及支护压力对隧道相对屈服半径r₀/a和安全系数F_s的影响。

(1) 当围岩内聚力为变量，原始地应力为4.8 MPa，内摩擦角为44°，支护压力为0.5 MPa时，内聚力与相对屈服半径和安全系数的关系曲线如图7所示。可见：隧道相对屈服半径r₀/a随着围岩内聚力的减小不断增大，隧道安全系数F_s随着内聚力的增加而不断增加，内聚力与相对屈服半径和安全系数呈线性关系。

图7  内聚力与r₀/a和F_s的关系

Fig.7  Relationship among cohesion, r₀/a and F_s

(2) 当围岩内摩擦角为变量，原始地应力为4.8 MPa，内聚力为1.1 MPa，支护压力为0.5 MPa时，内摩擦角与相对屈服半径和安全系数的关系曲线如图8所示。可见：内摩擦角从35°~50°增加的过程中，相对屈服半径r₀/a不断减小，但减小趋势越来越平缓；隧道安全系数F_s随内摩擦角的增大而不断提高，并且内摩擦角产生较小变化都会引起隧道安全系数较大波动，表明提高内摩擦角对增强隧道安全性的影响很  明显。

图8  内摩擦角与r₀/a与F_s的关系

Fig.8  Relationship among friction angel, r₀/a and F_s

(3) 当隧道支护压力为变量，原始地应力为4.8 MPa，围岩内聚力为1.1 MPa，内摩擦角为44°时，支护压力与相对屈服半径和安全系数的关系如图9所示。可见：随着支护压力的增加相对屈服半径呈直线减小趋势；隧道安全系数随着支护压力的增加而提高，体现出支护压力对围岩稳定性的贡献。

图9  支护压力与r₀/a和F_s的关系

Fig.9  Relationship among support force, r₀/a and F_s

 (4) 当围岩极限应变与屈服应变比值k为变量，原始地应力为4.8 MPa，围岩内聚力为1.1 MPa，内摩擦角为44°，支护压力为0.5 MPa时，k与相对屈服半径r₀/a和安全系数F_s的关系如图10所示。可见：随着k增大，隧道安全系数也不断提高，这是因为围岩进入屈服阶段后的变形协调能力越大，围岩抵抗整体破坏的能力越强，k变化对相对屈服半径无影响。越靠近隧道周边的围岩安全系数越小^[13]，当隧道周边屈服但不破坏时，隧道整体安全系数将比周边最小的安全系数大，表明k越大，隧道安全系数越大。

(5) 当原始地应力P为变量，围岩内聚力为1.1 MPa，内摩擦角为44°，支护压力为0.5 MPa时，原始地应力P与相对屈服半径r₀/a和安全系数F_s的关系如图11所示。可见：随着原始地应力的减小，隧道安全系数F_s不断增加，且增加的速率越来越大；屈服半径随地应力的减小而减小。

图10  k与r₀/a和F_s的关系

Fig.10  Relationship among k, r₀/a and F_s

图11  P与r₀/a和F_s的关系

Fig.11  Relationship among P, r₀/a and F_s

5  结论

(1) 采用变分方验证了深埋圆形隧道围岩滑移面为对数螺线分布，显示出不同内摩擦角的隧道滑移面分布。

(2) 简化围岩为理想弹塑性材料，根据弹塑性理论得出隧道极限塑性区半径r_0max与隧道半径、屈服应变和极限应变的关系。

(3) 选取安全系数为滑移面上抗剪切力与剪切力之比，得出计算隧道安全系数的表达式，以此为依据对隧道稳定性进行分析。

(4) 增大围岩内聚力、内摩擦角及支护压力能有效抑制隧道塑性区半径发展和提高隧道安全系数；围岩变形协调能力越大，整体稳定性越好；随着地应力的增大，隧道稳定性减小。

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(编辑 杨幼平)

收稿日期：2011-02-15；修回日期：2011-04-27

基金项目：国家高技术研究发展计划(“863”计划)项目(2007AA11Z110)；国家自然科学基金创新群体基金资助项目(50621403)；四川省教育厅科研项目(11ZB055)

通信作者：郭子红(1981-)，男，四川泸州人，博士研究生，从事岩土工程与地下工程方面的研究；电话：18782975782；E-mail: guozihonghyx@126.com