文章编号：1004-0609(2015)08-2205-07

污染监测视电阻率快速三维反演成像

崔益安^{1, 2}，朱肖雄^{1, 2}，陈志学^{1, 2}，柳建新^{1, 2}

(1. 中南大学 地球科学与信息物理学院, 长沙 410083；

2. 中南大学 有色资源与地质灾害探查湖南省重点实验室, 长沙 410083)

摘 要：

摘  要：利用模拟阻抗网络构建三维地电模型，方便快速正演计算。采用共轭梯度算法进行最小二乘反演迭代，迭代过程中不必完全计算灵敏度矩阵，大大节约了计算时间与存储空间，实现视电阻率监测数据的快速三维反演计算。在设计快速三维反演算法的基础上，利用模拟污染监测视电阻率数据对算法进行实验测试。测试结果表明：基于模拟阻抗网络模型的共轭梯度反演算法能有效实现对视电阻率数据的反演成像，算法收敛稳定，并且计算耗时少。进一步实验场地的实际监测数据反演测试还表明：该反演成像方法能有效反映追踪污染物质在地下介质中的扩散轨迹与具体影响范围，具有较好的实用性和时效性。

关键词：

三维反演；视电阻率；共轭梯度；污染监测；

中图分类号：P631      　    　     文献标志码：A

Fast 3D apparent resistivity inversion for contaminant monitoring data

CUI Yi-an^{1, 2}, ZHU Xiao-xiong^{1, 2}, CHEN Zhi-xue^{1, 2}, LIU Jian-xin^{1, 2}

(1. School of Geosciences and Info-Physics, Central South University, Changsha 410083, China;

2. Hunan Key Laboratory of Non-ferrous Resources and Geological Hazard Detection, Central South University,

Changsha 410083, China)

Abstract: Based on impedances network analogy, 3D geo-electric model was built to perform numerical simulations more quickly. In the least square inversion, the conjugate gradient method was adopted to avoid calculating sensitivity matrix completely, which greatly decreases the time and memory space needed to do 3-D inversions. Then, it is practical to perform monitoring resistivity data inversion effectively to satisfy the requirements of engineering. Synthetic data was used to test the proposed inversion algorithm. The results show that the algorithm can perform resistivity data 3D inversion with fast convergence in short computation time. Further field data tests demonstrate that the fast 3D inversion can make good responses to the motion and range of underground contaminant plumes. And its exactness and effectiveness are very meaningful for interpreting field data in contaminant monitoring.

Key words: 3D inversion; apparent resistivity; conjugate gradient; contaminant monitoring

随着我国经济的持续高速发展，在工业化、城镇化过程中的环境污染问题也日益严重。特别是越来越多的工矿废水废渣库、生活和工业垃圾填埋场等，严重威胁周边的土壤与地下水安全^[1]，即时检测和控制污染源扩散是保护土壤和地下水不受污染或少受污染的积极方法^[2]。与钻孔测试、定期采样分析等传统环境监测手段相比，直流电阻率法等地球物理方法具有效率高、成本低、快速无损、无二次污染等优点^[3]，在地下污染探测的应用中有较强的优势。王迪等^[4]就采用电阻率成像法对北京某垃圾场进行了污染探测，取得不错的效果；VAUDELET等^[5]也采用电阻率法成功地在城市地区实现对污染物的成像。类似的研究与应用还有很多^[6-9]。随着污染控制与治理的进一步需求，电阻率法在污染物探测的应用中正逐步由二维观测向三维观测发展，同时也由短时单次观测向长期连续监测发展，如尚浩等^[10]和郭秀军等^[11]研制开发了三维分布式监测系统用于垃圾填埋场渗漏的监测；GASPERIKOVA等^[12]采用电阻率法对地下污染活动进行长期监测。在这些电阻率法污染监测的应用中，即便是采用了三维观测，但其观测数据的反演解释还是基本以二维处理为主^{[4, 10]}。污染监测数据的反演解译至关重要，只有开展三维反演才能满足污染监测中的高精度数据处理要求。

因此，有必要针对直流电阻率法在地下污染监测中的应用开展监测数据的快速三维反演算法研究，以满足实际应用中对数据解译的精确性和时效性要求。正演模拟是反演计算的基础，潘克家等^[13]采用多重网格法以及黄俊革等^[14]采用有限单元法进行了直流电阻率法正演模拟，获得较高的模拟精度，但这类正演方法计算量巨大，比较耗时。ZHANG等^[15]采用模拟阻抗网络开展直流电阻率法正演模拟研究，获得的阻抗刚度矩阵除对角元素和次对角元素外全为0，求解简便，便于提高正演计算速度。许多研究人员在直流电阻率反演方面开展了大量研究。戴前伟等^[16]将智能优化方法应用到电阻率层析成像的反演计算中。LI等^[17]和刘斌等^[18]研究了通过约束来提高三维电阻率反演收敛速度的方法。但这些反演方法普遍耗时较长，不适合污染监测数据实时快速解译的需求。梯度法是基于求偏导数来寻找极值点，是一类迭代次数少、收敛快的反演方法。吴小平等^[19]采用共轭梯度法开展电阻率三维反演研究，计算速度较快，取得不错的反演效果。黄俊革等^[20]更是针对坑道超前探测专门研究了直流电阻率的快速反演方法。污染监测数据同样需要实时快速解译以便及时提供决策依据，因此，本文作者开展相关研究，在采用模拟阻抗网络进行正演模拟提高计算速度的基础上，通过共轭梯度快速迭代来实现对污染监测电阻率数据的快速三维反演。

1  模拟阻抗网络模型

正演模型是开展反演研究的基础。一般情况下，大地介质中的直流电阻率法问题满足式(1)

               (1)

正演计算的目的是通过给定介质的三维电阻率分布ρ(x,y,z)以及电流密度J(x,y,z)来计算空间中的电势分布V(x,y,z)。计算过程中需要先将模型离散化，然后进行求解。图1所示为模拟阻抗网络模型。由图1可知，模拟阻抗网络模型将地电模型分割成许多六面体电阻块，每个块在x、y、z 3个方向的长度分别为、、。把空间电势分布与电流密度分布均定义在每个块的顶面中心点，称之为网络节点。除边界外，每个节点在三维空间中都有6个相邻的节点通过阻抗臂与之连接，每条阻抗臂的阻抗由所在块的电阻率以及节点之间的距离决定。

图1  模拟阻抗网络模型

Fig. 1  Model of analogy impedances network

如将图1中的中心立方块在空间中的位置定义为(i, j, k)，电阻率为ρ(i, j, k)，其网络节点电压为V(i, j, k)，则节点(i, j, k)与节点(i-1, j, k)之间阻抗臂的阻抗R_x为

  (2)

节点(i, j, k)与节点(i, j-1, k)之间阻抗臂的阻抗R_y为

  (3)

节点(i, j, k)与节点(i, j, k-1)之间阻抗臂的阻抗R_z为

                  (4)

为满足纽曼边界条件(n·j=0)，处于地表的节点没有与空气相连的阻抗臂，地下边界节点的设置则需要满足第一类边界条件。由于空间中各节点的电势与电流均满足基尔霍夫定律，将式(1)中电势梯度用模拟电阻网络中相邻节点的电势差分代替后有

                        (5)

式中：K为表示阻抗分布结构的刚度矩阵。矩阵K的对角元素为与其对应节点相连的所有电导之和，次对角元素为对应节点与相连节点之间的负电导，其他元素均为0。通过式(5)求解便可以获得各节点的电势 V(x, y, z)，即实现正演模拟。

2  共轭梯度反演算法

反演就是通过一定的策略来估计符合要求的模型参数。令模拟电阻网络离散化后的地电模型m=(ρ₁, ρ₂, …, ρ_i×j×k)^T，对于存在n个视电阻率观测数据d_ob=(ρ_s1, ρ_s2, …, ρ_sn)^T，反演问题即为寻找适当的模型m以满足

≤                     (6)

式中：f(m)为模型m的正演计算数据；ε为允许的拟合差。由于正演模型与实际物理模型的差异以及观测数据的噪音影响等因素，这类问题往往没有确定解或存在多解。地球物理反演问题的不适定性在引入Tikhonov正则化后，可以得到适当的改善，求解稳定^[21]，如式(7)所示：

                       (7)

式中：λ为正则化因子；由约束系数矩阵C以及模型m和参考模型m⁰之间的差构成，如式(8)所示：

                  (8)

最终，可以获得反演问题的最小二乘迭代计算方程，如式(9)所示：

                    (9)

式中：A为灵敏度矩阵；为观测数据d_ob与正演计算数据f(m)之间的残差；为每次迭代的模型增量。

有许多方法可以用来求解迭代方程(9)，其中许多方法均需要完全计算灵敏度矩阵。而在采用共轭梯度的迭代法中，只需要计算灵敏度矩阵A或其转置矩阵与一个向量X的乘积结果，因为不用完全计算灵敏度矩阵，大大节约了计算时间和存储空间，如式(10)所示：

(10)

式中：为表示第i个测量电极点的单位矢量。

采用共轭梯度法快速反演的具体迭代算法如下：

1) 设定最大反演和共轭梯度迭代次数i_max和j_max，设定允许的拟合差ε，给定初始模型m₀与参考模型m⁰；

2) 正演计算f(m_i)，计算观测数据与正演数据之间的残差；

3) 如果≤则跳转到8)；

4) 计算；

5) 共轭梯度循环for j=1 to j_max：

{i 初始化共轭梯度，，；

ii 计算；

iii 计算；

iv 计算搜索方向；

v 计算搜索步长；

vi 更新模型差；

vii 更新；}

6) 更新模型；

7) 如没有达到最大反演次数i_max则跳转到2)；

8) 反演结束。

3  计算模拟与实验测试

3.1  模拟数据测试

首先采用模拟合成数据对反演算法进行了测试。设三维模型xy平面由8×10个网格组成，z方向为深度分８层，共计640个网格，每个网格尺寸均为1.1 m×1.1 m×0.46 m。图2(a)所示为模拟数据模型1。模型1的第1层x与y方向的第1、2网格电阻率为10 Ω·m，其余网格电阻率均为200 Ω·m，低阻网格用来模拟地表存在的污染源。图2(b)所示为模拟数据模型2。模型2的第1层与第2层x方向第1、2网格以及y方向的第1、2、3网格电阻率为10 Ω·m，模拟地表污染扩散至这些区域，其余网格电阻率为200 Ω·m。

设视电阻率观测采用二极装置，电极在地表xy平面布置，共布置5×6个电极，电极距为2.1 m。然后，利用模拟阻抗网络数值方法进行正演模拟，计算出各电极点位置的二级装置电压与供电电流的比值。利用计算获得的模拟观测数据对三维反演算法进行测试。由于采用模拟阻抗网络进行正演模拟以及采用共轭梯度反演算法，网格内无需插值，反演计算时间复杂度为一阶o(n)，耗时较少，640个网格的计算在普通个人计算机上(intel 2.1 GHz CPU)上的计算耗时仅为采用有限单元法耗时的一半。图3所示为反演计算测试结果，图3(a)和(b)分别为模型1和模型2模拟数据的反演三维视电阻率结果的水平切片。图3中只给出了深度分别为0、0.5、0.9、1.4和1.8 m共5个切片，重点研究反演三维视电阻率结果对模型电阻率发生变化区域的响应情况。

反演结果能很好的反映模型1与模型2之间的电阻率变化情况，并且对电阻率变化的区域与电阻率数值大小均有比较精确的响应，表明该反演方法可以有效实现对直流电阻率数据的快速三维反演成像计算。

3.2  实测数据反演

为进一步验证反演方法的有效性，还开展了实测数据的计算测试。实测数据来自某场地进行盐水注射过程中的视电阻率监测实验。实验在钻孔中注入高浓度的盐水来模拟污染物在地下介质中的扩散情况。视电阻率监测采用AGI公司生产的Sting R1型电法仪器，通过自动电极转换器同时布置30个电极，开展二极装置视电阻率成像观测。试验场地监测区域大小约为10 m×12 m。图4所示为视电阻率监测电极布置。x和y方向电极距均为2.1 m。二级装置的一个供电电极和一个测量电极均布置在远离监测区域的“无穷远”处，图4中的各测点依次供电进行循环扫描观测。

图2  模拟数据模型

Fig.2  Models of synthetic data

图3 模拟数据反演视电阻率结果

Fig. 3  Results of inversing synthetic resistivity data

图4  视电阻率监测电极布置

Fig. 4  Survey array of apparent resistivity monitoring

盐水注射孔深度1 m，位于场地一侧2个电极之间(见图4)，在注射盐水前先进行了一次二极法视电阻率扫描观测，然后开始注射盐水。注射盐水后的第2天开始，每天进行一次视电阻率扫描观测，监测用来模拟污染物的盐水在地下介质中的扩散情况和影响范围。对每次采集到的视电阻率观测数据进行三维反演计算，获得一系列的三维反演成像结果，便可以直观地了解盐水连续扩散的具体情况。图5所示为3次不同时间监测数据进行三维反演成像的计算结果。图 5(a)为开始注射盐水前观测数据的三维视电阻率反演结果水平切片，深度分别为0、0.9、1.8、2.7和3.6 m。反演结果表明该场地浅地表具有较明显的电性分层，表层厚度约1 m左右电阻率稍高，随着深度增加电阻率逐步降低。图5(b)和(c)分别为注射盐水后第3天和第6天观测数据的三维视电阻率反演结果。从图5(b)和(c)中可以明显看出，由于盐水注射导致的低电阻率区域。对比图5(a)~(c)可以很直观地了解盐水在地下的渗透扩散情况，由于盐水渗透扩散引起的低电阻率区域主要沿注射孔底部向四周扩散，并且在水平y方向的扩散速度高于其他方向的速度。测试表明：反演算法对实际监测数据的反演计算也具有良好的应用效果，可以提供一系列直观的三维视电阻率影像，快捷地实现对污染物视电阻率监测数据的动态实时解译。

图5  实测数据反演视电阻率结果

Fig. 5 Results of inverting field resistivity data at different time

4  结论

1) 视电阻率快速三维反演方法能有效地实现对污染监测数据的快速有效反演，使得三维反演可在普通计算机上短时内完成，有利于提高监测数据解释的时效性。

2) 采用模拟阻抗网络模型对地下污染地电模型进行数值模拟，在保证模拟精度的同时减少正演计算量，为快速反演提供良好的模型基础。

3) 共轭梯度迭代过程中只需要计算灵敏度矩阵或其转置矩阵与向量的乘积，而不用完全计算灵敏度矩阵，大大节约计算时间和存储空间，使得反演算法可以快速实现对监测数据的反演。

4) 针对污染监测视电阻率数据的快速反演方法，能实时直观地提供一系列准确反映地下污染扩散动态范围的三维视电阻率分布，可为地下污染的防控与处理及时提供可靠的依据。

致谢：

感谢刘澜波教授提供场地实验及相关监测数据。

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(编辑  王  超)

基金项目：国家科技基础性工作专项(2013FY110800)；国家自然科学基金资助项目(41174103, 41274122)

收稿日期：2014-07-13；修订日期：2015-06-04

通信作者：崔益安，副教授，博士；电话：0731-88877075；E-mail: cuiyian@csu.edu.cn