冲击荷载作用下Winkler地基上横观各向同性
浅球壳的动力分析
文明才1，戴振东2
(1. 湖南城市学院 土木工程学院，湖南 益阳，413000；
2. 南京航空航天大学 仿生结构与材料防护研究所，江苏 南京，210016)
摘 要：
摘 要：对冲击荷载作用下Winkler地基上横观各向同性浅球壳的非线性动力响应进行研究。考虑壳的几何非线性，建立适合任意边界的Winkler地基上浅球壳受冲击荷载作用下的非线性运动微分方程；通过分析冲击荷载与浅球壳之间的弹性接触效应和利用正交配点法，研究冲击荷载作用下Winkler地基上壳体中点位移响应随Winkler地基刚度、撞击物的初始速度、撞击物接触点位置、壳体几何性质的变化规律。计算结果表明：随着撞击物体初速度增大，Winkler地基上浅球壳中点的位移响应随之变大，且浅球壳体几何性质的变化会引起壳中点位移的变化；撞击作用接触点位置亦对Winkler地基上浅球壳中点位移响应的影响很大。
关键词：
中图分类号：O322 文献标识码：A 文章编号：1672-7207(2008)03-0629-06
Dynamic analysis of transversely isotropic shallow spherical shells of Winkler foundation subjected to impact force
WEN Ming-cai1, DAI Zhen-dong2
(1. School of Civil Engineering, Hunan City University, Yiyang 413000, China;
2. Institute for Bio-inspired Structures and Surface Engineering,
Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)
Abstract: The nonlinear dynamic behavior of transversely isotropic shallow spherical shells of Winkler foundation subjected to impact force was studied. Based on the nonlinear theory of shallow shells, a set of nonlinear equations of motion for transversely isotropic shallow spherical shells of Winkler foundation subjected to an eccentric impact force were founded. Considering the effect of contact between the striking object and the shallow shells, using the orthogonal point collection method, the effects of striking object’s initial velocity, the point of contact, Winkler foundation and shell’ geometrical parameters on the dynamic response of shell were discussed. The numerical results show the deflection of transversely isotropic shallow spherical shells increases with the increase of striking object’s initial velocity, and the dynamic behavior of transversely isotropic shallow spherical shells changes with the shell’ geometrical parameters and the different positions of the point of contact.
Key words: shallow spherical shells; Winkler foundation; transversely isotropic; orthogonal point collection method
在仪表工业、航空航天工业、石化工业以及其他许多领域中都会遇到冲击荷载作用下结构非线性动力响应问题，但研究这类问题难度较大。国外关于这类问题的研究起步较早，1966年W. Goldsmith[1]对物体撞击构件的线性动力响应问题进行了系统研究；J. R. Willis[2]对各向异性体的弹性碰撞进行了分析；J . R. Turner[3]获得了横观各向同性半空间接触问题的接触应力及变形的解析解。我国对这方面的研究起步相对较晚。邓梁波等[4-5]研究了各向同性板在撞击作用下的非线性动力响应；黄伟等[6]讨论了黏弹性地基上弹性板受撞击的动力响应问题。尹邦信[7]提出了碰撞过程中碰撞反力的模拟表达式，对撞击物不作任何假设，研究了弹性板受撞击时的动力响应分析；宁建国等[8]通过等度量变换，给出了球壳的变形模态，研究了平头圆柱体冲击下球壳的动力变形。这些研究成果大多局限于各向同性材料的梁、板、圆柱壳，较少涉及到冲击荷载作用下浅球壳的非线性动力响应问题。虽然傅衣铭等[9-10]对开孔浅球壳的动力屈曲问题进行了研究，高正强[11]对撞击物作用下层合中厚壳的非线性动力性能进行了分析，刘人怀等[12-14]对复合载荷下圆底扁球壳动力稳定性及其应用都进行了相应的研究，但对不同基础上的浅球壳非线性动力问题的研究较少。为此，本文作者对冲击荷载作用下Winkler地基上横观各向同性浅球壳的非线性动力响应进行研究，考虑壳的几何非线性，建立任意边界条件浅球壳受冲击荷载作用下的非线性运动微分方程；通过分析冲击荷载与Winkler地基上浅球壳之间的弹性接触效应和利用正交配点法，研究冲击荷载作用下Winkler地基上壳体中点位移响应随弹性地基刚度、撞击物的初始速度、撞击物接触点位置、壳体几何性质的变化规律。
1 模型及方程的建立
冲击荷载作用下Winkler地基上浅球壳力学模型如图1所示。考虑横观各向同性浅球壳，其厚度为h，中曲面曲率半径为R。低圆半径为a，壳高为H，质量密度为ρ。壳体在距顶点距离为b的位置受一速度方向沿壳中面法线的弹性球体撞击。壳上任意一点的位置由中面上正交曲线坐标φ和θ及沿中面法线方向指向壳体凹侧的坐标z确定；φ为纬度补角，从旋转角计量起；θ经度，从任一平行圆半径计量起；z为h/2和-h/2分别表示浅球壳的内表面和外表面；ks为弹性地基沿z向的刚度系数。取壳的中曲面主曲率坐标半径R1=R2=R,中曲面上任一点的拉梅系数为A1=R，A2=Rsin φ。根据经典的非线性扁壳理论，壳中任一点在任一时刻t沿φ，θ和z方向的位移分量u，v和w可表示为：
图1 冲击荷载作用下Winkler地基上浅球壳力学模型
Fig.1 Model of isotropic shallow spherical shells of Winkler foundation subjected to impact force
设浅球壳中任一点的应变分量为
和
，则其应变-位移关系为：
在轴对称变形的情形下，位移v=0，且所有变量与坐标θ无关。由
=0，对于浅球壳在底圆的平行圆半径方向引入新的坐标r，且有如下的近似关系：
，则：
若横观各向同性浅球壳以
平面为各向同性面，根据经典的板壳理论，壳中应力的合力
和
与合力矩
和
可表示为：
根据浅球壳体的非线性理论，浅球壳非线性运动微分方程可表示为[10-12]：
引入以下无量纲：
将式(7)代入式(3)~(6)得到以无量纲位移分量表示的轴对称横观各向同性浅球壳的非线性运动控制微分方程：
2 冲击力方程
在低速碰撞情况下，设浅球壳在壳顶任一处(r=b)沿法向受到球形物体撞击，其受到的冲击荷载可表示为[1-2]：
它与碰撞物体的几何尺寸及材料特性有关，其表达式如下[14]：
设撞击物与浅球壳接触的瞬间其初始速度为v0，位移为0，则：
由式(9)和(10)，可得到冲击力方程为：
将式(11)转化为无量纲形式，为：
联立式(8)与(12)得到任意边界条件下弹性地基上浅球壳在任意位置处受到冲击荷载作用下的非线性运动方程。
作为力学模型的特例之一，下面分析浅球壳的 边界条件取周边固支。其初始条件为：
，
；无量纲的边界条件为：
显然，不能求解此运动方程的解析解。为此，根据时间增量法将冲击荷载分段线化，对于时间增量
，则式(12)可以写成如下 形式：
其展开式为
考虑到冲击物体与浅球壳刚接触的瞬间，其作用时间极短，主要在接触位置产生局部变形，因而可忽略结构的位移，则由式(13)可得到：
将无量纲位移函数W和U在空间域和时间域内离散，求其近似解。在空间上采用正交配点法，选用Chebyshev多项式的零点作为配置点：
对于M个配置点，位移函数展开为：
在时间上将外荷载作用的时间τ分为小时间段Δτ代法求解，在任一迭代步J中，方程和边界条件中的非线性项采用如下形式线性化：
3 参数分析
3.1 方程及程序的验证
为便于与文献[4]中的结果相比较，取浅球壳的曲率半径
，则
，此时，浅球壳退化为圆板。且设浅球壳的周边固支。设钢球撞球作用在壳的顶点(b=0)且忽略弹性地基的影响，则此时本文的模型退化为文献[4]中模型。
图2和图3所示分别为本文获得的圆板所受冲击荷载、板的位移时程响应曲线与文献[4]中相应曲线的比较结果。可以看出，两者较吻合。
1—本文结果；2—文献[4]结果
图2 冲击荷载随时间变化规律的比较
Fig.2 Comparison of time course with impact factor
1—本文结果；2—文献[4]结果
图3 圆板中点位移时程响应曲线的比较
Fig.3 Comparison of time course with plate deflection
3.2 算例分析
作为本文力学模型的特例之一，结合已有文献取Winkler地基上横观各向同性浅球壳各力学参数为：E=50.81 GPa，vH =0.31，vV=0.06，v=0.31，ρ=1.61×103 kg/m3，ks=3.3×107 N/m，λ=4.31，a=40 mm，R=30 cm，h=4 mm。
撞击物力学参数为：E'00 GPa，V'33，v0= 4 m/s，P'.97×103 kg/m3，R'5 mm。
撞击物作用点位置在无特别说明情况下，取b=0，ks=3.3×107 N/m。
图4所示为有无地基对壳中点位移的影响。当浅球壳有Winkler地基支承刚度为KS时，中点最大位移W0=0.384 mm，而当没有地基支承时，W0=0.591 mm。由此看出Winkler地基减小了壳中点的位移；而当地基支承刚度为KS/3时，则W0=0.515 mm。由此看出，不同Winkler地基刚度对壳中点的位移产生很大的影响。
1—ks; 2—ks /2; 3—ks/3; 4—无地基刚度
图4 不同地基刚度对壳中点位移响应的影响
Fig.4 Effect of foundation stiffness on deflection of shallow spherical shells
图5所示是撞击物的初速度v0分别为2，4和6 m/s时，对Winkler地基上壳中点位移响应随时间变化的响应曲线。从图5可以看出，随着撞击物体初速度的增大，壳中点的位移响应都会变大。如v0=2 m/s时，W0=0.285 mm，而当v0=4 m/s时，W0=0.384 mm。而图6所示是对Winkler地基上浅球壳的厚度h分别为4，6和8 mm时，壳中点位移随时间变化的时程曲线。由图6可见，随壳厚度增大，其位移响应减小。
v0/(m?s-1): 1—2; 2—4; 3—6
图5 撞击速度对壳中点位移响应的影响
Fig.5 Effect of striking object’s initial velocity on deflection of shallow spherical shells
h/mm: 1—4; 2—6; 3—8
图6 壳厚对壳中点位移响应的影响
Fig.6 Effect of shells thickness on deflection of shallow spherical shells
图7所示为曲面曲率半径不同时对Winkler地基上壳中点位移响应的影响。从图7可以看出，壳中点的位移随中曲面曲率半径的增大而减小。当R=20 cm时，W0=0.491 mm；当R=40 cm时，W0=0.306 mm。
R/cm: 1—20; 2—30; 3—40
图7 曲面曲率半径对壳中点位移响应的影响
Fig.7 Effect of curvature on deflection of shallow spherical shells
图8所示是当地基为Winkler地基，且支承刚度为KS，接触点位置不同时对壳中点位移响应的影响。
1—b=0; 2—b=1/2; 3—b=a/3
图8 接触点位置对壳中点位移响应的影响
Fig.8 Effect of point of contact on deflection ofshallow spherical shells
可见，当作用点b=a/2时，W0=0.231 mm；当b=0时，W0=0.384 mm。由此看出接触点的不同对壳中点的位移影响很大。
4 结 论
a. 地基支承刚度为KS/3时所对应的壳中点位移为支承刚度是KS时的1.38倍，故Winkler地基有减小壳中点位移的作用，且随着地基的刚度增大，减小的效果越明显。
b. 当撞击物初速由2 m/s增大到4 m/s时，壳中点的位移随之增大1.35倍，故随撞击物初速增大，Winkler地基上浅球壳中点的位移响应会随之变大。
c. Winkler地基上浅球壳体几何性质的变化会引起壳中点位移的变化。
d. 撞击作用接触点位置不同对Winkler地基上浅球壳中点位移响应的影响很大，如当作用在中点时的位移为作用在a/2时的1.66倍。
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收稿日期：2007-12-01；修回日期：2008-03-11
基金项目：国家自然科学基金资助项目(50675160)
通信作者：戴振东(1962-)，男，陕西三原人，教授，博士生导师，从事仿生结构与材料、摩擦学、振动研究；电话：025-84892581-802；E-mail: zddai@nuaa.edu.cn
[1] Goldsmith W. Impact factors of elastic plate[M]. London: Edward Arnold Ltd, 1966.
[5] 岳建军, 刘士光. 受横向撞击弹性板的动力响应分析[J]. 舰船科学技术, 2005, 27(2): 27-32.
" target="blank">[6] 黄 伟, 邹毅达. 黏弹性地基上弹性板受刚体撞击的动力响应分析[J]. 工程力学, 1993, 10(1): 112-118.WANG-wei, ZHOU Yi-da. Analysis on the response of elastic plates subjected to impact force[J]. Engineering Mechanics, 1993, 10(1): 112-118.
[9] 傅衣铭. 结构非线性动力学分析[M]. 广州: 暨南大学出版社, 1997.
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